第1章 勾股定理单元测试 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 八年级勾股定理单元卷，A/B卷分层设计，覆盖定理应用、实际问题及文化探究，适配单元复习，注重数学眼光（几何直观）与思维（推理能力）培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/32|直角三角形判定（1题）、格点问题（2题）|基础巩固，结合网格直观考查定理应用| |填空题|5/20|面积计算（9题）、折叠问题（10题）、吸管长度（11题）、勾股树规律（12题）|联系生活（吸管）与规律探究（勾股树），体现应用意识| |解答题|6/48|空地证明（14题）、折叠计算（15题）、赵爽弦图证明（18题）|综合应用，融入文化传承（赵爽弦图）与推理能力考查| |B卷解答|1/11|动态与旋转综合（22题）|创新拓展，结合动态问题（点运动）与旋转转化，发展空间观念|

八年级上期勾股定理单元测试（第一周周考） 数学试卷 时间 ：90分钟 总分 ：120分 A卷（100分） 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是(    ) A. B. C. D. 2.如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，点，都是格点，则线段的长度为(    ) A. B. C. D. 3.在中，斜边，则的值为  (    ) A. B. C. D. 4.如图，的周长为，，且，则的长为(    ) A. B. C. D. 5.一艘轮船以海里时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以海里时的速度向西南方向航行，它们离开港口小时后相距(    ) A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 6.直角三角形的两条直角边的长分别为，则其斜边上的高为(    ) A. B. C. D. 7.如图，在中，，分别以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示。若，，则的值是(    ) A. B. C. D. 8.满足下列条件时，不是直角三角形的为(    ) A. ，， B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共32分。 9.已知一个三角形的三边长分别是，，，则这个三角形的面积是          ． 10.如图，在正方形中，于点，且，，则阴影部分的面积是          ． 11.如图是一个圆柱形的水杯，由内部测得其底面半径为厘米，高为厘米，现有一支厘米长的吸管任意斜放于水杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最小为          厘米． 12.“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名假设如图分别是第一代、第二代、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为          ． 13.如图，在三角形纸片中，，，，在上取一点，沿折叠纸片，使的一部分与重合，点与延长线上的点重合，则的长为          ． 三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.本小题6分如图，某校现有一块空地，现计划在空地上种草皮，经测量，，，，． 求证：． 若每种植草皮需要元，则总共需投入多少元 15.本小题分如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，，。 求的长 求的长。 16.本小题分如图，在中，，，，求的面积． 17.本小题分计算图的面积，把图看成一个大正方形，它的面积是，如果把图看成是由个长方形和个小正方形组成的，它的面积为，由此得到． 如图，正方形是由四个长和宽分别是，的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的方法对图的面积进行计算，你发现的等式是          用含，的式子表示． 已知两数，满足，，求的值． 如图，正方形的边长是，它是由四个直角边长分别是，的直角三角形和中间一个小正方形组成的，对图的面积进行计算，你发现的等式是          用含，，的式子表示，结果化到最简 18.本小题分勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理在我国古书周髀算经中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”如图，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． 请叙述勾股定理勾股定理的证明，人们已经找到了多种方法，请利用图、图、图中的一个来证明该定理，图与图都是由四个全等的直角三角形构成的，图是由两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形构成的以下图形均满足证明勾股定理所需的条件． 如图，以直角三角形的三边为直径向外部作半圆，请写出，和的数量关系． B卷（20分） 一、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分。 19.观察以下几组勾股数，并寻找规律：，，；，，；，，；，，；，请你写出具有以上规律的第组勾股数：          ． 20.如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度向右运动设点的运动时间为过点作于点在点的运动过程中，当为          时，能使． 21.如图，在长方形中，，，点在边上，沿着折叠长方形，使点落在点处，连接当线段的值最小时，          ． 二、解答题：本题共1小题，共11分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 22.本小题分在中，，，是边所在直线上与点，不重合的两点． 如图，当，时，写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； 如图，当，时，已知，，求线段的长； 如图，当，时，请探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 参考答案 1.【答案】  2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了勾股定理的知识，解答本题的关键是掌握格点三角形中勾股定理的应用． 建立格点三角形，利用勾股定理求解的长度即可． 【解答】 解：如图所示： 在中，． 故选A． 3.【答案】  4.【答案】  5.【答案】  6.【答案】  7.【答案】  8.【答案】  9.【答案】  10.【答案】  11.【答案】  12.【答案】  13.【答案】  14.【答案】【小题】 证明：在中， 由勾股定理，得， ． 在中， ，，， ，即， 是直角三角形， ． 【小题】 解： 每种植草皮需要元， 需费用为元． 答：总共需投入元．   15.【答案】【小题】 解：由折叠知， 因为， 所以， ，所以 【小题】 由知， 设，则。 因为， 所以， 即， 解得，所以的长为。   16.【答案】解法一：过点作于点设，则．，，解得．．．． 解法二：过点作于点设根据，可求得的长，进而求出的面积．   17.【答案】【小题】 【小题】 ，且，，，即，的值为． 【小题】   【解析】 解：如题图，正方形的面积，正方形的面积，故发现的等式为． 如题图，正方形的面积，正方形的面积，，即． 18.【答案】【小题】 解：勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 如选择题图，四个相同的直角三角形的面积和再加上中间小正方形的面积等于大正方形的面积，即，化简得 如选择题图，大正方形的面积等于四个相同的直角三角形的面积和再加上中间小正方形的面积，即，化简得 如选择题图，梯形的面积等于三个直角三角形的面积和，即，化简得． 【小题】 如图，，，． ， ．  19.【答案】，，．  【解析】【分析】 本题考查勾股数，先根据给出的数据找出规律，再根据勾股定理进行求解即可． 【解答】 解：从上边可以发现第一个数是奇数，且逐步递增， 故第组第一个数是，第组第一个数是， 又发现第二、第三个数相差为一，故设第二个数为，则第三个数为， 根据勾股定理得：，解得 则得第组数是：，，． 故答案为，，． 20.【答案】  【解析】由于点所在的位置不确定，所以应对点作分类讨论．点在线段上时，过点作于点，如图， 则， ．， 平分，． 又，， ， ，， ． 在中，由勾股定理，得，解得 点在线段的延长线上时，过点作于点，如图． 同，得， ，， ，， ， 在中，由勾股定理，得 ，解得． 综上所述，在点的运动过程中，当的值为或时，能使． 21.【答案】  22.【答案】【小题】 解：结论：． 理由如下：，， 将绕点逆时针旋转得到，连接，如图所示， ，，，， ，． ，，，   又，， ，， ，  即． 【小题】 ，，， 将绕点逆时针旋转得到，连接， 过点作交的延长线于点，如图所示， ，，，． ，，  又，，，   在中，，，． ，， ，   在中，， ． 【小题】 结论：． 理由如下：，，  如图，将绕点顺时针旋转得到，连接， ，，，，， ，， ，， ，  在中，，， ． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $