浙江省2025年初中学业水平考试-【中考密码】备战2026年中考数学真题汇编

8.某书店某一天图书的销售情况如图所示， 浙江省2025年初中学业水平考试 CE1.225) 销售量/ Fn,225) 150 130 10 数学 90 70 (本试卷满分120分，考试时间120分钟) 图1 图2 0教育类科技类文艺类其他类种类 A.m=12 选择题部分 5.已知反比例属数y=二了，下列选项正确的是（) 书店某天图书销售情况 B.n=24 条形统计图 C.点C的纵坐标为240 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共 A.函数图象在第一、三象限 技 B.y随x的增大而减小 D.点(15,85)在该函数图象上 30分.每小题列出的四个选项中只有一个是符 教育到 合题目要求的，不选、多选、错选均不得分) C.函数图象在第二，四象限 文艺类 37.5% 非选择题部分 1.的相反数是 D.y随x的增大而增大 其他类 6.如图，五边形ABCDE,A'B'CD'E是以坐标原 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 点O为位似中心的位似图形，已知点A,A'的坐 书店某天图书销售情况 A 11.1-51+9-27= 扇形统计图 标分别为(2,0)，(3,0).若DE的长为3，则DE () 根据以上信息，下列选项错误的是 12不等式组≥-2， 的解集是 -台 的长为 2x-3<5 A.科技类图书销售了60册 13.无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空 2.如图所示，直线a,b被直线c所截.若ab,∠1 B.文艺类图书销售了120册 经济高质量发展的重要实践方向（如图1）.如图2， 91°，则 C.文艺类图书销售占比30% 在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人 D.其他类图书销售占比18% 机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下 9.如图，在Rt△ABC中，∠A=35°，CD是斜边AB 方公路上，点B处有汽车发生故障测得A处到P处 上的中线，以点C为圆心，CD长为半径作弧，与 的距离为500m,从点A观测点P的仰角为a, 9 AB的另一个交点为点E.若AB=2,则DE的 A.∠2=91 B.∠3=91 A.2 B.4 C.2 D.5 cosa=0.98,则A处到B处的距离为 长为 C.∠4=919 D.∠5=91 7.手工社团的同学制作两种手工艺品A和B,需要 3.国家税务总局发布的数据显示，2024年，现行支 用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如 持科技创新和制造业发展的主要政策减税降费及 下表 图1 图2 退税达26293亿元，助力我国新质生产力加速培 材料 14.现有六张分别标有数字1,2,3,4,5,6的卡片，其 类别 育、制造业高质量发展.将数2629300000000用 彩色纸（张） 细木条（捆） 中标有数字1,4,5的卡片在甲手中，标有数字2， 手工艺品A ǒ 科学记数法表示为 ( 3 手工艺品B 2 1 A.g B.g 3,6的卡片在乙手中.两人各随机出一张卡片， A.26.293×10 B.2.6293×10 如果一共用了17张彩色纸和10拥细木条，问他 10.为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动 甲出的卡片数字比乙大的概率是 C.0.26293×10 D.2.6293×1010 们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品 点与观测点之间距离的平方.如图1，点P是 15.【文化欣赏】 4.底面是正六边形的直棱柱如图所示，其俯视图是 A有x个，手工艺品B有y个，则x和y满足的 个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九高 方程组是 () 路AB向目的地B处运动.设AQ为x(单位： 算法》，书中记载的二项和的乘方(a十b)”展开式的 5x+3y=17, 5.x+3y=10, km)(0x≤n),PQ°为y(单位：km).如图2， 系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： A2x+y=10 B. 2x+y=17 y关于x的函数图象与y轴交于点C,最低 (a+b)'=a'+4ab+6a2b2+4ab3+b. 5.x+2y=17, n/同+2=10. 点D(m,81),且经过E(1,225)和F(n,225)两 【应用体验】 c. D主视方向 3x+y=10 3.x+y=17 点.下列选项正确的是 已知(x十2)=x1十m.x3+24x2+32x十16，则 第58页 m的值为 19.(本小题满分8分)【问题背景】 21.(本小题满分8分)【阅读理解】 (2)若AB=BC,OB=3,求四边形ODCE的 如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 面积 上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线 (a士b)2=a2士2ab+b2 o BD上. 近似计算算术平方根的方法。 foee 例如求67的近似值， foeeo 因为64<67<81， 柔⊙四因四日 所以8w67<9, 果O面①①国O 某O⑧0国围⑧日 【数学理解】 则√67可以设成以下两种形式： (1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请 ①67=8+5，其中0<x<1: 23.(本小题满分10分)已知抛物线y=x2一ax十5 16.如图，矩形ABCD内接于⊙O,E是AD上一 写出△ABE≌△CBE的证明过程. ②67=9一t,其中0<1<1. (a为常数)经过点(1,0). 点，连接EB,EC分别交AD于点F,G,若AF= (2)若裁剪过程中满足DE=DA,求“机翼角” (1)求a的值 1,EG=FG=3,则⊙O的直径为 小明以①的形式求67的近似值的过程如图. ∠BAE的度数. (2)过点A(0,1)与x轴平行的直线交抛物线于 因为√67=8十s,所以67=(8十s) B,C两点，且点B为线段AC的中点，求的值 即67=64+16s+s2. (3)设m<3<n,抛物线的一段y=x2-ar+5 因为2比较小，将x2忽略不计， (m≤x≤n)夹在两条均与x轴平行的直线l1l 所以67≈64+16s,即16s≈67一64. 之间.若直线11，l:之间的距离为16，求n一m 20.(本小题满分8分)2024年11月9日是浙江省第 得s≈67-643 的最大值 三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出 31个消防日，为增强师生消防安全意识、提高自 1616' 文字说明、证明过程或演算步骤)】 救防范能力，某县教育与消防部门共同组织消防 17.(本小题满分8分)化简求值：x(5一x)十x2+3, 放，678+是819 知识竞赛.全县九年级共120个班，每班选派 其中x=2. 10名选手参加.随机抽取其中10个班级，统计 【尝试探究】 24.(本小题满分12分)在菱形ABCD中，AB=5, 其获奖人数，结果如下表 (1)请用②的形式求√67的近似值（结果保留 AC=8. 班级①②③④⑤@⑦图④⑩ 2位小数). (1)如图1，求sin∠BAC的值. 获奖人数7868669785 【比较分析】 (2)如图2，E是AD延长线上的一点，连接BE, (1)若①班获奖选手的成绩分别为（单位：分）： (2)你认为用哪一种形式得出的67的近似值的 作△FBE与△ABE关于直线BE对称.EF交 83,91,83,90,83,88,91,求该班获奖选手成绩的 精确度更高，请说明理由， 射线AC于点P,连接BP, 众数与中位数. ①当EF⊥AC时，求AE的长. 18(体小题满分8分解分式方程，是二-0 (2)根据统计信息，估计全县九年级参赛选手获 ②求PA一PB的最小值. 奖的总人数 22.(本小题满分10分)如图，在△ABC中，AB= AC,点O在边AB上，以点O为圆心，OB长为 半径的半圆，交BC于点D,与AC相切于点E, 连接OD.OE. (1)求证：OD⊥OE. 第59页浙江省2025年衣 答案速查 精准定位，正误立现 1-5 ABBAC 610 CCDBD 11212-2x4 13490 149 4 158162/14 详解详析 理清思路，拓展思维 1.A【考点】相反数 2.B【解析】平行线的性质，a仍，∴.∠3=∠1=91°，∠2= ∠4=∠5=180°-∠3=89°.故选B. 3.B【考点】科学记数法 4.A【解析】三视图从几何体的上面往下看得到的几何图形 如选项A中图形所示，故选A 5.C【解析】反比例函数的图象与性质在反比例函数y= 一7 中，一7<0，∴.函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内 y随x的增大而增大.故选C 6.C【解析】位似图形的性质+相似三角形的判定与性质由题 知8E-80-8器=台∠0E=∠D0E.△0En △DOE'(关键：位似图形的对应顶，点与位似中心连线所得图 形是相a周形.858能-号：DE=3,DE=号 故选C 7.C【考点】二元一次方程组的应用 8.D【解析】条形统计图+扇形统计图由题知书店一天总销 售量为150÷37.5%=400（册）.对于A,科技类图书销售了 400×15%=60(册)，故A正确.对于B,文艺类图书销售了 400一(150十60+70)=120（册），故B正确.对于C,文艺类图 书销售古比为需<10%=30%，故C正确对于D,其他类图 书销你古比为码×10%=17.5%，放D错灵放送D 9.B【解析】尺规作图+弧长公式如图，连接CE,:∠ACB= 90,D是AB的中点，∴.CD=AD=?AB=1(提示：直角三角 形斜边上的中线等于斜边的一半).∠ACD=∠A=35. ∴.∠CDE=∠A+∠ACD=70°.：CD=CE,∴.∠CED= ∠CDE=70°.∴.∠DCE=180°-70°-70°=40°.∴.DE的长为 -号（提示：若痛彩的圆心角为，年径为，别孤长 180 为)故选B 10.D【解析】动点问题+函数的图象+勾股定理+垂线段最 短+等腰三角形的性质 中学业水平考试 [第1步，作PH LAB,当x=1时，设动点Q运动到，点M,求 PM,PH,MH,再根据勾股定理建立关于m的方程，解方 程可得m的值，据此判断A] 如图，作PH⊥AB于点H,当x=1时，设动点Q运动到点M 的位置，连接PM,由题知PM2=225,当点Q运动到点H的 时候，PQ最小（提示：垂线段最短），即PH=81,MH=m 1.在Rt△PHM中，由勾股定理得225=81+(m-1)2,解得 m=13(舍负)，故A错误. [第2步，求AH,MH,由等腰三角形的性质得BH=MH,从 而可得AB,据此可判断B] 由A项分析得AH=m=13,MH=m一1=12.当x=n时， 点Q运动到点B,∴.PB2=225=PM.∴PB=PM.PH⊥ AB,∴BH=MH=12(提示：等腰三角形“三线合一”).，n= AB=13+12=25,故B错误. [第3步，当x=0时，点Q与点A重合，由勾股定理求得 PQ=AP2=250,据此判断C] 当x=0时，点Q与点A重合，.PQ=AP2=AH+PH= 132+81=250..点C的纵坐标为250.故C错误. [第4步，当x=15时，设点Q运动到点N,求AN,NH,由勾 股定理求PN2,据此判断D] 当x=15时，设点Q运动到点N,∴.AN=15.∴.NH=AN AH=2..PN2=NH+PH=4+81=85.∴.点(15,85)在 该函数图象上.故D正确.故选D. H N B---------P 11.2【考点】绝对值+立方根 12.-2≤x<4【解析】解一元一次不等式组解2x-3<5,得 x<4.又，x≥一2，.不等式组的解集为一2≤x<4. 13.490【解析】解直角三角形的应用在Rt△ABP中， :∠B=90°，AP=500m,∠A=a,∴.AB=AP·cosa= 500×0.98=490(m),即A处到B处的距离为490m. 14号【解析】概率公式+画树状图法或列表法求概率 解法一（画树状图法）：画树状图如图所示。 开始 乙 2 3 6 甲145145145 较大数乙甲甲乙甲甲乙乙乙 ∴共有9种等可能的结果，其中甲出的卡片数字比乙大的结 果有4种. “甲出的卡片数字比乙大的概率为。（提示：概率=所求情况 数与总情况数之比) 解法二（列表法）：列表如表所示. 甲 乙 2 3 6 1 (1,2) (1,3) (1,6) 4 (4,2) (4,3) (4,6) (5,2) (5,3) (5,6) 下同解法一 15.8【解析】规律探究'(x+2)=x4+m.x3十24x2+32x十 16,∴.mx3=4x3X2..m=8. 16.2√14【解析】矩形的性质+圆周角定理的推论+全等三角 形的判定与性质+勾股定理 [第1步，连接AC,根据等边对等角和圆周角定理的推论得 ∠AFB=∠BAC,再结合等角的余角相等和圆周角定理的推 论得∠DAC=∠ACE,据此可得CG=AG=4] 如图，连接AC交BE于点H,,EG=FG=3,∴.∠BEC= ∠GFE=∠AFB.BC=BC,.∠BEC=∠BAC(提示：同 圆或等圆中，同孤所对的圆周角相等)..∠AFB=∠BAC. ∴.∠AHB=∠DAC+∠AFB=∠DAC+∠BAC ∠BAD=90°.∴.∠DAC=90°-∠BAC=∠ABE.AE AE,.∠ABE=∠ACE..∠DAC=∠ACE..CG=AG= AF+FG=1+3=4. [第2步，易知AC是⊙O的直径，证明△CDG≌△AEG,据此 可得AD,再结合勾股定理求CD,AC,即可得解] ,四边形ABCD是矩形，且矩形ABCD的外接圆为⊙O, ∴.AC是⊙O的直径（关键：矩形的对角线即其外接圆的一条 直径，可根据圆周角定理的推论证明).∴，∠AEG=90°. .∠CDG=∠AEG.又∠CGD=∠AGE,CG=AG,∴.△CDG≌ △AEG.∴.DG=EG=3..AD=AG+DG=4+3=7,CD= CG2-DG=√4-32=√7..AC=√AD2+CD2= √72+(W7)2=2√14.∴.⊙0的直径为214. G 17.整式的化简求值 解：原式=5x-x2+x2+3 =5.x+3. (4分) 当x=2时，原式=13. (8分) 18.解分式方程 解：去分母，得3(x一1)一(x+1)=0, (4分) 解得：x=2. 3 检验：把x=2代人原方程，得左边=2十121=0=右边， 因此x=2是原方程的解。 (8分) 9.正方形的性质+全等三角形的判定 解：(1)证明：如图，在正方形ABCD中， BA=BC,∠ABD=∠CBD=45°， (2分) BA=BC, 在△ABE和△CBE中，因为∠ABE=∠CBE, BE=BE. 所以△ABE≌△CBE(SAS). (4分) (2)在正方形ABCD中，∠BAD=90°，∠ADB=45°. 因为DE=DA, 所以∠DAE=∠DEA=67.5°. (6分) 所以∠BAE=90°-67.5°=22.5°. (8分) D B 20.众数+中位数+用样本估计总体 解：(1)众数：83分；中位数：88分 (4分)》 (2)120×5+6X3+7X2+8X3+9=840(人). 10 (8分) 21.完全平方公式+无理数的估计 解：【尝试探究】 (1)因为√67=9-t, 所以67=(9-t)2, 即67=81-18t+t2. (2分) 因为t2比较小， 将t2忽略不计， 所以67≈81-18t, 即18t≈81-67. 得1≈81-677 18 9 (4分) 放v所g-日2 (5分) 【比较分析】 (2)①的形式得出的√67的近似值的精确度更高， (6分) 理由如下： 因为8.192≈67.08,8.222≈67.57， 又因为67.57>67.08>67， 所以选择①的形式精确度更高， (8分) 22.切线的性质+等边三角形的判定与性质 解：(1)证明：如图，因为AB=AC, 所以∠B=∠C. (1分) 因为OB=OD, 所以∠B=∠ODB. 所以∠C=∠ODB. 所以OD∥AC. (3分) 因为AC是切线， 所以OE⊥AC. 所以OD⊥OE. (5分) (2)因为BC=AB=AC, 所以△ABC是等边三角形. (7分) 所以∠A=∠B=∠C=60°. 因为OD=OE=OB=3, 以AE=1,OA=2. 所以AB=BC=AC=2+√3」 所以CE=1+√3 (9分) √3 所以S边0E=2十3（提示：四边形ODCE是直角梯形，应 用梯形的面积公式直接计算即可). (10分) C A 0 23.二次函数的图象与性质+解一元二次方程 解：(1)把点(1,0)的坐标代入得，1一a+5=0, 解得a=6. (3分) (2)由(1)知二次函数表达式为y=x2一6x+5, 对称轴为直线x=3. 因为点A坐标(0，)，且点B为线段AC的中点， 设点B(s,t),则点C(2s,t)(提示：中点坐标公式).(5分) 如图1，由对称性可得，+2=3，解得5=2， 2 V 图1 当s=2时，t=一3. (7分) (3)如图2，因为y=x2-6.x十5=(x-3)2-4, =12 =-4 图2 所以抛物线的顶点坐标为(3，一4). 因为抛物线的一段y=x2-ax+5(m≤x≤n)夹在平行线 11,l2之间，且m<3<n, 所以下方的平行线不能在顶点(3，一4)上方。 因为直线11,12之间的距离为16， 所以要使n一m最大，则l1经过顶点(3，一4)， 此时12为直线y=12. (8分) 所以当y=12时，(x-3)2-4=12. 解得：x1=-1,x2=7, 所以n一m最大值为7-(-1)=8. (10分) 24.菱形的性质+锐角三角函数+勾股定理+轴对称图形的性质 解：(1)如图1，在菱形ABCD中，AB=5,AC=8, 所以OA=OC=4,且BD⊥AC. (2分) 在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB=3, 所以sin∠BAC= 3 5 (4分) D 图1 (2)①如图2，连接BD交AC于点O, E C P B 图2 因为EF⊥AC,BD⊥AC, 所以EFBD. (5分) 所以∠DBE=∠BEF 因为△FBE与△ABE关于直线BE对称， 所以∠DEB=∠BEF. (6分) 所以∠DBE=∠DEB. 所以DE=DB=6. (7分) 所以AE=5+6=11. (8分) ②解法一（长度等价法）： 第1步，连接BD交AC于点O,根据勾股定理与平方差公 9 式得PA-PB=4一PB十PO,将问题转化为求PB+PO的 最小值，结合勾股定理可得只需BP最小 如图3，连接BD交AC于点O, 图3 则PB2-PO2=BO2=9, 9 所以PB-PO=PB+PO1 所以PA-PB=AO+PO-PB=4-(PB-PO)=4- 0 PB+PO 所以只需PB十PO最小， (9分) 因为PO=√PB2-9, 所以只需PB最小，此时PO也最小（难点：根据等量关系，对 线段差的最小值问题进行等价转化，将两个变量问题等价转 化为一个变量问题). (10分) [第2步，转化BP的最小值为点B到AD的距离，从而可得 BP的最小值，进而可得PA一PB的最小值] 而BP最小值即为点B到EF的距离（如图3），即点B到AD 的距离。 (11分) 因为点B到AD的距离是5， 24 所以BP的最小值为酷（经检验BP-符合题意）， 此时PO=VPB-9=3y39 5 所以PA-PB的最小值为3v39-4 5 (12分) 解法二（角度等价法）： [第1步，连接BD交AC于点O,在AP上截取PH=PB,连 接BH,则有AP一PB=AH,问题等价于∠OHB最小，结合 等边对等角，只需∠BPH最大，进而转化为只需BP最小] 如图4，连接BD交AC于点O,在AP上截取PH=PB,连接 BH(巧作辅助线：连接对角线，由菱形的性质得垂直关系，截 取相等线段，构造等价转化条件)， D 4 B 图4 所以AP一PB=AP一PH=AH,则只需AH最小. 因为OH=OA-AH=4-AH, 即只需OH最大，故只需∠OHB最小 因为PH=PB,所以只需∠BPH最大. 因为OB=3,∠BOP=90°， 所以只需BP最小 (10分) [第2步，转化BP的最小值为点B到AD的距离，由此可得 PO,PA,进而可得PA一PB的最小值] 而BP最小值即为点B到EF的距离（如图4），即点B到AD 的距离。 因为点B到AD的距离是。 所以BP的最小值为得（经检验BP酷符合题意）. 此时P0=VPB-9=3/39 5 所以PA=4+339 5· 所以PA一PB的最小值为339-4 51 (12分) 方法技巧引 线段最值问题的应用背景 (1)线段公理—两点之间，线段最短。 (2)对称的性质一关于一条直线对称的两个图形全等，对 称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线： (3)三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第 三边 (4)垂线段最短」 (5)过圆内一点，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于圆心与 该点连线的弦