第2章 实数单元测试卷 2026-2027学年北师大数学八年级上册

**基本信息** 北师大版八年级上册实数单元测试卷，90分钟120分，以数学眼光、思维、语言为导向，融合历史情境、生活应用与跨学科问题，适配单元复习巩固与核心素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数概念、相反数、无理数识别等|第8题结合“第一次数学危机”考√2估算，渗透文化传承| |填空题|5/15|二次根式性质、大小比较等|第15题纸张裁切问题，体现生活中的数学应用| |解答题|8/75|运算、实践探究、逻辑推理等|第10题自由落体运动（跨学科）、第21题数轴表示无理数（动手操作）、第22题证明³√2是无理数（推理能力），形成能力梯度|

绝密★启用前 学校： 姓名： 班级： 考号： 实数单元测试卷 (北师大版) 考试范围：八年级上册第2章全部内容；考试时间：90分钟满分：120分 题号 三 总分 得分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1.-√万的相反数是() A.7 B.-7 C.7 D.-√7 2.在下列实数中，无理数是() B.兀 C.0 D.-3 3.下列说法中，错误的是() A.4的算术平方根是2 B.V16的平方根是±2 C.8的立方根是+2 D.-1的立方根等于-1 4.如果在数轴上的点A到原点的距离是√，那么表示点A的实数为() A.5 B.-V5 C.±5 D.5 5.如图，数轴上点A表示的数可能是() -1012345 A.√2 B./3 C.6 D.√1o 6.若n为正整数，且满足n<√13<n+1,则n的值为() A.2 B.3 C.4 D.5 7.如图，数轴上点A对应的数是0，点B对应的数是1，BC⊥AB,BC=AB,垂足为B,以A为圆心，AC 为半径画弧，交数轴于点D,则点D表示的数为() 试卷第1页（共8页） B D 0 A.2.2 B.√2 C.3 D.5 8.公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数一无理数“√2”.他的发现，在当时的数 学界掀起了一场巨大风暴，导致了西方数学史上的“第一次数学危机”.请你估计√2-1的值在() A.-1和0之间 B.0和1之间 C.1和2之间 D.2和3之间 9.如图，数轴上点A所表示的数为1，点B,C,D是4x4的正方形网格上的格点，以点A为圆心，AD 长为半径画圆交数轴于M,N两点，则N点所表示的数为() D Mi -4-342-10 2 5 A.1-10 B.1+V10 C.10 D.10-1 10.物理学中，自由落体运动是指物体由静止开始，只受重力作用的下落运动（无空气阻力）.某实验小 组利用真空管道装置模拟自由落体运动实验，测得物体自由下落的高度h(单位：m)与时间t(单位：s) 满足关系式一 2h ,其中g≈10m/s2,若物体从60m的高处自由下落，则下落的时间t介于（） A.5和6之间 B.4和5之间 C.3和4之间 D.2和3之间 二.填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11.若=上3，则x= 12.如图，小雅用计算机设计了一个运算程序图，若输入的x的值为8时，输出的结果是 输入x值 取x的平方 取立方根 输出 取算术平方根 取倒数 13.比较大小： V7-1 1.(填“>”或“<”) 14.若a-3+b+4=0,则(a+b)06= 15.如图，在日常生活中，我们常用到不同型号的打印纸，对于纸张规格，有一些通用的国际标准，其中： 试卷第2页（共8页） A,纸定义为面积为1，长与宽之比为√2：1的纸张；沿A.纸两条长边中点的连线裁切，就得到两张A1纸： 再沿A1纸两条长边中点的连线裁切得到两张A2纸.，依次类推，得到A3、A4、A等纸张.裁剪一张规 格A,纸最多可得到规格A4纸的张数 A As A A3 A 三.解答题（共8小题，共75分） 16.(6分)计算： (1)9+V-2)}-8 (2)-5+27+2(5-1） 17.(8分)已知√a-17+17-a=b+8. (1)求a,b的值： (2)求a2-b2的平方根. 试卷第3页（共8页） 18.(8分)先化简，再求值：a+√-2a+a,其中a=l007.如图是小亮和小芳的解答过程. 解：原式=a+V(1-a =a+1-a=1. 解：原式=a+√1-a) =a+a-1=2023. 小亮 小芳 (1) 的解法是错误的： (2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：√云=： (3)先化简，再求值：a+2a2-6a+9,其中a=-2007. 19.(9分)仁仁在课外进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格， 课题 在吊车张贴广告时测量吊臂最高，点离地面的高度及移动距离 模型抽象 B D p ① ② ①吊臂总长AB为15米； 测绘数据 ②吊臂支柱B点与楼房的距离BE为12米； ③吊臂支柱B点距离地面1.5米 OP为地面，AO为楼房，AO1OP,吊车底盘始终处于水平状态，点A, 说明 B,C,D,E,F,O,P在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题： 试卷第4页（共8页） (1)求吊臂最高点A与地面的距离AO的长； (2)如图，完成A处张贴任务后，吊车沿射线OP前移，使得吊臂上顶点A下滑至点C处.若已知AC的长 为3米，求吊臂支柱B点移动的距离BD的长. 20.(10分)我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是 59319,求它的立方根.华罗庚脱口而出了答案.你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？按照下 面的方法（完成填空）试一试： (1)因为59319是一个立方数，即某个整数的立方， 由103<59319<1003，所以10<59319<100，即能确定59319是一个_位数： 又.59319的个位上的数是9， ∴.能确定59319的个位上的数是_： 划去59319后面的三位319得到数59，即相当于将被开方数小数点向左移三位， 33<59.319<4,.3<59.319<4 由此能确定59319的十位上的数是_·所以59319=_· (2)已知110592是一个整数的立方，按照上述方法，你能确定它的立方根吗？请你按照上述的方法说明. 试卷第5页（共8页） 21.(10分)综合与实践：小谦在学完无理数”后非常兴奋，想自己动手探索“如何在数轴上表示无理数”， 于是按照课堂学习的过程，开展了下面的探索： 探索“如何在数轴上表示无理数” 工具准备：两张边长为1个单位长度的正方形卡纸；若干张白纸，铅笔，记号笔，剪刀，圆规等 操作一：如图1，把两张边长为1个单位长度的正方形卡纸分别沿对角线裁开后拼成一个边长为√2的大正 方形。 ☑☑- 图1 (1)大正方形的面积为 :小正方形的对角线长为 操作二：如图2，在白纸上画出数轴，将边长为1个单位长度的正方形卡纸如图放置，以原点为圆心，正 方形的对角线为半径画弧，与坐标轴分别交于点A,点B. B -4-3-2-101234 图2 (2)点A表示的数为；点B表示的数为 操作三：在上面数轴上用记号笔标出点A的位置，表示数2的点记为M，,原点记为点O,然后将数轴的正 半轴剪下，得到如图3的“纸条” 02方4→ 图3 (3)OA=」 MA= (4)如图4，将“纸条”沿着点M对折，则点A的对应点A表示的数为 M 图4 试卷第6页（共8页） 22.(12分)阅读与思考 某兴趣小组阅读教材中“为什么√互不是有理数”的内容后产生了很大的兴趣，在课后进行了衍生探究，形 成如下研究性学习报告，请认真阅读并完成任务. 关于“无理数的衍生探究的研究报告 教材部分内容：事实上，√5不是有理数是可以证明的，下面给出一种证明方法. 假设V2是有理数，那么存在两个互质的正整数p,g,使得2-V2,于是p=√5g, 两边平方，得p2=2g, 由2g是偶数，得p2是偶数，所以P也是偶数。 因此可设p=2r(r是正整数)，代入上式，得4r2=2(,即q=22, 所以q也是偶数，这样卫，q都是偶数，与假设P,q互质矛盾， 即√2不是有理数. 方法拓展：根据上述的证明方法，进一步对互是否为有理数展开了以下论证 假设泸是有理数，那么存在两个互质的正整数P,g,使得号近于是P=视g, 两边立方，得p3=2G… 任务： (1)3是 ·(填“无理数”或“有理数”) (2)根据前面的证明思路，补全剩余的证明过程. (3)若2+m是无理数，且与5互为相反数，直接写出的值. 试卷第7页（共8页） 23.(12分)综合与实践 ☑ ☑☑ 图1 图2 (1)【问题发现】：如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在 起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的边长为 (2)【知识迁移】：爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形.如图2， 将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂 空小正方形的大正方形，所得到的小正方形EFGH的边长为：大正方形ABCD的面积为；长方 形的对角线长为一 (3)【拓展延伸】：小明同学想用一块面积为14cm的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为12cm的长 方形纸片，使它的长与宽之比为2：1.小思同学思考了一下说：“这可办不到哦！”小明反驳说：“用面积大 的纸片，肯定能裁出面积小的纸片！”请通过计算说明他们谁说得对. 试卷第8页（共8页） 绝密★启用前 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 实数单元测试卷 （北师大版） 考试范围：八年级上册第2章全部内容；考试时间：90分钟 满分：120分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．的相反数是（     ） A．7 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用相反数的定义，改变原数的符号即可求解． 【详解】解：的相反数为． 2．在下列实数中，无理数是（     ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【详解】解：是分数，、是整数，均为有理数；是无理数． 3．下列说法中，错误的是（     ） A．的算术平方根是 B．的平方根是 C．的立方根是 D．的立方根等于 【答案】C 【详解】解：对于选项A：，故 A正确； 对于选项B：∵，而的平方根为， ∴的平方根是，故B正确； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D正确． 4．如果在数轴上的点到原点的距离是，那么表示点的实数为（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据数轴上点到原点的距离等于该点所表示实数的绝对值． 本题考查数轴上距离与绝对值的性质，掌握基本概念是解题关键． 【详解】解：∵点A到原点的距离是， ∴， ∴． 故选：C． 5．如图，数轴上点表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察数轴可知点A位于2和3之间，将2和3分别转化为和，通过比较被开方数的大小即可确定答案． 【详解】解：由数轴可知，点A表示的数在和之间， ，， 点A表示的数满足， A、，，不符合题意； B、，，不符合题意； C、，，符合题意； D、，，不符合题意． 6．若为正整数，且满足，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】找到与相邻的完全平方数，估算的取值范围，结合已知不等式确定的值． 【详解】解：∵，，且， ∴，即， ∵为正整数且， ∴． 7．如图，数轴上点A对应的数是0，点B对应的数是1，，垂足为B，以A为圆心，为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（     ） A．2.2 B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据勾股定理求出的长，再根据同圆的半径相等可知＝，再根据条件：点对应的数是原点，可求出点D表示的数． 【详解】解：∵， ∴＝， ∴， ∵以为圆心，为半径画弧，交数轴于点， ∴， ∴点表示的数是：． 8．公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数“”．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致了西方数学史上的“第一次数学危机”．请你估计的值在（     ） A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 【答案】B 【分析】先估算出的范围，再变形得到的范围． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 不等式各边同时减1，可得 ， ∴ 的值在0和1之间． 9．如图，数轴上点所表示的数为1，点，，是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于，两点，则点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出的长，再根据数轴上点的位置关系求解． 【详解】解：由图可知，点表示的数为1， 在网格中构造以为斜边的直角三角形，两直角边长分别为1和3， ∴， ∵以点为圆心，长为半径画圆交数轴于，两点， ∴， ∵点在点的右侧， ∴点表示的数为． 10．物理学中，自由落体运动是指物体由静止开始，只受重力作用的下落运动（无空气阻力）．某实验小组利用真空管道装置模拟自由落体运动实验，测得物体自由下落的高度（单位：）与时间（单位：）满足关系式 ，其中 ，若物体从的高处自由下落，则下落的时间介于（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】C 【分析】将已知的下落高度和重力加速度代入公式，得到的值，再通过比较被开方数大小估算无理数的范围，即可得到结果． 【详解】将，，代入得，， ∵，即 ， ∴下落时间介于和之间． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．若，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了实数，绝对值的性质，掌握绝对值等于正数的数有两个，它们互为相反数是解题的关键． 根据绝对值的性质，化简等式，得到，从而求出的值． 【详解】解：，且， ∴原等式可化为． 解得： ． 故答案为：． 12．如图，小雅用计算机设计了一个运算程序图，若输入的的值为时，输出的结果是______． 【答案】/0.5 【分析】根据程序图所示的运算顺序，对输入的依次进行平方、开立方、取倒数、开算术平方根的运算即可得出结果． 【详解】解：第一步，取的平方，即， 第二步，对结果取立方根，即， 第三步，对结果取倒数，即， 第四步，对结果取算术平方根，即， 因此，当输入时，输出的结果是． 13．比较大小：______1．（填“”或“”） 【答案】 【分析】通过变形将问题转化为比较和的大小，利用算术平方根的性质估算即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 14．若，则__________． 【答案】 【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性，分别求出a和b的值，代入即可求解． 【详解】解：， ，， ，， ． 15．如图，在日常生活中，我们常用到不同型号的打印纸，对于纸张规格，有一些通用的国际标准，其中：纸定义为面积为1，长与宽之比为的纸张；沿纸两条长边中点的连线裁切，就得到两张纸；再沿纸两条长边中点的连线裁切得到两张纸…，依次类推，得到、、等纸张．裁剪一张规格纸最多可得到规格纸的张数__________． 【答案】16 【分析】根据图形得出纸张的宽为纸宽的，纸张的长为纸长的，从而得出纸的面积为纸面积的，即可得出答案． 【详解】解：∵由图得，纸张的宽为纸宽的，纸张的长为纸长的， 纸的面积为纸面积的， ∴裁剪一张规格纸最多可得到规格纸的张数是16张， 三．解答题（共8小题，共75分） 16．（6分）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据解答即可； （2）根据求解即可； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； 17．（8分）已知． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（）根据算术平方根由意义的条件可得，，即可得到，进而可得； （）把的值代入中求出的值，进而可求出它的平方根； 本题考查了算术平方根、平方根，掌握算术平方根、平方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根是． 18．（8分）先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：___； (3)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)小亮 (2) (3)； 【分析】（1）根据二次根式的性质化简，再将字母的值代入，即可求解； （2）根据二次根式的性质即可求解； （3）先根据二次根式的性质化简，在代入代数式求值，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴小亮的解法是错误的； （2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质 （3）解：∵ ∴ 当时 原式 19．（9分）仁仁在课外进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格． 课题 在吊车张贴广告时测量吊臂最高，点离地面的高度及移动距离 模型抽象 测绘数据 ①吊臂总长为15米； ②吊臂支柱点与楼房的距离为12米； ③吊臂支柱点距离地面1.5米 说明 为地面，为楼房，，吊车底盘始终处于水平状态，点，，，，，，，在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题： (1)求吊臂最高点与地面的距离的长； (2)如图，完成处张贴任务后，吊车沿射线前移，使得吊臂上顶点下滑至点处．若已知的长为3米，求吊臂支柱点移动的距离的长． 【答案】(1)吊臂最高点A与地面的距离是10.5米 (2)吊臂支柱B点移动的距离的长为米 【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，由平行线间的距离处处相等，可得 米，进而求出的长； （2）由题意可知米．先求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而求出的长． 【详解】（1）解：∵米，米， ∴在中，（米）． ∵吊臂B点距离地面米，吊车底盘始终处于水平状态， ∴米．     ∴（米）． 答：吊臂最高点A与地面的距离是米 （2）解：∵米，米， ∴（米）．      ∵米， ∴在中，（米）．     ∴米． 答：吊臂支柱B点移动的距离的长为米． 20．（10分）我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出了答案．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？按照下面的方法（完成填空）试一试： (1)因为59319是一个立方数，即某个整数的立方， 由，所以，即能确定是一个 位数； 又∵59319的个位上的数是 ， ∴能确定的个位上的数是 ； 划去59319后面的三位319得到数59，即相当于将被开方数小数点向左移三位， ∵，∴ 由此能确定的十位上的数是 ．所以 ． (2)已110592一个整数的立方，按照上述方法，你能确定它的立方根吗？请你按照上述的方法说明． 【答案】(1)两；9；3；39 (2)110592的立方根为48，说明见解析 【分析】（1）根据立方根的定义补全过程即可； （2）仿照题干思路作答即可． 【详解】（1）解：因为59319是一个立方数，即某个整数的立方， 由，所以，即能确定是一个两位数； 又∵59319的个位上的数是 ， ∴能确定的个位上的数是9； 划去59319后面的三位319得到数59，即相当于将被开方数小数点向左移三位， ∵，∴ 由此能确定的十位上的数是3．所以． （2）解：因为是一个立方数，即某个整数的立方， 由， 所以， 即能确定是一个两位数； 又∵的个位上的数是 ∴能确定的个位上的数是8； 划去后面的三位592得到数110，即将被开方数小数点向左移三位， ∵， ∴， 由此能确定的十位上的数是4． 所以． 21．（10分）综合与实践：小谦在学完“无理数”后非常兴奋，想自己动手探索“如何在数轴上表示无理数”，于是按照课堂学习的过程，开展了下面的探索： 探索“如何在数轴上表示无理数” 工具准备：两张边长为1个单位长度的正方形卡纸；若干张白纸，铅笔，记号笔，剪刀，圆规等． 操作一：如图1，把两张边长为1个单位长度的正方形卡纸分别沿对角线裁开后拼成一个边长为的大正方形． (1)大正方形的面积为______；小正方形的对角线长为______． 操作二：如图2，在白纸上画出数轴，将边长为1个单位长度的正方形卡纸如图放置，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与坐标轴分别交于点，点． (2)点表示的数为______；点表示的数为______． 操作三：在上面数轴上用记号笔标出点的位置，表示数2的点记为，原点记为点，然后将数轴的正半轴剪下，得到如图3的“纸条”． (3)______；______； (4)如图4，将“纸条”沿着点对折，则点的对应点表示的数为______． 【答案】(1)2，； (2)，； (3)，； (4)． 【分析】（1）两个边长为1的小正方形面积和等于大正方形面积；由勾股定理求小正方形对角线； （2）圆半径为，原点右侧A为正数、左侧B为负数； （3）是圆的半径；用计算； （4）折叠后是、中点，利用中点公式求对应的数． 【详解】（1）解：小正方形面积：，两个小正方形总面积，因此拼成的大正方形面积为． 小正方形边长为，由勾股定理，对角线长． （2）解：圆半径等于小正方形对角线长． 点在原点右侧，故表示的数为； 点在原点左侧，故表示的数为． （3）解：是圆的半径，因此； 表示数字，即， ． （4）解：纸条沿对折，说明是线段的中点． ， 则点表示的数为． 22．（12分）阅读与思考 某兴趣小组阅读教材中“为什么不是有理数”的内容后产生了很大的兴趣，在课后进行了衍生探究，形成如下研究性学习报告．请认真阅读并完成任务． 关于“无理数的衍生探究”的研究报告 教材部分内容：事实上，不是有理数是可以证明的，下面给出一种证明方法． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得，于是， 两边平方，得， 由是偶数，得是偶数，所以也是偶数． 因此可设（是正整数），代入上式，得，即， 所以也是偶数，这样都是偶数，与假设互质矛盾， 即不是有理数． 方法拓展：根据上述的证明方法，进一步对是否为有理数展开了以下论证． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得于是， 两边立方，得 任务： (1)是___________．（填“无理数”或“有理数”） (2)根据前面的证明思路，补全剩余的证明过程． (3)若是无理数，且与互为相反数，直接写出的值． 【答案】(1)无理数 (2) 解：∵是偶数， ∴是偶数， ∴是偶数， 设（是正整数）， ∴，即， ∵是偶数， ∴是偶数， ∴是偶数， ∴，都是偶数，与假设矛盾， 即不是有理数； (3) 【分析】（1）根据无理数的意义进行判断； （2）仿照阅读材料中的证明过程进行解答即可； （3）根据相反数的意义得，再根据立方根的意义求解即可． 【详解】（1）解：是无理数； （2）略 （3）解：∵是无理数，且与互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．（12分）综合与实践 (1)【问题发现】：如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的边长为_____． (2)【知识迁移】：爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为_____；大正方形的面积为_____；长方形的对角线长为_____． (3)【拓展延伸】：小明同学想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．小思同学思考了一下说：“这可办不到哦！”小明反驳说：“用面积大的纸片，肯定能裁出面积小的纸片！”请通过计算说明他们谁说得对． 【答案】(1) (2)1；13； (3)小思说得对，小明说得不对；说明见解析 【分析】（1）根据大正方形的面积个小正方形的面积和，即可得解； （2）根据大正方形的面积个直角三角形的面积小正方形的面积即可解答； （3）设截出的长方形纸片的长为，宽为，则，计算、比较即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：所得到的大正方形面积为，边长为；这个大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为； （2）解：由题意得：所得到的小正方形的边长为：； 大正方形的面积为：；长方形的对角线长为； （3）小思说得对，小明说得不对，理由如下： 设截出的长方形纸片的长为，宽为， 则， ∴（负值舍去）， ∴截出的长方形纸片的长为， ∵， ∴， 由于面积为的正方形纸片边长为， ∴ ∴不能用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 实数单元测试卷 （北师大版） 考试范围：八年级上册第2章全部内容；考试时间：90分钟 满分：120分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．的相反数是（     ） A．7 B． C． D． 2．在下列实数中，无理数是（     ） A． B． C．0 D． 3．下列说法中，错误的是（     ） A．的算术平方根是 B．的平方根是 C．的立方根是 D．的立方根等于 4．如果在数轴上的点到原点的距离是，那么表示点的实数为（   ） A． B． C． D．5 5．如图，数轴上点表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 6．若为正整数，且满足，则的值为（     ） A． B． C． D． 7．如图，数轴上点A对应的数是0，点B对应的数是1，，垂足为B，以A为圆心，为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（     ） A．2.2 B． C． D． 8．公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数“”．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致了西方数学史上的“第一次数学危机”．请你估计的值在（     ） A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 9．如图，数轴上点所表示的数为1，点，，是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于，两点，则点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 10．物理学中，自由落体运动是指物体由静止开始，只受重力作用的下落运动（无空气阻力）．某实验小组利用真空管道装置模拟自由落体运动实验，测得物体自由下落的高度（单位：）与时间（单位：）满足关系式 ，其中 ，若物体从的高处自由下落，则下落的时间介于（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．若，则__________． 12．如图，小雅用计算机设计了一个运算程序图，若输入的的值为时，输出的结果是______． 13．比较大小：______1．（填“”或“”） 14．若，则__________． 15．如图，在日常生活中，我们常用到不同型号的打印纸，对于纸张规格，有一些通用的国际标准，其中：纸定义为面积为1，长与宽之比为的纸张；沿纸两条长边中点的连线裁切，就得到两张纸；再沿纸两条长边中点的连线裁切得到两张纸…，依次类推，得到、、等纸张．裁剪一张规格纸最多可得到规格纸的张数__________． 三．解答题（共8小题，共75分） 16．（6分）计算： (1) (2) 17．（8分）已知． (1)求，的值； (2)求的平方根． 18．（8分）先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：___； (3)先化简，再求值：，其中． 19．（9分）仁仁在课外进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格． 课题 在吊车张贴广告时测量吊臂最高，点离地面的高度及移动距离 模型抽象 测绘数据 ①吊臂总长为15米； ②吊臂支柱点与楼房的距离为12米； ③吊臂支柱点距离地面1.5米 说明 为地面，为楼房，，吊车底盘始终处于水平状态，点，，，，，，，在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题： (1)求吊臂最高点与地面的距离的长； (2)如图，完成处张贴任务后，吊车沿射线前移，使得吊臂上顶点下滑至点处．若已知的长为3米，求吊臂支柱点移动的距离的长． 20．（10分）我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出了答案．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？按照下面的方法（完成填空）试一试： (1)因为59319是一个立方数，即某个整数的立方， 由，所以，即能确定是一个 位数； 又∵59319的个位上的数是 ， ∴能确定的个位上的数是 ； 划去59319后面的三位319得到数59，即相当于将被开方数小数点向左移三位， ∵，∴ 由此能确定的十位上的数是 ．所以 ． (2)已110592一个整数的立方，按照上述方法，你能确定它的立方根吗？请你按照上述的方法说明． 21．（10分）综合与实践：小谦在学完“无理数”后非常兴奋，想自己动手探索“如何在数轴上表示无理数”，于是按照课堂学习的过程，开展了下面的探索： 探索“如何在数轴上表示无理数” 工具准备：两张边长为1个单位长度的正方形卡纸；若干张白纸，铅笔，记号笔，剪刀，圆规等． 操作一：如图1，把两张边长为1个单位长度的正方形卡纸分别沿对角线裁开后拼成一个边长为的大正方形． (1)大正方形的面积为______；小正方形的对角线长为______． 操作二：如图2，在白纸上画出数轴，将边长为1个单位长度的正方形卡纸如图放置，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与坐标轴分别交于点，点． (2)点表示的数为______；点表示的数为______． 操作三：在上面数轴上用记号笔标出点的位置，表示数2的点记为，原点记为点，然后将数轴的正半轴剪下，得到如图3的“纸条”． (3)______；______； (4)如图4，将“纸条”沿着点对折，则点的对应点表示的数为______． 22．（12分）阅读与思考 某兴趣小组阅读教材中“为什么不是有理数”的内容后产生了很大的兴趣，在课后进行了衍生探究，形成如下研究性学习报告．请认真阅读并完成任务． 关于“无理数的衍生探究”的研究报告 教材部分内容：事实上，不是有理数是可以证明的，下面给出一种证明方法． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得，于是， 两边平方，得， 由是偶数，得是偶数，所以也是偶数． 因此可设（是正整数），代入上式，得，即， 所以也是偶数，这样都是偶数，与假设互质矛盾， 即不是有理数． 方法拓展：根据上述的证明方法，进一步对是否为有理数展开了以下论证． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得于是， 两边立方，得 任务： (1)是___________．（填“无理数”或“有理数”） (2)根据前面的证明思路，补全剩余的证明过程． (3)若是无理数，且与互为相反数，直接写出的值． 23．（12分）综合与实践 (1)【问题发现】：如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的边长为_____． (2)【知识迁移】：爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为_____；大正方形的面积为_____；长方形的对角线长为_____． (3)【拓展延伸】：小明同学想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．小思同学思考了一下说：“这可办不到哦！”小明反驳说：“用面积大的纸片，肯定能裁出面积小的纸片！”请通过计算说明他们谁说得对． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $