4.1&4.2指数与指数函数（讲义）高一数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦指数与指数函数核心知识点，从根式概念及性质切入，衔接分数指数幂定义与指数幂运算性质，进而构建指数函数的定义、图像和性质体系，形成从概念到运算再到函数应用的学习支架。 资料通过“随学随练”即时巩固，“题型分类+解题贴士”引导数学思维，结合“指数爆炸”实例培养数学眼光，融入数形结合、分类讨论等方法提升数学语言表达。课中助力教师系统授课，课后分层练习帮助学生查漏补缺，强化核心素养。

第四章 指数函数与对数函数 4.1&4.2指数与指数函数 课标要点 1. 理解n次方根、根式的概念，掌握根式的基本性质，能正确区分奇次根式与偶次根式的取值规则。 2. 理解有理数指数幂的含义，掌握正数的分数指数幂与根式的互化方法，明晰负指数幂、零指数幂的定义与取值要求。 3. 熟练掌握有理数指数幂的四则运算性质，能规范进行指数幂的化简、求值运算。 4. 了解实数指数幂的拓展过程，体会从整数指数幂到实数指数幂的推广思想，培养数学运算核心素养。 5. 理解指数函数的定义，明确指数函数底数的取值范围，能准确判别指数函数。 6. 掌握指数函数的图像形状、定义域、值域、定点、单调性等核心性质，区分a>1和1>a>0两种底数对应的函数特征。 7. 能利用指数函数的单调性比较指数式大小、解简单的指数不等式。 8. 初步掌握指数函数的简单应用，能结合实际情境建立指数函数模型，体会函数建模思想。 9. 学会借助函数图像分析函数性质，培养数形结合的数学思维。 学习重难点 重点： 1. 根式的化简与运算，奇、偶次根式的性质应用。 2. 分数指数幂与根式的相互转化。 3. 有理数指数幂运算公式的熟练运用，简单指数式的化简求值。 4. 指数函数的定义辨析、标准形式识别。 5. 指数函数的图像与核心性质（定点、单调性、值域）。 6. 利用指数函数单调性比较大小、求解基础指数不等式。 难点： 1. 偶次根式化简中被开方数的非负性判断，避免符号出错。 2. 复杂含根式、分数指数幂的混合运算，公式的灵活选用。 3. 含参数指数式的化简与取值范围分析。 4. 分类讨论思想的应用：根据底数的范围判断指数函数的单调性与函数值变化规律。 5. 复合指数函数的单调性、值域判断。 6. 结合指数函数性质解决含参问题、简单实际应用问题。 知识点 根式的概念及性质 （1）概念：式子、叫做______，这里叫做根指数，叫做被开方数. （2）①______没有偶次方根. ②0的任何次方根都是0，记作______. ③______且. ④（为大于1的奇数）. ⑤（为大于1的偶数）. 特别提醒 1）易错点：负数没有偶次根式， 2）开偶次根式，要注意被开方数的符号。 随学随练 1.（2026高一·全国·专题练习）使等式成立的实数的取值范围为_____. 知识点 分数指数幂的定义（重点） (1)规定正数的正分数指数幂的意义是________. ，且 (2)规定正数的负分数指数幂的意义是 ________. ，且 (3)0的正分数指数幂等于________，的负分数指数幂________. 随学随练 1.（25-26高一上·福建泉州·期中）计算____________ 知识点 指数幂的运算性质 条件 指数幂的运算性质 ，，，为实数 ________ ________ ________ 随学随练 1.（25-26高一上·福建泉州·期中）已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 知识点 指数函数 1.指数函数的定义 （1）当底数固定，且，时，等式，确定了________的规律，称为底为的指数函数； （2）指数函数的定义域为________． 2.指数函数的图象和性质 （1）填表： 图象       定义域 值域 函数值的变化 当时，_____； 当时，_____； 当时，_____； 当时，_____； 性质 均过定点______ 单调性：__________ 单调性：_________ （2）对指数函数（），当越来越小时，其图象与_____的负半轴越来越靠近；对指数函数（），当越来越大时，其图象与____的正半轴越来越靠近. （3）在第一象限内，底数越大，图象越_____. 特别提醒 1.指数函数解析式要具有单一性；2.指数函数图像要注意底数不一样，陡峭程度不一样。 随学随练 1.（25-26高二下·天津河西·阶段检测）若指数函数的图象经过点，则_____． 拓展 指数爆炸 （1）当底数时，指数函数值随自变量的增长而增大，________较大时指数函数值增长速度惊人，被称为指数爆炸． （2）把自变量x看成时间，在长为T的时间周期中，指数函数的值从增长到，增长率为，它是一个常量．因此，在经济学或其他学科中，当某个量在一个既定的时间周期中，其增长百分比是一个常量时，这个量就被描述为指数式增长，也称指数增长． 题型 指数运算 解题贴士 (1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加. ②运算的先后顺序. (2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. ▌例1．（25-26高一上·广东深圳·期中）（1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①； ②. ▌对点练1-1．（25-26高一上·湖南永州·开学考试）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（25-26高一上·山西阳泉·期末）化简：____________ ▌对点练1-3．（25-26高一下·北京·阶段检测）求值：__________. ▌对点练1-4．（2026高一·全国·专题练习）计算下列各式的值： (1)化简：； (2)已知，求的值. 题型 指数函数的解析式 ▌例1．（2026高一·全国·专题练习）若是指数函数，则有（    ） A． B． C． D．且 ▌对点练1-1．（2026高一·全国·专题练习）若函数是指数函数，求实数的值（    ） A．1 B．2 C．0 D． ▌对点练1-2．（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）函数且的图象过点，则（   ） A． B．3 C． D．9 ▌对点练1-3．（25-26高一上·重庆渝中·期中）已知指数函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D．2 ▌对点练1-4．（25-26高一上·江苏南通·期末）写出一个满足的函数解析式__________. 题型 指数函数的图像 解题贴士 对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. ▌例1．（25-26高一上·湖北武汉·期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．（25-26高一下·上海·阶段检测）函数且的图像经过一个定点，这个定点的坐标是_________． ▌对点练1-2．（2026高三·全国·专题练习）函数且的图像可能是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-3．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）已知函数（，且）的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．的图象不经过第四象限 ▌对点练1-4．（25-26高一上·广西桂林·期中）当时，函数与函数在同一坐标系内的图像可能是（　　） A． B． C． D． ▌对点练1-5．（25-26高一上·广东惠州·期中）指数函数①；②满足不等式，则它们的图象是（   ）. A．   B．   C．   D．   题型 指数函数的性质 ▌例1．（25-26高二下·重庆·期末）已知函数是奇函数，且 (1)求和的值； (2)若，恒成立，求实数的取值范围． ▌对点练1-1．（25-26高二下·北京·期末）已知函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（25-26高一下·湖北襄阳·期中）若函数是定义在R上的奇函数，则实数a的值为________． ▌对点练1-3．（2026·重庆·三模）若是奇函数，则的值域为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-4．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知函数是奇函数． (1)求实数m的值以及判断函数的单调性（不用证明）； (2)若，求满足的实数a的取值范围． 题型 指数有关的复合函数的性质 解题贴士 求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断. ▌例1．（25-26高二下·广西柳州·期末）已知，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．（2026·甘肃张掖·二模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（2026高一·全国·专题练习）已知函数（且）的图象经过点.则函数的最大值是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 ▌对点练1-3．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知函数， (1)求函数的单调区间； (2)求函数的值域． 基础通关 1．（25-26高一上·湖南长沙·开学考试）如果那么x的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 2.化简（   ） A． B． C． D． 3.（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 4.（25-26高一上·安徽·阶段检测）如图，（1）（2）（3）分别是指数函数的大致图象，则（   ） A． B． C． D． 5.（25-26高一上·山东枣庄·期中）如图①②③④中不属于函数的一个是（       ） A．① B．② C．③ D．④ 6.（2026高一·全国·专题练习）已知函数为奇函数，则下列结论不正确的是（    ） A．的定义域为 B． C．的单调递减区间为 D．的值域为 7.（2026·河南开封·模拟预测）已知，且，若函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8.（多选）下列结论中正确的是（     ） A．当时， B．（，，为偶数） C．函数的定义域是 D．若，，则 9.（25-26高一下·广东广州·期中）已知函数且为奇函数. (1)求实数的值及函数的值域； (2)解不等式； 10.（2026高一·全国·专题练习）计算； 11.（25-26高一下·北京·阶段检测）已知是奇函数. (1)求的值； (2)若的定义域为，判断的单调性并证明； (3)在（2）的条件下，存在使得成立，求参数m的取值范围. 素养提升 12.（2026·陕西西安·模拟预测）已知定义在上的函数满足：①，都有；②，，恒有．则下列结论正确的是（   ） A． B． C．函数为偶函数 D．若，则 13.（2025高一上·安徽·竞赛）已知函数的定义域为R，是偶函数，是奇函数，则（    ） A． B． C．4e D．0 14.（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）设是上的函数，若为奇函数，为偶函数，则的值为______． 15.（25-26高一下·内蒙古赤峰·阶段检测）设 (1)求和； (2)若 ，求 的值； (3)求 的值. 16.（25-26高一下·陕西安康·期末）已知幂函数在定义域上单调递增，指数函数（且，且. (1)求与的解析式； (2)若函数，解不等式. 迁移创新 17.（25-26高一下·河南信阳·期末）若函数满足：对任意，，都有，则称函数具有性质． (1)设，分别判断与是否具有性质？并说明理由； (2)已知定义在上的奇函数具有性质，求关于的不等式的解； (3)已知函数具有性质，且图像是一条连续曲线，若在上是严格增函数，求证：是奇函数． 18.（25-26高一上·江苏南通·期末）已知，的定义域均为，给出下面两个定义： ①若，，则称与为“任意交换函数组”； ②若有且仅有一个，使得，则称与为“唯一交换函数组”． (1)判断下列函数组是否是“任意交换函数组”或者“唯一交换函数组”． ①，；②，． (2)设，（），且与为“任意交换函数组”． ①求的解析式； ②设，若存在，使得与为“唯一交换函数组”，求实数的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 指数函数与对数函数 4.1&4.2指数与指数函数 课标要点 1. 理解n次方根、根式的概念，掌握根式的基本性质，能正确区分奇次根式与偶次根式的取值规则。 2. 理解有理数指数幂的含义，掌握正数的分数指数幂与根式的互化方法，明晰负指数幂、零指数幂的定义与取值要求。 3. 熟练掌握有理数指数幂的四则运算性质，能规范进行指数幂的化简、求值运算。 4. 了解实数指数幂的拓展过程，体会从整数指数幂到实数指数幂的推广思想，培养数学运算核心素养。 5. 理解指数函数的定义，明确指数函数底数的取值范围，能准确判别指数函数。 6. 掌握指数函数的图像形状、定义域、值域、定点、单调性等核心性质，区分a>1和1>a>0两种底数对应的函数特征。 7. 能利用指数函数的单调性比较指数式大小、解简单的指数不等式。 8. 初步掌握指数函数的简单应用，能结合实际情境建立指数函数模型，体会函数建模思想。 9. 学会借助函数图像分析函数性质，培养数形结合的数学思维。 学习重难点 重点： 1. 根式的化简与运算，奇、偶次根式的性质应用。 2. 分数指数幂与根式的相互转化。 3. 有理数指数幂运算公式的熟练运用，简单指数式的化简求值。 4. 指数函数的定义辨析、标准形式识别。 5. 指数函数的图像与核心性质（定点、单调性、值域）。 6. 利用指数函数单调性比较大小、求解基础指数不等式。 难点： 1. 偶次根式化简中被开方数的非负性判断，避免符号出错。 2. 复杂含根式、分数指数幂的混合运算，公式的灵活选用。 3. 含参数指数式的化简与取值范围分析。 4. 分类讨论思想的应用：根据底数的范围判断指数函数的单调性与函数值变化规律。 5. 复合指数函数的单调性、值域判断。 6. 结合指数函数性质解决含参问题、简单实际应用问题。 知识点 根式的概念及性质 （1）概念：式子、叫做______，这里叫做根指数，叫做被开方数. （2）①______没有偶次方根. ②0的任何次方根都是0，记作______. ③______且. ④（为大于1的奇数）. ⑤（为大于1的偶数）. 【答案】根式；负数；0 ；；； 特别提醒 1）易错点：负数没有偶次根式， 2）开偶次根式，要注意被开方数的符号。 随学随练 1.（2026高一·全国·专题练习）使等式成立的实数的取值范围为_____. 【答案】 【难度】0.65 【分析】首先利用二次根式性质化简左侧表达式，根据等式成立的条件列不等式，然后解出的取值范围. 【详解】因为， 要使成立， 需，解得， 即实数的取值范围是. 知识点 分数指数幂的定义（重点） (1)规定正数的正分数指数幂的意义是________. ，且 (2)规定正数的负分数指数幂的意义是 ________. ，且 (3)0的正分数指数幂等于________，的负分数指数幂________. 【答案】 没有意义 随学随练 1.（25-26高一上·福建泉州·期中）计算____________ 【答案】4 【难度】0.85 【详解】． 知识点 指数幂的运算性质 条件 指数幂的运算性质 ，，，为实数 ________ ________ ________ 【答案】 随学随练 1.（25-26高一上·福建泉州·期中）已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.72 【分析】根据给定条件，利用指数运算化简求解. 【详解】由，得，，则，因此， 所以. 知识点 指数函数 1.指数函数的定义 （1）当底数固定，且，时，等式，确定了________的规律，称为底为的指数函数； （2）指数函数的定义域为________． 【答案】 变量随变量变化 2.指数函数的图象和性质 （1）填表： 图象       定义域 值域 函数值的变化 当时，_____； 当时，_____； 当时，_____； 当时，_____； 性质 均过定点______ 单调性：__________ 单调性：_________ （2）对指数函数（），当越来越小时，其图象与_____的负半轴越来越靠近；对指数函数（），当越来越大时，其图象与____的正半轴越来越靠近. （3）在第一象限内，底数越大，图象越_____. 【答案】 减函数 增函数 轴 轴 高 特别提醒 1.指数函数解析式要具有单一性；2.指数函数图像要注意底数不一样，陡峭程度不一样。 随学随练 1.（25-26高二下·天津河西·阶段检测）若指数函数的图象经过点，则_____． 【答案】/ 【难度】0.92 【分析】使用待定系数法解出函数解析式求解. 【详解】设的图象过点， 解得． 拓展 指数爆炸 （1）当底数时，指数函数值随自变量的增长而增大，________较大时指数函数值增长速度惊人，被称为指数爆炸． （2）把自变量x看成时间，在长为T的时间周期中，指数函数的值从增长到，增长率为，它是一个常量．因此，在经济学或其他学科中，当某个量在一个既定的时间周期中，其增长百分比是一个常量时，这个量就被描述为指数式增长，也称指数增长． 【答案】底数a 【难度】0.94 【分析】略 【详解】当底数时，指数函数值随自变量的增长而增大，底数a较大时指数函数值增长速度惊人，被称为指数爆炸． 故答案为：底数a. 题型 指数运算 解题贴士 (1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加. ②运算的先后顺序. (2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. ▌例1．（25-26高一上·广东深圳·期中）（1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①； ②. 【答案】（1）；（2）①；② 【难度】0.85 【分析】（1）利用指数运算求解即可； （2）①对原等式两边平方即可求解；②化简即可求解. 【详解】（1）原式 ； （2）①因为，所以，即，所以； ②因为，又因为，所以. ▌对点练1-1．（25-26高一上·湖南永州·开学考试）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.88 【详解】同底数幂相乘，底数不变、指数相加，，故A错误； 积的乘方，每个因式分别乘方，，故B错误； 完全平方公式展开得，故C错误； 将看作整体，用平方差公式计算： ，故D正确. ▌对点练1-2．（25-26高一上·山西阳泉·期末）化简：____________ 【答案】 【难度】0.7 【详解】原式. ▌对点练1-3．（25-26高一下·北京·阶段检测）求值：__________. 【答案】 【难度】0.65 【分析】利用指数幂的运算性质计算可得. 【详解】原式 . ▌对点练1-4．（2026高一·全国·专题练习）计算下列各式的值： (1)化简：； (2)已知，求的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.72 【分析】（1）全部根式转化为分数指数，把根式运算转化为有理数指数的代数运算. （2）求代数式整体的值，用整体的值代入分式求值即可. 【详解】（1） （2）由， 等式两边同时平方可得：， 即， 等式两边同时平方可得：， 即， 所以. 题型 指数函数的解析式 ▌例1．（2026高一·全国·专题练习）若是指数函数，则有（    ） A． B． C． D．且 【答案】B 【难度】0.85 【详解】由指数函数的定义得，解得. ▌对点练1-1．（2026高一·全国·专题练习）若函数是指数函数，求实数的值（    ） A．1 B．2 C．0 D． 【答案】B 【难度】0.92 【分析】根据指数函数的定义可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值． 【详解】函数是指数函数，可得，解得． ▌对点练1-2．（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）函数且的图象过点，则（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【难度】0.85 【分析】运用代入法进行求解即可. 【详解】因为函数且的图象过点， 所以，或舍去， 故. 故选：A ▌对点练1-3．（25-26高一上·重庆渝中·期中）已知指数函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【难度】0.65 【分析】由指数函数定义结合的图象经过点可得，，据此可得答案. 【详解】因为指数函数，则.因的图象经过点，则， ∴. 故选：A. ▌对点练1-4．（25-26高一上·江苏南通·期末）写出一个满足的函数解析式__________. 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.85 【分析】根据题意考虑常数函数，或者指数函数即可. 【详解】由题意知， 当，时满足条件， 当，且时， 可得， 形如，或且均可. 故答案为：（答案不唯一） 题型 指数函数的图像 解题贴士 对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. ▌例1．（25-26高一上·湖北武汉·期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.62 【分析】通过分析函数的奇偶性以及特定区间上函数值的正负来排除错误选项. 【详解】由函数解析式可知，分母，解得，即函数的定义域为， 因为，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称， 观察选项，C选项图象关于原点对称，故C错误； 当时，，则，所以，又 ，所以，即当时，函数图象位于轴上方， 观察选项，A选项在 上图象位于 轴下方，故A错误； 当时，，则，所以，又，所以，即当时，函数图象位于轴下方， 观察选项，D选项在 上图象位于 轴上方，故D错误； 综上所述，只有B选项符合题意，故B正确. ▌对点练1-1．（25-26高一下·上海·阶段检测）函数且的图像经过一个定点，这个定点的坐标是_________． 【答案】 【难度】0.92 【详解】令，解得， 将代入函数，得， 故函数恒过定点． ▌对点练1-2．（2026高三·全国·专题练习）函数且的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.79 【详解】，，则函数需向下平移个单位，不过点，所以排除A，当时，有，所以排除B，当时，有，所以排除C，故选D. ▌对点练1-3．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）已知函数（，且）的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．的图象不经过第四象限 【答案】D 【难度】0.65 【分析】根据指数函数图象性质可知，对选项逐一判断可得出结论. 【详解】对于A，根据图象为单调递减的，可知，即A错误； 对于B，由函数图象与轴交点在负半轴上，即可得，可得，因此B错误； 对于C，根据已有分析可知，所以，即C错误； 对于D，由可知函数的图象单调递增，且与轴交点在正半轴上， 因此可知函数的图象不经过第四象限. 故选：D ▌对点练1-4．（25-26高一上·广西桂林·期中）当时，函数与函数在同一坐标系内的图像可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【分析】根据指数函数单调性，以及函数的特殊值即可确定出结果. 【详解】因为，所以，函数是增函数，排除AB选项 因为，所以，当时，，排除 D选项. 故选：C ▌对点练1-5．（25-26高一上·广东惠州·期中）指数函数①；②满足不等式，则它们的图象是（   ）. A．   B．   C．   D．   【答案】A 【难度】0.65 【分析】此题应首先根据底数的范围判断图象的升降性，再根据两个底数的大小比较判断对应的曲线. 【详解】已知，因此和都是增函数（排除选项 C、D，因为 C、D 是减函数）； 由于，的增长速度比更快， 因此在时，的图象在的上方（对应选项 A中 “①在②上方”）. 故选：A 题型 指数函数的性质 ▌例1．（25-26高二下·重庆·期末）已知函数是奇函数，且 (1)求和的值； (2)若，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.61 【分析】（1）根据奇函数的定义求解即可. （2）先利用函数的奇偶性和单调性将抽象不等式转化为具体的不等式 ，再对分类讨论，最后用基本不等式求最小值，得到实数的取值范围． 【详解】（1）的定义域为，又为奇函数，则. 又，即，解得. 则， 由，则，满足条件. （2）由（1）知， ，均在上单调递增， 在上单调递增. 在时恒成立，是上单调递增的奇函数， 所以，即在时恒成立， ，成立，此时，时，得到． 且令，即在时恒成立. 又，当且仅当时等号成立， 即，故. ▌对点练1-1．（25-26高二下·北京·期末）已知函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.82 【分析】对任意的，，求出的等式，根据可求出实数的值. 【详解】对任意的，，则， 因为函数为奇函数，则， 故当时，由可得，即， 所以，解得. ▌对点练1-2．（25-26高一下·湖北襄阳·期中）若函数是定义在R上的奇函数，则实数a的值为________． 【答案】 3 【难度】0.82 【详解】函数是定义在R上的奇函数，则，解得， 此时，，函数是奇函数， 所以实数a的值为3. ▌对点练1-3．（2026·重庆·三模）若是奇函数，则的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.68 【分析】由可得，再结合不等式的运算求解值域即可. 【详解】函数的定义域为， 由是奇函数即， 所以，解得， 则， 因为且，所以，，则， 即，可得， 所以函数的值域为． ▌对点练1-4．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知函数是奇函数． (1)求实数m的值以及判断函数的单调性（不用证明）； (2)若，求满足的实数a的取值范围． 【答案】(1)；在和上单调递减 (2) 【难度】0.62 【分析】（1）根据奇函数的定义确定定义域，利用列方程即可得实数的值，再根据初等函数结合反比例型函数判断单调性即可； （2）根据函数的奇偶性与单调性判断的奇偶性与单调性，从而列不等式即可得实数的取值范围． 【详解】（1）函数的定义域为且为奇函数， 则，可得 可得 解得； ，又为增函数， 在和上单调递减； （2）由于函数在和上单调递减，且该函数为奇函数 当时，， ，则函数的定义域为， ，故函数为偶函数， 当时，，则函数在上为减函数， 由，可得出， 所以，解得或， 因此，满足不等式的实数的取值范围是． 题型 指数有关的复合函数的性质 解题贴士 求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断. ▌例1．（25-26高二下·广西柳州·期末）已知，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.55 【分析】根据题意，构造函数，利用的单调性将不等式转化为即可求解. 【详解】已知函数， 令，构造新函数，则，因此，， 要满足，即满足， 由于指数函数在实数集上单调递增，一次函数也在实数集上单调递增， 所以在实数集上单调递增，所以不等式等价于，解得， 所以的取值范围是，故C正确. ▌对点练1-1．（2026·甘肃张掖·二模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【分析】利用复合函数的单调性求解即可. 【详解】因为为上的增函数， 所以由复合函数的单调性知在上单调递减， 当时，在上单调递减，满足题意； 当时，在上单调递减，则， 解得. 综上，. ▌对点练1-2．（2026高一·全国·专题练习）已知函数（且）的图象经过点.则函数的最大值是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.82 【详解】由已知得，解得，则在R上是减函数， 因为，所以，所以，即函数的最大值为3. ▌对点练1-3．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知函数， (1)求函数的单调区间； (2)求函数的值域． 【答案】(1)的减区间为，增区间为 (2) 【难度】0.83 【分析】本题考查复合函数的性质，通过分析内层函数与外层函数的单调性与值域，即可求得函数的单调区间与值域. 【详解】（1）， 在上单调递增，在上单调递减， 又因为在上单调递减， 所以根据复合函数单调性判断法则：的减区间为，增区间为. （2）令，则， 则，即的值域为. 基础通关 1．（25-26高一上·湖南长沙·开学考试）如果那么x的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】C 【难度】0.85 【详解】解：因为二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于零，则，解得． 2.化简（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.7 【分析】根据根式运算求得正确答案. 【详解】因为有意义，所以，所以， 所以． 3.（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【详解】因为，所以， 又函数是增函数，所以， 则所求函数的值域为． 4.（25-26高一上·安徽·阶段检测）如图，（1）（2）（3）分别是指数函数的大致图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【分析】令，再根据函数值的大小即可得解. 【详解】令，观察图象可得. 故选：D. 5.（25-26高一上·山东枣庄·期中）如图①②③④中不属于函数的一个是（       ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【难度】0.85 【分析】根据函数图象可判断②不过点，又指数函数恒过定点即可判断. 【详解】已知其中的三个函数都是指数函数， 指数函数的图象一定过点，图象②不过点. 故选：B 6.（2026高一·全国·专题练习）已知函数为奇函数，则下列结论不正确的是（    ） A．的定义域为 B． C．的单调递减区间为 D．的值域为 【答案】C 【难度】0.7 【分析】对A，由，即可求解；对B，根据函数为奇函数，由即可求解；对C，利用指数函数的单调性求解；对D，由时，，得到，再由是奇函数即可求解． 【详解】对于A，由，解得，所以的定义域为，故A正确； 对于B，因为函数是定义域为的奇函数，所以， 即，解得， 当时，，， 则符合题意，所以B正确； 对于C，当时，，且在上递增，则在上递减， 所以在上递减，又是奇函数， 则的单调递减区间为和，故C错误， 对于D，由选项B可知，，当时，，则， 所以，又是奇函数，当时，， 所以的值域，故D正确． 7.（2026·河南开封·模拟预测）已知，且，若函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.6 【分析】根据指数函数的单调性结合已知函数值域列出不等式计算即可. 【详解】若，则在单调递减，即，， 当时，在单调递增，则， 此时两部分值域的并集不为，不符合题意； 若，则在单调递增，即，， 当时，在单调递增，则， 要使函数的值域为，则，解得：， 若，则，此时函数的值域为，不符合题意； 若，则在单调递增，即，， 当时，在单调递减， 则，，此时两部分值域的并集不为，不符合题意； 综上，若函数的值域为，则的取值范围是 8.（多选）下列结论中正确的是（     ） A．当时， B．（，，为偶数） C．函数的定义域是 D．若，，则 【答案】BC 【难度】0.85 【分析】A通过分析指数运算与底数正负的关系来验证；B根据根式性质，当根指数为偶数时，开方结果需取绝对值；C根据偶次根式被开方数非负以及零次幂底数不为零的条件求定义域；D通过指数式转化为对数或直接解指数方程，再求和验证. 【详解】因为时，，，所以A错误； 根据根式性质，当根指数为偶数时，开方结果需取绝对值，B显然正确； 解得且，所以C正确； 因为，所以，因为，所以，所以，所以D错误． 故选：BC. 9.（25-26高一下·广东广州·期中）已知函数且为奇函数. (1)求实数的值及函数的值域； (2)解不等式； 【答案】(1)， (2) 【难度】0.76 【分析】（1）根据条件，利用奇函数的性质，即可求出的值，再利用指数函数和反比例函数的单调性，即可求解； （2）根据条件得，利用指数不等式的解法，即可求解； 【详解】（1）因为且，则的定义域为，又为奇函数， 则，解得，所以， 则，所以满足题意， 又，所以，则，所以函数的值域为. （2）由（1）知，由，得到， 整理得到，解得，所以不等式的解集为. 10.（2026高一·全国·专题练习）计算； 【答案】 【难度】0.82 【分析】由指数幂的运算性质、根式与有理数指数幂的关系分别计算各式即可得答案． 【详解】 ； 11.（25-26高一下·北京·阶段检测）已知是奇函数. (1)求的值； (2)若的定义域为，判断的单调性并证明； (3)在（2）的条件下，存在使得成立，求参数m的取值范围. 【答案】(1)或 (2)函数是上的增函数，证明见解析 (3) 【难度】0.38 【分析】（1）由函数是奇函数，分和不存在，两种情况讨论，结合，即可求解； （2）由（1）得到函数，利用函数单调性的定义和判定方法，即可求解； （3）由题意，转化为，令，转化为存在使得成立，即，令，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数是奇函数， ①若，解得，所以， 则， 又由，可得，解得，所以， 经验证：， 所以函数是定义在上的奇函数，所以； ②若不存在时，可得，此时， 由，可得，解得，所以， 经验证：， 所以函数是定义在上的奇函数，所以； （2）解：函数是上的增函数. 证明如下：由（1）知：函数，其定义域为， 任取且， 则， 因为，可得， 所以，即，所以是上的增函数. （3）解：由函数是上奇函数，且是单调递增函数， 不等式， 即为， 所以，整理得， 令，因为，可得， 则，当时，即时，等号成立， 当时，可得，所以， 又因为，所以， 因为存在使得成立， 即存在使得成立，即， 令，可得函数在上单调递减， 所以当时，取得最大值，最大值为，所以， 所以实数的取值范围为. 素养提升 12.（2026·陕西西安·模拟预测）已知定义在上的函数满足：①，都有；②，，恒有．则下列结论正确的是（   ） A． B． C．函数为偶函数 D．若，则 【答案】D 【难度】0.63 【分析】由条件①，可判断是上的增函数，利用单调性可判断A；结合换元法将复杂的自变量的范围求出来，利用的单调性可判断B；对于条件②，通过赋值法，给、赋特殊值，推导函数的性质，进而分析的奇偶性，可判断C；可结合函数单调性或构造函数，利用基本不等式判断自变量的关系，进而推导函数值的关系可判断D. 【详解】对于A，由，令，得，则． 因为，都有，所以在上单调递增，故，故A错误． 对于B，设，令，所以， 可知在上单调递增，所以， 所以，即，故B错误． 对于C，由，令，，得， 所以．因为， 所以， 所以函数为奇函数，故C错误． 对于D，令，，则， 所以，因为， 当且仅当时等号成立，又在上单调递增， 所以， 即，故D正确． 13.（2025高一上·安徽·竞赛）已知函数的定义域为R，是偶函数，是奇函数，则（    ） A． B． C．4e D．0 【答案】A 【难度】0.65 【分析】根据已知条件得到关于与，求出的解析式，代入求解即可. 【详解】由题意可得，  所以， 故． 14.（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）设是上的函数，若为奇函数，为偶函数，则的值为______． 【答案】 【难度】0.65 【分析】应用为奇函数可得，利用为偶函数可得，进而可得. 【详解】因为为上的奇函数，所以， 又因为为偶函数，所以， 所以两式相加即得， 所以. 故答案为：. 15.（25-26高一下·内蒙古赤峰·阶段检测）设 (1)求和； (2)若 ，求 的值； (3)求 的值. 【答案】(1), (2) (3) 【难度】0.65 【分析】(1)代值计算即可求解； (2)化简，即可求得 的值； (3)结合即可求解. 【详解】（1）由于，则, （2）由题可得，, 所以 . （3）由(2)可得当时， ， 设 , 则， 所以, 所以. 16.（25-26高一下·陕西安康·期末）已知幂函数在定义域上单调递增，指数函数（且，且. (1)求与的解析式； (2)若函数，解不等式. 【答案】(1)； (2) 【难度】0.65 【分析】（1）由幂函数解析式的结构特点和单调性，再结合，即可求解，进而得到解析式； （2）利用函数单调性和函数定义域，构造不等式，求解即可. 【详解】（1）由题意得： ， 整理得， 因式分解得， 解得或， 又因为在定义域上单调递增，所以，舍去，得​， 因此： ，​ 由，代入，， 得： ， 解得​，满足且， 因此： ， （2）由（1）得： ，定义域为， 又 在上单调递增，在单调递增， 故在上单调递增， 由可得： 解得：， 故不等式的解集为. 迁移创新 17.（25-26高一下·河南信阳·期末）若函数满足：对任意，，都有，则称函数具有性质． (1)设，分别判断与是否具有性质？并说明理由； (2)已知定义在上的奇函数具有性质，求关于的不等式的解； (3)已知函数具有性质，且图像是一条连续曲线，若在上是严格增函数，求证：是奇函数． 【答案】(1)不具有性质，具有性质，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【难度】0.45 【分析】（1）取特殊值判断，利用所给定义判断； （2）利用奇函数的性质可将不等式化为，利用具有性质和奇函数性质可得是上的增函数，从而利用增函数的性质即可求解； （3）先由具有性质且函数的图像是一条连续曲线求得，然后利用反证法证明是奇函数. 【详解】（1）不具有性质， 理由：取，，，所以不具有性质. 具有性质， 理由：对任意，， 当时，，因为为上的增函数， 所以，即，所以， 当时，，所以，即， 所以， 综上，对任意，，有， 所以具有性质. （2）因为是奇函数，所以可化为， 因为具有性质，所以对任意，，都有， 因为是奇函数，所以， 所以，即是上的增函数， 故，解得，所以不等式的解集为. （3）由具有性质知：当时，当时， 因为函数的图象是一条连续曲线，所以，即. 下面用反证法证明是奇函数， 假设存在使得，不妨设，则由在上是严格增函数有， 若，则构造函数， ， ， 由零点存在定理知，存在，使得，即； 因为在上是严格增函数，所以， 从而有， 与具有性质矛盾． 若，构造函数，同理也可推出与具有性质矛盾． 综合上述，存在使得的假设不能成立，即对任意都有，故是奇函数． 18.（25-26高一上·江苏南通·期末）已知，的定义域均为，给出下面两个定义： ①若，，则称与为“任意交换函数组”； ②若有且仅有一个，使得，则称与为“唯一交换函数组”． (1)判断下列函数组是否是“任意交换函数组”或者“唯一交换函数组”． ①，；②，． (2)设，（），且与为“任意交换函数组”． ①求的解析式； ②设，若存在，使得与为“唯一交换函数组”，求实数的取值范围． 【答案】(1)①“任意交换函数组”；②“ 唯一交换函数组” (2)①；②或 【难度】0.4 【分析】（1）根据条件，结合题设定义，即可求解； （2）①根据条件可得方程组，求出即可求解；②根据条件，将问题转化成方程有且只有一个解，法一，利用求根公式，直接求出方程的解，再结合条件，即可求解；法二，转化成根的分布进行求解. 【详解】（1）对于①，，， 所以恒成立，所以与为“任意交换函数组”． 对于②，，， 由得，所以与为“唯一交换函数组”． （2）①因为与为“任意交换函数组”，所以恒成立， 因为，， 所以，解得，所以． ②因为与为“唯一交换函数组”， 由， 整理得到， 所以方程有且只有一个解． 则，整理得到， 方法一：因为，所以， 因为存在满足条件，故只需要， 化简得， 若，，解得， 若，由，解得． 综上可得或． 方法二：方程在区间上有解， 若有一解，则， 解得或． 若有两解，则，即， 即，又，所以，所以方程组无解， 综上可得或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $