1.2 集合间的基本关系（第1课时：会判断集合间的关系） 同步练习题 -2026-2027学年第一学期高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过“例题引领-基础达标-能力提升”三层设计，以集合关系判断为核心，从概念辨析到综合应用梯度进阶，强化符号意识与推理能力，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |例题精练|空集判定、集合关系判断、符号运用|通过5道例题示范基础概念与方法，如例3符号填空培养符号意识| |A组基础达标|子集关系、集合表示、子集个数|单选/多选/填空/解答题结合，如第11题分类辨析集合关系，巩固抽象能力| |B组能力提升|真子集性质、新定义“和谐集”、累积值问题|设置开放探究题，如第5题证明集合包含关系，发展推理能力与创新意识|

1.2 集合间的基本关系 （第1课时：会判断集合间的关系） 同步练习题 2026-2027学年第一学期高一数学人教A版必修第一册 【例题精练】 【例1】下列集合是空集的是（    ） A．或 B． C． D． 【例2】已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D．与没有包含关系 【例3】选用适当的符号填空： （1）若集合，，则______， ______ ，______ ， ______ （2）若集合，则______，______ ，______ ，______； （3）是菱形______是平行四边形；是等边三角形}______是等腰三角形 【例4】已知，，若，则所有集合B中全部元素之和为______. 【例5】已知集合，且. (1)求实数的值； (2)写出集合的所有子集. 【A组基础达标】 一、单选题 1．下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 2．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下面关于集合的表示正确的是（   ） A． B．. C． D．. 5．已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 6．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 7．已知集合，则下列集合中哪些是A的子集（   ） A． B． C． D． 8．下列集合中，是集合的子集的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．满足条件的集合A的个数为______． 10．集合的真子集的个数为______. 四、解答题 11．指出下列各对集合之间的关系： （1）A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； （2）A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； （3）A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}； （4）M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}． 12．已知集合. (1)求集合； (2)写出集合的所有子集. 【B组能力提升】 一、单选题 1．满足条件∅⫋ M⫋{a，b，c}的集合M共有（　　） A．3个 B．6个 C．7个 D．8个 2．若对任意，都有，则称非空集合为“和谐集”，已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 3．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合，若，，则集合中元素的个数是__________，子集的个数是__________. 4．已知集合，，集合中所有元素的乘积称为集合的“累积值”，且规定：当集合只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0．设集合的累积值为． （1）若，则这样的集合共有________个； （2）若为偶数，则这样的集合共有________个． 三、解答题 5．已知集合. (1)判断5，12，14是否属于，并说明理由； (2)集合，证明：； (3)写出集合中的所有偶数. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 集合间的基本关系 （第1课时：会判断集合间的关系） 同步练习题 2026-2027学年第一学期高一数学人教A版必修第一册 【例题精练】 【例1】下列集合是空集的是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【解析】根据空集的定义，逐一判断各选项即可. 【详解】A、B、C选项的集合中均含有元素，均不为空集； 对D，因为，所以不存在实数，使得，所以. 故选：D 【例2】已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D．与没有包含关系 【答案】A 【分析】根据集合的子集的定义即可求解. 【详解】由，因为，所以， 又，所以， 故选：A. 【例3】选用适当的符号填空： （1）若集合，，则______， ______ ，______ ， ______ （2）若集合，则______，______ ，______ ，______； （3）是菱形______是平行四边形；是等边三角形}______是等腰三角形 【答案】       【详解】（1）∵集合， ∴B,BA． （2）∵集合， ∴， （3）是菱形是平行四边形；是等边三角形是等腰三角形}． 【例4】已知，，若，则所有集合B中全部元素之和为______. 【答案】72 【分析】根据集合之间的关系写出集合B所有的情况，再计算即可. 【详解】因为，， 集合B可以为， 所有元素之和为. 故答案为：. 【例5】已知集合，且. (1)求实数的值； (2)写出集合的所有子集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据元素与集合的关系列方程求解； （2）根据集合子集的定义求解即可. 【详解】（1）因为，所以，解得. （2）由（1）可得， 故集合的所有子集为. 【A组基础达标】 一、单选题 1．下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空集的定义和相关性质逐项分析判断即可. 【详解】因为空集不含任何元素，且空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 所以，，，不是的子集，故ABD错误，C正确. 2．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，满足的数必满足，所以中的任何元素都属于，即. 3．下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用元素与集合的关系、集合与集合的关系、常用数集以及空集的概念逐一判断即可. 【详解】是元素，不是集合，故A错误； 不含任何元素，故B错误； 表示自然数集，表示整数集，所以是的子集，故C正确； 表示的是集合，，故D错误. 故选：C. 4．下面关于集合的表示正确的是（   ） A． B．. C． D．. 【答案】C 【分析】对于A，根据集合元素的无序性判断；对于B，根据特征元素判断；对于C，根据集合相等的定义判断；对于D，根据集合相等的定义判断. 【详解】对于A，根据集合元素的无序性，可知，故错误； 对于B，特征元素不相同，故不是相等集合，故错误； 对于C，都是数集，且范围相同，故相等，故正确； 对于D，不是空集，0是一个元素，故错误； 故选C. 5．已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 【答案】B 【分析】由集合的子集的定义求解即可. 【详解】由 ，则． 6．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】运用集合的基本关系与概念：集合间的包含关系（子集、相等集合）；空集的定义与性质；元素与集合、集合与集合的区别. 【详解】①： 子集的定义是：若集合的所有元素都属于集合，则， 中的元素属于，因此是的子集，①正确； ②： 集合具有“无序性”，和是同一个集合；而任何集合都是自身的子集，故②正确； ③： 空集的性质：空集是任何集合的子集，因此是的子集，③正确； ④： 空集是“不含任何元素的集合”，而是包含元素的集合，二者元素不同，因此，④错误； ⑤： 是“包含两个数、的集合”，而是“包含一个有序数对的集合”，元素类型不同，因此，⑤错误； ⑥： 是“元素”，是“包含元素的集合”，元素和集合不能相等，因此⑥错误. 故选C. 二、多选题 7．已知集合，则下列集合中哪些是A的子集（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】，解得，集合， 中元素均属于集合，是集合的子集，故A正确； 中有元素不属于集合，不是集合的子集，故B错误； 等于集合，是集合A的子集，故C正确； 中元素均属于集合，是集合的子集，故D正确． 8．下列集合中，是集合的子集的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由子集的概念逐项判断即可. 【详解】因为集合是所有奇数构成的集合， 对于选项A，集合里有偶数，所以选项A的集合不是集合A的子集； 对于选项B，元素全是奇数，所以选项B的集合是集合A的子集； 对于选项C，表示所有奇数构成的集合，所以选项C的集合是集合A的子集； 对于选项D，表示所有4的倍数加1构成的集合，元素都是奇数，但不是所有奇数都在集合里， 所以D选项的集合是集合A的子集． 故选：BCD． 三、填空题 9．满足条件的集合A的个数为______． 【答案】3 【分析】根据子集、真子集的知识求得正确答案. 【详解】依题意，，， 所以，共个. 10．集合的真子集的个数为______. 【答案】3 【分析】求解方程，确定集合中元素个数，再结合真子集个数公式即可求解. 【详解】方程可化为，解得或1， 则，故集合的真子集的个数为. 四、解答题 11．指出下列各对集合之间的关系： （1）A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； （2）A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； （3）A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}； （4）M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}． 【答案】（1）A与B之间无包含关系；（2）AB；（3）AB；（4）NM． 【分析】对四对集合逐一分析，由此确定之间的关系. 【详解】（1）集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． （2）等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB． （3）集合B＝{x|x＜5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知AB． (4)由列举法知M＝{1，3，5，7，…}，N＝{3，5，7，9，…}，故NM． 12．已知集合. (1)求集合； (2)写出集合的所有子集. 【答案】(1) (2) 集合的所有子集为： . 【分析】（1）根据的正负情况讨论求解即可； （2）根据子集的定义即可求解. 【详解】（1）当都为正数时，； 当都为负数时，； 当中有一个是正数，另外两个是负数时，； 当中有一个是负数，另外两个是正数时，. 综上所述，. （2）略 【B组能力提升】 一、单选题 1．满足条件∅⫋ M⫋{a，b，c}的集合M共有（　　） A．3个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】利用真子集定义、列举法能求出满足条件∅⫋M⫋{a，b，c}的集合M的个数. 【详解】解：满足条件∅⫋ M ⫋{a，b，c}的集合M有： {a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}.共6个， ∴满足条件∅⫋M⫋{a，b，c}的集合M共有6个. 故选：B. 2．若对任意，都有，则称非空集合为“和谐集”，已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据集合的新定义及元素与集合的关系判断求解. 【详解】由且可得： 若，则， 所以“和谐集”不含元素； 若，不存在，所以“和谐集”不含元素； 若，则，要求也属于该集合，产生矛盾， 所以“和谐集”不含元素； 若，则， 若，则， 若，则； 所以集合的子集中“和谐集”只有. 故选：B． 二、填空题 3．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合，若，，则集合中元素的个数是__________，子集的个数是__________. 【答案】 3 8 【分析】根据条件求出，进而可得结果. 【详解】按的定义，中元素为，共3个，子集个数为个. 故答案为：①3②8. 4．已知集合，，集合中所有元素的乘积称为集合的“累积值”，且规定：当集合只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0．设集合的累积值为． （1）若，则这样的集合共有________个； （2）若为偶数，则这样的集合共有________个． 【答案】 2 13 【分析】根据“累积值”的定义，结合间接法与集合子集个数的求法得解即可. 【详解】（1）若，据“累积值”的定义得或，这样的集合共有2个； （2）集合的子集共有个， 其中“累积值”为奇数的子集为、、，共3个，所以“累积值”为偶数的集合共有13个． 三、解答题 5．已知集合. (1)判断5，12，14是否属于，并说明理由； (2)集合，证明：； (3)写出集合中的所有偶数. 【答案】(1)，，理由：∵，，∴ 假设，则， 且，， ∴，或，均无整数解，∴ (2)证明：∵集合，恒有 ∴，∴ (3)， 【分析】（1）根据定义可判断为中元素，利用反证法可判断不是中元素； （2）由，即可证明； （3）根据，同奇同偶及，可得中所有偶数的形式. 【详解】（1）略 （2）略 （3）集合，成立， 同奇或同偶时，，均为偶数，为4的倍数， 一奇一偶时，，均为奇数，为奇数. 因为，故， 所以，集合中的所有偶数为，. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $