4.1-4.2指数和指数函数的综合复习讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学讲义以“知识梳理-考点突破-综合应用”为主线构建指数与指数函数单元体系，通过表格对比呈现整数、分数指数的概念及运算性质，用框架图梳理指数函数定义、图象和性质，清晰展示a>1与0<a<1时的性质差异，突出运算公式与函数单调性等重难点的内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导，涵盖选择、填空、解答题，如指数运算中的条件求值问题（已知a^(1/2)+a^(-1/2)=3求a+a^(-1)），通过“根式与分数指数幂互化”“复合函数单调性判断”等方法培养运算能力和推理意识。过关检测题梯度分明，基础题巩固知识，综合题提升应用能力，助力学生自主复习，为教师精准教学提供数据支持。

4.1-4.2指数和指数函数的综合训练 第一部分：知识梳理 一、指数的运算 1.基本概念 整数指数 n次方根 分数指数 an＝ a0＝1(a≠0) a－n＝(a≠0) 如果存在实数x，使得xn＝a(a∈R，n＞1且n∈N＋)，则x叫做a的n次方根，叫做把a开n次方，称作开方运算. ＝； ＝； ＝ (a>0，n，m∈N＋) 2.根式的性质 (1)()n＝a(n＞1且n∈N＋)； (2)＝ 3.有理指数幂的运算法则 若a>0，b>0，则有任意有理数α，β有如下运算法则： (1)aαaβ＝aα＋β； (2)(aα)β＝aα·β； (3)(ab)α＝aα·bα. 4.指数运算中的完全平方、平方差、立方和差公式 , 二、指数函数及其图像和性质 1. 指数函数的定义 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 2. 指数函数的图象和性质 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表： a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值的变化 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 3. 指数型函数的单调性 一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质 (1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域． (2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相反． 第二部分：考点分布 一、考点一：指数的运算 1．下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 2． . 3．（1）求值：； （2）求值：； （3）已知，求的值. 4．（1）化简：； （2）求值：. 方法总结： 1、根式形式的化简 根式的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定． ①当n为偶数，且a≥0时，为非负实数； ②当n为奇数时，的符号与a的符号一致． 2、根式与分数指数幂的互化 (1)根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子． (2)在具体计算时，如果底数相同，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． 3、分数指数幂的运算性质化简求值 一般地，进行指数幂运算时，可将系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的． 4、条件求值问题的解法 (1)求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的式子变形(如平方、因式分解等)，寻找已知式和待求式的关系，可考虑使用整体代换法． (2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式． 二、考点二：指数函数的概念和解析式 5．判断下列函数哪些是指数函数，哪些是幂函数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 6．函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 8．若函数是指数函数，则实数 ． 9．（1）已知指数函数，则实数的取值范围是 ； （2）已知指数函数的图像经过点，则时，函数值为 ． 10．若指数函数的图象经过点，则满足的的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 方法总结：判断一个函数是否为指数函数的方法 (1)底数的值是否符合要求； (2)ax前的系数是否为1； (3)指数是否符合要求． 三、考点三：指数函数的图象 11．函数（且）的图像可能是（　　） A．   B．   C．   D．   12．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 13（多选题）．下列结论中，正确的是（   ） A．函数与的图像关于轴对称 B．函数的单调增区间是 C．函数的图像必过定点 D．函数的图像与的图像有两个交点 14．如图是指数函数的部分图象，已知取这四个值，则曲线相对应的依次为（　　） A． B． C． D． 15．已知函数（，）的图象经过点，那么这个函数的图象也必定经过点（    ） A． B． C． D． 16．若函数的图像不经过第二象限，求实数的取值范围为 ． 17．已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点坐标是 . 方法总结：处理函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点． (2)巧用图象变换． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性． 四、考点四：指数函数的定义域和值域问题 18．若函数在上恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 19．函数的定义域是 ． 20．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 21．求下列函数的定义域与值域 (1)； (2)． 22．已知函数. (1)当时，求的值域; (2)若的最小值为，求的值. 方法总结：指数型函数的定义域、值域的求法 (1)求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是y＝ax型还是y＝af(x)型，前者的定义域是R，后者的定义域与f(x)的定义域一致，而求y＝型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式(组)． (2)求与指数函数有关的函数的值域时，在运用前面介绍的求函数值域的方法的前提下，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性． 五、考点五：指数函数的单调性和最值问题 23．设，则（   ） A． B． C． D． 24（多选题）．已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．的值域为 C．是增函数 D． 25．函数的单调增区间是 . 26．若在函数（且）的图象上，则函数的单调递减区间是 . 27．已知定义域为的函数是奇函数 (1)求实数b的值 (2)判断并用定义法证明在上的单调性 (3)若对任意实数，不等式恒成立，求的取值范围 28．已知指数函数． (1)若在上的最大值为16，求的值； (2)当时，若对恒成立，求的取值范围． 方法总结：函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性的处理方法 (1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成． (2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考察f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性． 六、考点六：指数函数的综合应用 29．已知函数. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明； (3)解关于的不等式. 30．已知函数. (1)当时，判断并证明的奇偶性； (2)当时，解关于的方程：； (3)若,求时，的值域. 31．已知函数. (1)若在上为增函数，求实数的取值范围； (2)若在上最小值为4，求实数的值； 32．已知函数，且在上的最小值为． (1)求的值； (2)求在区间上的最大值； (3)当，且时，不等式恒成立，求的取值范围． 方法总结：指数函数的综合问题 (1)有关指数复合函数的单调性、值域问题． (2)有关指数型函数对应的不等式恒成立及能成立问题． (3)有关指数型函数对应的方程有解问题． 第三部分：过关检测 33．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 34．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 35．已知，则指数函数①，②的图象为（   ） A． B． C． D． 36．已知定义在上的函数，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 37．若函数（且）恒过定点P，则点P的坐标是（   ） A． B． C． D． 38（多选题）．下列命题中，正确的是（   ） A．函数在内单调递减 B．函数在内没有最小值 C．函数的图象关于点对称 D．对，函数均为偶函数 39．已知函数. (1)若为偶函数，求实数的值； (2)当时，讨论函数的值域. 40．已知函数为奇函数． (1)求a的值； (2)证明：函数是在上的增函数； (3)对于任意的，不等式恒成立，求常数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】利用二次根式的意义来判断AB选项，利用指数幂的运算来判断CD选项即可. 【详解】对于A，，所以，故A错误； 对于B，因为，所以，则，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选：C. 2．/ 【分析】根据指数幂的运算性质化简计算即可. 【详解】因为，， ，， 所以原式 . 故答案为：. 3．（1）1；（2）；（3）. 【分析】（1）将根式转化为指数式，根据指数运算法则直接求解； （2）根据指数运算的运算法则得到结果. （3）利用指数运算公式直接求值. 【详解】（1） ； （2） ； （3）因为，所以，所以， 又， 所以. 4．（1）；（2） 【分析】（1）由根式与指数幂的互化进行化简； （2）根据分数指数幂的运算性质求得结果. 【详解】（1）原式； （2）原式 . 5．(1)幂函数 (2)幂函数 (3)指数函数 (4)幂函数 (5)指数函数 (6)指数函数 【分析】利用指数函数与幂函数的定义逐一判断即可得解. 【详解】（1）因为形如（且）是指数函数， 形如（）是幂函数，故是幂函数； （2）是幂函数； （3）是指数函数； （4）是幂函数； （5）是指数函数； （6）是指数函数. 6．C 【分析】由指数函数的定义列出限制条件，求解不等式组可得答案. 【详解】由指数函数的定义得解得，且，故的取值范围是． 故选：C 7．A 【分析】根据指数函数的概念可得且且，解之可得，进而求解. 【详解】函数是指数函数， 且且，解得， ，. 故选：A． 8．/0.5 【分析】根据指数函数定义即可得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，解得或1（舍去）. 故答案为：. 9． 【分析】（1）根据指数函数的定义求解； （2）把已知点坐标代入求得后，再计算函数值． 【详解】（1）由已知且，解得且，所以的范围是； （2）由已知，，函数式为，时，． 故答案为：；． 10．B 【分析】设且，根据函数过点求出的值，即可求出函数解析式，再代入计算可得. 【详解】设且，则，解得或（舍去）， 所以，令，又，所以. 故选：B 11．C 【分析】分、两种情况讨论，结合函数的单调性与、的特征，利用排除法判断即可. 【详解】当时，在定义域上单调递减，， ，所以，则A、B均不符合题意； 当时，在定义域上单调递增，， ，所以，故C符合题意，D不符合题意. 故选：C 12．D 【分析】考虑时，由的单调性排除ABC，再根据函数对称轴得到D正确. 【详解】当，即时，单调递增，排除ABC选项， 又，即关于对称，D正确. 故选：D 13．AC 【分析】对于A：整理可得，即可判断对称性；对于B：根据复合函数单调性分析判断；对于C：根据指数函数定点分析判断；对于D：作出函数的图像，结合图象分析判断. 【详解】对于选项A：因为， 所以函数与的图像关于轴对称，故A正确； 对于选项B：显然函数的定义域为， 因为在内单调递减，在内单调递增， 且在定义域内单调递减， 则在内单调递增，在内单调递减， 所以函数的单调增区间是，故B错误； 对于选项C：令，解得，可得， 所以函数的图像必过定点，故C正确； 对于选项D：作出函数的图像，如图所示： 所以函数的图像与的图像有一个交点，故D错误； 故选：AC. 14．D 【分析】令，结合图象即可得到. 【详解】当时，越大，越大．的值小于的值小于的值小于的值. 故选：D. 15．C 【分析】将点代入函数表达式得出的值，从而得出函数解析式，依次代入各选项坐标计算求解. 【详解】已知函数（，）的图象经过点， ，解得， ∴， 依次代入各选项坐标： 当时，，故A错误； 当时，，故B错误； 当时，，故C正确； 当时，，故D错误. 故选：C. 16． 【分析】首先判断函数的单调性，依题意可得当时即可. 【详解】因为在定义域上单调递增， 又的图像不经过第二象限， 所以当时，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 17． 【分析】由幂函数的性质求出，再由指数函数的性质可得. 【详解】因为幂函数在区间上单调递增， 则，解得， 所以，，则， 即函数的图象过定点. 故答案为：. 18．C 【分析】利用换元法将函数转化为，再利用二次函数求最值即可求解. 【详解】令，，， 可转化为， 又开口向上，且对称轴为， 在上单调递增，， 函数在上恒成立，即在上恒成立， 也就是，，解得. 实数的取值范围为. 故选：C. 19． 【分析】解不等式，可得出原函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，则，变形可得， 因为指数函数在上单调递增，则，解得， 故函数的定义域是. 故答案为：. 20．A 【分析】利用函数在、上的值域，取并集即可得出函数的值域. 【详解】当时，，因为函数在上单调递增， 所以，此时； 当时，因为函数在上为减函数，在上为增函数， 故，即在上的值域为. 综上所述，函数的值域为. 故选：A. 21．(1)定义域为，值域为. (2)定义域为，值域为 【分析】（1）根据指数函数的性质和分母不为0进行求解即可. （2）根据指数函数的定义域和性质进行求解即可. 【详解】（1）由，得， 函数的定义域为． ， ．的值域为． （2）函数的定义域为． ． 故的值域为． 22．(1) (2) 【分析】（1）当时，得到函数并用配方法化简，由的值域，得到函数的值域； （2）整理函数解析式，并令换元后利用配方法整理函数解析式，分析二次函数的对称轴的位置，得到函数的最值，然后列方程解得的值. 【详解】（1）当时，， 因为，所以，故. 值域为. （2）， 令，则， 当时，即当时，函数取最小值， ∴,即,解得，∴. 当时，函数没有最小值， ∴. 23．A 【分析】利用指数函数单调性判断即可. 【详解】由， 又因为在上单调递增， 所以，所以， 因为在上单调递减， 所以， 所以． 故选：A． 24．ACD 【分析】利用指数函数的性质，可判断A、B、C，对D，根据条件，利用基本不等式的性质，即可求解. 【详解】因为，又，由指数函数的性质知， 的定义域为，的值域为，在上单调递增， 所以A和C正确，B错误， 对于D，， 当且仅当，即时取等号，所以D正确， 故选：ACD. 25． 【分析】由二次函数及指数函数的单调性，结合复合函数的单调性法则得解. 【详解】令， 由二次函数单调性可知，在上单调递减， 又是减函数， 由复合函数的单调性知，的单调增区间为. 故答案为： 26． 【分析】求出函数解析式，利用指数函数单调性求解. 【详解】因为在函数（且）的图象上， 所以，解得， 所以， 故的单调递减区间是， 故答案为： 27．(1) (2)减函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）由奇函数的条件可得，即可得到b的值； （2）运用单调性的定义，结合指数函数的单调性，即可得证； （3）利用奇函数的定义以及函数单调性的条件，将不等式转化为对恒成立求解. 【详解】（1）由于定义域为的函数是奇函数， 所以解得； （2）在上是减函数. 证明如下:设任意， ∵，∴，即，∴， ∴在上是减函数 ， （3）不等式， 由奇函数得到， 所以， 因为在上是减函数， ∴，对恒成立， 令，当且仅当，即时，等号成立， 所以. 28．(1)或； (2). 【分析】（1）根据给定条件，按分类，利用指数函数单调性求出最大值. （2）等价变形给定不等式，构造函数，利用单调性求出最大值并建立不等式求出范围. 【详解】（1）当时，在上单调递减，，则； 当时，在上单调递增，，则， 所以的值为或. （2）不等式，令函数， 依题意，对，恒成立，而当时，函数在上单调递增， 当时，，因此，解得， 所以的取值范围是. 29．(1)奇函数，理由见解析 (2)在上是单调递增函数，证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义求解； （2）利用函数的单调性定义求解； （3）利用函数的单调性和奇偶性，将转化为求解. 【详解】（1）是奇函数，理由如下： 由题意可知，， 因为的定义域为，且， 所以是奇函数. （2）在上是单调递增函数. 证明如下： 任取，设，则 . 因为，所以， 又因为，所以， 所以，即， 所以在上是单调递增函数. （3）由（1）（2）知是上单调递增的奇函数， 所以在上单调递增， 所以， 可以转化为， 可化为， 即， ①当时，不等式为，解集为； ②当时，解不等式得到； ③当时，解不等式得到. 综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 30．(1)偶函数，证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用与的关系来判断的奇偶性； （2）可利用换元法，令简化计算； （3）可利用换元法，令，再结合的范围与函数单调性求解； 【详解】（1） 为偶函数. （2）由,令,则有, 得或（舍）, 即解得. （3）,令,则有： , 得,即的值域为. 31．(1) (2) 【分析】（1）由复合函数的性质得在上是增函数，由此可得的范围； （2）换元后根据二次函数的对称轴与区间的关系分类讨论． 【详解】（1）令，由于是增函数，若在为增函数， 则在上是增函数， 则，所以 （2）令 即最小值为4 若则时最小，得. 若则时最小，得无解. 若时则时最小，得舍去. . 32．(1) (2)33 (3) 【分析】（1）令，由二次函数性质计算可解； （2）由二次函数性质求解即可； （3）由函数单调可知在上恒成立，采用分离常数法令，由二次函数性质求解即可. 【详解】（1）令， 则开口向上，且对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得； （2）由（1）知，时，， 在上单调递减，在上单调递增， 又，所以最大值为. （3）由（1）知，在上单调递增， 又， 由， 得在上恒成立， 所以问题即为在上恒成立， 所以， 设，令，则， 所以. 由二次函数性质可知函数在区间上单调递减， 所以当时，， 所以，即的取值范围为. 33．B 【分析】设函数，根据复合函数的单调性的判定方法，以及指数函数与二次函数的性质，即可求解. 【详解】设函数， 则函数是由二次函数与指数函数复合而成的. 函数单调递增，要使函数在区间上单调递增， 则二次函数在区间上单调递增， 又因为的图象开口向上，且其对称轴为，则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 34．A 【分析】先求函数定义域，再利用复合函数单调性分析判断即可. 【详解】令，解得或， 可知函数的定义域为， 因为的图像开口向上，对称轴为， 可知在内单调递减，在内单调递增， 且在定义域内单调递增， 可知在内单调递减，在内单调递增， 又因为在定义域内单调递减， 可得在内单调递增，在内单调递减， 所以函数的单调递增区间是. 故选：A. 35．C 【分析】根据指数函数的性质判断即可. 【详解】由， ，在上单调递减，所以排除AB选项； 令，，此时图象①在②的下方 因此C项正确． 故选：C. 36．D 【分析】判断函数单调性，结合单调性性质即可求解. 【详解】因为在上单调递减，因为在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 则,解得：，则关于的不等式的解集是: 故选：D 37．A 【分析】根据指数函数的性质求解. 【详解】当时，，所以函数恒过定点. 故选：A. 38．ACD 【分析】由幂函数单调性可判断A，由基本不等式可判断B，由对称性和奇偶性概念可判断CD. 【详解】因为，幂函数在内单调递减，A对． 函数，当且仅当取等号，在内有最小值，B错． 因为，所以的图象关于点对称，C对． 对均为偶函数，D对． 故选：ACD． 39．(1) (2) 【分析】（1）利用偶函数定义计算即可得； （2）借助换元法，结合指数函数单调性计算即可得. 【详解】（1）为偶函数，定义域为， 所以，即，即有， 则有恒成立，故； （2）当时，，令， 则有，则， 设，， 由在上为减函数，且恒成立，得， 所以函数的值域为. 40．(1)； (2)证明见详解； (3). 【分析】（1）利用奇函数的性质求出，再利用定义验证即得. （2）利用增函数的定义，结合指数函数单调性推理得证. （3）利用奇函数、增函数的性质将不等式转化为对恒成立，再换元，结合二次函数性质列式求解. 【详解】（1）函数的定义域为，由是奇函数，得，解得， 函数，，是奇函数， 所以. （2）由（1）知， 设，且，， 当时，，则，即， 所以函数是在上的增函数． （3）不等式， 依题意，任意，不等式恒成立， 由（2）知函数在上单调递增，则不等式对恒成立， 令，而均为增函数，则是增函数， 由，得，且， 因此不等式在上恒成立， 设，由函数开口向上，得， 则，解得， 所以的取值范围是. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $