甘肃省张掖中学2026-2027学年高三上学期数学开学模拟考试试卷

**基本信息** 2026高三开学模拟卷聚焦函数、几何、概率核心知识，通过悬链线文化情境、导数应用等创新设计，分层考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养，适配开学学情诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|函数性质、导数几何意义、立体几何|第6题结合达·芬奇悬链线问题，渗透数学文化| |多选题|3/18|三角函数奇偶性、不等式应用|第11题函数极值与切线综合，考查批判性思维| |填空题|3/15|扇形面积、恒成立问题、三角函数零点|第14题三角函数图像性质，强调数形结合| |解答题|5/77|三角函数图像变换、立体几何线面角、概率分布、函数证明|19题证明函数中心对称，突出逻辑推理；18题投篮游戏概率，体现数据分析|

· 2026高三开学模拟考试 · 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ · 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）已知，，，则（     ） A． B． C． D． 2．（本题5分）已知，，则（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 4．（本题5分）若直线是曲线与曲线的公切线，则（   ） A．0 B．1 C． D． 5．（本题5分）正方体的棱长为3，平面内一动点满足，当三棱锥的体积取最大值时，该三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为．设函数，若实数a满足不等式，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）若直线是曲线的一条切线，则（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知函数，若存在实数，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）已知函数，则（    ） A．函数为偶函数 B．曲线的对称轴为 C．在区间单调递增 D．的最小值为 10．（本题6分）已知，满足，且，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．的最大值为2 D．的最小值为 11．（本题6分）已知函数，则（   ） A．是函数的极小值点 B．对，方程恒有两个不同的实数解 C． D．存在，使得直线与曲线相切 三、填空题（共15分） 12．周长为20的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是 ． 13．（本题5分）若恒成立，则实数a的取值范围为________. 14．（本题5分）已知函数在区间上只有一个零点和两个最大值点，则的取值范围是______． 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）函数（，）的部分图象如图所示， (1)求函数的解析式; (2)将该函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍，得到函数的图象， （i）求函数在区间的值域； （ii）求满足不等式的解集. 16．（本题15分）已知，为正实数，且， (1)求的最大值. (2)求的最小值； (3)求的最小值. 17．（本题15分）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点． (1)若分别为的中点，求证：平面PAB； (2)若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 18．（本题17分）甲、乙两人投篮命中的概率分别为与，各自相互独立.现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球. （1）求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1的概率； （2）设表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值，求的概率分布和数学期望. 19．（本题17分）已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 试卷第2页（共4页） 试卷第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【详解】设函数，定义域为， 对求导得： ， 令，解得， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减.故在处取得最大值， 则，，故，； 又因 ，， 因为函数在上单调递增，则，故，即. 综上可得. 2．D 【详解】， 因为，则，则， 则. 故选：D. 3．B 【详解】对于A，可以取，，，此时，所以A错误. 对于B：∵，∴，因为，所以，故B正确； 对于C：取，时，则，，，则，故C错误； 对于D：当，时，，，则，故D错误； 故选：B. 4．A 【详解】设，，设切点为，则切线斜率为， 则切线方程为，即， 由题意得，即，解得， 即与的公切线为， ，，设切点为，则切线斜率为， 则切线方程为，即， 由题意得，即，解得， 故选：A. 5．C 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， ，，，由可知， ， 整理为， 所以点的轨迹是平面内，以为圆心，2为半径的圆， 如下图，点到平面的最大值为6，此时点在的延长线上，且， 所以平面，， 等腰直角三角形的外接圆的半径为， 所以三棱锥的外接球的半径， 所以三棱锥外接球的表面积 故选：C 6.D 7．C 【详解】设直线与曲线相切于点， 因为，所以，解得. 8．D 【详解】当时，，合题意. 当时，即 ， 为的增函数，，即， 由题意，只需, 记， 当在单调递减，在单调递增， 故，所以， 综上，的取值范围为， 故选：D 9．AC 【分析】利用辅助角公式化简，再根据三角函数的性质逐项判断即可. 【详解】 ， 即， 对于A，，易知为偶函数，所以A正确； 对于B，对称轴为，故B错误； 对于C，，单调递减，则 单调递增，故C正确； 对于D，，则，所以，故D错误； 故选：AC 10．ACD 【详解】， 所以， 解得，故A正确； 所以，即，故B错误； 由得，， ， 构造以为两根的一元二次方程， 则，故CD正确； 故选：ACD． 11．AB 【详解】函数​的定义域为，且， 令，解得 当时，，所以，单调递减； 当时，，所以，单调递增； 则是函数的极小值点，故A 正确； 对于B，的极小值为， 当时，，，当时，， 结合图像可知对，方程恒有两个不同解成立，故B正确； 对于C，由于当时，单调递增，所以，则， 即,所以，故C不正确； 对于D，设切点为，切线斜率为， 切线方程为：， 因为切线过，代入得： 化简得：， 整理得：，即， 令，， 则，所以在和上单调递增， 所以当时，，当时，， 则当时，无解， 即不存在，使得直线与曲线相切，故D不正确； 12.2 13． 【详解】由，原不等式等价于 令 所以 设， 当单调递增；当单调递减； 且所以，所以， 所以当单调递增；当单调递减； 所以，所以. 故答案为：. 14．【详解】 ， 由，，得， 时，，最大时，也最大， 若在区间上只有一个零点和两个最大值点， 则只需，解得． 故答案为：. 15．(1)(2)（i）；（ii）， 【详解】（1）由题意：， ，所以. 由. 由，且，得. 所以. （2）（i）将函数的图象向左平移个单位长度，可得， 再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍，可得. 当时，，所以. 所以函数在区间的值域为. （ii）由，所以，. 所以不等式的解集为：， 16．(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，为正实数， 所以由，当且仅当时取等号， 因为，为正实数， 所以由 因此当时，有最大值； （2）， 因为，为正实数， 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以当时，有最小值； （3）设，即， 所以， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以当时，有最小值. 17．(1) 取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN， 与为等腰直角三角形且， 不妨设，.. E、F分别为BC、PD的中点， ，且. ，， ，∴四边形FGMN为平行四边形， ， 平面PAB，平面PAB，平面PAB； (2)【详解】（1）略 （2）平面ABCD，以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， ， 设平面PCD的一个法向量为， ，， 取，，. 设AB与平面PCD所成角为， 则， 即AB与平面PCD所成角的正弦值为. 18．(1)；(2)答案见解析. 【详解】（1）比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个有以下几种情况：甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球. 所以比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个概率 . （2）的取值为0，1，2，3， 且. 同理可求得：，， 所以的概率分布列为: 0 1 2 3 所以数学期望. 【点睛】本题主要考查古典概型概率计算，离散型随机变量的分布列的数学期望的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 19．(1) (2)的定义域为， 设为图象上任意一点， 关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而， ， 所以也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. (3) 【详解】（1）时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故即， 所以的最小值为.， （2）略 （3）因为当且仅当，故为的一个解， 所以即， 先考虑时，恒成立. 此时即为在上恒成立， 设，则在上恒成立， 设， 则， 当，， 故恒成立，故在上单调递增， 故即在上恒成立. 当时，， 故恒成立，故在上单调递增， 故即在上恒成立. 当，则当时， 故在上单调递减，故，不合题意，舍； 综上，在上恒成立时. 而当时， 而时，由上述过程可得在递增，故的解为， 即的解为. 综上，. 答案第2页（共10页） 答案第1页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 $