专题06 一次函数及其应用（5年汇编）（浙江专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 整合浙江2022-2023中考真题及2026模拟题，聚焦一次函数三大核心考点，突出实际应用与跨模块综合，适配中考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空/解答|多题覆盖|含一次函数图象性质、解析式求法、实际情境判断、分段函数建模，如2023杭州题三点求函数表达式|真题注重综合性（如2023温州题函数值之差考最值），模拟题情境创新（如刻漏计时、新能源汽车充电），体现数学建模与实际应用|

专题06 一次函数及其应用 5年真题1年模拟 考点分类 浙江考情（2022-2026） 命题规律 考点01一次函数的图象、性质与解析式 2023·浙江杭州·中考 2023·浙江温州·中考 2022·浙江杭州·中考 2022·浙江绍兴·中考 2022·浙江杭州·中考 2022·浙江绍兴·中考 2022-2023年浙江中考在本考点共收录6道真题，2024-2026年当前文档未收录相关真题。命题主要考查待定系数法求一次函数解析式、一次函数的增减性、函数图象交点与方程组解的关系，以及根据数据选择函数模型。题目常与坐标旋转、函数最值、实际测量数据等内容结合，不再局限于直接求斜率和截距。2023年温州题通过两个函数值之差考查一次函数在给定区间内的最值，综合性较强。复习时应重点掌握斜率与增减性的关系、两点确定直线、交点的方程意义以及自变量取值范围对最值的影响。 考点02 函数图象的信息获取与实际情境判断 2023·浙江嘉兴·中考 2022·浙江温州·中考 2022·浙江台州·中考 2022·浙江嘉兴·中考 2022-2023年浙江中考在本考点共收录4道真题，主要以选择题和综合解答题考查实际情境与函数图象之间的对应关系。题目根据变化速度、停留时间、起点终点及增减区间选择或补全图象，并从图象读取最值和满足条件的时间段。部分图象并非一次函数，因此本考点的核心不是计算解析式，而是理解图象所表达的实际意义。复习时应训练“横轴、纵轴、起点、转折点、斜率和水平线段”六个要素，避免仅凭图形外观作答。 考点03 一次函数的实际应用与分段函数 2023·浙江宁波·中考 2023·浙江金华·中考 2023·浙江嘉兴·中考 2023·浙江台州·中考 2022·浙江丽水·中考 2022-2023年浙江中考在本考点共收录5道真题，题目均具有较强的现实背景和综合性。命题素材丰富，主要考查根据图象或数据建立一次函数解析式、求交点、比较方案、处理分段运动以及解释函数结果的实际意义。2023年题目进一步引入误差平方和和模型优化，体现出数据建模、实践探究与二次函数最值的跨模块综合，具有明显创新性。复习时应重点训练分段函数的建模、函数交点的实际意义、方案选择的区间判断，以及由数据近似建立模型的能力。 考点01 一次函数的图象、性质与解析式 1．（2023·浙江杭州·中考真题）在“ “探索一次函数的系数与图像的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图像，并得到对应的函数表达式．分别计算，的值，其中最大的值等于_________． 2．（2023·浙江温州·中考真题）如图，在直角坐标系中，点在直线上，过点A的直线交y轴于点． (1)求m的值和直线的函数表达式． (2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值． 3．（2022·浙江杭州·中考真题）已知一次函数y=3x-1与y=kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2），则方程组的解是_________． 4．（2022·浙江绍兴·中考真题）已知为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点P(0，2)，点A(4，2)．以点P为旋转中心，把点A按逆时针方向旋转60°，得点B．在，，，四个点中，直线PB经过的点是（ ） A． B． C． D． 6．（2022·浙江绍兴·中考真题）一个深为6米的水池积存着少量水，现在打开水阀进水，下表记录了2小时内5个时刻的水位高度，其中x表示进水用时（单位：小时），y表示水位高度（单位：米）． x 0 0.5 1 1.5 2 y 1 1.5 2 2.5 3 为了描述水池水位高度与进水用时的关系，现有以下三种函数模型供选择：（），y=ax2+bx+c （），（）． (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式，并画出这个函数的图像． (2)当水位高度达到5米时，求进水用时x． 考点02 函数图象的信息获取与实际情境判断 1．（2023·浙江·中考真题）下图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度（y）与注水时间（x）关系的是（　　）    A． B． C． D． 2．（2022·浙江温州·中考真题）小聪某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为s米，所经过的时间为t分钟，下列选项中的图像，能近似刻画s与t之间关系的是（ ） A． B． C． D． 3．（2022·浙江台州·中考真题）吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上，家到公园、公园到学校的距离分别为400m，600m．他从家出发匀速步行8min到公园后，停留4min，然后匀速步行6min到学校，设吴老师离公园的距离为y（单位：m），所用时间为x（单位：min），则下列表示y与x之间函数关系的图象中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2022·浙江嘉兴·中考真题）6月13日，某港口的潮水高度y（）和时间x（h）的部分数据及函数图像如下：（数据来自某海洋研究所） x（h） … 11 12 13 14 15 16 17 18 … y（） … 189 137 103 80 101 133 202 260 … (1)数学活动： ①根据表中数据，通过描点、连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图像． ②观察函数图像，当时，y的值为多少？当y的值最大时，x的值为多少？ (2)数学思考： 请结合函数图像，写出该函数的两条性质或结论． (3)数学应用： 根据研究，当潮水高度超过260时，货轮能够安全进出该港口．请问当天什么时间段适合货轮进出此港口？ 考点03 一次函数的实际应用与分段函数 1．（2023·浙江宁波·中考真题）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学，上午8：00，军车在离营地的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）与所用时间t（h）的函数关系如图2所示． (1)求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值， (2)求部队官兵在仓库领取物资所用的时间． 2．（2023·浙江金华·中考真题）兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥步行先出发，途中速度保持不变；妹妹骑车，到书吧前的速度为200米/分．图2中的图象分别表示两人离学校的路程（米）与哥哥离开学校的时间（分）的函数关系． (1)求哥哥步行的速度． (2)已知妹妹比哥哥迟2分钟到书吧． ①求图中的值； ②妹妹在书吧待了10分钟后回家，速度是哥哥的倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上时兄妹俩离家还有多远；若不能，说明理由． 3．（2023·浙江·中考真题）我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅提升．为促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同．看图解答下列问题： (1)直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多； (2)求方案二y关于x的函数表达式； (3)如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案． 4．（2023·浙江台州·中考真题）【问题背景】 “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 流水时间t/min 0 10 20 30 40 水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 任务1  分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量． 【建立模型】 小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．    任务2  利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式． 【反思优化】 经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小． 任务3  （1）计算任务2得到的函数解析式的w值． （2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小． 【设计刻度】 得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务4  请你简要写出时间刻度的设计方案． 5．（2022·浙江丽水·中考真题）因疫情防控需要，一辆货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆轿车从甲地急送防疫专家到乙地．已知甲、乙两地的路程是，货车行驶时的速度是．两车离甲地的路程与时间的函数图象如图． (1)求出a的值； (2)求轿车离甲地的路程与时间的函数表达式； (3)问轿车比货车早多少时间到达乙地？ 1．（2026·浙江金华·二模）一次函数与的图象交于点，点的纵坐标为，则满足的的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 2．（2026·浙江杭州·二模）如图是某条公共汽车线路收支差额与乘客人数的函数图象（收支差额车票收入固定支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出两条建议：建议（1）是不改变固定支出费用，提高车票价格；建议（2）是不改变车票价格，减少固定支出费用．如图，给出四个图象，则（     ） A．①反映了建议（1），③反映了建议（2） B．②反映了建议（1），④反映了建议（2） C．③反映了建议（1），①反映了建议（2） D．④反映了建议（1），②反映了建议（2） 3．（2026·浙江台州·二模）如图1，是正方形的对角线，E为边上的动点（不与端点重合），点F在的延长线上，且，过点F作于点G，连结，．则下列哪个选项中的两个变量x，y的关系可以用图2的函数图象表示（     ） A．设的长为x，的面积为y B．设的长为x，的长为y C．设的长为x，的面积为y D．设的长为x，的长为y 4．（2026·浙江·模拟预测）如图1，在一个圆柱体容器中，用绳子悬挂长方体铁块P（绳子体积忽略不计）．现往容器内匀速注水，注满为止．水面高度与注水时间的关系如图2． (1)求图2中a的值． (2)求注水时间时的水面高度． 5．（2026·浙江丽水·一模）【阅读理解】 对于两个函数，当自变量任取一个值时，它们所对应的函数值之和为2，我们称这两个函数互为“关联函数”．例如：与互为“关联函数”． 【初步探究】 (1)如图，函数经过点，求该函数的“关联函数”表达式； 【深入思考】 (2)在（1）条件下，函数图象的一段向上平移个单位长度后，与它的“关联函数”的图象有交点．求的最小值． 6．（2026·浙江温州·三模）中国基建巨人逢山开路、遇海掘隧，筑就超级工程．甲、乙两工程队计划在30个月内，分别从A，B两地为起点，采用盾构机同时相向匀速对掘一条海底高铁隧道．开工后，因工况发生变化，甲队调慢了施工速度，乙队调快了施工速度．设施工时间为x（单位：月）时，工程队沿设计隧道到A地的路程为y（单位：米），甲、乙两队y关于x的函数关系分别如图所示． (1)这条海底高铁隧道的施工长度多少米？ (2)求乙队调快速度后，y关于x的函数关系式． (3)开工21个月后，甲、乙两队继续按调整后的速度施工，问：这条海底高铁隧道能如期完工吗？ 7．（2026·浙江温州·三模）某快递公司每天上午至为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件．该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示． (1)求图中的值及甲仓库的快件数量（件）与时间（分）的关系式． (2)何时甲、乙两仓库的快件数量相差件？ 8．（2026·浙江金华·三模）某生产商打算生产上市一款新产品，上市前做了一系列调查研究．新产品上市的第一个月，商品的需求量与供货量关于产品上市的天数（，且为整数）的函数图象如图所示，关于的函数关系式为：． (1)求关于的函数关系式； (2)当供货量超过需求量的时，生产销售该产品面临亏本的风险，则哪几天该产品面临亏本风险？ 9．（2026·浙江宁波·二模）2026年3月，宁波国际马拉松赛事圆满落幕．某补给车队从赛道起点出发，前往位于赛道半程的补给站运送物资．在补给车队出发后，志愿者小宁发现遗漏了一批物资，立即开车补送物资．小宁追上车队放下物资后按原速度返回，补给车队则保持原速前往补给站．补给车队和小宁离起点的路程（）和补给车队出发后的时间（）的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题： (1)补给车队的速度为____，的值为____； (2)求线段所在直线的函数表达式； (3)补给车队出发多少时间后，与小宁的距离为． 10．（2026·浙江舟山·二模）为缓解新能源汽车长途续航焦虑，某服务区推出快慢组合充电方案：车辆低电量时先慢充，再切换成快充，既保护电池寿命，又缓解充电桩使用压力．小明驾车进入服务区时，车辆剩余电量为，采用该组合方案充电．已知充电时电池电量百分比与充电时间（小时）的函数图象如图所示：线段为慢充图象，折线为快充图象．两种充电模式可切换，切换充电模式后，将按新模式的速度继续充电．根据相关信息，请回答下列问题． (1)两种充电模式分别从电量充到电量，求快充模式比慢充模式节省多少时间？ (2)求快充时与的函数关系式及自变量取值范围． (3)已知该车每电量可行驶，若距目的地还需行驶，到达终点时电车至少留有的电量．先慢充小时后立刻转快充，至少需要快充多长时间才能满足出行续航要求？ 11．（2026·浙江丽水·模拟预测）在某次举办的机器人长跑比赛中，有甲、乙两款机器人需要从相同起点同向跑步．机器人甲在跑步过程中速度保持不变，为，但每跑1小时需要更换电池原地休息12分钟；甲出发12分钟后机器人乙才出发，速度保持不变，为（），乙跑一段时间后，因为故障，原地修理了一段时间才继续按原速奔跑．已知机器人甲、乙跑步的路程y（）与甲跑步的时间x（）之间的函数关系图象如图所示． (1)______，______． (2)求线段所在直线的函数表达式． (3)直接写出机器人甲、乙相遇时乙跑步的时间． 12．（2026·浙江宁波·一模）2026宁波半程马拉松的赛程全长为21千米．小聪和小明两名选手同时从起点出发，小聪在整个比赛过程中保持匀速跑步，小明跑了60分钟后到达食品补给站，在补给站中休息10分钟后继续以原速跑到终点．小聪和小明离出发点的路程与出发时间之间的函数关系如图1所示，两人相距的路程与出发时间之间的函数关系如图2所示． (1)求小明跑步的速度（单位：千米/分）． (2)求图中的值． (3)两人出发多少分钟后，他们相距的路程最大，并求出该最大值． 13．（2026·浙江舟山·一模）甲、乙两辆满载水果的运输车同时从A地出发前往B地，甲车匀速行驶至距离A地的地时发生故障原地维修，后维修完毕，于是甲车匀速行驶到达B地．乙车匀速行驶到达距离A地的地，接着花费卸载水果，然后立即原路匀速返回A地，结果乙车回到A地时恰好甲车到达B地．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距离A地的距离（单位：）与它们离开A地的时间（单位：）之间的函数图象如图所示． 请结合图象信息，解答下列问题： (1)填表： 甲车离开A地的时间（单位：） 1 4 6.4 8 甲车离A地的距离（单位：） ______ 160 ______ ______ (2)请直接写出乙车行驶的全过程中与的函数关系式； (3)①图中的值为___________； ②在整个行驶过程中，求出当甲、乙两车相距时的值． 14．（2026·浙江杭州·二模）一次趣味运动会的“背夹球竞走”项目中，甲，乙两组同学参加比赛．规则是：每组选出的男女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上侧身走完规定的路程，气球不能落地．若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续前行，用时少者胜．结果甲组在途中掉了球，乙组则顺利走完路程．两组同学距离出发点的距离与比赛时间的函数关系如图所示．根据题意解答下列问题： (1)写出比赛总路程． (2)求比赛途中两组同学第二次相遇的时间． (3)试探究，在甲组同学保持原有运动状况，乙组同学到距离出发点最远处后，返回的速度超过多少才能取胜？ 15．（2026·浙江绍兴·二模）如图，在正方形中，为边上一点（不与点重合），连接，以为直径作圆，交对角线于点，连接并延长交于点，连接．已知． (1)若，求线段的长． (2)求证：． (3)设，记与的面积差为，试确定与的函数关系式． 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 一次函数及其应用 5年真题1年模拟 考点01 一次函数的图象、性质与解析式 1．5 2．【详解】（1）解：把点代入，得． 设直线的函数表达式为，把点，代入得 ，解得， ∴直线的函数表达式为． （2）解：∵点在线段上，点在直线上， ∴，， ∴． ∵， ∴的值随的增大而减小， ∴当时，的最大值为． 3． 4．D 5．B 6．【详解】（1）（1）选择y＝kx＋b，将（0，1），（1，2）代入， 得解得 ∴y＝x＋1（0≤x≤5）． （2）当y＝5时，x＋1＝5， ∴x＝4． 答：当水位高度达到5米时，进水用时x为4小时． 考点02 函数图象的信息获取与实际情境判断 1．D 2．A 3．C 4． 【详解】（1）①如图： ②观察函数图像： 当时，； 当y的值最大时，；． （2）答案不唯一． ①当时，y随x的增大而增大； ②当时，y有最小值80． （3）根据图像可得：当潮水高度超过260时和， 考点03 一次函数的实际应用与分段函数 1．【详解】（1）解：设大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式为，由图象可知，直线过点， ∴，解得：， ∴； 当时：，解得：， ∴； （2）由图象可知，军车的速度为：， ∴军车到达仓库所用时间为：， 从仓库到达基地所用时间为：， ∴部队官兵在仓库领取物资所用的时间为． 2．【详解】（1）解：由图可得， （米/分）， ∴哥哥步行速度为100米/分． （2）①根据妹妹到书吧前的速度为200米/分， ∴妹妹所用时间t为：（min）． ∵妹妹比哥哥迟2分钟到书吧， ∴． ②能追上． 如图，根据哥哥的速度没变，可得的解析式的k值相同，妹妹的速度减小但仍大于哥哥的速度， 将妹妹的行程图象补充完整， 设所在直线为， 将代入，得，解得， ∴． ∵妹妹的速度是160米/分． 设所在直线为， 将代入，得，解得， ∴． 联立方程，解得， ∴米，即追上时兄妹俩离家300米远． 3．【详解】（1）解：由图象可知交点坐标为，即员工生产30件产品时，两种方案付给的报酬一样多； （2）由图象可得点，设方案二的函数表达式为， 把代入上式，得 解得 ∴方案二的函数表达式为． （3）若每月生产产品件数不足30件，则选择方案二； 若每月生产产品件数就是30件，两种方案报酬相同，可以任选一种； 若每月生产产品件数超过30件，则选择方案一． 4．【详解】解：任务1：变化量分别为，；； ；； 任务2：设， ∵时，，时，； ∴ ∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为． 任务3：（1）当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴ ． （2）设，则 ． 当时，w最小． ∴优化后的函数解析式为． 任务4：根据高度随时间变化规律，以相同时间刻画不同高度即可，类似如数轴三要素，有原点、正方向与单位长度．最大量程约为294min可以代替单位长度要素． 5．【详解】（1）由图中可知，货车a小时走了90km， ∴a=； （2）设轿车离甲地的路程与时间的函数表达式为s=kt+b， 将（1.5，0）和（3，150）代入得， ， 解得，， ∴轿车离甲地的路程与时间的函数表达式为s=100t-150； （3）将s=330代入s=100t-150， 解得t=4.8， 两车相遇后，货车还需继续行驶：(h)， 到达乙地一共：3+3=6（h）， 6-4.8=1.2(h)， ∴轿车比货车早1.2h时间到达乙地． 1．B 2．A 3．C 4． 【详解】（1）解：段水面上涨的速度：， ； （2）解：设直线函数表达式，过点，，根据题意，得 ∴， 解得， ∴直线的函数表达式， 当时，水面高度． 5． 【详解】（1）解：∵函数经过点， ∴将点代入函数：，即， ∴原函数为， 根据“关联函数”的定义：两个函数的函数值之和为2，设关联函数为， 则：， ∴， ∴函数的“关联函数”表达式为； （2）解：函数在上向上平移m个单位后， 解析式为：， 它的“关联函数”为， ∵两个函数有交点，即方程在范围内有解， 解方程：，得， ∴， 解不等式：，得， 解不等式：，得， ∴的取值范围是，则的最小值为． 6．【详解】（1）解：由图象可得：这条海底高铁隧道的施工长度是11200米； （2）解：图象中段的掘进速度是米/月，段的掘进速度是米/月， ∴折线段表示的是乙队y关于x的函数图象， 设乙队调快速度后，段的函数关系式为， 则， 解得， ∴； （3）解：对于甲：段的掘进速度是米/月， 若甲、乙两队继续按调整后的速度施工， 21个月后，整个工程还剩余米， 还需个月， ， ∴这条海底高铁隧道能如期完工． 7．【详解】（1）解：设乙仓库的快件数量（件）与时间（分）的关系式是， 由函数图象可知，当时，，当时，， 可得：， 解得：， 乙仓库的快件数量（件）与时间（分）的关系式是， 当时， 可得：， ； 设甲仓库的快件数量（件）与时间（分）的关系式是， 由函数图象可知，当时，，当时，， 可得：， 解得：， 甲仓库的快件数量（件）与时间（分）的关系式是； （2）解：当甲、乙两仓库的快件数量相差件时， 可得：， 或， 当时， 整理得：， 解得：， 当时，甲、乙两仓库的快件数量相差件； 当时， 整理得：， 解得：， 当时，甲、乙两仓库的快件数量相差件； 综上所述，当和时甲、乙两仓库的快件数量相差件． 8．【详解】（1）解：由函数图象可知， 当时，设关于的函数关系式为， 将、代入得： ， 解得：， 此时关于的函数关系式为， 当时，， 综上所述，关于的函数关系式为：； （2）解：根据题意得，当，即时，会面临亏本的风险， 当时，，， ， 解得：， ， 为整数， 可以取18，19，20； 当时，，， ， 解得：， ， 为整数， 可以取21，22； 当时，，， ， ， 当时，不会面临亏本的风险， 综上所述，第到第天该产品面临亏本风险． 9.【详解】（1）解：由图可知：小宁追上车队时，车队出发了分钟，离起点的路程， ∴补给车队的速度为 ， ∵分钟，小宁第20分钟追上车队，用时分钟，按原速度返回，第分钟返回到起点，故分钟， （2）解：设 由题意得， 由图象过点，代入得， 解得， 所以函数表达式为 （3）解：①时，车队离小宁的距离为； ②设线段的解析式为，由图象过点，， ∴，解得 即 由（2）得，所以 解得， 答：补给车队出发或．后，与小宁的距离为． 10．【详解】（1）解：由题意得：慢充模式从电量充到电量耗时8小时， 快充模式从电量充到电量耗时2小时， 节省时间为：（小时）， 则快充模式比慢充模式节省6小时； （2）解：快充分为2段： 段时：线段经过点， 设其函数表达式为：， 将点坐标代入得： ， 解得：， 线段的函数表达式为， 段时：线段经过点， 设其函数表达式为：， 将点坐标代入得： ， 解得：， 线段的函数表达式为， 则快充时与的函数关系式为； （3）解：行驶需电量：， 到达终点至少保留，故总需电量：， 设慢充时函数表达式为， 把点代入得：， 解得：， 慢充时函数表达式为， 当时，， 则快充至少需要充电电量为：， 从充到需要：（小时）， 从充到需要：（小时） （小时） 因此，至少需要快充0.95小时． 11． 【详解】（1）解：12分钟小时，乙比甲晚出发小时， ， 当甲跑步时间时：甲的路程：， 乙跑步时间为，此时两者路程相等， 故． （2）解：由（1）知，， 设， 代入得， 解得：， ∴线段所在直线的函数表达式为； （3）解：第一次相遇：，乙跑步时间； 第二次相遇：乙维修停在处， ∵， ∴甲跑到时，， 此时乙总跑步时间为； 第三次相遇：时，则， 解得， 此时乙总跑步时间为； 综上所述，甲、乙相遇时乙跑步的时间为，，． 12．【详解】（1）解：小明跑步的速度为千米/分． （2）解：小明跑了60分钟，路程为15千米，根据图2，得此时二人相距5千米， 故此时小聪跑的路程为（千米）， 故图象经过点， 设对应的函数表达式， 由题意得图象过点， ，解得． 对应的函数表达式． 令， 解得． 的值为126． （3）解：当时，根据题意，得， 且s随x的增大而增大， 故时，s取得最大值，且最大值为（千米）； 当时，根据题意，得小明此时休息，路程保持15千米，小聪跑的路程表达式为， 故， 且s随x的增大而减小， 故时，s取得最大值，且最大值为（千米）； 此时取不到60，故最大值小于5千米即； 小明跑完最后所需的时间为． 当时，根据题意，得小明跑的路程表达式为， 小聪跑的路程表达式为， 故， 且s随x的增大而增大， 故时，s取得最大值，且最大值为（千米）； 当时，根据题意，得小明跑到了终点，路程为21千米，不变； 小聪跑的路程表达式为， 故， 且s随x的增大而减小， 故时，s取得最大值，且最大值为（千米）； 此时取不到94，故最大值小于千米即； ， 当时，他们之间相距最远，且为千米． 13． 【详解】（1）解：根据题意，当时，甲车的速度为， ∴甲车离开A地时，离A地的距离为， 由图象可知，甲车离开A地和时，离A地的距离分别为和； ∴填表如下： 甲车离开A地的时间（单位：） 1 4 6.4 8 甲车离A地的距离（单位：） 40 160 160 240 （2）解：当时，设乙车的与的函数关系式为， 代入，得，则； ∵， 则当时，此时； 当，设乙车的与的函数关系式为， 代入和，得， 解得， 综上，乙车行驶的全过程中与的函数关系式为； （3）解：①由（2）可知，； ②令， 解得， 当时，两车相遇， 当时，甲车的速度为， 根据题意得：， 解得： 当时，甲、乙两车相距； 当时， 根据题意得：， 解得； 当时， 根据题意得：， 解得 综上所述，当或或时，两车相距． 14．【详解】（1）解：比赛总路程为． （2）解：由图可知，第二次相遇是在到之间的两直线的交点处． 设， 把和代入中，得 ， 解得， ∴； 设， 把和代入中，得 ， 解得 ， 令，解得． ∴第二次相遇时间为． （3）解：从函数关系图可知，乙比甲晚到：， 当乙组同学的速度为：时，两组同学同时到达． ∴乙组同学到距离出发点最远处后，返回的速度超过才能取胜． 15．【详解】（1）解：如图，连接，    ∵为直径， ∴， ∵，， ∴， ∵是正方形的对角线， ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）证明：如图，延长至点，使得，连接，，    ∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）解：如图，连接、，过点分别作、的垂线，交、于点，过点作的垂线，交于点，    ∵，， ∴， ，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由正方形的轴对称性可知，由（）已知， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 同理可得，， ∴， ∴， 即． 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 一次函数及其应用 5年真题1年模拟 考点分类 浙江考情（2022-2026） 命题规律 考点01一次函数的图象、性质与解析式 2023·浙江杭州·中考 2023·浙江温州·中考 2022·浙江杭州·中考 2022·浙江绍兴·中考 2022·浙江杭州·中考 2022·浙江绍兴·中考 2022-2023年浙江中考在本考点共收录6道真题，2024-2026年当前文档未收录相关真题。命题主要考查待定系数法求一次函数解析式、一次函数的增减性、函数图象交点与方程组解的关系，以及根据数据选择函数模型。题目常与坐标旋转、函数最值、实际测量数据等内容结合，不再局限于直接求斜率和截距。2023年温州题通过两个函数值之差考查一次函数在给定区间内的最值，综合性较强。复习时应重点掌握斜率与增减性的关系、两点确定直线、交点的方程意义以及自变量取值范围对最值的影响。 考点02 函数图象的信息获取与实际情境判断 2023·浙江嘉兴·中考 2022·浙江温州·中考 2022·浙江台州·中考 2022·浙江嘉兴·中考 2022-2023年浙江中考在本考点共收录4道真题，主要以选择题和综合解答题考查实际情境与函数图象之间的对应关系。题目根据变化速度、停留时间、起点终点及增减区间选择或补全图象，并从图象读取最值和满足条件的时间段。部分图象并非一次函数，因此本考点的核心不是计算解析式，而是理解图象所表达的实际意义。复习时应训练“横轴、纵轴、起点、转折点、斜率和水平线段”六个要素，避免仅凭图形外观作答。 考点03 一次函数的实际应用与分段函数 2023·浙江宁波·中考 2023·浙江金华·中考 2023·浙江嘉兴·中考 2023·浙江台州·中考 2022·浙江丽水·中考 2022-2023年浙江中考在本考点共收录5道真题，题目均具有较强的现实背景和综合性。命题素材丰富，主要考查根据图象或数据建立一次函数解析式、求交点、比较方案、处理分段运动以及解释函数结果的实际意义。2023年题目进一步引入误差平方和和模型优化，体现出数据建模、实践探究与二次函数最值的跨模块综合，具有明显创新性。复习时应重点训练分段函数的建模、函数交点的实际意义、方案选择的区间判断，以及由数据近似建立模型的能力。 考点01 一次函数的图象、性质与解析式 1．（2023·浙江杭州·中考真题）在“ “探索一次函数的系数与图像的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图像，并得到对应的函数表达式．分别计算，的值，其中最大的值等于_________． 【答案】5 【分析】分别求出三个函数解析式，然后求出，进行比较即可解答． 【详解】解：设过，则有： ，解得：，则； 同理：， 则分别计算，的最大值为值． 故答案为5． 2．（2023·浙江温州·中考真题）如图，在直角坐标系中，点在直线上，过点A的直线交y轴于点． (1)求m的值和直线的函数表达式． (2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）把点A的坐标代入直线解析式可求解m，然后设直线的函数解析式为，进而根据待定系数法可进行求解函数解析式； （2）由（1）及题意易得，，则有，然后根据一次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：把点代入，得． 设直线的函数表达式为，把点，代入得 ，解得， ∴直线的函数表达式为． （2）解：∵点在线段上，点在直线上， ∴，， ∴． ∵， ∴的值随的增大而减小， ∴当时，的最大值为． 3．（2022·浙江杭州·中考真题）已知一次函数y=3x-1与y=kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2），则方程组的解是_________． 【答案】 【分析】根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解． 【详解】解：∵一次函数y=3x-1与y=kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2）， ∴联立y=3x-1与y=kx的方程组的解为：， 即的解为：， 故答案为：． 4．（2022·浙江绍兴·中考真题）已知为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据一次函数的性质和各个选项中的条件，可以判断是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵直线y=−2x+3 ∴y随x增大而减小，当y=0时，x=1.5 ∵(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)为直线y=−2x+3上的三个点，且x1<x2<x3 ∴若x1x2>0，则x1，x2同号，但不能确定y1y3的正负，故选项A不符合题意； 若x1x3<0，则x1，x3异号，但不能确定y1y2的正负，故选项B不符合题意； 若x2x3>0，则x2，x3同号，但不能确定y1y3的正负，故选项C不符合题意； 若x2x3<0，则x2，x3异号，则x1，x2同时为负，故y1，y2同时为正，故y1y2>0，故选项D符合题意． 故选：D． 5．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点P(0，2)，点A(4，2)．以点P为旋转中心，把点A按逆时针方向旋转60°，得点B．在，，，四个点中，直线PB经过的点是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可得B（2，2+2），利用待定系数法可得直线PB的解析式，依次将M1，M2，M3，M4四个点的一个坐标代入y=x+2中可解答． 