专题01 二次函数综合（5年汇编）（北京专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦北京中考二次函数综合专题，汇编2022-2026年5道中考真题及2026年22道北京各区模拟题，共27道解答题，精准对接北京中考压轴题命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|27道/每道6分|核心考查二次函数对称轴、参数范围推导，如2026北京卷抛物线平移与参数范围，2025北京卷动态区间单调性|分层递进设计，结合含参动点与分类讨论，模拟题常设置动态点运动中线段长度随参数变化问题，贴合北京中考“基础问低难度，综合问区分核心性质”规律|

专题16 二次函数综合 5年真题1年模拟 考点分类 北京考情（2022-2026） 命题规律 考点01二次函数综合 2026北京卷 2025北京卷 均以解答题压轴形式考查，分值稳定 6 分。命题采用分层递进式设计，定点抛物线、直线相交、抛物线平移等模型素材频繁出现。核心围绕二次函数图像与性质展开，重点考查对称轴、参数范围推导两大模块，同时常设定点代入、线段长度计算类基础考题。整体梯度清晰、基础问难度偏低，近三年命题逐步融合方程判别式、动态区间单调性，侧重结合含参动点、动态图像区分函数核心性质，字母代数、分类讨论类设问占比逐年提升。 考点01 二次函数综合 1．（2026·北京·中考）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，对称轴为． (1)求b的值，并用含a的式子表示c； (2)已知M是抛物线上的点，M的横坐标为t，抛物线的顶点为M，且可以由抛物线平移得到（特别地，当M是的顶点时，即为）．若无论t为何值，抛物线都不经过点O，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2)且 【分析】（1）利用抛物线过直接得，再套用对称轴公式，化简求出； （2）先写出顶点为的平移后抛物线，代入原点得到关于的一元二次方程，方程无实数根则判别式，解不等式得到范围． 【详解】（1）解：抛物线经过点， ． 抛物线的对称轴为， ． ； （2）解：设点， 是抛物线上的点， ． 由题意，抛物线， 设抛物线与y轴交于点，则． 无论t为何值，抛物线都不经过点O， 无论t为何值，都有， 关于t的方程没有实数根． ，即． ， 化简得：， 解得：， 且． 2．（2025·北京·中考）在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】(1)0， (2)①4；②且 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）分别将，代入抛物线解析式，即可获得答案； （2）①结合题意，分别确定点的坐标，即可获得答案；②首先确定，再分和两种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：将点代入，抛物线， 可得， ∴该抛物线解析式为， 将点代入，抛物线， 可得，解得； （2）①若，则该抛物线及直线解析分别为，， 当时，可有点， 如下图， ∵轴， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴； ②当点P从点O运动到点的过程中， ∵轴，， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴， 令，即，解得或， 若，可有，即点在轴右侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向下，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的增大而增大， 则，解得， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为，不符合题意； 若，可有，即点在轴左侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的减小而增大， 则，解得， ∴． 综上所述，a的取值范围为且． 3．（2024·北京·中考）在平面直角坐标系中，已知抛物线. (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知和是抛物线上的两点.若对于，，都有，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)或 【分析】（）把代入，转化成顶点式即可求解； （）分和两种情况，画出图形结合二次函数的性质即可求解； 本题考查了求二次函数的顶点式，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：分两种情况：抛物线的对称轴是直线； ①当时，和都在对称轴右侧， 此时y随x的增大而增大， ∵， ∴ 如图，此时， ∴， 又∵， ∴； ②当时， 在对称轴左侧，在对称轴右侧， ∴点关于对称轴的对称点在对称轴右侧， y随x的增大而减小， ∵， ∴， 如图，此时， 解得， 又∵， ∴； 综上，当或，都有． 4．（2023·北京·中考）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． (1)若对于，有，求的值； (2)若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解； （2）根据题意可得离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧，根据对称性求得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵对于，有， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴为． ∴； （2）解：∵当，， ∴，， ∵，， ∴离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧， ∴， 即． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 5．（2022·北京·中考）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为 (1)当时，求抛物线与y轴交点的坐标及的值； (2)点在抛物线上，若求的取值范围及的取值范围． 【答案】(1)（0，2）；2 (2)的取值范围为，的取值范围为 【分析】（1）当x=0时，y=2，可得抛物线与y轴交点的坐标；再根据题意可得点关于对称轴为对称，可得t的值，即可求解； （2）抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为（2t，c），根据抛物线的图象和性质可得当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，然后分两种情况讨论：当点，点，点（2t，c）均在对称轴的右侧时；当点在对称轴的左侧，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴当x=0时，y=2， ∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）； ∵， ∴点关于对称轴对称， ∴； （2）解：当x=0时，y=c， ∴抛物线与y轴交点坐标为（0，c）， ∴抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为（2t，c）， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 当点，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时， ， ∵1＜3， ∴2t＞3，即（不合题意，舍去）， 当点在对称轴的左侧，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时，点在对称轴的右侧，， 此时点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴，解得：， ∵1＜3， ∴2t＞3，即， ∴， ∵，，对称轴为， ∴， ∴，解得：， ∴的取值范围为，的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 1．（2026·北京密云·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示） (2)已知和是抛物线上的两点，若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）通过配方将一般式化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）分和两种情况，根据开口方向，利用点到对称轴的距离与纵坐标大小的关系列不等式，求解得到的取值范围 ． 【详解】（1）解： ∴抛物线的顶点坐标为 ； （2）解：抛物线的对称轴为直线， 点的横坐标， ∴到对称轴的距离为 ， ∵点满足 ， ∴ ， 当时，抛物线开口向上，点离对称轴越远，纵坐标越大， 要使对所有 都有，则到对称轴的距离不小于到对称轴距离的最大值， ∴ ， ∵， 所∴， 解得，符合条件； 当时，抛物线开口向下，点离对称轴越近，纵坐标越大， 要使对所有 都有，则到对称轴的距离不大于到对称轴距离的最小值， ∴ ， ∴， ∴ ， 解得， 结合得 ，符合条件 综上，的取值范围是 或 ． 2．（2026·北京门头沟·综合练）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求抛物线的对称轴，并用含的式子表示； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点， ①如果，，求线段的长； ②已知点在抛物线上，当时，线段的长随着的增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线， (2)①；② 【分析】（1）利用待定系数法求出、的关系，进而求出对称轴； （2）①根据题意得到抛物线和直线的表达式，进而求出点、的坐标，从而求出线段的长； ②当时，得到，设抛物线与直线交于点H，进而求出点的坐标，设、，当或时，线段的长随着的增大而减小，分两种情况讨论，求出的表达式，进而列出不等式组，据此求解即可． 【详解】（1）解：将点和点代入抛物线得： ， 解得：， 抛物线， 则抛物线对称轴为：； （2）解：①由（1）知，抛物线， 当，时， 抛物线，直线，， 将代入抛物线得：， ， 将代入直线得：， ， ； ②解：由题意得，抛物线图象开口向下， 由（1）知，抛物线， ， 、， 设抛物线与直线交于点H， 则， 解得：或， 为原点坐标， ， 点在抛物线上， 当时，， ， 设、， ， 如图，当或时，线段的长随着的增大而减小， 分情况讨论： 当时， 由题意得：， ； 当时，， ， 当时，有最大值， ， ， 此不等式组无解； 综上所述，当时，线段的长随着的增大而减小，的取值范围为． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象性质，数形结合和分类讨论的思想方法的运用是解题的关键． 3．(25-26九·北京东城区·)在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于O，A两点． (1)求c的值，并用含a的式子表示A点的横坐标； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②当时，的长随t的增大而增大，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)，A点的横坐标为 (2)①；②且或 【分析】（1）根据二次函数图象过得到c的值，根据二次函数对称轴直线的计算得到A的横坐标； （2）①把，代入，得到点，的纵坐标，由此即可求解； ②用含，的式子表示出的值，结合二次函数图象的性质判定即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于，A两点， ∴，抛物线的对称轴直线为， ∴， 解得， ， ∴A点的横坐标为； （2）解：①当，时，二次函数解析式为，直线的解析式为， ∴当时，点M的纵坐标为 ，点N的纵坐标为 ， ∴； ②∵， ∴抛物线 的图象开口向上，对称轴直线为，， 直线的图象经过第一、三象限， 当时，点M的纵坐标为 ，点N的纵坐标为， ∴， ∵， ∴， 当 时， ， ∴关于的二次函数图象开口向上，对称轴直线为， ∵当时，的长随t的增大而增大， ∴，且， ∴； 当时， ， ∴关于的二次函数图象开口向下，对称轴直线为， ∵当时，的长随t的增大而增大， ∴； ∵点与点不重合， ∴， ∴ 综上所示，且或． 4．（2026·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上． (1)求该抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若对于，，总有，同号，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式进行求解即可； （2）先推导出抛物线经过点，，，分类讨论：①若，②若，逐个分析求解即可． 【详解】（1）解：由可知，抛物线的对称轴为． （2）解：，， ∴， ，即， 当时，， ∵，同号， ∴ ∴ ∵ ∴ 当时， ∵，同号， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴恒成立 综上所述，的取值范围是或． 5．（2026·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求抛物线的对称轴和c的值（用含m的式子表示）； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N（M，N不重合）． ①若，，求的长； ②已知在点P从点运动到点的过程中，的长随t的增大而减小，求m的取值范围． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线， (2)①；②或 【分析】（1）直接根据抛物线的对称轴为直线，求出其对称轴，再将点代入解析式求解，即可解题； （2）①根据，得到点，抛物线为，直线为，结合题意求出点M的坐标与点N的坐标，进而即可得到的长； ②根据点P从点运动到点的过程中，的长随t的增大而减小，分两种情况：当M在N的上方时，当M在N的下方时，利用解析式表示出的长，再结合二次函数增减性建立不等式求解，即可解题． 解题关键在于运用分类讨论的思想分析问题． 【详解】（1）解：抛物线经过点， ，且抛物线的对称轴为直线， ； （2）解：①若，， 则点，抛物线为，直线为， 过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N， 又， 点M的坐标为，点N的坐标为， ； ②抛物线为，直线为， M，N不重合， 当M在N的上方时， ， ， 的长在直线左侧随的增大而减小， 又点从点运动到点的过程中，的长随t的增大而减小， ，即， 且当时，有， 解得， 故无解； 当M在N的下方时， ， ， 的长在直线右侧随的增大而减小， 又点从点运动到点的过程中，的长随t的增大而减小， ，即， 且当时，有， 解得或， 综上或． 6．（2026·北京丰台·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)用含a的式子表示b； (2)已知点，点，点在线段上，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点S，交抛物线于点T，点S与点T不重合． ①当时，直接写出的长的最小值； ②已知在点P从点M运动到点N的过程中，的长随的长的增大而减小，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)①8；②或 【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线即可解答； （2）①由题意可得，，，，即，然后表示出，利用二次函数的性质，结合图象分析最值即可； ②根据题意，设点，，则，由点S与点T不重合，推出且，然后分类讨论：当时，（i）当或时，（ii）当时；当时，（i）当时，（ii）当或时；分别根据二次函数的性质讨论即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴； （2）解：①∵，，过点作x轴的垂线，交抛物线于点S，交抛物线于点T，点S与点T不重合， ∴，，，，即， ∴， ∴关于t的函数的对称轴为，图象如图所示， ∵，， ∴当时，取得最小值，最小值为； ②根据题意，设点，，则，， ∴， ∵点S与点T不重合， ∴， ∴且， ①当时， （i）当或时，， ∴， 则关于t的函数的图象开口向上，对称轴为， ∴当时，的长随t的增大而减小，即的长随的长的增大而减小， 当时，的长随t的增大而增大，即的长随的长的增大而增大， ∴， ∵点在线段上，，，， ∴， ∴； （ii）当时，， ∴， 则关于t的函数的图象开口向下，对称轴为， ∴当时，的长随t的增大而增大，即的长随的长的增大而增大， 当时，的长随t的增大而减小，即的长随的长的增大而减小， ∴， ∴， ∴（，舍去）， ②当时， （i）当时，， ∴， 则关于t的函数的图象开口向下，对称轴为， ∴当时，的长随t的增大而增大，即的长随的长的增大而增大， 当时，的长随t的增大而减小，即的长随的长的增大而减小， ∴， ∴， ∴， （ii）当或时，， ∴， 则关于t的函数的图象开口向上，对称轴为， ∴当时，的长随t的增大而减小，即的长随的长的增大而减小， 当时，的长随的增大而增大，即的长随的长的增大而增大， ∴， ∴， ∴（，舍去）， 综上所述：或． 7．（2026·北京顺义·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的对称轴； (2)已知抛物线上两点M，N的横坐标分别为，，过点M作y轴的垂线，过点N作x轴的垂线，两条垂线交于点P． ①若，，求的长； ②当取，时，的长分别为，，若存在，使得，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)①6；②或． 【分析】（1）根据抛物线的对称轴的公式计算即可； （2）①再分别求出M，N，P的坐标，以及的表达式，再将，代入求解即可；②分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为； （2）解：①当时，，则，过作轴的垂线，方程为 ； 当时， ，则，过作轴的垂线，方程为 ； ∴两垂线交点，， ∵， ∴ ∵，， ∴ ； ②∵，，， ∴， ∴， 情况1：​， 整理得： ， ∵ ， ∴， 要存在 满足 ，即，解得； 情况2： ， 令，解得或1， 则当时，；当时，； 又∵， ∴， ∴ 解得， 综上，a的取值范围为或． 8．（2026·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点． (1)用含的式子表示； (2)若抛物线与轴的两个交点分别为点，（点在点左侧），与轴交于点．过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①当，时，直接写出的长； ②已知点从点运动到点的过程中，的长随的增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】()将代入抛物线解析式，即可获得答案； ()①结合题意，分别确定点的坐标，即可获得答案； ②由()及已知得，然后分情况分析：时，当时，分别作出相应图象，然后结合二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴； （2）①当，时，， ∴ 当时，， 解得：， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴， 此时点P与点A重合， 设直线的函数解析式为， ∴， 解得：， ∴， 当时，， ∴； ②根据题意得：， 当时，， 解得：， 当时，， ∴， 当时， ∴， 同理得：直线的函数解析式为， ∵点从点运动到点， ∴， ∴， ∴， 对称轴为，开口向下， ∴， ∴； 当时， ∴， 同理得：直线的函数解析式为， ∵点从点运动到点， ∴， ∴， ∴， 对称轴为，开口向下， ∵的长随的增大而减小， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴， 对称轴为，开口向上， ∵的长随的增大而减小， ∴不符合题意，舍去； 综上：或． 9．（2026·北京昌平·一模）在平面直角坐标系中，抛物线，经过点． (1)用含的式子表示； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交抛物线于点．①若，则_____； ②已知点，，在点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①1；②或或 【分析】（1）将点代入，即可求解； （2）①根据得出，，，进而得出的纵坐标为，的纵坐标为，即可求解； ②根据题意得出，分两种情况，当时，当时，求得的解析式，根据二次函数式的性质，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线，经过点， ． ． （2）解：①∵ ∴， ∴， 当时，， 即的纵坐标为，的纵坐标为 ∴； ②过点作轴的垂线，交抛物线于点，交抛物线于点， ． 分两种情况： 情况1：当时， 当时， 解得：或； （i）当时， ． 函数的图象开口向下，对称轴为， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． ， 当时符合题意，时不符合题意． ． （ii）当时，， ． 函数的图象开口向上，对称轴为， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． ， 时符合题意． ． 情况2：当时， ， ． ， 函数的图象开口向上，对称轴为， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． ， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． 当时，即的长随的长的增大而增大． 当时符合题意． 综上所述，的取值范围是或或 10．（2026·北京西城·一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数． (1)当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，用等式表示与关系，并说明理由； (2)当，时，将二次函数的图象记为，一次函数的图象记为，过点作轴的垂线分别交，于点，．当时，点与点的距离存在最大值，求的取值范围． 【答案】(1)，理由 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，且， 二次函数图象的对称轴为， ， ； (2) 【分析】（1）由当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，且，可知抛物线的对称轴为，根据对称轴公式可得与关系； （2）根据的取值范围与二次函数图象的性质分情况讨论． 【详解】（1）略 （2）解：当，时，二次函数为 设点，，则，， 解方程， 可得：，， 当时，可得：， 当时，可得：， 与的交点坐标为和， 设点与点的距离为， （ⅰ）如下图所示， 当时，， ， 当时，随的增大而减小， 当时，， 当时，， ； （ⅱ）如下图所示， 当时，， 当时，随的增大而增大， 当时，随的增大而减小， 当时，的最大值为； （ⅲ）如下图所示， 当时，， 此时随的增大而增大， ， 令，则， ， ， 令， 解得： 依题意，得， 解得：， 当时，存在最大值， 结合函数的图象，得． 11．（2026·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，记点M与点N之间的距离为m，当M与N重合时，． ①若，求t的值； ②若对于，都有，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2)①或；② 【分析】（1）待定系数求解； （2）①联立解析式求解； ②表示出的表达式，然后分情况讨论，利用二次函数的性质确定最值． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点O， ∴； 将代入得， ， ∴； （2）解：①根据题意得，联立， 整理得， 解得或， 即或； ②由①可得直线和抛物线的交点横坐标分别为或， ， 当时，随的增大而减小， ∴当时，取最大值，此时， ∴， ∴； 当时，， ∴当时，取最大值，此时， ∴， ∴； 又∵， ∴． 12．（2026·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线：经过原点O和点，抛物线：． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交于点M，交于点N（点M与点N不重合）． ①当，时，求的长； ②若点P从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2)①；②或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①代入数据，求得点，，利用两点之间的距离公式求解即可； ②根据题意构造新函数，画出草图，根据二次函数的图象和性质分析求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线：经过原点和点， ∴分别代入得：，， ∴； （2）解：①当时，抛物线：，抛物线：， ∵过点作x轴的垂线，交于点M，交于点N， ∴当时，对于抛物线：，对于抛物线：， ∴点，， ∴； ②∵点， ∴点，点， ∴构造新函数：， 当时，，P从点运动到点的过程中，“起点”和“终点”都在轴左侧，如图， 的长随的长的增大而增大，符合题意． 当时，，P从点运动到点的过程中，“起点”和“终点”都在轴右侧，如图， 若“起点”和“终点”都在这一段内， 则，，解得； 若“起点”和“终点”都在这一段内， 则； 综上，或或． 13．（2026·北京平谷·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)用含a的式子表示b； (2)点在抛物线上，且．过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点的长随着的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的对称性求解即可； （2）先由求得，由题意，，则，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点和点， ∴点A、B关于对称轴对称，又抛物线的对称轴方程为， ∴，则； （2）解：由（1）得， ∵点在抛物线上，且，， ∴，则， 由题意，，， ∴， 解方程得，， ∵的长随着的增大而增大， ∴或， 解得：无解或， 故满足条件的a的取值范围为． 14．(25-26九下·北京中国人民大学附属中学分校·二模)在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)用含的式子表示； (2)若，点，（）在该抛物线上，求的长； (3)记抛物线与轴的交点为，点在抛物线上，分别过点作轴、直线的垂线，交直线于点，，是上一点，且，过点作交于点．已知当时，的长随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点代入抛物线解析式，通过移项化简直接用含的式子表示出； （2）代入得到具体抛物线解析式，令解一元二次方程，用较大根减去较小根即可得到的长度； （3）先求出直线的解析式，分类讨论点与点的上下位置关系，利用角和相似三角形将转化为关于的二次函数，再根据二次函数的增减性结合给定区间列不等式求解的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得抛物线为 将代入中， 得， ∵点，在该抛物线上， ∴将代入中， 得， 解得，， ∴； （3）解：将代入中，得， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 如图①，过点作轴于点，则，，， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 当时，如解图①， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可得抛物线， ∵点的横坐标为，且在抛物线上， ∴， ∵轴， ∴点的横坐标为， ∵点在直线上， ∴， ∵点在点上方， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴抛物线开口向下，当时，的长随的增大而增大， 又∵当时，的长随的增大而增大， ∴， 解得， ∴， 当时，如解图②， 同理可得， ∵点在点上方， ∴ ， ∴， ∵， ∴该抛物线开口向上，对称轴为，则当时，随的增大而增大， ∵，即时，随的增大而增大， ∴不能满足全部在的范围内，故此情况不存在， 综上所述，的取值范围为． 15．(25-26九下·北京丰台区·二模)在平面直角坐标系中，抛物线（）的顶点坐标是． (1)用含的式子表示，并求的值； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，过点作轴的垂线，交直线于点．记点，之间的距离为，当点，重合时，． ①当时，直接写出的值； ②在点从点运动到点的过程中，对于的每一个值，至多有两个不同的值与之对应，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①或6；② 【分析】（1）抛物线顶点式：，顶点，根据题意顶点为，先写出顶点式再展开对比一般式，即可求出、； （2）①先梳理点、坐标，写出的表达式，把代入的表达式求解； ②写出的表达式，根据不同值分情况讨论． 【详解】（1）解：依据题意，设抛物线的表达式为， 即， 又抛物线表达式可以表达为， ． （2）解：①设点， 依据题意，得， ， ， ， ， ， ， 根据题意，则有， 情况1：， ， 因式分解：， 得， 情况2:， ， 判别式，无实数根， 综上，或． ②设点， 依据题意，得， ， ， ， ， ， 当时，， 当或时，． 当时，， ． 函数的图象开口向下， 对称轴为， 当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小； 当或时，， ． 函数的图象开口向上， 对称轴为， :当时，y随x的增大而减小， 当时，y随x的增大而增大． I．当时，有， 当时，d随t的增大而增大， 点从点运动到点的过程中，对于d的每一个值，t都有一个值与之对应． ； Ⅱ．当时，有， （i）当时，有， 当时，d随t的增大而增大， 点从点运动到点的过程中，对于d的每一个值，t都有一个值与之对应． ； （ii）当时，有， 当时，d随t的增大而增大， 当时，d随t的增大而减小， 点从点运动到点的过程中，对于d的每一个值，t至多有两个值与之对应． ； （iii）当时，有， 当时，d随t的增大而增大， 当时，d随t的增大而减小， 当时，d随t的增大而增大， 且当时，， ，即， 点从点运动到点的过程中，对于d的每一个值，t至多有两个值与之对应． ； （iv）当时，有， 点从点运动到点的过程中，存在d的值，t有三个值与之对应， 不合题意， 综上所述：． 16．(25-26九下·北京石景山区·二模)在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)，是抛物线上两点．过点作轴的垂线，交直线于点． ①当，时，比较，的大小； ②当时，线段的长随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式求解即可； （2）①把，代入求解即可；②先得到，然后得到，再画出函数图象分析即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点 ∴ ∴ ∴抛物线的对称轴为直线 （2）解：由（1）可得，抛物线的表达式为， ∴； ∴， ∵过点作轴的垂线，交直线于点． ∴当时， 解得 ∴ ①当时，，， ∴； ②∵， ∴ ∴点关于直线的对称点， ∵抛物线开口方向向上， ∴当时，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离 ∴ ∵ 作出函数图象如图： ∵线段的长随的增大而增大， ∴或 解不等式组得， 而 ∴； 解得，，与矛盾，故舍去， 综上：的取值范围是． 17．(25-26九下·北京顺义区·二模)在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点和点． (1)求的值，并用含的式子表示； (2)已知点，．若抛物线与线段恰有一个公共点，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）把原点的坐标和代入即可求解； （2）先确定抛物线经过点和，再分和两种情况，画出图形，在图形上找出点，依据抛物线与线段恰有一个公共点确定点，比较和的大小，建立不等式求解． 【详解】（1）解：∵抛物线（）经过点和点． ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴抛物线的解析式为： （）， ∵当时，，当时，， ∴抛物线过点和， 分两种情况讨论： 当时，如图所示： ∵抛物线与线段恰有一个公共点， ∴， 解得：， ∴； 当时，如图所示： ∵抛物线与线段恰有一个公共点， ∴， 解得：， ∴； 综上分析可得：或． 18．(25-26九下·北京朝阳区·二模)在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与抛物线交于点，与直线交于点（特殊地，当点，重合时，线段的长为）． (1)若，求线段的长； (2)已知实数，对于每一个确定的的值，记时线段长度的最大值为，若存在，使得当时，都有随的增大而增大，求的最小值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）先分别求出点M，N的坐标，再求出长度即可； （2）先求出抛物线与直线的交点为，，再设，，可得，，然后分两种情况讨论：当时，当时，线段长度的最大值为1；当时，的长度随的增大而增大，接下来再根据线段长度的最大值的变化规律得出答案． 【详解】（1）解：时，点坐标为，点坐标为， ； （2）解：抛物线与直线的交点为，． 设，，则，． 当时，． ． 可知当时，线段长度的最大值为1． 当时， ． ． 可知的长度随的增大而增大． 令，解得或（舍）． 分析线段长度的最大值的变化规律可知： （ⅰ）当时，随着的增大，的值先增大，再保持不变，再增大； （ⅱ）当时，随着的增大，的值先保持不变，再增大； （ⅲ）只有当时，随增大而增大． 要使时，都有随的增大而增大，的最小值为 19．(25-26九下·北京第五中学分校·二模)在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)的值为__________，并用含的式子表示，结果为___________； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①若，，的长为___________． ②已知在点从点运动到坐标轴上另一个点的过程中，的长随的长的增大而增大，的取值范围是__________． 【答案】(1)； (2)①4；②或 【分析】（1）分别将，代入抛物线解析式，即可获得答案； （2）①结合题意，分别确定点M、N的坐标，即可获得答案； ②首先确定，再分和两种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：将点代入，抛物线， 可得， ∴该抛物线解析式为， 将点代入，抛物线， 可得， 解得； （2）解：①若，则该抛物线及直线解析分别为，， 当时，得点，如图， ∵轴， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴； ②由（1）可得，与轴交于点，， ∵轴，， ∴，， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴， 令，即， 解得或， 当时，， ∵在点从点运动到坐标轴上另一个点的过程中，的长随的长的增大而增大， ∴，点P在y轴右侧，如图， 若，，其图象开口向下，对称轴为直线， ∵在点从点运动到坐标轴上另一个点的过程中，的长随的长的增大而增大， ∴点在直线左边移动， ∴， 解得（不符合）， 当时，，其图象开口向上，对称轴为直线，当时，的长随的长的增大而增大， ∵在点从点运动到坐标轴上另一个点的过程中，的长随的长的增大而增大， ∴， 解得； 当，可有，点P从y轴的左侧开始运动，如图， ∵在点从点运动到坐标轴上另一个点的过程中，的长随的长的增大而增大， ∴点只能从点向左边运动才能满足的长随的长的增大而增大， ∴， 解得， 综上所述，a的取值范围为或． 20．(25-26九下·北京昌平区·二模)在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． (1)求抛物线的对称轴； (2)点是抛物线上一点，且， ①直接写出的取值范围； ②过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，记线段长度为．当取，时，的长分别为，，若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1)直线 (2)①；② 【分析】（1）根据抛物线的对称性计算即可得出结果； （2）①由抛物线的解析式可得抛物线开口向上，由抛物线的性质并结合题意得出，计算即可得出结果；②求出，，则，画出大致的函数图象，根据函数图象并结合题意计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：①∵抛物线， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线经过点，，，且， ∴， 解得； ②在中，当时，，即， 在中，当时，，即， ∴， 画出大致函数图象如图所示： 抛物线的对称轴为直线， ∵当取，时，的长分别为，，若对于，都有， ∴由图象可得：，， 解得． 21．(25-26九下·北京海淀区教师进修学校附属实验学校·模拟)在平面直角坐标系中，已知二次函数过点和， (1)求出，，的值 (2)将二次函数的图象记为，一次函数的图象记为，过点作轴的垂线分别交，于点，．当时，点与点的距离存在最大值且不超过，求的取值范围． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合应用，涉及二次函数解析式的求解、函数间的距离计算、分段讨论二次函数的最值以及不等式的求解，熟练掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质以及分类讨论思想是解答本题的关键． （1）利用二次函数图象上点的坐标特征，将已知点的坐标代入函数表达式，通过待定系数法求解，，的值； （2）先表示出，两点的纵坐标，进而得到两点距离的表达式，将问题转化为求含绝对值的二次函数在指定区间上的最大值问题；再结合二次函数的对称轴、区间端点及顶点处的函数值，通过分段讨论确定最大值的约束条件，进而求解的取值范围． 【详解】（1）解：函数过点， ， 函数过点，， ， 解得：； （2）解：由（1）得， 设点，， 则，， 设点与点的距离为，则， 设，， ，则问题转化为：当时，存在最大值且最大值不超过， 的对称轴为， 时，时， 的最大值只能在或顶点处取得， 或， ①若，即时， 最大值， 解得：， 的取值范围为； ②若，即时， 最大值， 解得：， 的取值范围为； 综上所述，的取值范围为． 22．(25-26九下·北京西城区·二模)在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点（点在点的左边），与轴交于点． (1)当时，求的长； (2)过点作轴的垂线交该抛物线于点，交直线于点．当点从点出发沿轴的某个方向运动时，若的长度逐渐增大，且点与点的距离随长度的增大先变小后变大，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入A、B的横坐标表达式，得到两点具体坐标，根据x轴上两点距离公式计算长度； （2）先求抛物线与y轴交点D的坐标，再结合点B坐标，用待定系数法得到直线的表达式，根据点E的横坐标t，分别代入抛物线和直线解析式得到M、N的纵坐标，作差得到关于t的函数表达式，结合点B的坐标，确定当长度逐渐增大时t的取值范围，关于t的函数为二次函数，进而求解a的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可得，， 令，， 解得，， ∵， ∴， ∴，， ∴． （2）抛物线与轴交点， 且由（1）得，，， ∴解析式为， ∵， ∴，， ∴， ∴， ①当时，即， 此时点在左侧， ∵点从出发，沿某个方向运动时，逐渐增大， ∴点向右侧运动时，满足逐渐增大， ∴， 且关于的函数图像如图所示： ∴当时，随的增大而增大，不合题意，舍去； ②当时，即， 此时点在右侧， ∵点从出发，沿某个方向运动时，逐渐增大， ∴点向左侧运动时，满足逐渐增大， ∴， 且关于的函数图像如图所示： ∴对称轴为， ∵随的增大先变小后增大， ∴， 解得， 综上所述，的取值范围是． 23．(25-26九下·北京燕山区·二模)在平面直角坐标系中，点为抛物线上一点，点坐标为，点与点不重合． (1)求此抛物线的顶点坐标和对称轴（用含的代数式表示）； (2)连接． ①当线段与抛物线有且只有1个公共点时，直接写出的取值范围； ②在①的条件下，过点作轴的垂线交抛物线于点，若线段的长随的增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标为；对称轴为直线， (2)①且或．② 【分析】（1）根据二次函数对称轴的求解方法和顶点坐标求解即可． （2）①由点A和点B的坐标结合线段，得出，，求出点点关于抛物线的对称点，再结合线段与抛物线有且只有1个公共点，列出不等式求解即可． ②求出点C的坐标，再得出，最后由二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴顶点坐标为． （2）解：①∵点，点坐标为， ∴，，即， ∵点为抛物线上一点， ∴点关于抛物线的对称点为， ∵线段与抛物线有且只有1个公共点， ∴或， 解得或， 综上：且或． ②把点代入抛物线得出， ∴， ∴， ∵过点作轴的垂线交抛物线于点， ∴点C的横坐标为， 把代入，得：， ∴， ∴， ，该函数与x轴的交点坐标为和， 对称轴为直线， 画出函数图象如下： 当时和时，线段的长随的增大而减小． ∵在①的条件下，则且或． ∴时，线段的长随的增大而减小． 24．(25-26九·北京海淀区·期末)在平面直角坐标系中，，是抛物线上不重合的两点． (1)当时，比较和的大小，并说明理由； (2)记抛物线在点，之间的部分（含点，）为图形，过抛物线上一点作直线垂直于轴．若直线与图形有且只有一个公共点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 或 或 【分析】（1）代入计算即可求解； （2）分和两种情况讨论，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，抛物线为， ∵，是抛物线上的点， ∴，， ∴； （2）解：抛物线对称轴为， ∵过抛物线上的点作直线轴，， ∴直线与抛物线的另一个交点为点P关于的对称点， 若，则当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ①若，则， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵直线与图形G有且只有一个公共点， ∴， ∴， ∴符合题意， ②若，则， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵直线与图形G有且只有一个公共点， ∴， ∴， ∴符合题意； ③若，则， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小 当时，y随x的增大而增大， 设点关于的对称点为， 则， ∴， ∵直线与图形G有且只有一个公共点， ∴， ∴， ∴符合题意； 若，则当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小， 设点关于的对称点为， ∵， ∴， ∵直线与图形G有且只有一个公共点， ∴， ∴， ∴符合题意， 综上，a的取值范围是或或． 25．(25-26九下·北京平谷区·二模)在平面直角坐标系中，已知关于的二次函数的对称轴为． (1)当时随的增大而减小，当时随的增大而增大． ①求此二次函数的解析式； ②当时，函数值__________（填“”，“”、“”或“”）； (2)点，，在该抛物线上，若抛物与轴的一个交点为，其中，比较，，的大小，并说明理由． 【答案】(1)①二次函数的解析式为；② (2) 理由：令则 ， 解得或， ， ， ， ， ， ， ∵点在该抛物线上， ∴点关于的对称点也在该抛物线上， ∴， ∴， 抛物线的解析式为 ， 则抛物线图象开口向下， ∴当时随的增大而减小， ∵点，，在该抛物线上， ． 【分析】（1）①利用二次函数的增减性判断出对称轴为，再代入对称轴公式求出参数，从而得到函数解析式；②将函数解析式配方为顶点式，确定开口方向和顶点坐标，再结合的条件，比较函数值与的大小关系； （2）先通过解方程求出抛物线与轴的交点，结合交点范围确定参数和对称轴的取值范围，再利用抛物线的对称性，将点转化到对称轴右侧，根据开口向下时对称轴右侧的增减性，比较三点的函数值大小． 【详解】（1）①解：已知关于的二次函数，由题意得对称轴为， 可得， 解得， 故二次函数的解析式为． ②解：已知二次函数的解析式为，配方得， 可知抛物线图象开口向下，顶点为， 故当，函数值． （2）略 26．(25-26九下·北京大兴区·二模)在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求的值，并用含的式子表示． (2)直线与抛物线交于点和点（、不重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①用含的式子表示点的横坐标； ②已知，，点从线段左端点运动到右端点的过程中，随的增大，的长是先增大后减小，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)①，②或 【分析】（1）将点和点代入二次函数即可作答； （2）①根据（1）的结果，联立一次函数、二次函数即可作答；②将一次函数、二次函数相减，结果的绝对值即为的长度，将其配方，再分类讨论：当时，即、同在y轴的左侧，即确定取最大值时x的值，再确定此种情况下点的位置，数形结合即可求解；当时，再确定取最大值时x的值，数形结合即可列出关于a的不等式组，问题随之得解． 【详解】（1）解：将点和点代入二次函数关系式有：，， 即：； （2）解：∵，， ∴二次函数为， ①联立：，解得：，或， 即点B的坐标为：， ∵、不重合， ∴，即， 则点B的横坐标为； ②根据题意可知的长度为：， 当时，即、同在y轴的左侧， ∵， ∴，， ∴当时，的最大值为：， ∵直线与抛物线交于点和点（、不重合），点B的横坐标为：， 若点在y轴的右侧，结合、同在y轴的左侧， 如图， 即在范围内，的函数值大于的函数值， ∴此时的的值将随着x的变大逐渐变大，此时与题意不符， ∴点在y轴的左侧， 如图， ∵当时，的最大值为：， 又∵点从线段左端点运动到右端点的过程中，随的增大，的长是先增大后减小， ∴，解得：； 当时，即、同在y轴的右侧， ∵，， ∴，， ∴当时，的最大值为：， 如图， 要满足：点从线段左端点运动到右端点的过程中，随的增大，的长是先增大后减小， ∴，解得：； 综上：的取值范围或． 27．(25-26九下·北京房山区·二模)在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且经过点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，点与点不重合．当时，对于任意一个值，总有另一个与之不相等的值，使得对应的线段长度相等，求的值． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2) 【分析】（1）利用抛物线对称轴公式和已知点坐标列方程组，求解得到a和b，即可得到抛物线表达式； （2）先得到P、Q坐标，推导得到长度的表达式，根据二次函数的性质，由对于任意一个m总有另一个不等于m的值，使长度相等，可得和的长度相等，列方程求解，结合k的范围即可得结果． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：由题意可得， ，， ∴， 设，对称轴为， ∵当时，对于任意一个值，总有另一个与之不相等的值，使得对应的线段长度相等， ∴对任意一个的值在中，都有两个不同的与之对应，如图， ∴当和时，相等，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∵， ∴． 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 二次函数综合 5年真题1年模拟 考点分类 北京考情（2022-2026） 命题规律 考点01二次函数综合 2026北京卷 2025北京卷 均以解答题压轴形式考查，分值稳定 6 分。命题采用分层递进式设计，定点抛物线、直线相交、抛物线平移等模型素材频繁出现。核心围绕二次函数图像与性质展开，重点考查对称轴、参数范围推导两大模块，同时常设定点代入、线段长度计算类基础考题。整体梯度清晰、基础问难度偏低，近三年命题逐步融合方程判别式、动态区间单调性，侧重结合含参动点、动态图像区分函数核心性质，字母代数、分类讨论类设问占比逐年提升。 考点01 二次函数综合 1．（2026·北京·中考）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，对称轴为． (1)求b的值，并用含a的式子表示c； (2)已知M是抛物线上的点，M的横坐标为t，抛物线的顶点为M，且可以由抛物线平移得到（特别地，当M是的顶点时，即为）．若无论t为何值，抛物线都不经过点O，求a的取值范围． 2．（2025·北京·中考）在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 3．（2024·北京·中考）在平面直角坐标系中，已知抛物线. (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知和是抛物线上的两点.若对于，，都有，求的取值范围. 4．（2023·北京·中考）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． (1)若对于，有，求的值； (2)若对于，，都有，求的取值范围． 5．（2022·北京·中考）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为 (1)当时，求抛物线与y轴交点的坐标及的值； (2)点在抛物线上，若求的取值范围及的取值范围． 1．（2026·北京密云·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示） (2)已知和是抛物线上的两点，若对于，，都有，求的取值范围． 2．（2026·北京门头沟·综合练）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求抛物线的对称轴，并用含的式子表示； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点， ①如果，，求线段的长； ②已知点在抛物线上，当时，线段的长随着的增大而减小，求的取值范围． 3．(25-26九·北京东城区·)在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于O，A两点． (1)求c的值，并用含a的式子表示A点的横坐标； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②当时，的长随t的增大而增大，直接写出a的取值范围． 4．（2026·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上． (1)求该抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若对于，，总有，同号，且，求的取值范围． 5．（2026·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求抛物线的对称轴和c的值（用含m的式子表示）； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N（M，N不重合）． ①若，，求的长； ②已知在点P从点运动到点的过程中，的长随t的增大而减小，求m的取值范围． 6．（2026·北京丰台·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)用含a的式子表示b； (2)已知点，点，点在线段上，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点S，交抛物线于点T，点S与点T不重合． ①当时，直接写出的长的最小值； ②已知在点P从点M运动到点N的过程中，的长随的长的增大而减小，求a的取值范围． 7．（2026·北京顺义·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的对称轴； (2)已知抛物线上两点M，N的横坐标分别为，，过点M作y轴的垂线，过点N作x轴的垂线，两条垂线交于点P． ①若，，求的长； ②当取，时，的长分别为，，若存在，使得，求a的取值范围． 8．（2026·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点． (1)用含的式子表示； (2)若抛物线与轴的两个交点分别为点，（点在点左侧），与轴交于点．过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①当，时，直接写出的长； ②已知点从点运动到点的过程中，的长随的增大而减小，求的取值范围． 9．（2026·北京昌平·一模）在平面直角坐标系中，抛物线，经过点． (1)用含的式子表示； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交抛物线于点．①若，则_____； ②已知点，，在点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求的取值范围． 10．（2026·北京西城·一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数． (1)当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，用等式表示与关系，并说明理由； (2)当，时，将二次函数的图象记为，一次函数的图象记为，过点作轴的垂线分别交，于点，．当时，点与点的距离存在最大值，求的取值范围． 11．（2026·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，记点M与点N之间的距离为m，当M与N重合时，． ①若，求t的值； ②若对于，都有，求a的取值范围． 12．（2026·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线：经过原点O和点，抛物线：． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交于点M，交于点N（点M与点N不重合）． ①当，时，求的长； ②若点P从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 13．（2026·北京平谷·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)用含a的式子表示b； (2)点在抛物线上，且．过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点的长随着的增大而增大，求的取值范围． 14．(25-26九下·北京中国人民大学附属中学分校·二模)在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)用含的式子表示； (2)若，点，（）在该抛物线上，求的长； (3)记抛物线与轴的交点为，点在抛物线上，分别过点作轴、直线的垂线，交直线于点，，是上一点，且，过点作交于点．已知当时，的长随的增大而增大，求的取值范围． 15．(25-26九下·北京丰台区·二模)在平面直角坐标系中，抛物线（）的顶点坐标是． (1)用含的式子表示，并求的值； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，过点作轴的垂线，交直线于点．记点，之间的距离为，当点，重合时，． ①当时，直接写出的值； ②在点从点运动到点的过程中，对于的每一个值，至多有两个不同的值与之对应，求的取值范围． 16．(25-26九下·北京石景山区·二模)在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)，是抛物线上两点．过点作轴的垂线，交直线于点． ①当，时，比较，的大小； ②当时，线段的长随的增大而增大，求的取值范围． 17．(25-26九下·北京顺义区·二模)在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点和点． (1)求的值，并用含的式子表示； (2)已知点，．若抛物线与线段恰有一个公共点，求的取值范围． 18．(25-26九下·北京朝阳区·二模)在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与抛物线交于点，与直线交于点（特殊地，当点，重合时，线段的长为）． (1)若，求线段的长； (2)已知实数，对于每一个确定的的值，记时线段长度的最大值为，若存在，使得当时，都有随的增大而增大，求的最小值． 19．(25-26九下·北京第五中学分校·二模)在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)的值为__________，并用含的式子表示，结果为___________； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①若，，的长为___________． ②已知在点从点运动到坐标轴上另一个点的过程中，的长随的长的增大而增大，的取值范围是__________． 20．(25-26九下·北京昌平区·二模)在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． (1)求抛物线的对称轴； (2)点是抛物线上一点，且， ①直接写出的取值范围； ②过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，记线段长度为．当取，时，的长分别为，，若对于，都有，求的取值范围． 21．(25-26九下·北京海淀区教师进修学校附属实验学校·模拟)在平面直角坐标系中，已知二次函数过点和， (1)求出，，的值 (2)将二次函数的图象记为，一次函数的图象记为，过点作轴的垂线分别交，于点，．当时，点与点的距离存在最大值且不超过，求的取值范围． 22．(25-26九下·北京西城区·二模)在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点（点在点的左边），与轴交于点． (1)当时，求的长； (2)过点作轴的垂线交该抛物线于点，交直线于点．当点从点出发沿轴的某个方向运动时，若的长度逐渐增大，且点与点的距离随长度的增大先变小后变大，求的取值范围． 23．(25-26九下·北京燕山区·二模)在平面直角坐标系中，点为抛物线上一点，点坐标为，点与点不重合． (1)求此抛物线的顶点坐标和对称轴（用含的代数式表示）； (2)连接． ①当线段与抛物线有且只有1个公共点时，直接写出的取值范围； ②在①的条件下，过点作轴的垂线交抛物线于点，若线段的长随的增大而减小，求的取值范围． 24．(25-26九·北京海淀区·期末)在平面直角坐标系中，，是抛物线上不重合的两点． (1)当时，比较和的大小，并说明理由； (2)记抛物线在点，之间的部分（含点，）为图形，过抛物线上一点作直线垂直于轴．若直线与图形有且只有一个公共点，求的取值范围． 25．(25-26九下·北京平谷区·二模)在平面直角坐标系中，已知关于的二次函数的对称轴为． (1)当时随的增大而减小，当时随的增大而增大． ①求此二次函数的解析式； ②当时，函数值__________（填“”，“”、“”或“”）； (2)点，，在该抛物线上，若抛物与轴的一个交点为，其中，比较，，的大小，并说明理由． 26．(25-26九下·北京大兴区·二模)在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求的值，并用含的式子表示． (2)直线与抛物线交于点和点（、不重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①用含的式子表示点的横坐标； ②已知，，点从线段左端点运动到右端点的过程中，随的增大，的长是先增大后减小，求的取值范围． 27．(25-26九下·北京房山区·二模)在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且经过点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，点与点不重合．当时，对于任意一个值，总有另一个与之不相等的值，使得对应的线段长度相等，求的值． 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题16二次函数综合 5年真题1年模拟 中考品题透析园 考点分类 北京考情(2022-2026) 命题规律 均以解答题压轴形式考查，分值稳定6分。命 题采用分层递进式设计，定点抛物线、直线相 交、抛物线平移等模型素材频繁出现。核心围 绕二次函数图像与性质展开，重点考查对称 轴、参数范围推导两大模块，同时常设定点代 考点01二次函数 2026北京卷 综合 2025北京卷 入、线段长度计算类基础考题。整体梯度清 晰、基础问难度偏低，近三年命题逐步融合方 程判别式、动态区间单调性，侧重结合含参动 点、动态图像区分函数核心性质，字母代数、 分类讨论类设问占比逐年提升。 V 五年真题分类园 116 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点01二次函数综合 1. 1-a 【答案】)b=-2,c= 2)a<2且a≠0 2. 【答案】1)0，b=-2a 204:②a≤4且2≠0 3 【答案】a1-) (2)0<a<1或a<-4 4. 【答案】0)/=2 【答案】)(0,2)：2 3 Q,的取值范围为21<2，七，的取值范围为2<%<3 一年模拟练测园 【答案】)(a,-a+1) ②2sa<0或a≥ 216 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2. 【答案】I)对称轴为直线x=-a,b=2a2 P9=10 -1≤a<0 (2) ② 3. 【答案】(1)c=0,A点的横坐标为2a-1 2)0MW=3:②0<a≤1且a≠2或a≥4 4 【答案】0-号 2)-2≤a<0或0<a≤2 5. 3 【答案】0)揽物线的对称轴为直线立，c=4 X= 3 2)09:②m<-3或5<m≤1 6. 【答案】(1)b=-10a 1 2)08,②-1<a≤- 2或a>4 7. 3 【答案】0)r=2 316 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 12 <a< <a<1 (2)06:②3 2或3 8. 【答案】1)b=-1-c 1 2DMN=1:②2≤c<1或1<c≤2 9. 【答案】1)b=-2a e01:②a<0政0<a号度e号 10. 【答案】1)b=4a, 222sk<4 11. 【答案】1)c=0,b=-2a 2)①t=-1或t=2:② a 0<as9 12. 【答案】1)c=0,b=-a ②0MW=15;②a<0或0<a g或a>2 13. 【答案】(1)b=-2a2 1 2)3≤a<0 416 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 14. 【答案】1)b=1-4a 11 ②)2 8)0<as3 15 【答案】(1)b=-2a,c=1 )①-3或6：②0<a< 16. 【答案】1)x=2 20y=:②0<a≤2 17. 【答案】1)c=0,b=2a (2)a>0或a≤-1 18. 【答案】(I)1 ②+V2 19 【答案】I)c=0:b=-2a 3 204,②a22或a<-2 20. 【答案】I)直线x=1 3 200<t<3:②2a 2 21 【答案】(1)a=1,b=-2,c=0 516 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 20<k≤4V2-2 22. 【答案】1)4 aa号 23」 【答案】)顶点坐标为 ,-2） 对称轴为直线x=1, (2)①t≤1且t≠-2或t>4.②t<-2 24. 【答案】1)m<n (2)-1<a<0或0<a≤1或2≤a<4 25. 【答案】)D二次函数的解析式为)=-r2+2x, 2)为>为>为 26. 【答案】1)c=0,b=-a (2)①a+1,②a≤-4或a>2 27. 【答案】0抛物线的表达式为'=r-2x 2k-② 2 616