1.2 集合间的基本关系（Word学生用书）-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一学生用书（人教A版）

**基本信息** 以“概念辨析-关系判断-参数应用”为分层逻辑，通过诊断分析与探究点设计，实现从基础概念到综合应用的递进，培养抽象能力、推理意识与数学表达。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固层|子集、相等、空集等概念|通过判断正误（如{0}与空集关系）强化概念辨析，培养抽象能力| |能力提升层|集合关系判断、子集个数|结合Venn图与元素特征法（如12的正约数集合关系），发展几何直观与推理意识| |综合应用层|含参数的集合包含关系|通过分类讨论（如A⊆B求m范围），提升逻辑思维与数学语言表达能力|

1.2　集合间的基本关系 【学习目标】 　　1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集. 　　2.能使用Venn图表达集合的基本关系,体会图形对理解抽象概念的作用. 　　3.在具体情境中,了解空集的含义. ◆ 知识点一　子集 1.Venn图:在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的　　　　代表集合,这种图称为Venn图.  2.子集 定义 一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中　　　　　　元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集  记法与 读法 记作　　　(或　　　),读作“A包含于B”(或“B包含A”)  图示 结论 (1)反身性:任何一个集合是它本身的子集,即A　　A;  (2)传递性:对于集合A,B,C,若A⊆B,且B⊆C,则A　　C  ◆ 知识点二　集合的相等关系 1.定义:一般地,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作A=B. 2.也就是说,若A⊆B,且　　　　,则A=B.  ◆ 知识点三　真子集 定义 如果集合A⊆B,但存在元素　　　　　,且　　　　,就称集合A是集合B的真子集  记法与读法 记作A⫋B(或B⫌A),读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 结论 (1)A⫋B且B⫋C,则A　　C;  (2)A⊆B且A≠B,则A　　B  ◆ 知识点四　空集 定义 一般地,我们把　　　　　　　　　的集合叫作空集  记法 记为⌀ 规定 空集是任何集合的　　　,即⌀⊆A  特性 (1)空集只有一个子集,即它本身,⌀⊆⌀; (2)若A≠⌀,则⌀　　　　A,即空集是任意非空集合的真子集  【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1){0}⊆{x|x<5,x∈R}. (　 ) (2)⌀⊆{0},且⌀⫋{0}. (　 ) (3)任何一个集合都至少有2个子集. (　 ) 2.包含关系与属于关系有什么区别? ◆ 探究点一　集合间关系的判断 例1 判断下列每对集合之间的关系. (1)C={1,2,3,4},D={x|x是12的正约数}; (2)E={x|x>3且x<-1},F={x|x<-1或x>3}; (3)A={x|x=2k+1,k∈N},B={y|y=4m+1,m∈N}. 　　　　　　　　　　　　　　　 变式 (1)设M={x|x=6k-2,k∈Z},N={x|x=3k+1,k∈Z},则 (　 ) A.M⊆N B.N⊆M C.M=N D.M⊈N (2)[教材P9习题1.2第2题] 指出下列各集合之间的关系,并用Venn图表示: A={x|x是四边形},B={x|x是平行四边形},C={x|x是矩形},D={x|x是正方形}. [素养小结] 判断集合间关系的方法: (1)观察法:一一列举观察. (2)元素特征法:首先确定集合的元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用集合元素的特征判断关系. (3)数形结合法:利用数轴或Venn图.往往通过具体验证的方法判断端点值是否取到. ◆ 探究点二　集合的子集、真子集 例2 分别写出集合{a},{a,b},{a,b,c}的所有子集和真子集,并写出它们的子集和真子集的个数.由此猜想含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢? 　　　　　 　　　　　 　　　　　 变式 (1)设集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|x∈A,∈Z},则B的非空子集的个数为 (　 ) A.3 B.4 C.7 D.8 (2)已知集合M满足{1,2}⫋M⊆{1,2,3,4,5},写出所有满足条件的集合M. [素养小结] 求集合的子集问题的一般方法:求给定集合的子集(真子集)时,一般按照子集所含元素的个数分类,再依次写出符合要求的子集(真子集).在写子集时,注意不要忘记空集和集合本身. ◆ 探究点三　由集合间的关系求参数　　　　　 　　　　　 　　　　　 例3 (1)已知集合A={x|x2≤1},B={x|x>m},若A⊆B,则m的取值范围是　　　　.  (2)已知集合A={x|0<x<2},B={x|1<x<a},若B⊆A,则实数a的取值范围是 (　 ) A.a>2 B.a<2 C.1<a≤2 D.a≤2 变式 已知集合A={x|x<-1或x>4},B={x|2a≤x≤a+3},若B⫋A,求实数a的取值范围. [素养小结] 由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法: (1)注意点:①不能忽视集合为⌀的情形;②当集合中含有字母参数时,一般需要分类讨论. (2)常用方法:对于用不等式给出的集合,已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时,常采用数形结合的思想,借助数轴解答. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2　集合间的基本关系 【课前预习】 知识点一 1.内部 2.任意一个　A⊆B　B⊇A　⊆　⊆ 知识点二 2.B⊆A 知识点三 x∈B　x∉A　⫋　⫋ 知识点四 不含任何元素　子集　⫋ 诊断分析 1.(1)√　(2)√　(3)× [解析] (1)“⊆”用来表示集合与集合间的关系,{0}中的元素0是集合{x|x<5,x∈R}中的元素,所以{0}是集合{x|x<5,x∈R}的子集. (2)空集是任何集合的子集,是任意非空集合的真子集. (3)空集只有1个子集,就是它本身. 2.解:包含关系刻画的是集合与集合间的关系;属于关系刻画的是元素与集合间的关系. 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1)因为D={x|x是12的正约数}={1,2,3,4,6,12},C={1,2,3,4},所以C⫋D. (2)由题意知E=⌀,F≠⌀,故E⫋F. (3)集合A是由正奇数组成的集合,集合B是由被4除余1的正整数组成的集合,则B⊆A.又7∈A,但7∉B,故B⫋A. 变式　(1)A　[解析] 由题知M={x|x=3(2k-1)+1,k∈Z},其中2k-1(k∈Z)表示奇数,而N={x|x=3k+1,k∈Z},故M⊆N.故选A. (2)解:各集合之间的关系为D⫋C⫋B⫋A,用Venn图表示如图所示. 探究点二 例2　解:集合{a}的所有子集为⌀,{a},共2个;所有真子集为⌀,共1个.集合{a,b}的所有子集为⌀,{a},{b},{a,b},共4个;所有真子集为⌀,{a},{b},共3个.集合{a,b,c}的所有子集为⌀,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c},共8个;所有真子集为⌀,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},共7个. 由此通过归纳并猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是2n,真子集的个数是2n-1,非空真子集的个数是2n-2. 变式　(1)C　[解析] 要使x∈A,∈Z,则x=1,4,9,故B中含有三个元素. 方法一(列举法):B的非空子集有{1},{4},{9},{1,4},{1,9},{4,9},{1,4,9},共7个. 方法二(公式法):B的非空子集有23-1=7(个),故选C. (2)解:由题意可知,M中必含元素1,2,且至少含有3,4,5中的一个,于是满足条件的集合M为{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}. 探究点三 例3　(1)m<-1　(2)D　[解析] (1)由x2≤1,得-1≤x≤1,即A={x|-1≤x≤1}.因为A⊆B,所以A中的所有元素x均满足x>m,A中的最小元素为-1,因此-1>m,所以m的取值范围是m<-1. (2)集合A={x|0<x<2},B={x|1<x<a},且B⊆A.当B=⌀时,a≤1,此时满足B⊆A,符合题意;当B≠⌀时,要使B⊆A,则需解得1<a≤2.综上可得,实数a的取值范围为a≤2.故选D. 变式　解:当B=⌀时,由2a>a+3,得a>3,满足B⫋A.当B≠⌀时,由B⫋A,可得或解得a<-4或2<a≤3.综上,实数a的取值范围为a<-4或a>2. 学科网（北京）股份有限公司 $