第20讲 解三角形（7个核心题型归纳）讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦解三角形高考核心考点，涵盖正余弦定理应用、边角互化、形状判断等七大题型，按“核心知识-方法技巧-真题演练”逻辑架构，通过考点梳理、方法指导、分层训练帮助学生构建解题体系，突破难点。 资料以数学思维和模型意识为导向，如边角互化专题引导学生通过齐次式特征选择转化路径，设计“题型归纳+举一反三”实战训练，配合课后检测及时反馈，高效提升学生推理与应用能力，为教师精准把控复习节奏提供有力支撑。

2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第20讲 解三角形 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】 由正余弦定理求夹角 核心知识 正弦定理 为外接圆半径 余弦定理变形求角公式 三角形内角范围 方法技巧 1.已知三边或者两边及其夹角对边优先选用余弦定理求角避免多解 2.已知两角一边或者两边一对角选用正弦定理求出角的正弦值 3.求出三角函数值后结合大边对大角判断角是锐角还是钝角 4.最后检验三个内角之和等于 【经典例题1】（2026·山东潍坊·三模）设的内角所对的边分别为，若，，则（     ） A． B． C． D． 【经典例题2】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，，，，则角B的大小为（     ） A． B．或 C． D．或 【巩固练习1】（2026·湖北武汉·三模）已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2026·吉林延边·二模）在中，角、、的对边分别为、、，满足，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（2026·云南·模拟预测）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则______． 【题型2】 由正余弦定理求边长 核心知识 正弦定理 余弦定理 三角形内角和 方法技巧 1.已知两角一边先用内角和求出第三个角再用正弦定理求边长 2.已知两边夹角直接用余弦定理求第三边 3.已知两边及其中一边对角时警惕正弦定理带来的两解问题 4.求出边长后代回原式检验等式成立 【经典例题1】（2026·山东聊城·二模）在中，已知，则（    ） A． B． C． D．4 【经典例题2】（2026·河北·模拟预测）内角，，的对边分别为，，，，且的面积，则（   ） A．2或 B．3或 C．4或 D．5或 【巩固练习1】（2026·四川成都·模拟预测）在中，角所对的边分别为，是边上一点，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【巩固练习2】（2026·江苏连云港·模拟预测）在中，，点在边上，，，． (1)求； (2)求． 【巩固练习3】（2026·湖北武汉·模拟预测）已知中，角所对的边分别为，若，，，则（   ） A．3 B．5 C． D． 【题型3】 正余弦定理边角互化的应用 核心知识 边角互化两条核心路径 边化角 角化边 三角形恒等变换公式 方法技巧 1.等式两边全部为齐次式时可以直接边角互换消去 2.式子含有优先边化角转化为三角恒等变换 3.式子含有边长平方优先角化边使用余弦定理 4.互化之后结合三角恒等公式化简 【经典例题1】（2026·海南三亚·一模）（多选）已知中，与均为锐角，的面积为，且，则（） A． B． C．周长为 D． 【经典例题2】（2026·四川成都·三模）（多选）的面积为1，角，，分别所对的边为，b，c．若，且，则（   ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2026·安徽合肥·模拟预测）记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且ab，则______. 【巩固练习2】（2026·云南昭通·二模）记的面积为，的外接圆半径为，且，则___________． 【巩固练习3】（2026·湖北十堰·一模）在中，内角，，的对边分别为，，.若，，，则（   ） A． B．20 C．16 D． 【题型4】 由正余弦定理判断三角形的形状 核心知识 直角三角形 等腰三角形 钝角三角形 锐角三角形三个内角余弦值全部大于0 方法技巧 1.统一化成边的关系式因式分解得到边长关系 2.统一化成角的关系式求出内角大小或者角之间等量关系 3.两边约分时注意边长或三角函数值不等于零不要漏解 4.最终结论写明等腰直角等腰直角锐角或钝角三角形 【经典例题1】（2026·湖南株洲·模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则一定是（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【经典例题2】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知中，内角，，的对边分别为，，，且满足，． (1)若，求的值； (2)求角的最大值，并判断此时的形状． 【巩固练习1】（2026·山西晋城·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，的面积为． (1)求角； (2)若外接圆的半径为2，判断的形状． 【巩固练习2】（25-26高一下·山东济南·期中）在中，已知，则的形状为________． 【巩固练习3】（25-26高一下·重庆万州·阶段检测）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． (1)求； (2)若，证明：是直角三角形． 【题型5】 由正余弦定理求三角形周长面积 核心知识 周长公式 面积基础公式 海伦公式 方法技巧 1.求周长范围问题通常结合余弦定理+基本不等式 2.面积计算优先找已知两边以及两边夹角 3.周长或面积最值问题可借助正弦定理换元转化三角函数求值域 4.计算时注意角必须是两条边的夹角 【经典例题1】（2026·广东阳江·二模）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【经典例题2】（2026·山东聊城·一模）记的内角的对边分别为，已知，的面积为，． (1)求； (2)求的周长. 【巩固练习1】（2026·广东深圳·模拟预测）在中，，，，则的面积为________． 【巩固练习2】（2026·重庆·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，其中，，且. (1)求角； (2)若，的面积为，求的周长． 【巩固练习3】（2026·山东青岛·三模）记内角、、的对边分别为、、，． (1)求； (2)若，且，求的面积． 【题型6】 三角形中角平分线中线高线的计算 核心知识 中线长公式（阿波罗尼斯定理） 角平分线长公式 高线长公式 角平分线定理 方法技巧 1.中线问题常用延长中线一倍构造平行四边形 2.角平分线优先使用角平分线定理拆分底边 3.在被分割开的两个小三角形内分别使用余弦定理建立方程 4.高线计算可以先求出三角形面积再反推高 【经典例题1】（2026·河北秦皇岛·二模）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求; (2)若，，为的中点，求的长. 【经典例题2】（2026·北京·三模）在中，若，是的平分线，，则的长为______． 【巩固练习1】（2026·陕西西安·三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求； (2)若，为边上一点，平分，，求b． 【巩固练习2】（2026·新疆·三模）在中，角所对的边分别为，且． (1)求C； (2)若，的平分线交于点，，求的面积． 【巩固练习3】（2025·江西新余·一模）在中，已知角的对边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若边上的高为，求三角形ABC的周长. 【题型7】 解三角形的实际应用 核心知识 仰角俯角方位角坡度等概念 将实际场景抽象画出三角形模型 利用正弦定理余弦定理求解距离高度角度 方法技巧 1.审题画出示意图标注已知边长和角度 2.找出题目中隐藏的三角形内角 3.优先选择已知条件较多的三角形求解边长 4.多个三角形时采用逐个求解依次传递边长 【经典例题1】（2026·重庆·模拟预测）如图，某海滨城市附近海面上有一台风，在城市测得该台风中心位于南偏东，距离为的海面处，并以的速度沿北偏西的方向移动．如果台风侵袭的范围是半径为的圆形区域．则该城市开始受到台风侵袭的时间为（    ） A．5小时后 B．10小时后 C．15小时后 D．20小时后 【经典例题2】（2026·福建漳州·三模）为了测量某古塔的高度，设点为塔顶，点为在地平面上的投影，小张遥控无人机（将无人机视为质点）从地平面上的处竖直向上飞行6米后到达处，在处测得塔顶的仰角为，然后继续竖直向上飞行10米后到达处，在处测得塔顶的仰角为，则该古塔的高度为（    ） A．21米 B．米 C．米 D．米 【巩固练习1】（2026·广东东莞·二模）（多选）某数学建模活动小组为了测量山脚下两点间的距离，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中与水平面垂直.在已知山高的情况下，在山顶处测得下列四组角中的一组角的度数，其中能唯一确定两点间距离的是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2026·新疆乌鲁木齐·三模）为山脚两侧共线的三点，在山顶处测得三点的俯角分别为，计划沿直线开通穿山隧道，其中在山的同一侧，在山的另一侧，为求出隧道的长度，测量出，则隧道的长度为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（2026·湖北·一模）某湿地公园正在修建一个云星塔，其主体工程现已完成，由于还没有完全完工，周围由一圈铁皮围栏围着，塔与道路之间的距离无法直接测得，有同学选取了与塔底同一水平面内共线的三个点，，，且在点，，处测得塔顶端的仰角分别为，，，同时测得，（如下图），则塔的高度为________. 课后过关检测 一、单选题 1．（2026·广东广州·三模）在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（ ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，，点为边的中点，若，则（     ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2026·云南昭通·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为BC的中点，（为锐角），，则下列说法正确的是（    ） A．的面积为 B． C． D． 三、填空题 4．（2026·云南昆明·模拟预测）已知中，，，角A的平分线与交于点D，且，则__________． 5．（2026·湖北武汉·模拟预测）在中，，点为的中点，若，则_________. 6．（2026·山西忻州·模拟预测）在中，已知，的角平分线交于点，且，则________． 四、解答题 7．（2026·贵州遵义·模拟预测）记的内角，，的对边分别为 ，， ，已知 ． (1)求角 ； (2)若，，求的面积． 8．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，． (1)若，求的面积； (2)若，求和的值； 9．（2026·山东济南·模拟预测）记内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，的面积为，求的周长. 10．（2026·山东济南·模拟预测）在如图所示的平面图形中，，，，与交于点，为的中点，设． (1)求； (2)求的值． 11．（2026·北京大兴·三模）在中，. (1)证明：为等腰三角形； (2)若AC边上的高与BC边上的高之比为1:3，求. 12．（2026·陕西安康·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，满足，且． (1)求的面积； (2)若为的中线，且，判断的形状． 13．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）在中，角、、所对的边长分别为、、，. (1)若，求角； (2)在（1）的条件下，若，求的面积. 14．（2026·江苏苏州·三模）已知锐角中，内角，，所对的边分别为，，，. (1)求的值； (2)若，，求的周长. 15．（2026·河南驻马店·模拟预测）已知在中，，. (1)求证：； (2)若边上的中线的长为1，求的面积. 16．（2026·福建·三模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求角C的大小； (2)已知D为边上的一点，，且.记，的面积分别为，，若，求的面积. 17．（2026·山东淄博·三模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，． (1)求A，C； (2)若，求a，c． 18．（2026·北京·三模）在中，已知． (1)求角的大小． (2)已知边上的高为．在下列三个条件中选择一个条件，使得存在且唯一，并求线段的长度． 条件①：； 条件②：； 条件③：的周长为． 19．（2026·河北·三模）记中的内角所对的边分别为，且 (1)求; (2)设为边的中点，且，若边上的高为，求的面积. 20．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知 中，内角 的对边分别为 ，满足 . (1)求 ； (2)若 ； 是 边上一点，且 ，求 的值. 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第20讲 解三角形 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】 由正余弦定理求夹角 核心知识 正弦定理 为外接圆半径 余弦定理变形求角公式 三角形内角范围 方法技巧 1.已知三边或者两边及其夹角对边优先选用余弦定理求角避免多解 2.已知两角一边或者两边一对角选用正弦定理求出角的正弦值 3.求出三角函数值后结合大边对大角判断角是锐角还是钝角 4.最后检验三个内角之和等于 【经典例题1】（2026·山东潍坊·三模）设的内角所对的边分别为，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，， 由正弦定理可得：. 又，，，. 又，可得. 【经典例题2】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，，，，则角B的大小为（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】根据正弦定理求解，再结合三角形边角关系求解. 【详解】由正弦定理：，代入，，可得： ， 则或， 由，得， 故. 【巩固练习1】（2026·湖北武汉·三模）已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正弦定理边角互化，通过两角和差、三角形内角和关系及二倍角公式化简求值 【详解】由正弦定理得，， 代入，得，即， 所以，即， 因为，所以，所以， 所以，所以当，即时， 【巩固练习2】（2026·吉林延边·二模）在中，角、、的对边分别为、、，满足，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用正弦定理将边化为角，再结合三角函数两角和差公式化简等式，求出角与角的关系，最后结合二倍角公式，即可求解. 【详解】由题意，， 根据正弦定理，可得， 化简得， 即， 又，所以， 所以， 所以①，即，不符合题意， ②，即， 所以， 又，所以. 【巩固练习3】（2026·云南·模拟预测）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则______． 【答案】 【详解】由正弦定理得， 所以， 因为，所以，所以． 【题型2】 由正余弦定理求边长 核心知识 正弦定理 余弦定理 三角形内角和 方法技巧 1.已知两角一边先用内角和求出第三个角再用正弦定理求边长 2.已知两边夹角直接用余弦定理求第三边 3.已知两边及其中一边对角时警惕正弦定理带来的两解问题 4.求出边长后代回原式检验等式成立 【经典例题1】（2026·山东聊城·二模）在中，已知，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】设，由条件结合余弦定理列方程可求. 【详解】在中，设， 因为，所以， 根据余弦定理可得，，又， 所以，故， 求解可得， 所以. 【经典例题2】（2026·河北·模拟预测）内角，，的对边分别为，，，，且的面积，则（   ） A．2或 B．3或 C．4或 D．5或 【答案】A 【分析】先由三角形面积公式求出，再由同角三角函数关系得到，结合余弦定理构造关于的方程求解 【详解】由三角形面积公式，又，得，即，解得， 所以， 由余弦定理，又，整理得， 等式两边同除以得，设，则， 若，代入得，判别式，无实根，舍去； 若，代入得，即，解得或， 故或. 【巩固练习1】（2026·四川成都·模拟预测）在中，角所对的边分别为，是边上一点，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理，结合建立等量关系，联立方程求解即可. 【详解】如图，设，则， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 又，则，代入化简得①， 在中，由余弦定理可得， 化简整理得②，联立①②，解得. 【巩固练习2】（2026·江苏连云港·模拟预测）在中，，点在边上，，，． (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设、（），利用正弦定理结合互补角的正弦值相等求出； （2）通过余弦定理求得，再用勾股定理计算. 【详解】（1）设，，， 在中，，故， 因为 ，所以， 在中，由正弦定理得， 代入，得：，化简得 ，结合，解得； （2）在中，，，， 由余弦定理得：，故， 由，得，即， 在中，由勾股定理得：. 【巩固练习3】（2026·湖北武汉·模拟预测）已知中，角所对的边分别为，若，，，则（   ） A．3 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】根据，结合二倍角公式及正弦定理求出，再由余弦定理求出或，讨论舍去即可求出答案. 【详解】由，得， 所以. 由余弦定理，得， 解得或. 若，则，得，又由且，得， 所以，与矛盾； 若，由余弦定理得， 又，且， 所以，符合题意． 综上所述，. 【题型3】 正余弦定理边角互化的应用 核心知识 边角互化两条核心路径 边化角 角化边 三角形恒等变换公式 方法技巧 1.等式两边全部为齐次式时可以直接边角互换消去 2.式子含有优先边化角转化为三角恒等变换 3.式子含有边长平方优先角化边使用余弦定理 4.互化之后结合三角恒等公式化简 【经典例题1】（2026·海南三亚·一模）（多选）已知中，与均为锐角，的面积为，且，则（） A． B． C．周长为 D． 【答案】ACD 【分析】利用和角公式结合已知等式推出，再由面积、正弦定理求边长，通过平方变形计算，逐一判断选项正误. 【详解】由，可得. 因为， 所以， 则， 即. 因为与均为锐角，所以 当时，此时，. 当时，， 此时，，则， 且，，则， 此时与不能同时成立，同理，也不成立， 综上 ， 选项A正确. 因为，则，由可得成立， 又，则， 成立， 此时， 由正弦定理：，，即， 故. ，，即，所以，，选项B错误. ，选项D正确. 因为， 所以，所以周长选项C正确. 【经典例题2】（2026·四川成都·三模）（多选）的面积为1，角，，分别所对的边为，b，c．若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用三角形面积公式与已知计算可判断A；由正弦定理边化角，结合三角恒等变换计算可判断BCD. 【详解】由，得，由， 得，即，则A正确． 又由，得 ， 由正弦定理和式可得：， 可得 ， 化简可得，即 ， 可得，由， 则，代入上式可得， 即． 因为，所以，则 ， 所以或． 因为是三角形的内角，所以或， 当时，，即，不合题意． 当时，，即，所以，由，，则D正确； 时，在中，，代入得，则B正确； 由得，则C错误． 【巩固练习1】（2026·安徽合肥·模拟预测）记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且ab，则______. 【答案】1 【分析】利用余弦定理进行角化边，化简等式即可求得c. 【详解】根据余弦定理得：， 即，整理得， 即，因为，所以. 【巩固练习2】（2026·云南昭通·二模）记的面积为，的外接圆半径为，且，则___________． 【答案】4 【分析】根据正弦定理、余弦定理及三角形面积公式求解即可. 【详解】由正弦定理知，所以，，. 则， 由余弦定理知，则 又，所以. 又，，所以， 所以. 【巩固练习3】（2026·湖北十堰·一模）在中，内角，，的对边分别为，，.若，，，则（   ） A． B．20 C．16 D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理、余弦定理求解即可. 【详解】因为，，所以. 由正弦定理可知，，所以，， 又，所以，所以. 由余弦定理知，，所以，即. 又， 所以，所以. 故选：D. 【题型4】 由正余弦定理判断三角形的形状 核心知识 直角三角形 等腰三角形 钝角三角形 锐角三角形三个内角余弦值全部大于0 方法技巧 1.统一化成边的关系式因式分解得到边长关系 2.统一化成角的关系式求出内角大小或者角之间等量关系 3.两边约分时注意边长或三角函数值不等于零不要漏解 4.最终结论写明等腰直角等腰直角锐角或钝角三角形 【经典例题1】（2026·湖南株洲·模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则一定是（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【答案】B 【分析】利用余弦定理将角的余弦转化为边的表达式，化简后得到两边相等即可判断三角形形状. 【详解】由余弦定理得，由题意得， 即，因为，整理得， 即，即，故一定是等腰三角形. 【经典例题2】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知中，内角，，的对边分别为，，，且满足，． (1)若，求的值； (2)求角的最大值，并判断此时的形状． 【答案】(1) (2)，等腰直角三角形 【分析】（1）由正弦定理可得，从而求得； （2）根据余弦定理及基本不等式分析可得，从而求得角的最大值，并判断的形状． 【详解】（1）中，由正弦定理得， ，． （2）中，由余弦定理得， 当且仅当时，等号成立， 的最大值为，此时上式等号成立， 即，所以为等腰直角三角形． 【巩固练习1】（2026·山西晋城·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，的面积为． (1)求角； (2)若外接圆的半径为2，判断的形状． 【答案】(1) (2)是等边三角形 【分析】（1）利用已知的余弦定理形式 和面积公式，通过两式相除消去 ，直接求出 ，进而确定 . （2）利用外接圆半径和正弦定理将边长用角度的正弦表示，代入已知的面积和边的关系式，得到关于 和 的方程组，解出 ，从而判断三角形为等边三角形. 【详解】（1）由余弦定理，得①， 由三角形的面积公式，得②． ②÷①，得，即． 由，得． （2）由题意，得外接圆的直径为4，则由正弦定理，得， 所以． 因为的面积为， 所以，化简得．③ 因为，所以， 化简得．④ 因为，所以由③④，得， 所以．⑤ 由③⑤解得，又， 所以，故必有， 所以，所以是等边三角形. 【巩固练习2】（25-26高一下·山东济南·期中）在中，已知，则的形状为________． 【答案】直角三角形或等腰三角形 【分析】利用余弦定理、正弦定理角化边化简给定等式即可. 【详解】在中，， 由正弦定理和余弦定理得 ， 整理得，则或， 所以是直角三角形或等腰三角形. 【巩固练习3】（25-26高一下·重庆万州·阶段检测）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． (1)求； (2)若，证明：是直角三角形． 【答案】(1) (2) 由题设，则， 所以，即， 所以，可得， 所以，则， 所以，可得， 所以，故（负值舍）， 由，则，即为直角，故是直角三角形，得证. 【分析】（1）应用正弦边角关系及三角形内角性质、三角恒等变换化简得，进而求得，再求其正弦值； （2）由正弦边角关系得，利用三角形内角和及和角正弦公式得，进而求得，结合前提即可证. 【详解】（1）由题设及正弦边角关系有，而， 所以，即， 所以，而，则， 由，可得. 【题型5】 由正余弦定理求三角形周长面积 核心知识 周长公式 面积基础公式 海伦公式 方法技巧 1.求周长范围问题通常结合余弦定理+基本不等式 2.面积计算优先找已知两边以及两边夹角 3.周长或面积最值问题可借助正弦定理换元转化三角函数求值域 4.计算时注意角必须是两条边的夹角 【经典例题1】（2026·广东阳江·二模）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理，两角和的正弦公式及三角形面积公式即可求解． 【详解】由正弦定理得，， 因为，所以，则，， 的面积为． 【经典例题2】（2026·山东聊城·一模）记的内角的对边分别为，已知，的面积为，． (1)求； (2)求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理对边化角，即可求解； （2）由三角形面积公式先求得，再结合余弦定理得到，即可求解. 【详解】（1），由正弦定理知， 因为，， 所以，即． 又因为，所以． （2）因为的面积为，所以． 由（1）知，所以，所以． 由余弦定理知，， 所以， 所以，所以， 所以的周长为． 【巩固练习1】（2026·广东深圳·模拟预测）在中，，，，则的面积为________． 【答案】 【分析】先由和求出，再结合正弦定理求出，由求解. 【详解】中，且 （1），（2）， （2）-（1）得，． 由正弦定理， ． . 【巩固练习2】（2026·重庆·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，其中，，且. (1)求角； (2)若，的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示及余弦定理求解. （2）由（1）的信息，利用三角形面积公式求解. 【详解】（1）由，，得， 在中，由余弦定理得，整理得， 因此，而，所以. （2）由（1）知，由的面积为，得，则， 得到，由（1）得，解得， 所以的周长为. 【巩固练习3】（2026·山东青岛·三模）记内角、、的对边分别为、、，． (1)求； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，再结合角的取值范围可得出角的值； （2）由三角恒等变换化简得出，结合角的取值范围可得出角的值，进而可得出的值，再利用正弦定理求出、的值，结合三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）由及正弦定理知 故，即， 即， 又因为，则，所以， 又因为，所以. （2）由题知 ， 因为，所以，则，故，， 由正弦定理知：，即，得， 所以. 【题型6】 三角形中角平分线中线高线的计算 核心知识 中线长公式（阿波罗尼斯定理） 角平分线长公式 高线长公式 角平分线定理 方法技巧 1.中线问题常用延长中线一倍构造平行四边形 2.角平分线优先使用角平分线定理拆分底边 3.在被分割开的两个小三角形内分别使用余弦定理建立方程 4.高线计算可以先求出三角形面积再反推高 【经典例题1】（2026·河北秦皇岛·二模）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求; (2)若，，为的中点，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用正弦定理边化角，经过三角恒等变换得到，再利用三角形中角的范围得到的值. (2)根据余弦定理得到的值，然后利用爪形定理得到三角形边长与中线的关系即可求解. 【详解】（1）由正弦定理得 由，得. 因为，所以 ，故. 即.又因为 ，所以， 所以，故. （2）在中，由余弦定理得， 所以 ，又，所以. 因为为的中点，， 则，所以. 【经典例题2】（2026·北京·三模）在中，若，是的平分线，，则的长为______． 【答案】 【分析】根据正弦定理及余弦定理得到，结合同角的三角函数关系及二倍角公式求出及，结合三角形面积公式求解即可. 【详解】由正弦定理得，. 设 ，则，，解得，，. 由余弦定理得， 又，则.    所以，解得. 因为是的平分线，所以，， 所以， 又，所以. 又， 所以，即， 解得. 【巩固练习1】（2026·陕西西安·三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求； (2)若，为边上一点，平分，，求b． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角，结合两角和的正弦公式、三角形内角和定理化简等式，再通过辅助角公式求解角. （2）利用角平分线的性质，通过三角形面积和建立方程求出边长，再用余弦定理计算边. 【详解】（1）由及正弦定理得， 所以． 因为，，所以1， 即， 又因为，， 所以，所以． （2）由题可知，又， 所以， 所以， 又因为，所以， 所以， 所以． 【巩固练习2】（2026·新疆·三模）在中，角所对的边分别为，且． (1)求C； (2)若，的平分线交于点，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量数量积与三角形射影定理化简向量式，进而求出，结合三角形内角的性质求； （2）利用角平分线的性质，结合余弦定理和三角形面积公式求解． 【详解】（1） ， ，， 由三角形的射影定理得：， ，故，解得， ，． （2）是的平分线， ， ， ， ，则， ，即， 由余弦定理，代入得， 已知，， ，，，， ． 【巩固练习3】（2025·江西新余·一模）在中，已知角的对边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若边上的高为，求三角形ABC的周长. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由余弦边角关系及已知可得，再应用余弦定理即可求角的大小； （2）由三角形面积公式，应用等面积法列方程得，结合（1）的结论，并应用余弦定理求边长，进而确定三角形的周长. 【详解】（1）由题设及余弦定理知，整理得， 所以，又，所以； （2）由题意及（1）知：，则， 由，即， 所以（负值舍），故，而， 所以三角形ABC的周长为. 【题型7】 解三角形的实际应用 核心知识 仰角俯角方位角坡度等概念 将实际场景抽象画出三角形模型 利用正弦定理余弦定理求解距离高度角度 方法技巧 1.审题画出示意图标注已知边长和角度 2.找出题目中隐藏的三角形内角 3.优先选择已知条件较多的三角形求解边长 4.多个三角形时采用逐个求解依次传递边长 【经典例题1】（2026·重庆·模拟预测）如图，某海滨城市附近海面上有一台风，在城市测得该台风中心位于南偏东，距离为的海面处，并以的速度沿北偏西的方向移动．如果台风侵袭的范围是半径为的圆形区域．则该城市开始受到台风侵袭的时间为（    ） A．5小时后 B．10小时后 C．15小时后 D．20小时后 【答案】B 【分析】由题意km，根据方位角关系可得，利用余弦定理建立关于的方程求解即可. 【详解】设小时后台风中心移动到点，此时城市开始受到台风侵袭，即km， 已知，台风速度为，因此， 根据方位角关系可得， 在中，由余弦定理：， 代入数值， ， 化简得：，解得或， 依题意开始受到侵袭的时间，取较小值. 【经典例题2】（2026·福建漳州·三模）为了测量某古塔的高度，设点为塔顶，点为在地平面上的投影，小张遥控无人机（将无人机视为质点）从地平面上的处竖直向上飞行6米后到达处，在处测得塔顶的仰角为，然后继续竖直向上飞行10米后到达处，在处测得塔顶的仰角为，则该古塔的高度为（    ） A．21米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】作出平面图，作于于，由题意可得，，由求解即可. 【详解】如图，作于于， 则为矩形，， 则， 所以， 所以，， 所以（米）. 【巩固练习1】（2026·广东东莞·二模）（多选）某数学建模活动小组为了测量山脚下两点间的距离，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中与水平面垂直.在已知山高的情况下，在山顶处测得下列四组角中的一组角的度数，其中能唯一确定两点间距离的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】四个选项可分两大类AD与BC，对A先解两个直角三角形、得，进而在中用余弦定理可得；对B选项，通过举反例判断可得， C选项与B同理判断可得，D选项与A选判断项相同. 【详解】因为（山高已知），平面，平面， 因此，所以、均为直角三角形，下面逐个分析选项： 选项A ：若测得，在直角三角形中可得： ，； 同理，，在中，长度已计算得到，夹角已测量， 由余弦定理可唯一计算出，因此A符合要求. 选项B： 举反例，若假设已测量， 所以直角三角形中有：， 设，则在直角三角形中，. 在中： ①； 在中： ②. 联立①②消去后，得,, 得，解得或. 当时，代入①得； 当时，代入①得，即. 因此测得，不能确定有唯一的长度，故B错误. 选项C： 与选项B同理：只需把角换成，所以不能确定有唯一的长度，故C错误； 选项D ：若已测量，可直接算出，，长度都确定， 又已测得夹角，在中由余弦定理可唯一计算出，因此D符合要求. 【巩固练习2】（2026·新疆乌鲁木齐·三模）为山脚两侧共线的三点，在山顶处测得三点的俯角分别为，计划沿直线开通穿山隧道，其中在山的同一侧，在山的另一侧，为求出隧道的长度，测量出，则隧道的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在中，利用正弦定理可得，在中，利用正弦定理可得，从而结合已知的数据可求得隧道的长度. 【详解】设，，，，，. 在中，，，. 由正弦定理， 即，所以. 在中，因为，， 所以. 由正弦定理， 所以，又因为， 所以， 所以 ， 所以隧道的长度为. 【巩固练习3】（2026·湖北·一模）某湿地公园正在修建一个云星塔，其主体工程现已完成，由于还没有完全完工，周围由一圈铁皮围栏围着，塔与道路之间的距离无法直接测得，有同学选取了与塔底同一水平面内共线的三个点，，，且在点，，处测得塔顶端的仰角分别为，，，同时测得，（如下图），则塔的高度为________. 【答案】60 【分析】设，则可由余弦定理构建关于的方程，求出其解即可. 【详解】由题设， 设，则， 在中，由余弦定理有， 故，同理， 而，故， 所以， 故. 课后过关检测 一、单选题 1．（2026·广东广州·三模）在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据三角形面积建立等量关系，可得，再根据正弦定理，化简求值即可. 【详解】在中，由及的面积为，得， 即，解得， 由正弦定理，得， 因此，所以. 2．（2026·陕西·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，，点为边的中点，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别在及中由余弦定理并结合条件，可得，进而可得，最后在中用正弦定理可得. 【详解】设，则，由题意. 在中，​， 由余弦定理， ，即. 同理在中，由余弦定理， 即. 已知，即， ， 化简得，因为，解得. 所以 ，即. 在中，，，，由正弦定理， 得 ， 因此 . 二、多选题 3．（2026·云南昭通·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为BC的中点，（为锐角），，则下列说法正确的是（    ） A．的面积为 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】A.由面积公式求解；B.由余弦定理求解；C.根据三角函数三者关系求解；D.根据中线公式求解. 【详解】由 为锐角，所以，A错误； 由，为锐角，得，由余弦定理得 ，则，B正确； 由题意，可得，则， ，所以C正确； 由，得，则，D正确． 三、填空题 4．（2026·云南昆明·模拟预测）已知中，，，角A的平分线与交于点D，且，则__________． 【答案】 【分析】在△中利用正弦定理求解出，再在△中利用正弦定理求解出. 【详解】△中，由正弦定理得：， 因为为锐角，所以，从而，所以， 从而，△中，由正弦定理，所以. 5．（2026·湖北武汉·模拟预测）在中，，点为的中点，若，则_________. 【答案】/ 【分析】先利用二倍角公式与正弦定理化简已知等式，结合余弦定理求得；再利用中线向量公式及的条件建立边的方程，最后由正弦定理将转化为，解方程得结果． 【详解】 设，，， 由， 得， 化简得， 所以， 所以， 由点为的中点，得， 所以， 即，整理得， 所以，（舍去）， 所以． 6．（2026·山西忻州·模拟预测）在中，已知，的角平分线交于点，且，则________． 【答案】/ 【分析】利用正弦定理，结合两角和差的正弦公式、同角的三角函数关系式进行求解即可. 【详解】设， ， 因为，的角平分线交于点， 所以， 由正弦定理，得， 所以可得， 则由， 由正弦定理，得 ，或， 当时，因为，且， 所以解得，，负值舍去， 当时，，因为， 所以方程没有实数解， 综上所述：. 四、解答题 7．（2026·贵州遵义·模拟预测）记的内角，，的对边分别为 ，， ，已知 ． (1)求角 ； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理与正弦定理，将边的关系转化为角的关系，结合三角形内角和化简求解； （2）利用余弦定理与面积公式，通过“和平方”将转化为，即可计算面积. 【详解】（1）已知， 由余弦定理，则， 代入可得：. 由正弦定理（为外接圆半径）， 可得，，， 代入上式得：， 整理得：， 根据两角和的正弦公式，即， 因为，所以得，解得， 又因为，所以. （2）已知，，， 由余弦定理，代入得， 所以， 则面积为：. 8．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，． (1)若，求的面积； (2)若，求和的值； 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）由余弦定理可得，再利用平方关系得，结合三角形面积公式求解. （2）结合正弦定理和，可得，从而求得的值.利用余弦定理，可得的值，最后检验是否符合题意. 【详解】（1）已知，，，由余弦定理得： 因为所以由同角三角函数关系得： 的面积 （2）由正弦定理，且，， 代入得，约去（），解得． 则． 由余弦定理，代入，， 得：， 整理得，解得或． 当时，，则，，即， 此时，矛盾，舍去； 当时，，符合题意； 故． 9．（2026·山东济南·模拟预测）记内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用和差角正弦公式、三角形内角和性质化简已知条件为，即可求； （2）由题设及（1）的结论得、，再应用三角形面积公式、余弦定理求边长，即可得. 【详解】（1）由题意得， 所以， 即， 即，又， 所以，又，所以. （2）因为，且，所以， 因为，所以， ，解得，所以， 由余弦定理得，， 所以的周长为. 10．（2026·山东济南·模拟预测）在如图所示的平面图形中，，，，与交于点，为的中点，设． (1)求； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理求出，再由正弦定理求即可； （2）根据正弦定理结合正弦和差公式求边长即可． 【详解】（1）解：在中，由余弦定理知， 所以， 在中，由正弦定理知， 所以； （2）因为，所以， 在中，，， 由正弦定理知， 所以． 11．（2026·北京大兴·三模）在中，. (1)证明：为等腰三角形； (2)若AC边上的高与BC边上的高之比为1:3，求. 【答案】(1)因为，所以， 所以， 所以，即， 又因为，所以， 所以，即， 所以为等腰三角形. (2) 【分析】（1）将写成并展开，与已知等式相减得，推出； （2）由面积公式得高之比等于对应底边之比的倒数，从而得到边长关系，再利用余弦定理求 . 【详解】（1）略； （2）设AC边上的高为边上的高为，则， 因为，所以， 所以， 由余弦定理可知. 12．（2026·陕西安康·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，满足，且． (1)求的面积； (2)若为的中线，且，判断的形状． 【答案】(1)1 (2)为等腰直角三角形， 【分析】（1）由余弦定理和正弦定理得，，由三角形面积公式可得答案； （2）由（1）和面积公式得，由余弦定理得，从而求出，得到的形状. 【详解】（1）， 其中，所以，， 解得， ，由正弦定理得， 又，所以， 所以； （2）为的中线，，故， ，故， ，故，所以， 在中，由余弦定理得， 即，化简得， 联立与得或， 若，此时， 为等腰直角三角形； 若，此时， 为等腰直角三角形； 综上，为等腰直角三角形 13．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）在中，角、、所对的边长分别为、、，. (1)若，求角； (2)在（1）的条件下，若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理、二倍角的正弦公式化简得出的值，结合可求得角的值； （2）由（1）可知，利用三角恒等变换化简得出，利用同角三角函数的基本关系可得出的值，再利用两角和的正弦公式可得出的值，即可得出，利用正弦定理结合已知条件可得出、的值，再利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）在中，， 由结合正弦定理可得， 又因为、，则，所以，即， 因为，则，所以，可得，所以，故. （2）由（1）可知， 故 ，即， 因为，故，所以， 故 ， 所以， 由正弦定理可得，即，整理可得， 解得，故， 因此. 14．（2026·江苏苏州·三模）已知锐角中，内角，，所对的边分别为，，，. (1)求的值； (2)若，，求的周长. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）由已知条件及正弦边角关系，结合三角形内角和性质、和角正弦公式化简得，即可得； （2）根据已知得，结合、求得、，进而求出对应正弦值，应用正弦定理求边长，即可得. 【详解】（1）由正弦定理得， 又因为， 所以， 所以. 因为在锐角中，所以. （2）因为，， 所以， 因为， 所以，所以，所以，， 由正弦定理，得，， 所以的周长为. 15．（2026·河南驻马店·模拟预测）已知在中，，. (1)求证：； (2)若边上的中线的长为1，求的面积. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）由题意知，再结合题意得，整理得，即，再根据内角和定理即可证明结论； （2）结合（1）得，再结合二倍角公式得，进而得，，根据余弦定理，结合得，再根据正弦定理求得外接圆半径，最后计算面积即可. 【详解】（1）解：因为，， 所以，即， 所以， 因为，即 因为，中至少有一个为锐角， 所以， 所以， 即 所以， 所以，即， 因为， 所以，即. （2）解：由（1）知，即， 所以， 因为， 所以， 因为，所以， 所以， 因为，， 所以，， 因为，所以， 所以，由余弦定理得，即， 所以 设为外接圆半径， 所以， 所以，解得，即， 所以， 所以 16．（2026·福建·三模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求角C的大小； (2)已知D为边上的一点，，且.记，的面积分别为，，若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意利用正弦定理化角为边，然后由余弦定理求解； （2）根据题意由角平分线定理得，结合三角形面积之间的关系分析求得，再由面积公式计算. 【详解】（1）因为，所以由正弦定理得， 即， 所以，又，所以； （2）因为，所以为角的平分线，由（1）知， 所以， 所以， ， 因为，所以，所以， 在和中，由余弦定理得： ， ， 由角平分线定理得， 所以，即， 将代入得，解得，则， 所以. 17．（2026·山东淄博·三模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，． (1)求A，C； (2)若，求a，c． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件，由余弦定理结合三角形面积公式求出，结合三角形内角求出，利用得出关系，分类讨论求出； （2）利用正弦定理和三角形面积公式计算求解． 【详解】（1），， 又 ，， ， ,所以, （舍）或， 当时，， ，， 综上，． （2）由（1）知，， 由正弦定理，， ， ． 18．（2026·北京·三模）在中，已知． (1)求角的大小． (2)已知边上的高为．在下列三个条件中选择一个条件，使得存在且唯一，并求线段的长度． 条件①：； 条件②：； 条件③：的周长为． 【答案】(1) (2)选②或③， 【分析】（1）法一：根据余弦定理边角互化求解；法二：利用正弦定理和三角恒等变换求解； （2）条件①，根据三角形面积公式和勾股定理判断不唯一； 条件②：根据余弦定理和三角形面积公式求解； 条件③：根据余弦定理和三角形周长求解. 【详解】（1）法一：， ．． ． 又． 法二：，． 由正弦定理，． 又， ． ． ． 又，．． 又． （2）选择① ，又， 解得或，不唯一，不能选①； 选择② 由余弦定理得：， ． ， ． 又，． ． 选择③：由余弦定理得：， ．， 又，． ． ． 19．（2026·河北·三模）记中的内角所对的边分别为，且 (1)求; (2)设为边的中点，且，若边上的高为，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两角差公式和三角形内角和，将等式左边进行化简，再利用正弦定理，即可得角； （2）利用中线向量公式表示，两边平方进行化简，再结合面积公式和余弦定理，即可求得，从而计算面积. 【详解】（1）依题意，， 所以， 又因为， 由正弦定理可得，所以， 因为，，所以， 又因为，所以． （2）依题意，，所以， 又由的面积，依题意，，所以， 由余弦定理可得，，所以， 所以，即，所以， 解得或（舍）． 所以的面积． 20．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知 中，内角 的对边分别为 ，满足 . (1)求 ； (2)若 ； 是 边上一点，且 ，求 的值. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用余弦定理求出的余弦值，从而得到角的大小； (2) 利用正弦定理把边化为角求解. 【详解】（1）因为 ，即 ， 由余弦定理得， 因为，所以； （2）因为， 由正弦定理 ，得， 即，所以 所以，又 ，得，所以，所以， 因为，所以，， 在 中，， 则 ， 在 中，， ，所以， 所以， 所以， 所以.    2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $