第3章《勾股定理》单元自测卷 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 《勾股定理》单元自测卷通过选择、填空、解答题分层设计，从基础计算到综合实践，梯度合理，全面巩固勾股定理知识体系，培养几何直观与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|勾股定理基本计算、勾股数判断|直接应用定理（如选择1求边长、填空13判断矩形合格）| |中档|几何图形面积、实际情境应用|结合赵爽弦图（选择6）、门框对角线问题（选择4），体现模型意识| |拔高|综合实践与思维转化|圆柱最短路径（解答24）、折叠动态问题（解答20），发展空间观念与推理能力|

第3章《勾股定理》单元自测卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．中，，，，则（     ） A．10 B．14 C．12 D．5 2．下列各组数中，是勾股数的是（） A． B．5，12，13 C．0.6，0.8，1 D．1，2，3 3．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是、、、，则最大正方形的面积是（   ） A． B． C． D． 4．学校即将开展班级文化月评比活动，为打造特色文化墙，某班特意定制了一块边长为的正方形装饰泡沫板．已知教室门框高，宽，泡沫板不可折叠、切割，那么下面说法正确的是（    ） A．竖直摆放可以直接进门 B．水平横放可以直接进门 C．斜着沿门框对角线能进门 D．怎么都无法进门 5．若一个三角形的三条边长之比为，周长为，则它的面积为（   ） A． B． C． D． 6．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．若，则正方形的面积为（　　） A．2 B．1 C．8 D．12 7．如图，中，，点A向上平移后到，得到．下面说法错误的是（    ） A． 的内角和仍为 B． C． D． 8．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（   ）． A． B． C． D． 9．如图，在Rt中，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 10.数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知，且．则的最小值是（    ） A．8 B．10 C．34 D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．如图，在数轴上点所对应的实数是3，过点作且，以为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点，则点对应的实数为______．    12．如图所示，在边长为1的小正方形网格中，若的顶点都在格点上，则______． 13．木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为，宽为，对角线为，则这个桌面____________（填“合格”或“不合格”）． 14．已知：如图，四边形， ， ，，且．则四边形的面积为_______．    15．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是的中点），它高出水面1尺（尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（），则水的深度为_____． 16．在等腰中，、、皆为锐角，且，过点作的垂线，垂足为，且，则的长为___________． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）在中，，，，的对边分别为a，b，c． (1)若，，求c； (2)若，，求b． 18．（6分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画三角形： (1)以格点为顶点画一个三角形，使三边长分别为2，3， (2)判断（1）中的三角形是否为直角三角形？ 19．（6分）如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．快递投放点C的正北方向处有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为． (1)求快递投放点B，C之间的距离； (2)为了方便居民取件，优化快递配送服务，计划在街道l上增设一个快递自提柜D，并且使得自提柜D到小区A与快递投放点B的距离相等，求自提柜D与快递投放点B之间的距离． 20．（8分）如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，．将沿直线翻折，点恰好落在上的点处． (1)求的长； (2)求的长． 21．（8分）用图1中四个完全一样的直角三角形可以拼成图2的大正方形，解答下列问题： (1)根据图2，利用图形的面积关系，试说明． (2)利用（1）的关系式解答：如果大正方形的面积是25，且，求小正方形的面积． 22．（9分）如图，在中，，，，且m，n满足，D，E分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点F恰好落在边上． (1)求证：是直角三角形； (2)如图，若D为的中点，求证：； 23．（9分）消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． (1)求处与地面的距离． (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 24．（10分）如图，圆柱的高为13cm，底面周长为20cm，点B距上底面1cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到点B处的食物． (1)小萌思考后，先将曲面问题化为平面问题，将圆柱沿点A竖直剪开，然后得到其侧面展开图．请你画出该圆柱的展开图，并标出A，B两点的位置； (2)若蚂蚁沿圆柱侧面爬行，在展开图中画出表示蚂蚁爬行的最短路程的线段，并求它爬行的最短路程．（精确到0.1cm，参考数据：） 25．（10分）综合与实践：某小区临街的拐角处有一块绿化地，形状如图阴影部分所示．小区管理人员测量绿化地的尺寸得出：．经过一段时间后发现当时建设绿化地时没有考虑灌溉问题，从水源点处提水灌溉绿化地太辛苦，于是想在两处设计浇灌点．小区管理人员请的管道设计师提供了如下两个设计方案：方案一：从水源点处直接铺设管道分别到浇灌点处；方案二：过点作的垂线，垂足为，先从水源点处铺设管道到点处，再从H处分别向浇灌点铺设管道． (1)小区管理人员利用卷尺测量了的长为，便判断出绿化地拐角处为直角（），为什么？ (2)在（）的条件下，若绿化地建造每平方米的费用为元，求当时建造绿化地的费用； (3)经测量．已知管道铺设费用为每米元，请你计算两种方案的费用，帮助社区管理人员选择比较省钱的管道铺设方案． 参考答案 一、选择题 1．A 解：在中，，， 为斜边，由勾股定理得， ，， ， 边长为正数， ． 2．B 解：A．， ∵， ∴ 不是勾股数； B．∵，且5，12，13都是正整数， ∴5，12，13是勾股数； C．∵0.6，0.8，1不都是正整数， ∴0.6，0.8，1不是勾股数； D．， ∴1，2，3不能构成三角形， ∴1，2，3不是勾股数． 3．C 解：如图， 根据勾股定理可得正方形的面积等于正方形的面积， 正方形的面积等于正方形的面积， 正方形的面积等于正方形的面积， ∴大正方形的面积． 4．C 解：∵ 正方形泡沫板边长为，门框高，宽， 竖直或水平摆放时，因 大于门框的高或宽，故无法进门，排除A，B， 斜着沿门框对角线摆放时，根据勾股定理，门框对角线长为： ∵ ∴ ，即泡沫板边长小于门框对角线长，只要将泡沫板倾斜，使其一边顺着门框的对角线方向穿过，可以进门， 因此C正确，D错误． 5．D 解：∵三边之比为， ∴设三边分别为，，． ∵周长为， ∴， ∴． ∴三边分别为，，． ∵， ∴三角形为直角三角形，直角边为和． ∴面积为． 故选：D． 6．B 解：∵正方形，， ∴， ， 小正方形的面积是． 7．D 解：A、△A′BC的内角和仍为180°正确，故本选项正确，不合题意； B、∵∠BA′C＜90°，∠BAC=90°， ∴∠BA′C＜∠BAC正确，故本选项正确，不合题意； C、由勾股定理，AB2+AC2=BC2，故本选项正确，不合题意； D、应为A′B2+A′C2＞BC2，故本选项错误，符合题意． 故选：D． 8．D 解：如图， 由勾股定理可得，， 由平移的性质可得，地毯的长度至少需要． 9．C 解：由题意知，，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 即． 10．B 解：，， 可将看作两直角边分别为和3的的斜边长，将看作两直角边分别为和5的的斜边长， 如图，构造图形，使，，且、在异侧， 设，，， ，即， 点在上，，， ， 根据两点之间线段最短，当、、三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长， 过点作于点，则四边形为矩形， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 的最小值是10． 故选：B． 二、填空题 11． 解：点所对应的实数是3， ， ， ， 在 中，，， 由勾股定理可得， 以为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点， 点对应的实数为． 12． 解：如图，延长至点D，连接， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ 故答案为： 13．合格 解：长为，宽为，对角线为， 计算，， 满足勾股定理，桌面合格． 故答案为：合格． 14． 解：连接，    ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 15．12尺 解：∵水面是一个边长为10尺的正方形，点是的中点， ∴尺， 设水的深度为尺， ∵尺，， ∴尺， ∵， ∴尺， ∵在中，根据勾股定理可得：， ∴，整理得：，解得：， ∴尺． 16．4或6或 解：在中，，，， 由勾股定理得： ， 分三种情况讨论： 情况1：当时，，如下图： 则. 此时所有角均为锐角，符合题意； 情况2：当时，，如下图： 因为，由等腰三角形三线合一得， 所以，此时所有角均为锐角，符合题意； 情况3：当时，如下图： 设，则， 在中，由勾股定理得， 即，解得，则， ，最大角为锐角，符合题意； 综上的长为4或6或． 三、解答题 17．（1）解 已知在中，，，，的对边分别为，，，由勾股定理得 ∵，， ∴； （2）解：在中，，， ． 18．解：（1）如图：即为所求， （2）由勾股定理可知，三边正好为勾股弦，即， （1）中的三角形是直角三角形． 19．（1）解：∵，，， ∴， ∴快递投放点B，C之间的距离为； （2）解：设， ∴， 在中，， ∴， 则有，解得， ∴自提柜D与快递投放点B之间的距离为． 20．（1）解：∵，是的中点， ∴， 在中，由勾股定理得； （2）解：由折叠的性质可得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 21．（1）证明：， ， ， ； （2）解：大正方形的面积是25， ， ， ， ， ． 由（1）得， ， 小正方形的面积等于1． 22．（1）证明：， ，， ，， ， ， ， 即是直角三角形； （2）证明：连接， 沿直线折叠得到， ，， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， . 23．（1）解：在中， 米，米， 米 米． 答：处与地面的距离是米； （2）在中， 米，米， 米 米． 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 24．（1）解：如图所示： 该圆柱的展开图为矩形，将圆柱沿点A竖直剪开，则点在与点所在的线段的对边中点正下方1cm处． （2）解：如图， 连接，则线段的长就是蚂蚁爬行的最短路程． 由题意知，，，， 根据勾股定理，得， ． 答：蚂蚁爬行的最短路程为15.6cm． 25．（1）解：∵， 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴费用为（元）． （3）解：方案一：， （元）， 方案二：设，则， ∴， 解得， ∴， ∴费用为（元）， ， ∴选择方案二． 学科网（北京）股份有限公司 $