湖南省长沙市实验中学2026-2027学年高三上学期第一次阶段检测数学试卷

**基本信息** 长沙市实验中学2027届高三开学数学检测卷，覆盖集合、函数、立体几何等核心知识，通过量子芯片测试等科技情境与综合问题设计，考查数学抽象、逻辑推理及应用能力，适配高三起点评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、向量垂直、函数定义域|注重概念辨析，如第1题集合交集、第5题三角函数定义| |多选题|3/18|三角函数性质、正方体动态问题|突出空间想象，如第10题动点轨迹与线面平行判断| |填空题|3/15|纯虚数、正态分布、函数零点|考查运算能力，如第13题正态分布与均值不等式结合| |解答题|5/77|解三角形、立体几何面面角、抛物线与圆、量子芯片概率、导数综合|情境真实且综合，如第18题以量子计算为背景考概率递推，第19题导数证明与零点分析，契合高考命题趋势|

长沙市实验中学2027届高三第一次阶段检测 数学试卷 本试卷共5页,19题 满分 150分 时量120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.集合 则A∩B= ( ) A. {-1,0,1,2} B. {0,1,2} C. {1,2} D. [-1,2) 2、已知向量=(1,-2), =(2,4),且+k与-互相垂直,则实数k=( ) B. C. D. 5 3.函数 的值域是，则定义域为( ) A. (2,4] B. (2,4) C. (1,5) D. (1,5] 4、余弦曲线y= cosx在点 处的切线方程为( ) A. y=0 5.已知角α的终边经过点P(-2,1),则sin2α=( ) A. B. 6.在数列{}中, 且对任意大于1的正整数n，点 在直线x-y-6=0上,则为( ) A. 6n-3 B. 6n D. 3n² 7.若函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)为偶函数, f(x-1)关于点(3,3)成中心对称，则下列说法正确的是 ( ) A. f(x)的一个周期为2 B. f(22)=3 C. f(x)的一条对称轴为x=4 8.记函数f(x)的导函数为f'(x), 已知f(3)=1, 且∀x∈R,f'(x)>f(x), 若关于x的不等式f(ax+1)<在x∈[1,3]上恒成立,则a的取值范围为 ( ) B. (,+∞) C. (-∞,2) D. (2,+∞) 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分) 9.已知函数 则( ) A.函数f(x)的最大值为2 B.函数f(x)的最小正周期为π C.函数f(x)的图象关于点 对称 D.将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，可得到g(x)=sin2x的图象 10. 如图, 正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2, E, F 分别是AD, DD₁的中点,点P是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为( ) A.存在点P, 使得FP//平面ABC₁D₁ B.异面直线BA₁与EF所成的角的大小为60° C.过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形 D.若D₁P∥平面A₁BC₁,则点 P的轨迹的长度为2 11.已知方程4x|x|-5y|y|=20所表示的曲线C即为函数f(x)的图象,则下列结论正确的是( ) A.函数f(x)在R上单调递增 B.函数f(x)的图象关于直线y=-x对称 C.函数 不存在零点 D.曲线C上第一象限内的点到直线 与 的距离之积为定值 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.若 是纯虚数，则m= . 13.设随机变量X服从正态分布N(10,σ²),P(X>17)=m,P(3≤X≤10)=n,则 的最小值为 . 14.已知函数 且 为奇函数，若关于x的方程f(x)+m=0在[0,π]上有四个不相等的实数解x₁,x₂,x₃,x₄,则 ___ 四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (13分)如图,已知△ABC中, 延长BC至点D,连接AD. (1)求AC的长; (2)若CD=3,求△ABD的面积. 16.(15分)如图所示，在直四棱柱 中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°, (1)若 求证: B₁D∥平面A₁C₁E; (2)若平面AB₁E与平面ABCD夹角的余弦值为, 求λ的值. 17.(15分)已知抛物线 )的焦点为F,点P(x₀,2)在C上,且|PF|=2. (1)求C的方程; (2)过F的直线与C交于A，B两点，若P在以AB为直径的圆上，求△ABP的面积. 18、(17分)某科技公司正在研发一款新型量子计算芯片，该芯片的制造与测试流程分为三个关键阶段：量子比特制备(第1阶段)、量子纠缠校准(第2阶段)和逻辑门操作验证(第3阶段)测试人员必须按顺序完成各阶段测试，且每个阶段的测试次数不限，只有当前阶段测试通过后才能进入下一阶段，一旦通过第3阶段测试，即视为芯片合格并结束整个测试流程。已知某工程师进行测试时，第1、2、3阶段单次测试通过的概率分别为 且每次测试相互独立.记事件 An(n≥3)为“该工程师第n次测试后芯片合格”. (1)求P(A3), P(A4); (2)记“第k(2≤k≤n-1)次测试后恰好通过量子纠缠校准测试”为事件Bk，记“第k+1至n-1次进行逻辑门操作验证测试没有通过且第n次通过”为事件 求P(Bk), P(),并求P(An)的表达式; (3)比较 与 的大小. 19. (17分)定义F(x)=. (1)证明: F(x)≥f(x)+1; (2)当f(x)= sinx时,判断函数g(x)=F(x)-x-1的零点个数,并说明理由; (3)当 时，求最大的整数m，使得存在 对任意 都有不等式F'(x)>m成立.(参考数据; e≈2.718, e²≈7.389) 学科网（北京）股份有限公司 $