【详解】解：∵点A（4，2），点P（0，2）， ∴PA⊥y轴，PA=4， 由旋转得：∠APB=60°，AP=PB=4， 如图，过点B作BC⊥y轴于C， ∴∠BPC=30°， ∴BC=2，PC=2， ∴B（2，2+2）， 设直线PB的解析式为：y=kx+b， 则， ∴， ∴直线PB的解析式为：y=x+2， 当y=0时，x+2=0，x=-， ∴点M1（-，0）不在直线PB上， 当x=-时，y=-3+2=1， ∴M2（-，-1）在直线PB上， 当x=1时，y=+2， ∴M3（1，4）不在直线PB上， 当x=2时，y=2+2， ∴M4（2，）不在直线PB上． 故选：B． 6．（2022·浙江绍兴·中考真题）一个深为6米的水池积存着少量水，现在打开水阀进水，下表记录了2小时内5个时刻的水位高度，其中x表示进水用时（单位：小时），y表示水位高度（单位：米）． x 0 0.5 1 1.5 2 y 1 1.5 2 2.5 3 为了描述水池水位高度与进水用时的关系，现有以下三种函数模型供选择：（），y=ax2+bx+c （），（）． (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式，并画出这个函数的图像． (2)当水位高度达到5米时，求进水用时x． 【答案】(1)y＝x＋1（0≤x≤5）， . (2)4小时 【分析】（1）观察表格数据，的增长量是固定的，故符合一次函数模型，建立模型待定系数法求解析式，画出函数图像即可求解； （2）根据，代入解析式求得的值即可求解． 【详解】（1）（1）选择y＝kx＋b，将（0，1），（1，2）代入， 得解得 ∴y＝x＋1（0≤x≤5）． （2）当y＝5时，x＋1＝5， ∴x＝4． 答：当水位高度达到5米时，进水用时x为4小时． 考点02 函数图象的信息获取与实际情境判断 1．（2023·浙江·中考真题）下图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度（y）与注水时间（x）关系的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据蓄水池的横断面示意图，可知水的深度增长的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不变，进而求解即可． 【详解】解：由蓄水池的横断面示意图可得， 水的深度增长的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不变， 故选：D． 2．（2022·浙江温州·中考真题）小聪某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为s米，所经过的时间为t分钟，下列选项中的图像，能近似刻画s与t之间关系的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别对每段时间的路程与时间的变化情况进行分析，画出路程与时间图像，再与选项对比判断即可． 【详解】解：对各段时间与路程的关系进行分析如下： 从家到凉亭，用时10分钟，路程600米，s从0增加到600米，t从0到10分，对应图像为 在凉亭休息10分钟，t从10分到20分，s保持600米不变，对应图像为 从凉亭到公园，用时间10分钟，路程600米，t从20分到30分，s从600米增加到1200米，对应图像为 故选：A． 3．（2022·浙江台州·中考真题）吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上，家到公园、公园到学校的距离分别为400m，600m．他从家出发匀速步行8min到公园后，停留4min，然后匀速步行6min到学校，设吴老师离公园的距离为y（单位：m），所用时间为x（单位：min），则下列表示y与x之间函数关系的图象中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据吴老师离公园的距离以及所用时间可判断． 【详解】解：吴老师家出发匀速步行8min到公园，表示从(0，400)运动到(8，0)； 在公园，停留4min，然后匀速步行6min到学校，表示从(12，0)运动到(18，600)； 故选：C． 4．（2022·浙江嘉兴·中考真题）6月13日，某港口的潮水高度y（）和时间x（h）的部分数据及函数图像如下： x（h） … 11 12 13 14 15 16 17 18 … y（） … 189 137 103 80 101 133 202 260 … （数据来自某海洋研究所） (1)数学活动： ①根据表中数据，通过描点、连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图像． ②观察函数图像，当时，y的值为多少？当y的值最大时，x的值为多少？ (2)数学思考： 请结合函数图像，写出该函数的两条性质或结论． (3)数学应用： 根据研究，当潮水高度超过260时，货轮能够安全进出该港口．请问当天什么时间段适合货轮进出此港口？ 【答案】(1)①如图： ②， (2)①当时，y随x的增大而增大；②当时，y有最小值80 (3)和 【分析】（1）①根据表格数据在函数图像上描点连线即可； ②根据函数图像估计即可； （2）从增减性、最值等方面说明即可； （3）根据图像找到y=260时所有的x值，再结合图像判断即可． 【详解】（1）①略 ②观察函数图像： 当时，； 当y的值最大时，；． （2）答案不唯一． ①当时，y随x的增大而增大； ②当时，y有最小值80． （3）根据图像可得：当潮水高度超过260时和， 考点03 一次函数的实际应用与分段函数 1．（2023·浙江宁波·中考真题）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学，上午8：00，军车在离营地的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）与所用时间t（h）的函数关系如图2所示． (1)求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值， (2)求部队官兵在仓库领取物资所用的时间． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式，将，代入解析式求出的值即可； （2）先求出军车的速度，然后分别求出军车到达仓库，和从仓库出发到达基地的时间，用总时间减去两段时间即可得解． 【详解】（1）解：设大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式为，由图象可知，直线过点， ∴，解得：， ∴； 当时：，解得：， ∴； （2）由图象可知，军车的速度为：， ∴军车到达仓库所用时间为：， 从仓库到达基地所用时间为：， ∴部队官兵在仓库领取物资所用的时间为． 2．（2023·浙江金华·中考真题）兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥步行先出发，途中速度保持不变；妹妹骑车，到书吧前的速度为200米/分．图2中的图象分别表示两人离学校的路程（米）与哥哥离开学校的时间（分）的函数关系． (1)求哥哥步行的速度． (2)已知妹妹比哥哥迟2分钟到书吧． ①求图中的值； ②妹妹在书吧待了10分钟后回家，速度是哥哥的倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上时兄妹俩离家还有多远；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)①； ②能追上． 如图，根据哥哥的速度没变，可得的解析式的k值相同，妹妹的速度减小但仍大于哥哥的速度， 将妹妹的行程图象补充完整， 设所在直线为， 将代入，得，解得， ∴． ∵妹妹的速度是160米/分． 设所在直线为， 将代入，得，解得， ∴． 联立方程，解得， ∴米， 即追上时兄妹俩离家300米远． 【分析】（1）结合图表可得，根据速度等于路程除以时间，即可解答； （2）①根据时间=路程÷速度可知妹妹到书吧所用的时间，再根据题意确定a得值即可； ②如图，将妹妹走完全程的图象画出，将和的解析式求出，求两个函数的交点即可． 【详解】（1）解：由图可得， （米/分）， ∴哥哥步行速度为100米/分． （2）①根据妹妹到书吧前的速度为200米/分， ∴妹妹所用时间t为：（min）． ∵妹妹比哥哥迟2分钟到书吧， ∴． ②略 3．（2023·浙江·中考真题）我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅提升．为促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同．看图解答下列问题： (1)直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多； (2)求方案二y关于x的函数表达式； (3)如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案． 【答案】(1)30件 (2) (3)若每月生产产品件数不足30件，则选择方案二；若每月生产产品件数就是30件，两种方案报酬相同，可以任选一种；若每月生产产品件数超过30件，则选择方案一 【分析】（1）由图象的交点坐标即可得到解答； （2）由图象可得点，设方案二的函数表达式为，利用待定系数法即可得到方案二y关于x的函数表达式； （3）利用图象的位置关系，结合交点的横坐标即可得到结论． 【详解】（1）解：由图象可知交点坐标为，即员工生产30件产品时，两种方案付给的报酬一样多； （2）由图象可得点，设方案二的函数表达式为， 把代入上式，得 解得 ∴方案二的函数表达式为． （3）若每月生产产品件数不足30件，则选择方案二； 若每月生产产品件数就是30件，两种方案报酬相同，可以任选一种； 若每月生产产品件数超过30件，则选择方案一． 4．（2023·浙江台州·中考真题）【问题背景】 “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 流水时间t/min 0 10 20 30 40 水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 任务1  分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量． 【建立模型】 小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．    任务2  利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式． 【反思优化】 经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小． 任务3  （1）计算任务2得到的函数解析式的w值． （2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小． 【设计刻度】 得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务4  请你简要写出时间刻度的设计方案． 【答案】任务1：变化量分别为，；；；； 任务2：； 任务3：（1）， （2）； 任务4：时间刻度方案要点： ①时间刻度的0刻度在水位最高处； ②刻度从上向下均匀变大； ③每0.102cm表示1min（1cm表示时间约为9.8min）． 【分析】任务1：根据表格每隔10min水面高度数据计算即可； 任务2：根据每隔10min水面高度观察值的变化量大约相等，得出水面高度h与流水时间t的是一次函数关系，由待定系数法求解； 任务3：（1）先求出对应时间的水面高度，再按要求求w值； （2）设，然后根据表格中数据求出此时w的值是关于k的二次函数解析式；由此求出w的值最小时k值即可； 任务4：根据高度随时间变化规律，以相同时间刻画不同高度即可，类似如数轴三要素，有原点、正方向与单位长度．最大量程约为294min可以代替单位长度要素． 【详解】解：任务1：变化量分别为，；； ；； 任务2：设， ∵时，，时，； ∴ ∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为． 任务3：（1）当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴ ． （2）设，则 ． 当时，w最小． ∴优化后的函数解析式为． 任务4：略 5．（2022·浙江丽水·中考真题）因疫情防控需要，一辆货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆轿车从甲地急送防疫专家到乙地．已知甲、乙两地的路程是，货车行驶时的速度是．两车离甲地的路程与时间的函数图象如图． (1)求出a的值； (2)求轿车离甲地的路程与时间的函数表达式； (3)问轿车比货车早多少时间到达乙地？ 【答案】(1)1.5 (2)s=100t-150 (3)1.2h 【分析】（1）根据货车行驶的路程和速度求出a的值； （2）将（a，0）和（3，150）代入s=kt+b中，待定系数法解出k和b的值即可； （3）求出汽车和货车到达乙地的时间，作差即可求得答案． 【详解】（1）由图中可知，货车a小时走了90km， ∴a=； （2）设轿车离甲地的路程与时间的函数表达式为s=kt+b， 将（1.5，0）和（3，150）代入得， ， 解得，， ∴轿车离甲地的路程与时间的函数表达式为s=100t-150； （3）将s=330代入s=100t-150， 解得t=4.8， 两车相遇后，货车还需继续行驶：(h)， 到达乙地一共：3+3=6（h）， 6-4.8=1.2(h)， ∴轿车比货车早1.2h时间到达乙地． 1．（2026·浙江金华·二模）一次函数与的图象交于点，点的纵坐标为，则满足的的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据与交点坐标的纵坐标，求出点的坐标，代入中，求出的解析式，再根据，列不等式方程组，即可求解． 【详解】∵与的图象交于点，点的纵坐标为， ∴将点的纵坐标为代入，解得：， ∴， 将代入，解得：， ∴， ∵， ∴，即 解得：， ∴当时，的取值范围是． 2．（2026·浙江杭州·二模）如图是某条公共汽车线路收支差额与乘客人数的函数图象（收支差额车票收入固定支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出两条建议：建议（1）是不改变固定支出费用，提高车票价格；建议（2）是不改变车票价格，减少固定支出费用．如图，给出四个图象，则（     ） A．①反映了建议（1），③反映了建议（2） B．②反映了建议（1），④反映了建议（2） C．③反映了建议（1），①反映了建议（2） D．④反映了建议（1），②反映了建议（2） 【答案】A 【分析】设车票价格为，固定支出费用为，列出函数关系式，根据和的变化判断图像斜率与截距的变化情况． 【详解】解：设车票价格为，固定支出费用为，则收支差额与乘客人数的函数关系式为， 建议（1），不改变固定支出费用，提高车票价格，即不变，增大， 图像与轴的交点不变，直线的倾斜程度变大（更陡），故图①反映了建议（1）； 建议（2），不改变车票价格，减少固定支出费用，即不变，减小，增大， 图像与轴的交点向上移动，且两直线平行，故图③反映了建议（2）； 本题选A． 3．（2026·浙江台州·二模）如图1，是正方形的对角线，E为边上的动点（不与端点重合），点F在的延长线上，且，过点F作于点G，连结，．则下列哪个选项中的两个变量x，y的关系可以用图2的函数图象表示（     ） A．设的长为x，的面积为y B．设的长为x，的长为y C．设的长为x，的面积为y D．设的长为x，的长为y 【答案】C 【分析】设正方形边长为，分别列出各选项中与的函数关系式，结合图象特征（不过原点的上升线段，即一次函数且）进行判断． 【详解】解：设正方形的边长为，则，． 对于A，， 是正比例函数，图象过原点，不符合题意； 对于B，在Rt中，， 不是一次函数，不符合题意； 对于C，， ，． ，， 是等腰直角三角形． ∴， 过点作于， ∴， 又， ∴点到的距离为． ． ， 是的一次函数，且，， ∴其图象为不过原点的上升线段，符合题意； 对于D，∵，． 在Rt中，， 不是一次函数，不符合题意． 4．（2026·浙江·模拟预测）如图1，在一个圆柱体容器中，用绳子悬挂长方体铁块P（绳子体积忽略不计）．现往容器内匀速注水，注满为止．水面高度与注水时间的关系如图2． (1)求图2中a的值． (2)求注水时间时的水面高度． 【答案】(1)40； (2)． 【分析】（1）先由图象可知铁块全部进入水中后的水面上涨速度，即段水面上涨的速度，再求出水面上涨的高度即可； （2）先根据待定系数法求出直线的关系式，再将代入求出答案． 【详解】（1）解：段水面上涨的速度：， ； （2）解：设直线函数表达式，过点，，根据题意，得 ∴， 解得， ∴直线的函数表达式， 当时，水面高度． 5．（2026·浙江丽水·一模）【阅读理解】 对于两个函数，当自变量任取一个值时，它们所对应的函数值之和为2，我们称这两个函数互为“关联函数”．例如：与互为“关联函数”． 【初步探究】 (1)如图，函数经过点，求该函数的“关联函数”表达式； 【深入思考】 (2)在（1）条件下，函数图象的一段向上平移个单位长度后，与它的“关联函数”的图象有交点．求的最小值． 【答案】(1) (2)的最小值为． 【分析】（1）利用待定系数法求得原函数为，根据“关联函数”的定义：两个函数的函数值之和为2，列式求解即可； （2）根据题意两个函数有交点，即方程在范围内有解，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵函数经过点， ∴将点代入函数：，即， ∴原函数为， 根据“关联函数”的定义：两个函数的函数值之和为2，设关联函数为， 则：， ∴， ∴函数的“关联函数”表达式为； （2）解：函数在上向上平移m个单位后， 解析式为：， 它的“关联函数”为， ∵两个函数有交点，即方程在范围内有解， 解方程：，得， ∴， 解不等式：，得， 解不等式：，得， ∴的取值范围是，则的最小值为． 6．（2026·浙江温州·三模）中国基建巨人逢山开路、遇海掘隧，筑就超级工程．甲、乙两工程队计划在30个月内，分别从A，B两地为起点，采用盾构机同时相向匀速对掘一条海底高铁隧道．开工后，因工况发生变化，甲队调慢了施工速度，乙队调快了施工速度．设施工时间为x（单位：月）时，工程队沿设计隧道到A地的路程为y（单位：米），甲、乙两队y关于x的函数关系分别如图所示． (1)这条海底高铁隧道的施工长度多少米？ (2)求乙队调快速度后，y关于x的函数关系式． (3)开工21个月后，甲、乙两队继续按调整后的速度施工，问：这条海底高铁隧道能如期完工吗？ 【答案】(1)11200米 (2) (3)这条海底高铁隧道能如期完工 【分析】（1）根据坐标系中纵轴的数据可得答案； （2）先判断折线段表示的是乙队y关于x的函数图象，再利用待定系数法求解； （3）先求出甲队调整后的掘进速度，求出开工21个月后剩余的工作量，求得剩余工程所需要时间，与21个月相加，再与计划时间比较即可． 【详解】（1）解：由图象可得：这条海底高铁隧道的施工长度是11200米； （2）解：图象中段的掘进速度是米/月，段的掘进速度是米/月， ∴折线段表示的是乙队y关于x的函数图象， 设乙队调快速度后，段的函数关系式为， 则， 解得， ∴； （3）解：对于甲：段的掘进速度是米/月， 若甲、乙两队继续按调整后的速度施工， 21个月后，整个工程还剩余米， 还需个月， ， ∴这条海底高铁隧道能如期完工． 7．（2026·浙江温州·三模）某快递公司每天上午至为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件．该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示． (1)求图中的值及甲仓库的快件数量（件）与时间（分）的关系式． (2)何时甲、乙两仓库的快件数量相差件？ 【答案】(1)，甲仓库的快件数量（件）与时间（分）的关系式为 (2)当和时甲、乙两仓库的快件数量相差件 【分析】（1）用待定系数法求出乙仓库的快件数量（件）与时间（分）的关系式，利用函数关系式求出的值；用待定系数法求出甲仓库的快件数量（件）与时间（分）的关系式； （2）当甲、乙两仓库的快件数量相差件时，可得方程，解方程求出的值，再求出甲、乙两仓库的快件数量相差件时的时刻． 【详解】（1）解：设乙仓库的快件数量（件）与时间（分）的关系式是， 由函数图象可知，当时，，当时，， 可得：， 解得：， 乙仓库的快件数量（件）与时间（分）的关系式是， 当时， 可得：， ； 设甲仓库的快件数量（件）与时间（分）的关系式是， 由函数图象可知，当时，，当时，， 可得：， 解得：， 甲仓库的快件数量（件）与时间（分）的关系式是； （2）解：当甲、乙两仓库的快件数量相差件时， 可得：， 或， 当时， 整理得：， 解得：， 当时，甲、乙两仓库的快件数量相差件； 当时， 整理得：， 解得：， 当时，甲、乙两仓库的快件数量相差件； 综上所述，当和时甲、乙两仓库的快件数量相差件． 8．（2026·浙江金华·三模）某生产商打算生产上市一款新产品，上市前做了一系列调查研究．新产品上市的第一个月，商品的需求量与供货量关于产品上市的天数（，且为整数）的函数图象如图所示，关于的函数关系式为：． (1)求关于的函数关系式； (2)当供货量超过需求量的时，生产销售该产品面临亏本的风险，则哪几天该产品面临亏本风险？ 【答案】(1) (2)第到第天面临亏本风险 【分析】（1）由函数图象可知，关于的函数图象由两段组成，当时，关于的函数图象为一次函数，利用待定系数法求出此时的关于的函数关系式，再求出当时，恒为32； （2）根据题意得，当时，会面临亏本的风险，分情况讨论：当或或时列出不等式，结合为整数求解即可． 【详解】（1）解：由函数图象可知， 当时，设关于的函数关系式为， 将、代入得： ， 解得：， 此时关于的函数关系式为， 当时，， 综上所述，关于的函数关系式为：； （2）解：根据题意得，当，即时，会面临亏本的风险， 当时，，， ， 解得：， ， 为整数， 可以取18，19，20； 当时，，， ， 解得：， ， 为整数， 可以取21，22； 当时，，， ， ， 当时，不会面临亏本的风险， 综上所述，第到第天该产品面临亏本风险． 9．（2026·浙江宁波·二模）2026年3月，宁波国际马拉松赛事圆满落幕．某补给车队从赛道起点出发，前往位于赛道半程的补给站运送物资．在补给车队出发后，志愿者小宁发现遗漏了一批物资，立即开车补送物资．小宁追上车队放下物资后按原速度返回，补给车队则保持原速前往补给站．补给车队和小宁离起点的路程（）和补给车队出发后的时间（）的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题： (1)补给车队的速度为____，的值为____； (2)求线段所在直线的函数表达式； (3)补给车队出发多少时间后，与小宁的距离为． 【答案】(1)；； (2)； (3)补给车队出发或后，与小宁的距离为． 【分析】此题为一次函数的应用，解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义． （1）根据小宁追上车队时，车队出发了分钟，离起点的路程，即小宁用时10分钟赶上车，由此即可得出返回时间为10分钟，得出分钟； （2）由（1）求得补给车队的速度为 ，再结合，利用待定系数法即可得线段所在直线的函数表达式； （3）分两种情况：小宁出发时，补给车队与小宁的距离刚好为．再求出小宁返回时，线段的解析式为，根据补给车队与小宁的距离为，求出即可． 【详解】（1）解：由图可知：小宁追上车队时，车队出发了分钟，离起点的路程， ∴补给车队的速度为 ， ∵分钟，小宁第20分钟追上车队，用时分钟，按原速度返回，第分钟返回到起点，故分钟， （2）解：设 由题意得， 由图象过点，代入得， 解得， 所以函数表达式为 （3）解：①时，车队离小宁的距离为； ②设线段的解析式为，由图象过点，， ∴，解得 即 由（2）得，所以 解得， 答：补给车队出发或．后，与小宁的距离为． 10．（2026·浙江舟山·二模）为缓解新能源汽车长途续航焦虑，某服务区推出快慢组合充电方案：车辆低电量时先慢充，再切换成快充，既保护电池寿命，又缓解充电桩使用压力．小明驾车进入服务区时，车辆剩余电量为，采用该组合方案充电．已知充电时电池电量百分比与充电时间（小时）的函数图象如图所示：线段为慢充图象，折线为快充图象．两种充电模式可切换，切换充电模式后，将按新模式的速度继续充电．根据相关信息，请回答下列问题． (1)两种充电模式分别从电量充到电量，求快充模式比慢充模式节省多少时间？ (2)求快充时与的函数关系式及自变量取值范围． (3)已知该车每电量可行驶，若距目的地还需行驶，到达终点时电车至少留有的电量．先慢充小时后立刻转快充，至少需要快充多长时间才能满足出行续航要求？ 【答案】(1)6小时 (2) (3)0.95小时 【分析】（1）分别求出两种充电模式从电量充到电量耗时，即可求解； （2）利用待定系数法分别求出对应段的函数表达式即可； （3）先求出总需电量，再利用待定系数法求出慢充模式的函数表达式，得出时，，切换快充后，分段求出从充到以及充到所需要的时间，由此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：慢充模式从电量充到电量耗时8小时， 快充模式从电量充到电量耗时2小时， 节省时间为：（小时）， 则快充模式比慢充模式节省6小时； （2）解：快充分为2段： 段时：线段经过点， 设其函数表达式为：， 将点坐标代入得： ， 解得：， 线段的函数表达式为， 段时：线段经过点， 设其函数表达式为：， 将点坐标代入得： ， 解得：， 线段的函数表达式为， 则快充时与的函数关系式为； （3）解：行驶需电量：， 到达终点至少保留，故总需电量：， 设慢充时函数表达式为， 把点代入得：， 解得：， 慢充时函数表达式为， 当时，， 则快充至少需要充电电量为：， 从充到需要：（小时）， 从充到需要：（小时） （小时） 因此，至少需要快充0.95小时． 11．（2026·浙江丽水·模拟预测）在某次举办的机器人长跑比赛中，有甲、乙两款机器人需要从相同起点同向跑步．机器人甲在跑步过程中速度保持不变，为，但每跑1小时需要更换电池原地休息12分钟；甲出发12分钟后机器人乙才出发，速度保持不变，为（），乙跑一段时间后，因为故障，原地修理了一段时间才继续按原速奔跑．已知机器人甲、乙跑步的路程y（）与甲跑步的时间x（）之间的函数关系图象如图所示． (1)______，______． (2)求线段所在直线的函数表达式． (3)直接写出机器人甲、乙相遇时乙跑步的时间． 【答案】(1)；12 (2)； (3)，， 【分析】（1）先求出当甲跑步时间时甲的路程，用路程除以甲的速度再加上两次休息的时间可求出t的值；由题意可知此时乙跑步时间为，即可求出的值； （2）设，将，代入计算即可； （3）分三种情况作答即可． 【详解】（1）解：12分钟小时，乙比甲晚出发小时， ， 当甲跑步时间时：甲的路程：， 乙跑步时间为，此时两者路程相等， 故． （2）解：由（1）知，， 设， 代入得， 解得：， ∴线段所在直线的函数表达式为； （3）解：第一次相遇：，乙跑步时间； 第二次相遇：乙维修停在处， ∵， ∴甲跑到时，， 此时乙总跑步时间为； 第三次相遇：时，则， 解得， 此时乙总跑步时间为； 综上所述，甲、乙相遇时乙跑步的时间为，，． 12．（2026·浙江宁波·一模）2026宁波半程马拉松的赛程全长为21千米．小聪和小明两名选手同时从起点出发，小聪在整个比赛过程中保持匀速跑步，小明跑了60分钟后到达食品补给站，在补给站中休息10分钟后继续以原速跑到终点．小聪和小明离出发点的路程与出发时间之间的函数关系如图1所示，两人相距的路程与出发时间之间的函数关系如图2所示． (1)求小明跑步的速度（单位：千米/分）． (2)求图中的值． (3)两人出发多少分钟后，他们相距的路程最大，并求出该最大值． 【答案】(1)千米/分 (2)126 (3)出发时，两人相距最远为 【分析】（1）根据速度的定义求解即可； （2）设对应的函数表达式，待定系数法求解即可； （3）根据题意，分，， ， ，求解即可； 【详解】（1）解：小明跑步的速度为千米/分． （2）解：小明跑了60分钟，路程为15千米，根据图2，得此时二人相距5千米， 故此时小聪跑的路程为（千米）， 故图象经过点， 设对应的函数表达式， 由题意得图象过点， ，解得． 对应的函数表达式． 令， 解得． 的值为126． （3）解：当时，根据题意，得， 且s随x的增大而增大， 故时，s取得最大值，且最大值为（千米）； 当时，根据题意，得小明此时休息，路程保持15千米，小聪跑的路程表达式为， 故， 且s随x的增大而减小， 故时，s取得最大值，且最大值为（千米）； 此时取不到60，故最大值小于5千米即； 小明跑完最后所需的时间为． 当时，根据题意，得小明跑的路程表达式为， 小聪跑的路程表达式为， 故， 且s随x的增大而增大， 故时，s取得最大值，且最大值为（千米）； 当时，根据题意，得小明跑到了终点，路程为21千米，不变； 小聪跑的路程表达式为， 故， 且s随x的增大而减小， 故时，s取得最大值，且最大值为（千米）； 此时取不到94，故最大值小于千米即； ， 当时，他们之间相距最远，且为千米． 13．（2026·浙江舟山·一模）甲、乙两辆满载水果的运输车同时从A地出发前往B地，甲车匀速行驶至距离A地的地时发生故障原地维修，后维修完毕，于是甲车匀速行驶到达B地．乙车匀速行驶到达距离A地的地，接着花费卸载水果，然后立即原路匀速返回A地，结果乙车回到A地时恰好甲车到达B地．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距离A地的距离（单位：）与它们离开A地的时间（单位：）之间的函数图象如图所示． 请结合图象信息，解答下列问题： (1)填表： 甲车离开A地的时间（单位：） 1 4 6.4 8 甲车离A地的距离（单位：） ______ 160 ______ ______ (2)请直接写出乙车行驶的全过程中与的函数关系式； (3)①图中的值为___________； ②在整个行驶过程中，求出当甲、乙两车相距时的值． 【答案】(1)40；160；240 (2) (3)①144；②或或 【分析】（1）根据题意，结合图象先计算当时，甲车的速度，即可得到对应的路程，其余两空可直接由图象获取数据； （2）利用待定系数法，分，，时，分别求解即可； （3）先求得乙车的时，，然后分，，，时，根据两车的距离列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，当时，甲车的速度为， ∴甲车离开A地时，离A地的距离为， 由图象可知，甲车离开A地和时，离A地的距离分别为和； ∴填表如下： 甲车离开A地的时间（单位：） 1 4 6.4 8 甲车离A地的距离（单位：） 40 160 160 240 （2）解：当时，设乙车的与的函数关系式为， 代入，得，则； ∵， 则当时，此时； 当，设乙车的与的函数关系式为， 代入和，得， 解得， 综上，乙车行驶的全过程中与的函数关系式为； （3）解：①由（2）可知，； ②令， 解得， 当时，两车相遇， 当时，甲车的速度为， 根据题意得：， 解得： 当时，甲、乙两车相距； 当时， 根据题意得：， 解得； 当时， 根据题意得：， 解得 综上所述，当或或时，两车相距． 14．（2026·浙江杭州·二模）一次趣味运动会的“背夹球竞走”项目中，甲，乙两组同学参加比赛．规则是：每组选出的男女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上侧身走完规定的路程，气球不能落地．若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续前行，用时少者胜．结果甲组在途中掉了球，乙组则顺利走完路程．两组同学距离出发点的距离与比赛时间的函数关系如图所示．根据题意解答下列问题： (1)写出比赛总路程． (2)求比赛途中两组同学第二次相遇的时间． (3)试探究，在甲组同学保持原有运动状况，乙组同学到距离出发点最远处后，返回的速度超过多少才能取胜？ 【答案】(1) (2)第二次相遇时间为 (3)乙组同学到距离出发点最远处后，返回的速度超过才能取胜 【分析】（1）最远距离的2倍即为比赛总路程； （2）第二次相遇是在到之间的两直线的交点处，利用待定系数法求出甲和乙的函数解析式，求出交点的横坐标即可； （3）乙组获胜需满足时间少于，用路程除以时间即可得到获胜的速度． 【详解】（1）解：比赛总路程为． （2）解：由图可知，第二次相遇是在到之间的两直线的交点处． 设， 把和代入中，得 ， 解得， ∴； 设， 把和代入中，得 ， 解得 ， 令，解得． ∴第二次相遇时间为． （3）解：从函数关系图可知，乙比甲晚到：， 当乙组同学的速度为：时，两组同学同时到达． ∴乙组同学到距离出发点最远处后，返回的速度超过才能取胜． 15．（2026·浙江绍兴·二模）如图，在正方形中，为边上一点（不与点重合），连接，以为直径作圆，交对角线于点，连接并延长交于点，连接．已知． (1)若，求线段的长． (2)求证：． (3)设，记与的面积差为，试确定与的函数关系式． 【答案】(1) (2)证明：如图，延长至点，使得，连接，，    ∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； (3) 【分析】（）连接，由圆周角定理得，即得，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理解答即可求解； （）延长至点，使得，连接，，可证，得到，，，再证明，得到，进而由 即可求证； （）连接、，过点分别作、的垂线，交、于点，过点作的垂线，交于点，可得，由四边形是矩形得，又由正方形的轴对称性可知，由（）已知，进而得到，即得到 ，由根据等腰直角三角形的性质和勾股定理得，，得到，最后根据列出函数关系式即可． 【详解】（1）解：如图，连接，    ∵为直径， ∴， ∵，， ∴， ∵是正方形的对角线， ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）略 （3）解：如图，连接、，过点分别作、的垂线，交、于点，过点作的垂线，交于点，    ∵，， ∴， ，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由正方形的轴对称性可知，由（）已知， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 同理可得，， ∴， ∴， 即． 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $