专题08 二次函数及其应用（5年汇编）（浙江专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦二次函数三大核心考点，整合浙江2022-2026年中考真题及模拟题，以“考情分析+真题演练”模式，突出情境化建模与综合应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|约12题|图象性质（开口方向、对称轴）、解析式辨析、点坐标关系|结合运动点距离平方（2025真题）等情境，考查数形结合| |解答题|约20题|待定系数法、平移变换、区间最值、实际建模|新能源汽车续航（2026真题）、球类运动轨迹等真实情境，层次递进（基础求式到分类讨论）|

专题08 二次函数及其应用 5年真题1年模拟 考点分类 浙江考情（2022-2026） 命题规律 考点01二次函数的图象与性质 2025·浙江·中考 2023·浙江杭州·中考 2023·浙江宁波·中考 2023·浙江衢州·中考 2023·浙江台州·中考 2022·浙江宁波·中考 2022·浙江温州·中考 2022·浙江杭州·中考 2022·浙江嘉兴·中考 2022·浙江绍兴·中考 2022·浙江衢州·中考 2022·浙江绍兴·中考 2022-2025年浙江中考对二次函数图象与性质考查较为集中，内容包括开口方向、对称轴、顶点和最值、函数增减性、图象与坐标轴交点，以及图象上点的函数值大小比较。命题常设置参数或限定区间，要求利用对称性、增减性和数形结合进行判断，而不是机械代入。2025年省统考以运动点到固定点距离的平方为背景，将几何距离转化为二次函数图象，体现情境化和模型意识。现有题目中区间最值、参数范围和图象辨析占比较高。复习时应形成“开口—对称轴—顶点—增减区间—最值—交点”的完整知识链。 考点02 二次函数解析式、图象变换与综合 2025·浙江·中考 2024·浙江·中考 2023·浙江宁波·中考 2023·浙江嘉兴·中考 2023·浙江湖州·中考 2023·浙江金华·中考 2022·浙江杭州·中考 2022·浙江嘉兴·中考 2022·浙江丽水·中考 2022-2025年浙江中考在本考点主要以解答题考查待定系数法、顶点式和交点式的灵活选择，以及抛物线平移、对称、区间最值和参数范围。2024、2025年省统考连续将第23题设置为二次函数综合题：2024年突出解析式、点的平移和区间内极差；2025年突出平行于 x 轴的直线与抛物线交点关系及横坐标差的最值。题目通常由基础求式逐步过渡到分类讨论和最值探究，层次清晰。复习时应根据已知条件合理选择函数表达式，并熟练处理对称轴是否位于给定区间内的分类问题。 考点03 二次函数建模及实际应用 2026·浙江·中考 2023·浙江嘉兴·中考 2023·浙江温州·中考 2023·浙江嘉兴·中考 2023·浙江衢州·中考 2023·浙江湖州·中考 2022·浙江宁波·中考 2022·浙江金华·中考 2022·浙江温州·中考 2022·浙江衢州·中考 2022·浙江台州·中考 本考点现实情境丰富，涉及新能源汽车续航、球类运动、龙舟训练、商品利润、蔬菜种植、拱桥灯饰、滑雪轨迹和灌溉装置等。命题通常要求从数据、图象或几何条件中建立二次函数模型，再利用顶点、增减性或区间最值解决实际问题，并解释结果的合理性。2026年省统考进一步要求学生从一次函数、反比例函数和二次函数中选择恰当模型，经历“建模—解模—验证反思”的完整过程。复习时不仅要会求最大值或最小值，还要重视定义域、整数条件、单位、实际取舍及模型适用范围。 考点01 二次函数图象与性质 1．（2025·浙江·中考真题）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：）为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（ ） A． B． C．点C的纵坐标为240 D．点在该函数图象上 2．（2023·浙江杭州·中考真题）设二次函数是实数，则（    ） A．当时，函数的最小值为 B．当时，函数的最小值为 C．当时，函数的最小值为 D．当时，函数的最小值为 3．（2023·浙江宁波·中考真题）已知二次函数，下列说法正确的是(   ) A．点在该函数的图象上 B．当且时， C．该函数的图象与x轴一定有交点 D．当时，该函数图象的对称轴一定在直线的左侧 4．（2023·浙江衢州·中考真题）已知二次函数（a是常数，）的图象上有和两点．若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·浙江台州·中考真题）抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（    ）． A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 6．（2022·浙江宁波·中考真题）点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2022·浙江温州·中考真题）已知点都在抛物线上，点A在点B左侧，下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（2022·浙江杭州·中考真题）已知二次函数（a，b为常数）．命题①：该函数的图像经过点(1，0)；命题②：该函数的图像经过点(3，0)；命题③：该函数的图像与x轴的交点位于y轴的两侧；命题④：该函数的图像的对称轴为直线．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是（ ） A．命题① B．命题② C．命题③ D．命题④ 9．（2022·浙江嘉兴·中考真题）已知点，在直线（k为常数，）上，若的最大值为9，则c的值为（    ） A． B．2 C． D．1 10．（2022·浙江绍兴·中考真题）已知抛物线的对称轴为直线，则关于x的方程的根是（ ） A．0，4 B．1，5 C．1，－5 D．－1，5 11．（2022·浙江衢州·中考真题）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（ ） A．或4 B．或 C．或4 D．或4 12．（2022·浙江绍兴·中考真题）已知函数（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）． (1)求b，c的值． (2)当﹣4≤x≤0时，求y的最大值． (3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值． 考点02 二次函数解析式、图象变换与综合 1．（2025·浙江·中考真题）已知抛物线（a为常数）经过点． (1)求a的值． (2)过点与x轴平行的直线交抛物线于两点，且点B为线段的中点，求t的值． (3)设，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间．若直线之间的距离为16，求的最大值． 2．（2024·浙江·中考真题）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 3．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，已知二次函数图象经过点和． (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． (2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围． 4．（2023·浙江嘉兴·中考真题）已知点和在二次函数是常数，的图像上． (1)当时，求和的值； (2)若二次函数的图像经过点且点A不在坐标轴上，当时，求的取值范围； (3)求证：． 5．（2023·浙江湖州·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴的交点坐标为，图象的顶点为M．矩形的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为． (1)求c的值及顶点M的坐标， (2)如图2，将矩形沿x轴正方向平移t个单位得到对应的矩形．已知边，分别与函数的图象交于点P，Q，连接，过点P作于点G． ①当时，求的长； ②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 6．（2023·浙江金华·中考真题）如图，直线与轴，轴分别交于点，抛物线的顶点在直线上，与轴的交点为，其中点的坐标为．直线与直线相交于点． (1)如图2，若抛物线经过原点． ①求该抛物线的函数表达式；②求的值． (2)连接与能否相等？若能，求符合条件的点的横坐标；若不能，试说明理由． 7．（2022·浙江杭州·中考真题）设二次函数（b，c是常数）的图像与x轴交于A，B两点． (1)若A，B两点的坐标分别为(1，0)，(2，0)，求函数的表达式及其图像的对称轴． (2)若函数的表达式可以写成（h是常数）的形式，求的最小值． (3)设一次函数（m是常数）．若函数的表达式还可以写成的形式，当函数的图像经过点时，求的值． 8．（2022·浙江嘉兴·中考真题）已知抛物线L1：y＝a(x＋1)2－4（a≠0）经过点A(1，0)． (1)求抛物线L1的函数表达式． (2)将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值． (3)把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，若点B(1，y1)，C(3，y2)在抛物线L3上，且y1＞y2，求n的取值范围． 9．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，已知点在二次函数的图像上，且． (1)若二次函数的图像经过点． ①求这个二次函数的表达式； ②若，求顶点到的距离； (2)当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围． 考点03 二次函数建模及实际应用 1．（2026·浙江·中考真题）我国新能源汽车产销量连续多年位居全球第一．某公司测试一款新型电动汽车的续航能力，在匀速行驶等理想状态下，收集到的数据如下： 行驶速度（） 50 60 70 80 90 基础能耗（） 12.35 11.75 11.55 11.75 12.35 该款电动汽车的电池容量为，考虑到各种因素，实际能耗是基础能耗的1.2倍 实际续航里程． (1)根据上述表格中的数据，在答题纸的坐标系中画出相应的点， (2)请你根据（1）中点在坐标系中的分布特征，从一次函数、反比例函数、二次函数中，选出最符合基础能耗与行驶速度之间关系的函数，并求出该函数表达式； (3)当该款电动汽车匀速行驶时的速度在和之间（含和）时，求其实际续航里程的最小值． 2．（2023·浙江嘉兴·中考真题）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过（秒）时球距离地面的高度（米）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是（ ） A．5 B．10 C．1 D．2 3．（2023·浙江温州·中考真题）一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 4．（2023·浙江嘉兴·中考真题）根据以下素材，探究完成任务． 如何把实心球掷得更远？ 素材1 小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到的水平距离为时，达到最大高度为．    素材2 根据体育老师建议，第二次练习时，小林在正前方处（如图）架起距离地面高为的横线．球从点A处被抛出，恰好越过横线，测得投掷距离．    问题解决 任务1 计算投掷距离 建立合适的直角坐标系，求素材1中的投掷距离． 任务2 探求高度变化 求素材2和素材1中球的最大高度的变化量 任务3 提出训练建议 为了把球掷得更远，请给小林提出一条合理的训练建议． 5．（2023·浙江衢州·中考真题）某龙舟队进行500米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程与时间的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；在冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程与时间的函数表达式为． (1)求出启航阶段关于的函数表达式（写出自变量的取值范围）， (2)已知途中阶段龙舟速度为5m/s． ①当时，求出此时龙舟划行的总路程， ②在距离终点125米处设置计时点，龙舟到达时，视为达标，请说明该龙舟队能否达标； (3)冲刺阶段，加速期龙舟用时1s将速度从5m/s提高到5.25m/s，之后保持匀速划行至终点.求该龙舟队完成训练所需时间（精确到0.01s）． 6．（2023·浙江湖州·中考真题）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）存在一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售价格x（元/千克） 50 40 日销售量y（千克） 100 200 (1)试求出y关于x的函数表达式． (2)设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？ 7．（2022·浙江宁波·中考真题）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（，且x为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克． (1)求y关于x的函数表达式． (2)每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？ 8．（2022·浙江金华·中考真题）“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：①统计售价与需求量的数据，通过描点（图1），发现该蔬菜需求量（吨）关于售价x（元/千克）的函数图象可以看成抛物线，其表达式为，部分对应值如表： 售价x（元/千克） … 2.5 3 3.5 4 … 需求量（吨） … 7.75 7.2 6.55 5.8 … ②该蔬菜供给量（吨）关于售价x（元/千克）的函数表达式为，函数图象见图1． ③1~7月份该蔬菜售价（元/千克），成本（元/千克）关于月份t的函数表达式分别为，，函数图象见图2． 请解答下列问题： (1)求a，c的值． (2)根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由． (3)求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润． 9．（2022·浙江温州·中考真题）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？ 素材1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高． 素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决 任务1 确定桥拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 探究悬挂范围 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围． 任务3 拟定设计方案 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标． 10．（2022·浙江衢州·中考真题）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线为轴，铅垂线为轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度从点滑出，运动轨迹近似抛物线．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡上设置点（与相距32m）作为标准点，着陆点在点或超过点视为成绩达标． (1)求线段的函数表达式（写出的取值范围）． (2)当时，着陆点为，求的横坐标并判断成绩是否达标． (3)在试跳中发现运动轨迹与滑出速度的大小有关，进一步探究，测算得7组与 的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3． ①猜想关于的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证． ②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s)？ （参考数据：，） 11．（2022·浙江台州·中考真题）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）． (1)若，； ①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； ②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标； ③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围； (2)若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值． 1．（2026·浙江绍兴·一模）在平面直角坐标系中，点，，由线段与抛物线的一段（）组成的图形C，如图所示．若将图形C上的一点P先向右平移3个单位，再向上平移1个单位后仍在图形C上，则这样的点P的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2026·浙江温州·二模）如图1，汽车制动性能测试包含匀速行驶阶段和刹车阶段，图2是某次测试中汽车离点A的距离S（米）关于行驶时间t（秒）的函数图象． ①匀速行驶阶段：汽车从点A出发，以的速度沿方向匀速行驶，2 秒后到达点C． ②刹车阶段：汽车自点C处开始刹车，6秒后在点D处停止，这个过程中S与t满足关系：（a为常数且）． 下列选项中正确的是（     ） A． 米/秒 B．汽车行驶总时间为 10 秒 C． D． 米 3．（2026·浙江舟山·一模）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，抛物线的对称轴是直线，若，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·浙江·一模）如图1，中，，点P从A点出发沿折线运动，点Q从点A出发沿线段运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到B时，另一点同时停止运动，已知点P的速度为，点Q的速度为，设P点运动时间为，的面积为．如图2是关于的函数图象，下列选项正确的是（    ） A． B． C．y的最大值为2.75 D．点在该函数图象上 5．（2026·浙江杭州·一模）已知点，，均在抛物线的图象上，且，点和也在此抛物线上，则下列说法正确的是（   ） A．若恒成立，则 B．若恒成立，则 C．若恒成立，则 D．若恒成立，则 6．（2026·浙江·模拟预测）若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，我们称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上有且仅有一个二倍点，则c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，．若二次函数的图象与线段有交点，则该抛物线与轴交点的纵坐标的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 8．（2026·浙江·模拟预测）同一平面直角坐标系中，抛物线与关于原点成中心对称，则代数式的值为______． 9．（2026·浙江宁波·模拟预测）冬奥会空中技巧项目的场地如图（图1是实景照片，图2是截面示意图）．一名运动员在某次训练的技术分析如图（图3所示抛物线是运动员的空中实际路线的一段，图4是该段抛物线在以着陆坡的最低点所在水平直线为轴、起跳点所在直线为轴建立的平面直角坐标系中的示意图）【注：的长为25米，，．】，在本次训练时，运动员的着陆点恰好在着陆坡的最低点处，设抛物线的函数表达式为，平行于轴的直线与抛物线、着陆坡分别交于点，，则下列所作技术分析正确的是（    ） A．着陆坡的水平宽度米 B．点的坐标为 C． D．当的最大值为10米时， 10．（2026·浙江·模拟预测）已知二次函数（），其函数图象顶点为P． (1)记与y轴交点为A，求直线的函数表达式（含a的代数式表示）． (2)若将点P向上平移4个单位，向右平移2个单位，还是在该函数图象上． ①求a的值． ②当时，该函数的最大值与最小值的差为，求m的值． 11．（2026·浙江湖州·模拟预测）定义：对于y关于x的函数，在范围内，函数的最大值记作M，最小值记作m． (1)对于一次函数，在的范围内，分别求出M和m的值． (2)对于二次函数，甲、乙两位同学有以下说法： 甲同学说：“在的范围内，，．” 乙同学说：“在的范围内，若，则，．” 甲、乙两位同学的说法正确吗?请分别作出判断，并通过计算说明对“甲同学说法”的判断理由 12．（2026·浙江杭州·模拟预测）【问题背景】投掷实心球是中考体育力量类项目之一，投掷出的实心球运动路线近似为抛物线． 【探索研究】小明利用设备对一次训练进行录像AI分析，因失误，未录下实心球落点位置，在下表记录了实心球的几组水平距离（单位：m）和竖直高度（单位：m）的对应值，并建立直角坐标系，画出了部分图象如图． 设抛物线的表达式为． … … … … (1)【建立模型】求出抛物线的函数表达式； (2)【分析计算】求小明该次训练投掷实心球的抛物线最高点的坐标和投掷的距离； (3)【模型应用】小明分析，若改进动作，微调方向和出手点，则实心球运动路线的抛物线表达式中二次项系数变为，顶点为，通过计算，判断改进动作后投掷实心球的距离能否超过10米． 13．（2026·山东青岛·一模）请根据以下素材，完成探究任务． 汉服承载着华夏民族数千年的礼仪衣冠体系，其“交领右衽”“天人合一”的设计理念，凝结了东方美学的智慧结晶．从盛唐气象到宋明风韵，不同形制的演变映射着时代精神风貌．今有某传统服饰工坊，以匠心复刻唐制齐胸襦裙之飘逸、宋制褙子之雅致、明制袄裙之端庄，邀您共探传统工艺与现代经营的数学奥秘． 制定汉服加工方案 生产背景 背景1 （1）某汉服工坊安排60名工匠承接订单，主打三类经典形制：唐制·齐胸襦裙（象征开放包容的盛世气度）、宋制·褙子套装（体现简约理性的文人审美）、明制·袄裙（彰显严谨庄重的礼制规范）； （2）根据非遗技艺要求，每位工匠每日仅能专精一种类型：唐制人均日产3套，宋制人均日产2套，明制人均日产1套； （3）客户合同约定：宋制汉服至少交付15套；明制与唐制产能需严格匹配，按套数供应高端团购单． 背景2 当前市场行情下各款式获利情况如下： ①唐制布料成本低和走量销售，单套净利润30元； ②明制采用云锦面料和手工镶边，单套净利润90元； ③宋制实行差异化定价：当每日生产15套时，每套获利120元；在此基础上，每多生产1套，平均每套获利减少3元． 信息整理 现规划x名匠人主攻宋制，y名匠人负责唐制，其余匠人负责明制，列表如下： 汉服类型 加工人数 人均日产量/套 单套净利润/元 唐制 y 3 30 宋制 x 2 明制 1 90 探究任务 任务1：探寻变量关系 (1)根据合同约束，求x，y之间的数量关系． 任务2：建立数学模型 (2)设该汉服工坊每日总利润为W元，求W关于x的函数表达式． 任务3：拟定最优方案 (3)确定使每日总利润最大的分配方案． 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 二次函数及其应用 5年真题1年模拟 考点01 二次函数图象与性质 1．D 2．A 3．C 4．C 5．D 6．B 7．D 8．A 9．B 10．D 11．D 【分析】分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答． 12． 【详解】（1）解：把（0，-3），（-6，-3）代入y＝，得∶ ，解得：； （2）解：由（1）得：该函数解析式为y＝＝， ∴抛物线的顶点坐标为（-3，6）， ∵-1＜0 ∴抛物线开口向下，   又∵-4≤x≤0， ∴当x＝-3时，y有最大值为6． （3）解：由（2）得：抛物线的对称轴为直线x=-3， ∴当x＞-3时，y随x的增大而减小；当x≤-3时，y随x的增大而增大， ①当-3＜m≤0时， 当x＝0时，y有最小值为-3， 当x＝m时，y有最大值为， ∴+（-3）＝2， ∴m＝-2或m＝-4（舍去）． ②当m≤-3时， 当x＝-3时，y有最大值为6， ∵y的最大值与最小值之和为2， ∴y最小值为-4， ∴=-4， ∴m＝或m＝（舍去）． 综上所述，m＝-2或． 考点02 二次函数解析式、图象变换与综合 1． 【详解】（1）解：把代入，得：，解得：； （2）由（1）知：， ∴对称轴为直线， ∵点在轴上，过点与x轴平行的直线交抛物线于两点， ∴关于对称轴对称，的纵坐标均为， 又∵点B为线段的中点， ∴，∴， ∴，∴代入，得：， ∴； （3）∵， ∴抛物线的顶点坐标， 当抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间时， 为直线与抛物线的交点， ∴要使最大，则，为一条直线与抛物线的交点，和关于对称轴对称， 又∵直线之间的距离为16，为定值， ∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最大，此时另一条直线的解析式为，如图： ∴当时，解得：， 即：， ∴的最大值为：． 2． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，把代入得， 解得， ∴； （2）解：点B平移后的点的坐标为， 则，解得或（舍）， ∴m的值为； （3）解：当时， ∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去； 当时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意； 当时， 最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意； 综上所述，n的取值范围为． 3． 【详解】（1）解：∵二次函数图象经过点和． ∴，解得：， ∴抛物线为， ∴顶点坐标为：； （2）当时，， ∴ 解得：，， 如图，当时， ∴． 4． 【详解】（1）解：当时，图像过点和， ∴，解得， ∴， ∴． （2）解：∵函数图像过点和， ∴函数图像的对称轴为直线． ∵图像过点， ∴根据图像的对称性得． ∵， ∴． （3）∵图像过点和， ∴根据图像的对称性得． ∴，顶点坐标为． 将点和分别代人表达式可得 ①②得， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 5． 【详解】（1）∵二次函数的图象与y轴的交点坐标为， ∴，                                         ∴， ∴顶点M的坐标是． （2）①∵A在x轴上，B的坐标为， ∴点A的坐标是． 当时，，的坐标分别是，． 当时，，即点Q的纵坐标是2， 当时，，即点P的纵坐标是1． ∵， ∴点G的纵坐标是1，                         ∴．                             ②存在．理由如下： ∵的面积为1，， ∴． 根据题意，得P，Q的坐标分别是，． 如图1，当点G在点Q的上方时，， 此时（在的范围内），              如图2，当点G在点Q的下方时，， 此时（在的范围内）．             ∴或． 6． 【详解】（1）解：①∵， ∴顶点的横坐标为1． ∴当时，， ∴点的坐标是． 设抛物线的函数表达式为，把代入， 得， 解得． ∴该抛物线的函数表达式为， 即． ②如图1，过点作于点．    设直线为，把代入，得， 解得， ∴直线为． 同理，直线为． 由 解得 ∴． ∴． ∵， ∴． （2）设点的坐标为，则点的坐标为． ①如图，当时，存在． 记，则． ∵为的外角， ∴． ∵． ∴． ∴． ∴． 过点作轴于点，则． 在中，， ∴，解得． ∴点的横坐标为6．    ②如图2-2，当时，存在． 记． ∵为的外角， ∴． ∴ ∴． ∴． 过点作轴于点，则． 在中，， ∴，解得． ∴点的横坐标为．      ③如图2-3，当时，存在．记．     ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 过点作轴于点，则． 在中，， ∴，解得． ∴点的横坐标为． ④如图2-4，当时，存在．记． ∵， ∴．      ∴． ∴． 过点作轴于点，则． 在中，， ∴，解得． ∴点的横坐标为． 综上，点的横坐标为． 7． 【详解】（1）由题意，二次函数（b，c是常数）经过(1，0)，(2，0)， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式． ∴ 图像的对称轴是直线． （2）由题意，得， ∵， ∴b=-4h，c= ∴ ， ∴当时，的最小值是． （3）由题意，得 因为函数y的图像经过点， 所以， 所以，或． 8． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得， ； 答：抛物线的函数表达式为； （2）解：抛物线的顶点为， 将抛物线向上平移个单位得到抛物线，则抛物线的顶点为， 而关于原点的对称点为， 把代入得： ， 解得， 答：的值为4； （3）解：把抛物线向右平移个单位得到抛物线，抛物线解析式为， 点，都在抛物线上， ， ， y1＞y2， ， 整理变形得：， ， 解得， 的取值范围是． 9． 【详解】（1）解：①将点代入中， ∴，解得， ∴二次函数的表达式为：； ②当时，此时为平行x轴的直线， 将代入二次函数中得到：， 将代入二次函数中得到：， ∵， ∴=， 整理得到：， 又∵，代入上式得到：，解出， ∴，即直线为：， 又二次函数的顶点坐标为(2，-1)， ∴顶点(2,-1)到的距离为； （2）解：若M，N在对称轴的异侧，， ∴x1+3>2， ∴x1>-1， ∵ ∴， ∴-1<， ∵函数的最大值为y1=a（x1-2）2-1，最小值为-1， ∴y-（-1）=1， ∴a=， ∴， ∴； 若M、N在对称轴的异侧，，x1<2， ∵， ∴， ∵函数的最大值为y=a（x2-2）2-1，最小值为-1， ∴y-（-1）=1， ∴a=， ∴， ∴， 综上所述，a的取值范围为． 考点03 二次函数建模及实际应用 1． 【详解】(1) （2）解：观察点的分布：数据先降后升，且和、和均关于对称，符合二次函数的抛物线特征，因此最符合的是二次函数， 设函数表达式为（对称轴为，顶点为）：， 将点代入得：， 解得， 验证其余点均满足该式， ∴函数表达式为：（展开也可写为）； （3）解：根据题意： 实际能耗为， 代入续航里程公式：实际续航里程， ∴随的增大而减小， ∴当最大时，取最小值， ∵二次函数开口向上，对称轴为， ∴在范围内，随增大而减小，在范围内，随增大而增大； 当时，，当时，， ∴在范围内的最大值为12， ∴， 故实际续航里程的最小值为420 千米． 2．D 3． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 当时，， ∴球不能射进球门； （2）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得， 解得（舍去），， ∴当时他应该带球向正后方移动1米射门． 4． 【详解】任务一：建立如图所示的直角坐标系，      由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为，过点， ∴， 解得， ∴， 当时，， 得（舍去）， ∴素材1中的投掷距离为4m； （2）建立直角坐标系，如图，    设素材2中抛物线的解析式为， 由题意得，过点， ∴， 解得， ∴ ∴顶点纵坐标为， （m）， ∴素材2和素材1中球的最大高度的变化量为； 任务三：应该尽量提高掷出点的高度、尽量提高掷出点的速度、选择适当的掷出仰角． 5． 【详解】（1）把代入 得， 解得， 启航阶段总路程关于时间的函数表达式为； （2）①设，把代入，得， 解得， ． 当时，． 当时，龙舟划行的总路程为． ②， 把代入， 得． ， 该龙舟队能达标． （3）加速期：由（1）可知， 把代入， 得． 函数表达式为， 把代入， 解得． ， ． 答：该龙舟队完成训练所需时间为． 6． 【详解】（1）解：设y关于x的函数表达式为． 将和分别代入，得： ， 解得：， ∴y关于x的函数表达式是：； （2）解：， ∵， ∴当时，在的范围内， W取到最大值，最大值是2250． 答：销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元． 7． 【详解】（1）解：∵每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克， ∴（，且x为整数）； （2）解：设每平方米小番茄产量为W千克， ． ∴当时，w有最大值12.5千克． 答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克． 8． 【详解】（1）把，代入可得 ②-①，得， 解得， 把代入①，得， ∴． （2）在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大，理由： 设这种蔬菜每千克获利w元，根据题意， 有， 化简，得， ∵在的范围内， ∴当时，w有最大值． 答：在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大． （3）由，得， 化简，得，解得（舍去）， ∴售价为5元/千克． 此时，（吨）（千克）， 把代入，得， 把代入，得， ∴总利润（元）． 答：该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000元． 9． 【详解】任务一：以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，则顶点为，且经过点． 设该抛物线函数表达式为， 则， ∴， ∴该抛物线的函数表达式是． 任务二：∵水位再上涨达到最高，灯笼底部距离水面至少，灯笼长， ∴悬挂点的纵坐标， ∴悬挂点的纵坐标的最小值是． 当时，，解得或， ∴悬挂点的横坐标的取值范围是． 任务三：有两种设计方案 方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼． ∵，相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为， ∴若顶点一侧挂4盏灯笼，则， 若顶点一侧挂3盏灯笼，则， ∴顶点一侧最多可挂3盏灯笼． ∵挂满灯笼后成轴对称分布， ∴共可挂7盏灯笼． ∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是． 方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为， ∵若顶点一侧挂5盏灯笼，则， 若顶点一侧挂4盏灯笼，则， ∴顶点一侧最多可挂4盏灯笼． ∵挂满灯笼后成轴对称分布， ∴共可挂8盏灯笼． ∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是． 10． 【详解】（1）解：由图2可知：， 设CE：， 将代入， 得：，解得， ∴线段CE的函数表达式为（8≤x≤40）． （2）当时，，由题意得， 解得                                    ∴的横坐标为22.5． ∵22.5＜32， ∴成绩未达标． （3）①猜想a与成反比例函数关系． ∴设 将（100，0.250）代入得解得， ∴． 将（150，0.167）代入验证：， ∴能相当精确地反映a与的关系，即为所求的函数表达式． ②由K在线段上，得K（32，4），代入得，得 由得， 又∵， ∴， ∴当m/s时，运动员的成绩恰能达标． 11． 【详解】（1）（1）①如图1，由题意得是上边缘抛物线的顶点， 设． 又∵抛物线经过点， ∴， ∴． ∴上边缘抛物线的函数解析式为． 当时，， ∴，（舍去）． ∴喷出水的最大射程为． 图1 ②∵对称轴为直线， ∴点的对称点的坐标为． ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， 即点是由点向左平移得到，则点的坐标为． ③如图2，先看上边缘抛物线， ∵， ∴点的纵坐标为0.5． 抛物线恰好经过点时， ． 解得， ∵， ∴． 当时，随着的增大而减小， ∴当时，要使， 则． ∵当时，随的增大而增大，且时，， ∴当时，要使，则． ∵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带， ∴的最大值为． 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， ∴的最小值为2． 综上所述，的取值范围是． （2）的最小值为． 由题意得是上边缘抛物线的顶点， ∴设上边缘抛物线解析式为． ∵上边缘抛物线过出水口（0，h） ∴ 解得 ∴上边缘抛物线解析式为 ∵对称轴为直线， ∴点的对称点的坐标为． ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， ∴下边缘抛物线解析式为． 当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上， ∵DE=3 ∴设点，，， ∵D在下边缘抛物线上， ∴ ∵EF=1 ∴ ∴ ， 解得， 代入，得． 所以的最小值为． 1．B 2．D 3．B 4．D 5．D 6．C 7．D 8． 9．C 10． 【详解】（1）解:对于，令，则 ∴点， ∵， ∴顶点 设直线的函数表达式， ∴， ∴， ∴直线的函数表达式为； （2）解：①∵， ∴将点P向上平移4个单位，向右平移2个单位后，对应点的坐标为， ∵平移后的还是在该函数图象上， ∴， 解得； ②∵， ∴， 当时，，解得（舍）； 当时，， 解得（舍），； 当时，， 解得（舍），（舍）； 当时，，解得； ∴m的值为和4． 11． 【详解】（1）解：因为一次函数的函数值y随自变量x的增大而增大， 所以当时，；当时，． （2）甲同学说法错误；乙同学说法错误． 对“甲同学说法”的判断理由如下： ， ∵抛物线开口向上，在的范围内， ∴当时，函数最小值为， 当时，， 当时， ∴在的范围内函数最大值； 对“乙同学说法”的判断理由如下： 二次函数，对称轴为， 时，则在的范围内，随的增大而减小， 时，二次函数有最大值，时，最小值， ∵， ∴，即， ∵， ∴一元二次方程没有实数根， ∴不符合题意； 时， 时，二次函数有最大值，当时，有最小值， ，不符合题意； 时， 当时，有最大值，当时，最小值， ， 若，则， 解得， 只有当时符合题意； 综上，“在的范围内，若，则，”这种说法是错误的， 即甲同学说法错误，乙同学说法错误． 12． 【详解】（1）解：由表格可知，点和点的纵坐标相等， ∴抛物线的对称轴为直线， 结合表格可知，顶点坐标为， ∴，，， 将点代入，得， ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由（1）可知，顶点坐标为，顶点即最高点， 将代入，得， ， 解得，（负值，舍去）， ∴小明该次投掷实心球的距离为9.8米； （3）解：根据题意，改进后，， 将代入，得， ， 解得，（负值，舍去）． ∵， 又∵， ∴， ∴． 答：改进后投掷实心球的距离能超过10米． 13 【详解】（1）解：任务1： ∵安排x名工人加工宋制汉服，y名工人加工唐制汉服， 则加工明制汉服的有人， ∴，整理得：（或）． （2）解：任务2： 根据题意得：， 整理得：． （3）解：任务3： 由任务2得，， ∵， ∴开口向下， ∵对称轴为直线， ∴当时，W随x的增大而增大， 当时，W随x的增大而减小． ∵且x，y均取正整数， ∴当或12时，利润最大． ∴方案1：安排8名工人加工宋制汉服，13名工人加工唐制汉服，39名工人加工明制汉服， 方案2：安排12名工人加工宋制汉服，12名工人加工唐制汉服，36名工人加工明制汉服． 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 二次函数及其应用 5年真题1年模拟 考点分类 浙江考情（2022-2026） 命题规律 考点01二次函数的图象与性质 2025·浙江·中考 2023·浙江杭州·中考 2023·浙江宁波·中考 2023·浙江衢州·中考 2023·浙江台州·中考 2022·浙江宁波·中考 2022·浙江温州·中考 2022·浙江杭州·中考 2022·浙江嘉兴·中考 2022·浙江绍兴·中考 2022·浙江衢州·中考 2022·浙江绍兴·中考 2022-2025年浙江中考对二次函数图象与性质考查较为集中，内容包括开口方向、对称轴、顶点和最值、函数增减性、图象与坐标轴交点，以及图象上点的函数值大小比较。命题常设置参数或限定区间，要求利用对称性、增减性和数形结合进行判断，而不是机械代入。2025年省统考以运动点到固定点距离的平方为背景，将几何距离转化为二次函数图象，体现情境化和模型意识。现有题目中区间最值、参数范围和图象辨析占比较高。复习时应形成“开口—对称轴—顶点—增减区间—最值—交点”的完整知识链。 考点02 二次函数解析式、图象变换与综合 2025·浙江·中考 2024·浙江·中考 2023·浙江宁波·中考 2023·浙江嘉兴·中考 2023·浙江湖州·中考 2023·浙江金华·中考 2022·浙江杭州·中考 2022·浙江嘉兴·中考 2022·浙江丽水·中考 2022-2025年浙江中考在本考点主要以解答题考查待定系数法、顶点式和交点式的灵活选择，以及抛物线平移、对称、区间最值和参数范围。2024、2025年省统考连续将第23题设置为二次函数综合题：2024年突出解析式、点的平移和区间内极差；2025年突出平行于 x 轴的直线与抛物线交点关系及横坐标差的最值。题目通常由基础求式逐步过渡到分类讨论和最值探究，层次清晰。复习时应根据已知条件合理选择函数表达式，并熟练处理对称轴是否位于给定区间内的分类问题。 考点03 二次函数建模及实际应用 2026·浙江·中考 2023·浙江嘉兴·中考 2023·浙江温州·中考 2023·浙江嘉兴·中考 2023·浙江衢州·中考 2023·浙江湖州·中考 2022·浙江宁波·中考 2022·浙江金华·中考 2022·浙江温州·中考 2022·浙江衢州·中考 2022·浙江台州·中考 本考点现实情境丰富，涉及新能源汽车续航、球类运动、龙舟训练、商品利润、蔬菜种植、拱桥灯饰、滑雪轨迹和灌溉装置等。命题通常要求从数据、图象或几何条件中建立二次函数模型，再利用顶点、增减性或区间最值解决实际问题，并解释结果的合理性。2026年省统考进一步要求学生从一次函数、反比例函数和二次函数中选择恰当模型，经历“建模—解模—验证反思”的完整过程。复习时不仅要会求最大值或最小值，还要重视定义域、整数条件、单位、实际取舍及模型适用范围。 考点01 二次函数图象与性质 1．（2025·浙江·中考真题）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：）为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（ ） A． B． C．点C的纵坐标为240 D．点在该函数图象上 【答案】D 【分析】作，当时，动点运动到点的位置，得到，当点运动到点的时候，最小为，，勾股定理求出的值，判断A；当时，点运动到点，根据三线合一，得到，进而求出的值，判断B；连接，勾股定理求出的长，确定的纵坐标，判断C，求出时，点的位置，再利用勾股定理求出，判断D，即可． 【详解】解：如图，作，当时，动点运动到点的位置，则由题意和图象可知，当点运动到点的时候，最小，即：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：，故选项A错误； ∴，， 当时，点运动到点，则， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项B错误； ∴当，即点在点时， ∴； ∴点的纵坐标为；故选项C错误； 当时，点运动到点，则：， ∴， ∴， ∴点在该函数图象上，故选项D正确； 故选D． 2．（2023·浙江杭州·中考真题）设二次函数是实数，则（    ） A．当时，函数的最小值为 B．当时，函数的最小值为 C．当时，函数的最小值为 D．当时，函数的最小值为 【答案】A 【分析】令，则，解得：，，从而求得抛物线对称轴为直线，再分别求出当或时函数y的最小值即可求解． 【详解】解：令，则， 解得：，， ∴抛物线对称轴为直线 当时， 抛物线对称轴为直线， 把代入，得， ∵ ∴当，时，y有最小值，最小值为． 故A正确，B错误； 当时， 抛物线对称轴为直线， 把代入，得， ∵ ∴当，时，y有最小值，最小值为， 故C、D错误，故选：A． 3．（2023·浙江宁波·中考真题）已知二次函数，下列说法正确的是(   ) A．点在该函数的图象上 B．当且时， C．该函数的图象与x轴一定有交点 D．当时，该函数图象的对称轴一定在直线的左侧 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， 当时：， ∵， ∴， 即：点不在该函数的图象上，故A选项错误； 当时，， ∴抛物线的开口向上，对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵，， ∴当时，有最大值为， 当时，有最小值为， ∴，故B选项错误； ∵， ∴该函数的图象与x轴一定有交点，故选项C正确； 当时，抛物线的对称轴为：， ∴该函数图象的对称轴一定在直线的右侧，故选项D错误；故选C． 4．（2023·浙江衢州·中考真题）已知二次函数（a是常数，）的图象上有和两点．若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件列出不等式，利用二次函数与轴的交点和二次函数的性质，即可解答． 【详解】解：， ， 点，都在直线的上方，且， 可列不等式：， ， 可得， 设抛物线，直线， 可看作抛物线在直线下方的取值范围， 当时，可得， 解得， ， 的开口向上， 的解为， 根据题意还可列不等式：， ， 可得， 整理得， 设抛物线，直线， 可看作抛物线在直线下方的取值范围， 当时，可得， 解得， ， 抛物线开口向下， 的解为或， 综上所述，可得， 故选：C． 5．（2023·浙江台州·中考真题）抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（    ）． A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】D 【分析】根据已知条件可得出，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可求出答案． 【详解】解：抛物线与直线交于，两点， ， ． ， ∵， ． 当，时，直线经过第一、三、四象限， 当，时，直线经过第一、二、四象限， 综上所述，一定经过一、四象限． 故选：D． 6．（2022·浙江宁波·中考真题）点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据y1＜y2列出关于m的不等式即可解得答案． 【详解】解：∵点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上， ∴y1=（m-1-1）2+n=（m-2）2+n， y2=（m-1）2+n， ∵y1＜y2， ∴（m-2）2+n＜（m-1）2+n， ∴（m-2）2-（m-1）2＜0， 即-2m+3＜0， ∴m＞， 故选：B． 7．（2022·浙江温州·中考真题）已知点都在抛物线上，点A在点B左侧，下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】画出二次函数的图象，利用数形结合的思想即可求解． 【详解】解：当时，画出图象如图所示， 根据二次函数的对称性和增减性可得，故选项C错误，选项D正确； 当时，画出图象如图所示， 根据二次函数的对称性和增减性可得，故选项A、B都错误； 故选：D 8．（2022·浙江杭州·中考真题）已知二次函数（a，b为常数）．命题①：该函数的图像经过点(1，0)；命题②：该函数的图像经过点(3，0)；命题③：该函数的图像与x轴的交点位于y轴的两侧；命题④：该函数的图像的对称轴为直线．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是（ ） A．命题① B．命题② C．命题③ D．命题④ 【答案】A 【分析】根据对称轴为直线，确定a的值，根据图像经过点（3，0），判断方程的另一个根为x=-1，位于y轴的两侧，从而作出判断即可． 【详解】假设抛物线的对称轴为直线， 则，解得a= -2， ∵函数的图像经过点(3，0), ∴3a+b+9=0， 解得b=-3， 故抛物线的解析式为， 令y=0，得， 解得， 故抛物线与x轴的交点为（-1，0）和（3，0）， 函数的图像与x轴的交点位于y轴的两侧； 故命题②，③，④都是正确，命题①错误，故选A． 9．（2022·浙江嘉兴·中考真题）已知点，在直线（k为常数，）上，若的最大值为9，则c的值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】把代入后表示出，再根据最大值求出k，最后把代入即可． 【详解】把代入得： ∴ ∵的最大值为9 ∴，且当时，有最大值，此时 解得 ∴直线解析式为 把代入得 故选：B． 10．（2022·浙江绍兴·中考真题）已知抛物线的对称轴为直线，则关于x的方程的根是（ ） A．0，4 B．1，5 C．1，－5 D．－1，5 【答案】D 【分析】根据抛物线的对称轴为直线可求出m的值，然后解方程即可． 【详解】抛物线的对称轴为直线， ，解得， 关于x的方程为， ， 解得，故选：D． 11．（2022·浙江衢州·中考真题）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（ ） A．或4 B．或 C．或4 D．或4 【答案】D 【分析】分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：二次函数的对称轴为：直线， （1）当时，当时，随的增大而减小，当，随的增大而增大， 当时，取得最小值， ， ； （2）当时，当时，随的增大而增大，当，随的增大而减小， 当时，取得最小值， ， ．故选：D． 12．（2022·浙江绍兴·中考真题）已知函数（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）． (1)求b，c的值． (2)当﹣4≤x≤0时，求y的最大值． (3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值． 【答案】(1)b＝-6，c=-3 (2)x＝－3时，y有最大值为6 (3)m＝－2或 【分析】（1）把（0，-3），（-6，-3）代入y＝，即可求解； （2）先求出抛物线的顶点坐标为（-3，6），再由-4≤x≤0，可得当x＝-3时，y有最大值，即可求解； （3）由（2）得当x＞-3时，y随x的增大而减小；当x≤-3时，y随x的增大而增大，然后分两种情况：当-3＜m≤0时，当m≤-3时，即可求解． 【详解】（1）解：把（0，-3），（-6，-3）代入y＝，得∶ ，解得：； （2）解：由（1）得：该函数解析式为y＝＝， ∴抛物线的顶点坐标为（-3，6）， ∵-1＜0 ∴抛物线开口向下，   又∵-4≤x≤0， ∴当x＝-3时，y有最大值为6． （3）解：由（2）得：抛物线的对称轴为直线x=-3， ∴当x＞-3时，y随x的增大而减小；当x≤-3时，y随x的增大而增大， ①当-3＜m≤0时， 当x＝0时，y有最小值为-3， 当x＝m时，y有最大值为， ∴+（-3）＝2， ∴m＝-2或m＝-4（舍去）． ②当m≤-3时， 当x＝-3时，y有最大值为6， ∵y的最大值与最小值之和为2， ∴y最小值为-4， ∴=-4， ∴m＝或m＝（舍去）． 综上所述，m＝-2或． 考点02 二次函数解析式、图象变换与综合 1．（2025·浙江·中考真题）已知抛物线（a为常数）经过点． (1)求a的值． (2)过点与x轴平行的直线交抛物线于两点，且点B为线段的中点，求t的值． (3)设，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间．若直线之间的距离为16，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象性质，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出对称轴，由题意，可知，关于对称轴对称，的纵坐标均为，中点得到，对称性得到，求出，再代入函数解析式求出的值即可； （3）根据题意，易得要使最大，则，为一条直线与抛物线的交点，和关于对称轴对称，根据直线之间的距离为16，为定值，得到当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最大，此时另一条直线的解析式为，令，求出的值，进而确定的值，进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得：，解得：； （2）由（1）知：， ∴对称轴为直线， ∵点在轴上，过点与x轴平行的直线交抛物线于两点， ∴关于对称轴对称，的纵坐标均为， 又∵点B为线段的中点， ∴，∴， ∴，∴代入，得：， ∴； （3）∵， ∴抛物线的顶点坐标， 当抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间时， 为直线与抛物线的交点， ∴要使最大，则，为一条直线与抛物线的交点，和关于对称轴对称， 又∵直线之间的距离为16，为定值， ∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最大，此时另一条直线的解析式为，如图： ∴当时，解得：， 即：， ∴的最大值为：． 2．（2024·浙江·中考真题）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质， （1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可； （3）分为，时，时，建立方程解题即可． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，把代入得， 解得， ∴； （2）解：点B平移后的点的坐标为， 则，解得或（舍）， ∴m的值为； （3）解：当时， ∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去； 当时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意； 当时， 最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意； 综上所述，n的取值范围为． 3．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，已知二次函数图象经过点和． (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． (2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围． 【答案】(1)，顶点坐标为； (2) 【分析】（1）把和代入，建立方程组求解解析式即可，再把解析式化为顶点式，可得顶点坐标； （2）把代入函数解析式求解的值，再利用函数图象可得时的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数图象经过点和． ∴，解得：， ∴抛物线为， ∴顶点坐标为：； （2）当时，， ∴ 解得：，，    如图，当时， ∴． 4．（2023·浙江嘉兴·中考真题）已知点和在二次函数是常数，的图像上． (1)当时，求和的值； (2)若二次函数的图像经过点且点A不在坐标轴上，当时，求的取值范围； (3)求证：． 【答案】(1) (2) (3) 解：∵图像过点和， ∴根据图像的对称性得． ∴，顶点坐标为． 将点和分别代人表达式可得 ①②得， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 【分析】（1）由可得图像过点和，然后代入解析式解方程组即可解答； （2）先确定函数图像的对称轴为直线，则抛物线过点，即，然后再结合即可解答； （3）根据图像的对称性得，即，顶点坐标为；将点和分别代入表达式并进行运算可得；则，进而得到，然后化简变形即可证明结论． 【详解】（1）解：当时，图像过点和， ∴，解得， ∴， ∴． （2）解：∵函数图像过点和， ∴函数图像的对称轴为直线． ∵图像过点， ∴根据图像的对称性得． ∵， ∴． （3）略 5．（2023·浙江湖州·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴的交点坐标为，图象的顶点为M．矩形的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为． (1)求c的值及顶点M的坐标， (2)如图2，将矩形沿x轴正方向平移t个单位得到对应的矩形．已知边，分别与函数的图象交于点P，Q，连接，过点P作于点G． ①当时，求的长； ②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，顶点M的坐标是 (2)①1；②存在，或 【分析】（1）把代入抛物线的解析式即可求出c，把抛物线转化为顶点式即可求出顶点坐标； （2）①先判断当时，，的坐标分别是，，再求出，时点Q的纵坐标与点P的纵坐标，进而求解； ②先求出，易得P，Q的坐标分别是，，然后分点G在点Q的上方与点G在点Q的下方两种情况，结合函数图象求解即可． 【详解】（1）∵二次函数的图象与y轴的交点坐标为， ∴，                                         ∴， ∴顶点M的坐标是． （2）①∵A在x轴上，B的坐标为， ∴点A的坐标是． 当时，，的坐标分别是，． 当时，，即点Q的纵坐标是2， 当时，，即点P的纵坐标是1． ∵， ∴点G的纵坐标是1，                         ∴．                             ②存在．理由如下： ∵的面积为1，， ∴． 根据题意，得P，Q的坐标分别是，． 如图1，当点G在点Q的上方时，， 此时（在的范围内），              如图2，当点G在点Q的下方时，， 此时（在的范围内）．             ∴或． 6．（2023·浙江金华·中考真题）如图，直线与轴，轴分别交于点，抛物线的顶点在直线上，与轴的交点为，其中点的坐标为．直线与直线相交于点． (1)如图2，若抛物线经过原点． ①求该抛物线的函数表达式；②求的值． (2)连接与能否相等？若能，求符合条件的点的横坐标；若不能，试说明理由． 【答案】(1)①；② (2)能，或或或． 【分析】（1）①先求顶点的坐标，然后待定系数法求解析式即可求解； ②过点作于点．设直线为，把代入，得，解得，直线为．同理，直线为．联立两直线解析式得出，根据，由平行线分线段成比例即可求解； （2）设点的坐标为，则点的坐标为．①如图2-1，当时，存在．记，则．过点作轴于点，则．在中，，进而得出点的横坐标为6．②如图2-2，当时，存在．记．过点作轴于点，则．在中，，得出点的横坐标为．③如图，当时，存在．记．过点作轴于点，则．在中，，得出点的横坐标为．④如图2-4，当时，存在．记．过点作轴于点，则．在中，，得出点的横坐标为． 【详解】（1）解：①∵， ∴顶点的横坐标为1． ∴当时，， ∴点的坐标是． 设抛物线的函数表达式为，把代入， 得， 解得． ∴该抛物线的函数表达式为， 即． ②如图1，过点作于点．    设直线为，把代入，得， 解得， ∴直线为． 同理，直线为． 由 解得 ∴． ∴． ∵， ∴． （2）设点的坐标为，则点的坐标为． ①如图，当时，存在． 记，则． ∵为的外角， ∴． ∵． ∴． ∴． ∴． 过点作轴于点，则． 在中，， ∴，解得． ∴点的横坐标为6．    ②如图2-2，当时，存在． 记． ∵为的外角， ∴． ∴ ∴． ∴． 过点作轴于点，则． 在中，， ∴，解得． ∴点的横坐标为．      ③如图2-3，当时，存在．记．     ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 过点作轴于点，则． 在中，， ∴，解得． ∴点的横坐标为． ④如图2-4，当时，存在．记． ∵， ∴．      ∴． ∴． 过点作轴于点，则． 在中，， ∴，解得． ∴点的横坐标为． 综上，点的横坐标为． 7．（2022·浙江杭州·中考真题）设二次函数（b，c是常数）的图像与x轴交于A，B两点． (1)若A，B两点的坐标分别为(1，0)，(2，0)，求函数的表达式及其图像的对称轴． (2)若函数的表达式可以写成（h是常数）的形式，求的最小值． (3)设一次函数（m是常数）．若函数的表达式还可以写成的形式，当函数的图像经过点时，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可． （2）根据等式的性质，构造以b+c为函数的二次函数，求函数最值即可． （3）先构造y的函数，把点代入解析式，转化为的一元二次方程，解方程变形即可． 【详解】（1）由题意，二次函数（b，c是常数）经过(1，0)，(2，0)， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式． ∴ 图像的对称轴是直线． （2）由题意，得， ∵， ∴b=-4h，c= ∴ ， ∴当时，的最小值是． （3）由题意，得 因为函数y的图像经过点， 所以， 所以，或． 8．（2022·浙江嘉兴·中考真题）已知抛物线L1：y＝a(x＋1)2－4（a≠0）经过点A(1，0)． (1)求抛物线L1的函数表达式． (2)将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值． (3)把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，若点B(1，y1)，C(3，y2)在抛物线L3上，且y1＞y2，求n的取值范围． 【答案】(1) (2)的值为4 (3) 【分析】（1）把代入即可解得抛物线的函数表达式为； （2）将抛物线向上平移个单位得到抛物线，顶点为，关于原点的对称点为，代入可解得的值为4； （3）把抛物线向右平移个单位得抛物线为，根据点B(1，y1)，C(3，y2)都在抛物线上，当y1＞y2时，可得，即可解得的取值范围是． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得， ； 答：抛物线的函数表达式为； （2）解：抛物线的顶点为， 将抛物线向上平移个单位得到抛物线，则抛物线的顶点为， 而关于原点的对称点为， 把代入得： ， 解得， 答：的值为4； （3）解：把抛物线向右平移个单位得到抛物线，抛物线解析式为， 点，都在抛物线上， ， ， y1＞y2， ， 整理变形得：， ， 解得， 的取值范围是． 9．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，已知点在二次函数的图像上，且． (1)若二次函数的图像经过点． ①求这个二次函数的表达式； ②若，求顶点到的距离； (2)当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①将点代入中即可求出二次函数表达式； ②当时，此时为平行x轴的直线，将代入二次函数解析式中求出，再由求出直线为，最后根据二次函数顶点坐标即可求解； （2）分两种情形：若M，N在对称轴的异侧，；若M、N在对称轴的异侧，，x1<2，分别求解即可． 【详解】（1）解：①将点代入中， ∴，解得， ∴二次函数的表达式为：； ②当时，此时为平行x轴的直线， 将代入二次函数中得到：， 将代入二次函数中得到：， ∵， ∴=， 整理得到：， 又∵，代入上式得到：，解出， ∴，即直线为：， 又二次函数的顶点坐标为(2，-1)， ∴顶点(2,-1)到的距离为； （2）解：若M，N在对称轴的异侧，， ∴x1+3>2， ∴x1>-1， ∵ ∴， ∴-1<， ∵函数的最大值为y1=a（x1-2）2-1，最小值为-1， ∴y-（-1）=1， ∴a=， ∴， ∴； 若M、N在对称轴的异侧，，x1<2， ∵， ∴， ∵函数的最大值为y=a（x2-2）2-1，最小值为-1， ∴y-（-1）=1， ∴a=， ∴， ∴， 综上所述，a的取值范围为． 考点03 二次函数建模及实际应用 1．（2026·浙江·中考真题）我国新能源汽车产销量连续多年位居全球第一．某公司测试一款新型电动汽车的续航能力，在匀速行驶等理想状态下，收集到的数据如下： 行驶速度（） 50 60 70 80 90 基础能耗（） 12.35 11.75 11.55 11.75 12.35 该款电动汽车的电池容量为，考虑到各种因素，实际能耗是基础能耗的1.2倍 实际续航里程． (1)根据上述表格中的数据，在答题纸的坐标系中画出相应的点， (2)请你根据（1）中点在坐标系中的分布特征，从一次函数、反比例函数、二次函数中，选出最符合基础能耗与行驶速度之间关系的函数，并求出该函数表达式； (3)当该款电动汽车匀速行驶时的速度在和之间（含和）时，求其实际续航里程的最小值． 【答案】(1) (2)最符合的是二次函数，函数表达式为： (3)420 千米 【分析】（1）根据表格描点即可； （2）根据点的分布得出其符合二次函数的抛物线特征，再根据待定系数法解答即可； （3）根据题意求出实际续航里程，从而得当最大时，取最小值，求出二次函数在范围内的最大值即可解答； 【详解】（1）略 （2）解：观察点的分布：数据先降后升，且和、和均关于对称，符合二次函数的抛物线特征，因此最符合的是二次函数， 设函数表达式为（对称轴为，顶点为）：， 将点代入得：， 解得， 验证其余点均满足该式， ∴函数表达式为：（展开也可写为）； （3）解：根据题意： 实际能耗为， 代入续航里程公式：实际续航里程， ∴随的增大而减小， ∴当最大时，取最小值， ∵二次函数开口向上，对称轴为， ∴在范围内，随增大而减小，在范围内，随增大而增大； 当时，，当时，， ∴在范围内的最大值为12， ∴， 故实际续航里程的最小值为420 千米． 2．（2023·浙江嘉兴·中考真题）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过（秒）时球距离地面的高度（米）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是（ ） A．5 B．10 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据球弹起后又回到地面时，得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：球弹起后又回到地面时，即， 解得（不合题意，舍去），， ∴球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是2， 故选：D 3．（2023·浙江温州·中考真题）一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 【答案】(1)，球不能射进球门 (2)当时他应该带球向正后方移动1米射门 【分析】（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可得到函数表达式，再把代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论； （2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点代入即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 当时，， ∴球不能射进球门； （2）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得， 解得（舍去），， ∴当时他应该带球向正后方移动1米射门． 4．（2023·浙江嘉兴·中考真题）根据以下素材，探究完成任务． 如何把实心球掷得更远？ 素材1 小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到的水平距离为时，达到最大高度为．    素材2 根据体育老师建议，第二次练习时，小林在正前方处（如图）架起距离地面高为的横线．球从点A处被抛出，恰好越过横线，测得投掷距离．    问题解决 任务1 计算投掷距离 建立合适的直角坐标系，求素材1中的投掷距离． 任务2 探求高度变化 求素材2和素材1中球的最大高度的变化量 任务3 提出训练建议 为了把球掷得更远，请给小林提出一条合理的训练建议． 【答案】任务一：4m；任务二：；任务三：应该尽量提高掷出点的高度、尽量提高掷出点的速度、选择适当的掷出仰角 【分析】任务一：建立直角坐标系，由题意得：抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，过点，利用待定系数法求出解析式，当时求出x的值即可得到； 任务二：建立直角坐标系，求出任务二的抛物线解析式，得到顶点纵坐标，与任务一的纵坐标相减即可； 任务三：根据题意给出合理的建议即可． 【详解】任务一：建立如图所示的直角坐标系，      由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为，过点， ∴， 解得， ∴， 当时，， 得（舍去）， ∴素材1中的投掷距离为4m； （2）建立直角坐标系，如图，    设素材2中抛物线的解析式为， 由题意得，过点， ∴， 解得， ∴ ∴顶点纵坐标为， （m）， ∴素材2和素材1中球的最大高度的变化量为； 任务三：应该尽量提高掷出点的高度、尽量提高掷出点的速度、选择适当的掷出仰角． 5．（2023·浙江衢州·中考真题）某龙舟队进行500米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程与时间的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；在冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程与时间的函数表达式为． (1)求出启航阶段关于的函数表达式（写出自变量的取值范围）， (2)已知途中阶段龙舟速度为5m/s． ①当时，求出此时龙舟划行的总路程， ②在距离终点125米处设置计时点，龙舟到达时，视为达标，请说明该龙舟队能否达标； (3)冲刺阶段，加速期龙舟用时1s将速度从5m/s提高到5.25m/s，之后保持匀速划行至终点.求该龙舟队完成训练所需时间（精确到0.01s）． 【答案】(1) (2)①龙舟划行的总路程为；②该龙舟队能达标． (3)该龙舟队完成训练所需时间为 【分析】（1）把代入 得出的值，则可得出答案； （2）①设，把代入，得出，求得，当时，求出，则可得出答案； ②把代入，求得，则可得出答案； （3）由（1）可知，把代入，求得．求出，则可得出答案． 【详解】（1）把代入 得， 解得， 启航阶段总路程关于时间的函数表达式为； （2）①设，把代入，得， 解得， ． 当时，． 当时，龙舟划行的总路程为． ②， 把代入， 得． ， 该龙舟队能达标． （3）加速期：由（1）可知， 把代入， 得． 函数表达式为， 把代入， 解得． ， ． 答：该龙舟队完成训练所需时间为． 6．（2023·浙江湖州·中考真题）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）存在一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售价格x（元/千克） 50 40 日销售量y（千克） 100 200 (1)试求出y关于x的函数表达式． (2)设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？ 【答案】(1) (2)销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元 【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，由表中数据即可得出结论； （2）根据每日总利润=每千克利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设y关于x的函数表达式为． 将和分别代入，得： ， 解得：， ∴y关于x的函数表达式是：； （2）解：， ∵， ∴当时，在的范围内， W取到最大值，最大值是2250． 答：销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元． 7．（2022·浙江宁波·中考真题）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（，且x为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克． (1)求y关于x的函数表达式． (2)每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？ 【答案】(1)（，且x为整数） (2)每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克 【分析】（1）由每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，即可得求得解析式； （2）设每平方米小番茄产量为W千克，由产量=每平方米种植株数×单株产量即可列函数关系式，由二次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：∵每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克， ∴（，且x为整数）； （2）解：设每平方米小番茄产量为W千克， ． ∴当时，w有最大值12.5千克． 答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克． 8．（2022·浙江金华·中考真题）“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：①统计售价与需求量的数据，通过描点（图1），发现该蔬菜需求量（吨）关于售价x（元/千克）的函数图象可以看成抛物线，其表达式为，部分对应值如表： 售价x（元/千克） … 2.5 3 3.5 4 … 需求量（吨） … 7.75 7.2 6.55 5.8 … ②该蔬菜供给量（吨）关于售价x（元/千克）的函数表达式为，函数图象见图1． ③1~7月份该蔬菜售价（元/千克），成本（元/千克）关于月份t的函数表达式分别为，，函数图象见图2． 请解答下列问题： (1)求a，c的值． (2)根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由． (3)求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润． 【答案】(1) (2)在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大，理由： 设这种蔬菜每千克获利w元，根据题意， 有， 化简，得， ∵在的范围内， ∴当时，w有最大值． 答：在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大． (3)该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000元 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）设这种蔬菜每千克获利w元，根据列出函数关系式，由二次函数的性质可得结论； （3）根据题意列出方程，求出x的值，再求出总利润即可． 【详解】（1）把，代入可得 ②-①，得， 解得， 把代入①，得， ∴． （2）略 （3）由，得， 化简，得，解得（舍去）， ∴售价为5元/千克． 此时，（吨）（千克）， 把代入，得， 把代入，得， ∴总利润（元）． 答：该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000元． 9．（2022·浙江温州·中考真题）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？ 素材1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高． 素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决 任务1 确定桥拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 探究悬挂范围 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围． 任务3 拟定设计方案 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标． 【答案】 任务一：直角坐标系： ； 任务二：悬挂点的纵坐标的最小值是；； 任务三：有两种设计方案 方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼． ∵，相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为， ∴若顶点一侧挂4盏灯笼，则， 若顶点一侧挂3盏灯笼，则， ∴顶点一侧最多可挂3盏灯笼． ∵挂满灯笼后成轴对称分布， ∴共可挂7盏灯笼． ∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是． 方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为， ∵若顶点一侧挂5盏灯笼，则， 若顶点一侧挂4盏灯笼，则， ∴顶点一侧最多可挂4盏灯笼． ∵挂满灯笼后成轴对称分布， ∴共可挂8盏灯笼． ∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是． 【分析】任务一：根据题意，以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，待定系数法求解析式即可求解； 任务二：根据题意，求得悬挂点的纵坐标，进而代入函数解析式即可求得横坐标的范围； 任务三：有两种设计方案，分情况讨论，方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼；方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为，根据题意求得任意一种方案即可求解． 【详解】任务一：以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，则顶点为，且经过点． 设该抛物线函数表达式为， 则， ∴， ∴该抛物线的函数表达式是． 任务二：∵水位再上涨达到最高，灯笼底部距离水面至少，灯笼长， ∴悬挂点的纵坐标， ∴悬挂点的纵坐标的最小值是． 当时，，解得或， ∴悬挂点的横坐标的取值范围是． 任务三：略 10．（2022·浙江衢州·中考真题）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线为轴，铅垂线为轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度从点滑出，运动轨迹近似抛物线．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡上设置点（与相距32m）作为标准点，着陆点在点或超过点视为成绩达标． (1)求线段的函数表达式（写出的取值范围）． (2)当时，着陆点为，求的横坐标并判断成绩是否达标． (3)在试跳中发现运动轨迹与滑出速度的大小有关，进一步探究，测算得7组与 的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3． ①猜想关于的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证． ②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s)？ （参考数据：，） 【答案】(1)（8≤x≤40） (2)的横坐标为22.5，成绩未达标 (3) ①猜想a与成反比例函数关系． ∴设 将（100，0.250）代入得解得， ∴． 将（150，0.167）代入验证：， ∴能相当精确地反映a与的关系，即为所求的函数表达式． ②当m/s时，运动员的成绩恰能达标 【分析】（1）根据图像得出CE的坐标，直接利用待定系数法即可求出解析式； （2）将代入二次函数解析式，由解出x的值，比较即可得出结果； （3）由图像可知，a与成反比例函数关系，代入其中一个点即可求出解析式，根据CE的表达式求出K的坐标（32，4），代入即可求出a，再代入反比例函数即可求出v的值． 【详解】（1）解：由图2可知：， 设CE：， 将代入， 得：，解得， ∴线段CE的函数表达式为（8≤x≤40）． （2）当时，，由题意得， 解得                                    ∴的横坐标为22.5． ∵22.5＜32， ∴成绩未达标． （3）①略 ②由K在线段上，得K（32，4），代入得，得 由得， 又∵， ∴， ∴当m/s时，运动员的成绩恰能达标． 11．（2022·浙江台州·中考真题）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）． (1)若，； ①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； ②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标； ③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围； (2)若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值． 【答案】(1)①,；②；③ (2) 【分析】（1）①根据顶点式求上边缘二次函数解析式即可； ②设根据对称性求出平移规则，再根据平移规则由C点求出B点坐标； ③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则上边缘抛物线至少要经过F点，下边缘抛物线，计算即可； （2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上，设出D、F坐标计算即可． 【详解】（1）（1）①如图1，由题意得是上边缘抛物线的顶点， 设． 又∵抛物线经过点， ∴， ∴． ∴上边缘抛物线的函数解析式为． 当时，， ∴，（舍去）． ∴喷出水的最大射程为． 图1 ②∵对称轴为直线， ∴点的对称点的坐标为． ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， 即点是由点向左平移得到，则点的坐标为． ③如图2，先看上边缘抛物线， ∵， ∴点的纵坐标为0.5． 抛物线恰好经过点时， ． 解得， ∵， ∴． 当时，随着的增大而减小， ∴当时，要使， 则． ∵当时，随的增大而增大，且时，， ∴当时，要使，则． ∵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带， ∴的最大值为． 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， ∴的最小值为2． 综上所述，的取值范围是． （2）的最小值为． 由题意得是上边缘抛物线的顶点， ∴设上边缘抛物线解析式为． ∵上边缘抛物线过出水口（0，h） ∴ 解得 ∴上边缘抛物线解析式为 ∵对称轴为直线， ∴点的对称点的坐标为． ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， ∴下边缘抛物线解析式为． 当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上， ∵DE=3 ∴设点，，， ∵D在下边缘抛物线上， ∴ ∵EF=1 ∴ ∴ ， 解得， 代入，得． 所以的最小值为． 1．（2026·浙江绍兴·一模）在平面直角坐标系中，点，，由线段与抛物线的一段（）组成的图形C，如图所示．若将图形C上的一点P先向右平移3个单位，再向上平移1个单位后仍在图形C上，则这样的点P的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先求出直线的解析式，设点P的横坐标为m，则，然后分两种情况：当点P在线段上时，当点P在抛物线上时即可求解． 【详解】解：设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设点P的横坐标为m，则， 当点P在线段上时，此时点P的坐标为， ∵将图形C上的一点P先向右平移3个单位，再向上平移1个单位后仍在图形C上， ∴点在图形C上， ∴或， ∴（舍去）或； 当点P在抛物线上时，此时点P的坐标为， ∵将图形C上的一点P先向右平移3个单位，再向上平移1个单位后仍在图形C上， ∴点在图形C上， ∴或， ∴（舍去）或（舍去）或； ∴这样的点P的个数为2个． 2．（2026·浙江温州·二模）如图1，汽车制动性能测试包含匀速行驶阶段和刹车阶段，图2是某次测试中汽车离点A的距离S（米）关于行驶时间t（秒）的函数图象． ①匀速行驶阶段：汽车从点A出发，以的速度沿方向匀速行驶，2 秒后到达点C． ②刹车阶段：汽车自点C处开始刹车，6秒后在点D处停止，这个过程中S与t满足关系：（a为常数且）． 下列选项中正确的是（     ） A． 米/秒 B．汽车行驶总时间为 10 秒 C． D． 米 【答案】D 【分析】根据图像分析段匀速运动，可知匀速速度，将坐标代入即可求得函数表达式，进而可知的取值． 【详解】解：由题可知，段是匀速直线运动， 则（米/秒）， 则A选项错误； ∵将和代入 得： ， 解得：， 则C选项错误； 则S与t的关系式为：， 当时，汽车停止运动，（米） 则 则B选项错误，D选项正确． 3．（2026·浙江舟山·一模）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，抛物线的对称轴是直线，若，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先判断出抛物线开口向上，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，抛物线与y轴交于点，然后分情况讨论求解即可． 【详解】解：∵ ∴抛物线开口向上 ∵抛物线的对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小 ∵当时， ∴抛物线与y轴交于点 当时， ∵ ∴，不符合题意； 当当时， ∵ ∴对称轴到的距离小于对称轴到的距离 ∴，即； ∴； 当对称轴在点和点之间时，即当时， ∵ ∴对称轴到的距离小于对称轴到的距离 ∴，即 ∴ 当对称轴在点右边时，即当时， ∵ ∴，不符合题意； 综上所述，t的取值范围是． 4．（2026·浙江·一模）如图1，中，，点P从A点出发沿折线运动，点Q从点A出发沿线段运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到B时，另一点同时停止运动，已知点P的速度为，点Q的速度为，设P点运动时间为，的面积为．如图2是关于的函数图象，下列选项正确的是（    ） A． B． C．y的最大值为2.75 D．点在该函数图象上 【答案】D 【分析】由题意可分当点P在线段上时，当点P在线段上时，然后得出y与x的函数关系式，进而问题可求解． 【详解】解：当点P在线段上时，则，，过点P作于点D，如图所示： ∵， ∴， ∴， 由图象可知：当时，则有，解得：（负根舍去），故A错误； 当时，，说明此时点P与点B重合， ∴，故B错误； 当点P在线段上时，分别过点C、P作， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，面积最大，最大值为，故C错误； ∴， ∴当时，，故D正确． 5．（2026·浙江杭州·一模）已知点，，均在抛物线的图象上，且，点和也在此抛物线上，则下列说法正确的是（   ） A．若恒成立，则 B．若恒成立，则 C．若恒成立，则 D．若恒成立，则 【答案】D 【分析】先根据已知点坐标求出抛物线开口方向和对称轴的范围，再结合二次函数的增减性和恒成立条件判断选项． 【详解】解：把，代入得： 两式相减得，化简得. 把代入抛物线得，减去点的式子得， 把代入得，解得. ， ，即，抛物线开口向上， 对称轴为，结合的范围可得， 对于点和，开口向上时，等价于，平方化简得. 若恒成立，则对所有都满足， 因此， 解得. 同理，若恒成立， 可得， 所以选项D正确． 6．（2026·浙江·模拟预测）若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，我们称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上有且仅有一个二倍点，则c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由二次函数解析式得出其对称轴为直线，再根据“在的图象上有且仅有一个二倍点”的条件，联立抛物线与直线得到一元二次方程，分别求出抛物线与直线相切（令）时的和抛物线过点时的，最终确定c的取值范围为． 【详解】解：由（为常数）可知，抛物线的对称轴为直线，因为在的图象上有且仅有一个二倍点， 如图所示，当抛物线与相切时，，即，令，可得，当抛物线过点时，可得，所以． 7．（2026·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，．若二次函数的图象与线段有交点，则该抛物线与轴交点的纵坐标的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意先求得该抛物线的顶点坐标和n的表达式，先根据抛物线的图象与线段 有交点，结合A，B两点的坐标，根据顶点坐标推出且点一定在抛物线的下方，然后分两种情况讨论：①当点在抛物线的上方时一定满足条件，从而得到b的取值范围，进而确定n的取值范围；②当点 在抛物线的下方时，需满足抛物线的对称轴，进而确定n的取值范围，即可解答． 【详解】解：∵， ∴该抛物线开口向上，顶点坐标为；当时，， ∴抛物线与轴的交点纵坐标， ∵，两点的坐标分别为，，抛物线的图象与线段 有交点， ∴该抛物线的顶点的纵坐标，即， 又∵当 时，， ∴点一定在抛物线的下方， ∴①当点在抛物线的上方时一定满足条件， 即当时，， 解得， ∵，是关于的二次函数，抛物线开口向上，对称轴为， ∴在范围内，当时，取得最小值，当时，取得最大值， ∴； ②当点 在抛物线的下方时，需满足抛物线的对称轴， 此时对于，当时，取得最小值0，当时，取得最大值10， ∴， 综上，的取值范围是 ． 8．（2026·浙江·模拟预测）同一平面直角坐标系中，抛物线与关于原点成中心对称，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】设为上任一点，它关于原点成中心对称的点为，根据抛物线与关于原点成中心对称，在抛物线上，得， 从而或，求解即可． 【详解】解：设为上任一点，它关于原点成中心对称的点为， 那么在抛物线上， 代入可得， 整理得， ∴或， ∴． 9．（2026·浙江宁波·模拟预测）冬奥会空中技巧项目的场地如图（图1是实景照片，图2是截面示意图）．一名运动员在某次训练的技术分析如图（图3所示抛物线是运动员的空中实际路线的一段，图4是该段抛物线在以着陆坡的最低点所在水平直线为轴、起跳点所在直线为轴建立的平面直角坐标系中的示意图）【注：的长为25米，，．】，在本次训练时，运动员的着陆点恰好在着陆坡的最低点处，设抛物线的函数表达式为，平行于轴的直线与抛物线、着陆坡分别交于点，，则下列所作技术分析正确的是（    ） A．着陆坡的水平宽度米 B．点的坐标为 C． D．当的最大值为10米时， 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，解直角三角形的应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据题意求出，，解三角函数得到以及求出，即选项A和选项B错误；抛物线的函数表达式为，将代入，化简得到，即可得到选项C正确；设着陆坡所在直线的表达式为，求出一次函数解析式，得到，化简得，对于二次函数，其对称轴为，当时，有最大值，将代入，即，根据的最大值为10米，得到，即可得到选项D错误． 【详解】解：， ， 故， 解得，， 在中，， ， ， 米，故A错误； 在中，， ， 米，故，故B错误； 抛物线的函数表达式为， 将代入， 故， 化简得， ，故C正确； 设 设着陆坡所在直线的表达式为， 将代入， ， 解得，， ， ， ， 则， ， 对于二次函数，其对称轴为， 当时，有最大值，将代入， 即， ∵的最大值为10米， 即， 解得，故D错误； 10．（2026·浙江·模拟预测）已知二次函数（），其函数图象顶点为P． (1)记与y轴交点为A，求直线的函数表达式（含a的代数式表示）． (2)若将点P向上平移4个单位，向右平移2个单位，还是在该函数图象上． ①求a的值． ②当时，该函数的最大值与最小值的差为，求m的值． 【答案】(1)； (2)①；②m的值为和4 【分析】（1）先求出抛物线与轴的交点，然后求出顶点，再由待定系数法求解函数解析式即可； （2）①先求出顶点平移后的对应坐标，再代入函数解析式求解即可； ②分三种情况讨论，根据二次函数的图象与性质分析即可． 【详解】（1）解:对于，令，则 ∴点， ∵， ∴顶点 设直线的函数表达式， ∴， ∴， ∴直线的函数表达式为； （2）解：①∵， ∴将点P向上平移4个单位，向右平移2个单位后，对应点的坐标为， ∵平移后的还是在该函数图象上， ∴， 解得； ②∵， ∴， 当时，，解得（舍）； 当时，， 解得（舍），； 当时，， 解得（舍），（舍）； 当时，，解得； ∴m的值为和4． 11．（2026·浙江湖州·模拟预测）定义：对于y关于x的函数，在范围内，函数的最大值记作M，最小值记作m． (1)对于一次函数，在的范围内，分别求出M和m的值． (2)对于二次函数，甲、乙两位同学有以下说法： 甲同学说：“在的范围内，，．” 乙同学说：“在的范围内，若，则，．” 甲、乙两位同学的说法正确吗?请分别作出判断，并通过计算说明对“甲同学说法”的判断理由 【答案】(1)； (2) 解：甲同学说法错误；乙同学说法错误． 对“甲同学说法”的判断理由如下： ， ∵抛物线开口向上，在的范围内， ∴当时，函数最小值为， 当时，， 当时， ∴在的范围内函数最大值； 对“乙同学说法”的判断理由如下： 二次函数，对称轴为， 时，则在的范围内，随的增大而减小， 时，二次函数有最大值，时，最小值， ∵， ∴，即， ∵， ∴一元二次方程没有实数根， ∴不符合题意； 时， 时，二次函数有最大值，当时，有最小值， ，不符合题意； 时， 当时，有最大值，当时，最小值， ， 若，则， 解得， 只有当时符合题意； 综上，“在的范围内，若，则，”这种说法是错误的， 即甲同学说法错误，乙同学说法错误． 【分析】（1）根据一次函数的增减性得到最值即可； （2）先配方，得到二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质分别判断甲、乙同学的推断即可． 【详解】（1）解：因为一次函数的函数值y随自变量x的增大而增大， 所以当时，；当时，． （2）略 12．（2026·浙江杭州·模拟预测）【问题背景】投掷实心球是中考体育力量类项目之一，投掷出的实心球运动路线近似为抛物线． 【探索研究】小明利用设备对一次训练进行录像AI分析，因失误，未录下实心球落点位置，在下表记录了实心球的几组水平距离（单位：m）和竖直高度（单位：m）的对应值，并建立直角坐标系，画出了部分图象如图． 设抛物线的表达式为． … … … … (1)【建立模型】求出抛物线的函数表达式； (2)【分析计算】求小明该次训练投掷实心球的抛物线最高点的坐标和投掷的距离； (3)【模型应用】小明分析，若改进动作，微调方向和出手点，则实心球运动路线的抛物线表达式中二次项系数变为，顶点为，通过计算，判断改进动作后投掷实心球的距离能否超过10米． 【答案】(1) (2)，投掷的距离为米 (3)改进后投掷实心球的距离能超过10米 【分析】（1）由表格分析出对称轴和顶点坐标，再将一个点坐标代入求出的值即可； （2）由（1）可得顶点坐标，令求出对应的的值即可； （3）先根据题意写出新的函数表达式，再令求出对应的的值即可． 【详解】（1）解：由表格可知，点和点的纵坐标相等， ∴抛物线的对称轴为直线， 结合表格可知，顶点坐标为， ∴，，， 将点代入，得， ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由（1）可知，顶点坐标为，顶点即最高点， 将代入，得， ， 解得，（负值，舍去）， ∴小明该次投掷实心球的距离为9.8米； （3）解：根据题意，改进后，， 将代入，得， ， 解得，（负值，舍去）． ∵， 又∵， ∴， ∴． 答：改进后投掷实心球的距离能超过10米． 13．（2026·山东青岛·一模）请根据以下素材，完成探究任务． 汉服承载着华夏民族数千年的礼仪衣冠体系，其“交领右衽”“天人合一”的设计理念，凝结了东方美学的智慧结晶．从盛唐气象到宋明风韵，不同形制的演变映射着时代精神风貌．今有某传统服饰工坊，以匠心复刻唐制齐胸襦裙之飘逸、宋制褙子之雅致、明制袄裙之端庄，邀您共探传统工艺与现代经营的数学奥秘． 制定汉服加工方案 生产背景 背景1 （1）某汉服工坊安排60名工匠承接订单，主打三类经典形制：唐制·齐胸襦裙（象征开放包容的盛世气度）、宋制·褙子套装（体现简约理性的文人审美）、明制·袄裙（彰显严谨庄重的礼制规范）； （2）根据非遗技艺要求，每位工匠每日仅能专精一种类型：唐制人均日产3套，宋制人均日产2套，明制人均日产1套； （3）客户合同约定：宋制汉服至少交付15套；明制与唐制产能需严格匹配，按套数供应高端团购单． 背景2 当前市场行情下各款式获利情况如下： ①唐制布料成本低和走量销售，单套净利润30元； ②明制采用云锦面料和手工镶边，单套净利润90元； ③宋制实行差异化定价：当每日生产15套时，每套获利120元；在此基础上，每多生产1套，平均每套获利减少3元． 信息整理 现规划x名匠人主攻宋制，y名匠人负责唐制，其余匠人负责明制，列表如下： 汉服类型 加工人数 人均日产量/套 单套净利润/元 唐制 y 3 30 宋制 x 2 明制 1 90 探究任务 任务1：探寻变量关系 (1)根据合同约束，求x，y之间的数量关系． 任务2：建立数学模型 (2)设该汉服工坊每日总利润为W元，求W关于x的函数表达式． 任务3：拟定最优方案 (3)确定使每日总利润最大的分配方案． 【答案】(1)（或） (2) (3)方案1：安排8名工人加工宋制汉服，13名工人加工唐制汉服，39名工人加工明制汉服， 方案2：安排12名工人加工宋制汉服，12名工人加工唐制汉服，36名工人加工明制汉服 【分析】（1）安排x名工人加工宋制汉服，y名工人加工唐制汉服，可得加工明制汉服的有人，进一步求解即可； （2）列式，再整理即可； （3）结合（2），再利用二次函数的性质解答即可. 【详解】（1）解：任务1： ∵安排x名工人加工宋制汉服，y名工人加工唐制汉服， 则加工明制汉服的有人， ∴，整理得：（或）． （2）解：任务2： 根据题意得：， 整理得：． （3）解：任务3： 由任务2得，， ∵， ∴开口向下， ∵对称轴为直线， ∴当时，W随x的增大而增大， 当时，W随x的增大而减小． ∵且x，y均取正整数， ∴当或12时，利润最大． ∴方案1：安排8名工人加工宋制汉服，13名工人加工唐制汉服，39名工人加工明制汉服， 方案2：安排12名工人加工宋制汉服，12名工人加工唐制汉服，36名工人加工明制汉服． 试卷第1页，共3页 4 / 4 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