精品解析：甘肃省市县重点高中教研协作联盟2026-2027学年高三起点摸底考试数学试卷

甘肃省市县重点高中教研协作联盟2026～2027学年高三起点 摸底考试数学试卷 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的定义求解即得. 【详解】根据题意可得，. 故选：D. 2. 若是，的等差中项，是，的等比中项，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差中项和等比中项可求答案. 【详解】因为是，的等差中项，所以，即； 因为是，的等比中项，所以，即，所以. 3. 若，则z的虚部是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的四则运算法则结合复数的模即可求解. 【详解】由题意得， 则，所以z的虚部是. 4. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线交的左支于，两点，且，则的周长为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】先把双曲线方程化为标准形式，再利用双曲线的定义求解. 【详解】把双曲线方程化为标准形式 ， 设双曲线实半轴长为，那么， 根据双曲线的定义可知，，, 又, 所以的周长为. 5. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 5 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先根据向量垂直和向量数量积的坐标表示求出，进而根据向量的模的公式求出结果. 【详解】因为向量，，所以. 由于，所以， 所以，解得. 所以，所以. 故选：C. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对数的性质可知，由三角函数的性质可知，由指数的运算可知，即可得答案. 【详解】因为，且 ， ， 综上，. 7. 已知等差数列的前项和为且则的最大值为（ ） A. B. 92 C. 91 D. 90 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列基本量的运算，得到，进而求，结合函数性质求最值即可． 【详解】设等差数列的公差为， 由， 得， 解得， 所以， 因为，所以当时，最大，且最大值为． 故选：B． 8. 已知点为圆上任意一点，过点分别向直线和作垂线，垂足分别为，．则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知互相垂直且均经过定点，进而可得，再由基本不等式计算即可求解. 【详解】 已知圆，化为标准方程为，因此圆的圆心，半径， 由直线和，可知互相垂直且均经过定点， 又因为，，所以四边形是一个矩形，且， 因此，当且仅当三点共线且在线段之间时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 检验：当三点共线时，， 直线的方程为，即， 直线与圆联立方程组得，解得两个交点分别为 和 ， 结合题意可知应在离较远的一侧，取， 此时，，所以， 经检验，当时，有最大值为，故A正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 将的图象向右平移个单位可得到函数的图象 C. 在区间上单调递增 D. 直线是曲线的一条对称轴 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出函数的周期判断A；求出平移后的函数解析式判断B；整体代入法判断C，D. 【详解】对于A，由题意可得函数的最小正周期为,故A正确； 对于B，将的图象向右平移个单位， 得，故B正确； 对于C，当时，， 因为在上单调递增，所以在上单调递减， 所以在区间上单调递减，故C错误； 对于D，因为， 当时，，函数取最值， 所以直线是曲线的一条对称轴，故D正确. 10. 已知抛物线与直线交于，两点，焦点为，若，则（ ） A. B. 直线与相切 C. 的准线方程为 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用弦长公式求出，再逐项判断即可. 【详解】设，由得， ，，， 由，得或（舍去）， A正确； 由得，方程无实根，则直线与无公共点， 即直线与不相切，B错误； 抛物线的准线方程为，C错误； ，D正确. 11. 设函数，则（ ） A. 当时，没有零点 B. 当时，在区间上不存在极值 C. 存在实数，使得曲线为轴对称图形 D. 存在实数，使得曲线为中心对称图形 【答案】ABC 【解析】 【分析】对选项逐一判断，分别利用图象研究零点，用导数研究极值，用对称性的定义研究对称性即可. 【详解】解法一：对A，函数的定义域为且，由得且. 作出与的图像，二者有唯一交点，不合题意，故没有零点，故A正确. 对B，由题， 令，， 因为，所以， 又，所以，所以， 则在上无极值，故B正确. 对CD，令， 因为，所以或，由对称性可知，故若存在对称轴或对称中心，必在直线上. 考虑 ， 当时，，所以关于对称，故C正确. 考虑， 所以不存在符合题意的常数，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，的系数是______ 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开通项公式求解即可. 【详解】展开式的通项公式为 令，解得， 所以的系数为． 13. 已知，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意求出，代入即可求解. 【详解】已知，解得， 因此. 14. 市第二中学开展劳动实践活动，学生对圆台体木块进行平面切割，已知圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，要求切割面经过圆台的两条母线．若切割面经过圆台的上下底面圆心，且面积为，则圆台外接球的表面积为___________；若切割面的面积取最大值时不经过上下底面圆心，则圆台的高的取值范围为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用轴截面是等腰梯形，可求出圆台的高，再由外接球球心在轴线上，利用勾股定理可求外接球半径，从而可求得球的表面积；利用圆台斜截面面积的计算转化圆锥斜截面计算，这样就可利用等腰截面的顶角为变量来表示面积，并可判断最大值情形，由此可得轴截面的顶角一定是钝角，再去利用顶角去表示高，从而可求高的取值范围. 【详解】 当切割面经过圆台上下底面圆心时，切割面为等腰梯形， 由面积公式可得：，得高， 若圆台外接球球心在高的线段上，设圆台的外接球半径， 则，解得； 若圆台外接球球心在高的线段延长线上，设圆台的外接球半径， 则，解得； 综上可得球心就是，即外接球的表面积为； 如图，将圆台补成圆锥，设圆台的母线长， 根据三角形的中位线定理，可得则圆锥母线长为． 再任意作截面，设，则圆台的切割面为等腰梯形， 且面积． 当切割面的面积取最大值时且不经过上下底面圆心时，可知的最大角为钝角． 且面积，此时有， 设圆台的高为，根据等腰梯形，可知， 因为，所以，故． 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为， （1）求角A的大小； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理，结合三角和差公式化简得，进而得到即可； （2）由余弦定理得，即，结合，得到，再根据即可求解． 【小问1详解】 由及正弦定理， 得， 即， 又，，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 由余弦定理，得， 所以， 又，所以，解得， 所以． 16. 有30名同种疾病患者随机分成三组，每组各10名，分别服用三类药物.服药一段时间后，记录了三组患者的生理指标数据，如下表： A 5.2 5.5 6.2 6.5 6.3 5.8 5.4 6.0 5.3 5.8 B 5.5 6.0 5.6 5.0 5.7 6.2 6.4 5.9 5.7 5.1 C 5.1 4.9 5.3 5.2 5.5 6.2 5.7 5.5 5.8 5.6 已知该生理指标正常范围是. （1）从服用类药物的患者中各随机选出1人，分别求选出的1人指标在正常范围内的概率； （2）30名患者中有5名患者服药一段时间后，生理指标分别为5.5，6.3，6.4，5.6，5.2，现从这5名患者中随机选出2人，记X为选出的2人中指标不在正常范围的人数，求X的分布列和数学期望. 【答案】（1）；； （2）所以变量的分布列为 0 1 2 期望为【解析】 【分析】（1）根据统计表格中的数据，结合古典概型的概率计算公式，即可求解； （2）根据题意，得到5人中3人指标正常，2人指标不正常，且变量的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解. 【小问1详解】 解：设从三组选出1人指标正常分别为事件 从组的10个数据为5.2 5.5 6.2 6.5 6.3 5.8 5.4 6.0 5.3 5.8， 其中指标正常的有：5.2 5.5 5.8 5.4 6.0 5.3 5.8，共有7个， 所以概率为； 从组的10个数据为5.5 6.0 5.6 5.0 5.7 6.2 6.4 5.9 5.7 5.1， 其中指标正常的有：5.5 6.0 5.6 5.0 5.7 5.9 5.7 5.1，共有8个， 所以概率为； 从组的10个数据为5.1 4.9 5.3 5.2 5.5 6.2 5.7 5.5 5.8 5.6， 其中指标正常的有：5.1 4.9 5.3 5.2 5.5 5.7 5.5 5.8 5.6，共有9个， 所以概率为. 【小问2详解】 解：由5名患者服药一段时间后，生理指标分别为5.5，6.3，6.4，5.6，5.2， 可得其中有3人指标正常，2人指标不正常， 现从这5名患者中随机选出2人，记为选出的2人中指标不在正常范围的人数， 可得随机变量的可能取值为， 则，，， 所以变量的分布列为 0 1 2 所以期望为. 17. 如图，在正三棱柱中，点为的中点． （1）证明：平面； （2）若点满足，且平面，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，易得，再由线面平行的判定定理证明结论； （2）取中点，构建合适空间直角坐标系，设，并标注出相关点坐标，求出直线的方向向量、平面的法向量，应用向量法求线面角的正弦值. 【小问1详解】 连接交于，则为中点， 连接，因为为中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 取中点，在正三棱柱中，，，两两垂直， 以为原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立如图示的空间直角坐标系， 设，，则，，，， 所以，，，则， 因为平面，平面，所以， 所以，又，所以，所以， 由题意知为平面的一个法向量，又，所以， 设直线与平面所成角为，则. 18. 已知函数，． （1）求函数的图象在点处的切线方程； （2）证明：对，有． 【答案】（1） （2）证明：设，， 求导得，设，， 求导得，由函数，在上都单调递减， 得在上单调递减，而，， 则，使得，当时，，单调递增； 当时，，单调递减，又，， 因此对任意的，，函数在上单调递增，于是， 所以对，有. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）根据给定条件，构造函数并利用导数确定单调性证得不等式成立. 【小问1详解】 由，求导得，则，而， 所以函数的图象在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 略 19. 已知椭圆的右焦点为，过F的直线与E交于两点．当A为E的上顶点时，． （1）求E的方程； （2）过点A作的垂线，垂足为M． （ⅰ）证明：直线过定点N； （ⅱ）记的中点为，的斜率为，NB的斜率为，证明：是定值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明如下： 不妨设，， 设，联立， 有，可得，， 即， 易知，直线MB的斜率为， 故直线MB的方程可表示为， 当时，显然， 故 ， 所以直线过定点． 而当AB斜率为0时，直线就是轴，也过点． 综上，直线MB过定点． （ⅱ）证明如下： 由（ⅰ）可得，所以， 则， 所以有，即是定值． 【解析】 【分析】（1）利用椭圆参数的几何意义即可求解椭圆方程； （2）（ⅰ）利用直线与椭圆联立方程组，设交点坐标，利用假设的坐标来表示直线方程，根据椭圆的对称性可知定点在轴上，所以令，借助韦达定理去求为定值即可；（ⅱ）利用坐标法去计算斜率，通过韦达定理的应用即可证明定值. 【小问1详解】 记E的半焦距为c，由右焦点为可得：，而， 故，于是E的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃省市县重点高中教研协作联盟2026～2027学年高三起点 摸底考试数学试卷 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若是，的等差中项，是，的等比中项，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则z的虚部是（ ） A. B. 3 C. D. 4. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线交的左支于，两点，且，则的周长为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 5. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 5 C. D. 8 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知等差数列的前项和为且则的最大值为（ ） A. B. 92 C. 91 D. 90 8. 已知点为圆上任意一点，过点分别向直线和作垂线，垂足分别为，．则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 将的图象向右平移个单位可得到函数的图象 C. 在区间上单调递增 D. 直线是曲线的一条对称轴 10. 已知抛物线与直线交于，两点，焦点为，若，则（ ） A. B. 直线与相切 C. 的准线方程为 D. 11. 设函数，则（ ） A. 当时，没有零点 B. 当时，在区间上不存在极值 C. 存在实数，使得曲线为轴对称图形 D. 存在实数，使得曲线为中心对称图形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，的系数是______ 13. 已知，则_________． 14. 市第二中学开展劳动实践活动，学生对圆台体木块进行平面切割，已知圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，要求切割面经过圆台的两条母线．若切割面经过圆台的上下底面圆心，且面积为，则圆台外接球的表面积为___________；若切割面的面积取最大值时不经过上下底面圆心，则圆台的高的取值范围为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为， （1）求角A的大小； （2）若，求的面积． 16. 有30名同种疾病患者随机分成三组，每组各10名，分别服用三类药物.服药一段时间后，记录了三组患者的生理指标数据，如下表： A 5.2 5.5 6.2 6.5 6.3 5.8 5.4 6.0 5.3 5.8 B 5.5 6.0 5.6 5.0 5.7 6.2 6.4 5.9 5.7 5.1 C 5.1 4.9 5.3 5.2 5.5 6.2 5.7 5.5 5.8 5.6 已知该生理指标正常范围是. （1）从服用类药物的患者中各随机选出1人，分别求选出的1人指标在正常范围内的概率； （2）30名患者中有5名患者服药一段时间后，生理指标分别为5.5，6.3，6.4，5.6，5.2，现从这5名患者中随机选出2人，记X为选出的2人中指标不在正常范围的人数，求X的分布列和数学期望. 17. 如图，在正三棱柱中，点为的中点． （1）证明：平面； （2）若点满足，且平面，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知函数，． （1）求函数的图象在点处的切线方程； （2）证明：对，有． 19. 已知椭圆的右焦点为，过F的直线与E交于两点．当A为E的上顶点时，． （1）求E的方程； （2）过点A作的垂线，垂足为M． （ⅰ）证明：直线过定点N； （ⅱ）记的中点为，的斜率为，NB的斜率为，证明：是定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $