精品解析：湖南省衡阳市衡阳县第二中学2026-2027学年高三上学期开学测试数学试卷

衡阳县第二中学2026-2027学年上学期开学测试卷 高三·数学 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 考试范围：高考全部内容 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数是偶函数，是奇函数，满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知双曲线的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 地砖是一种地面装饰材料，也叫地板砖，用黏土烧制而成，质坚、耐压耐磨、防潮.地砖品种非常多，图案也多种多样.如图是某公司大厅的地砖铺设方式，地砖有正方形与正三角形两种，且它们的边长都相同，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则下列结论中正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 的值域为 C. 点是图象的一个对称中心 D. 不等式的解集为 7. 直线分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆上,则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为坐标原点，过抛物线：的焦点作斜率为的直线交抛物线于，两点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知对任意角，均有公式.设△ABC的内角A，B，C满足.面积S满足.记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列式子一定成立的是( ) A. B. C. D. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点为线段上的一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积是 C. 的最小值为 D. 直线与平面夹角正弦值的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设为各项均为正数的等比数列的前项和，若，则__________. 13. 已知点O是坐标原点，点M是圆上的动点，当动点P在直线上运动时，的最小值为______. 14. 投篮测试规则如下：每人最多投三次，投中为止，且第次投中得分为分，若三次均未投中则得分为0分．假设甲同学投篮的命中率为，且甲同学参加投篮测试的投篮次数的均值为1.56，则甲同学投篮测试的得分的均值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，抛物线是抛物线内一点，过点作两条斜率存在且互相垂直的动直线，设与抛物线相交于点与抛物线相交于点，当恰好为线段的中点时: （1）求直线的斜率之和； （2）求的值. 16. 近年来，因使用手机过久、工作压力大等因素导致不少人出现了睡眠问题.某媒体为了了解出现睡眠问题者的年龄分布，调查了200名成年人的睡眠时间，得到如下列联表： 睡眠时间 年龄分布 90后 非90后 合计 前入睡 30 80 后入睡 合计 100 200 （1）完成列联表，并根据独立性检验，分析能否有的把握认为睡眠时间与年龄分布有关？ （2）随着出现睡眠问题人群的增加及社会对睡眠健康重视程度的加深，有助于提高睡眠质量的产品受到消费者的推崇，记2020~2024年的年份代码依次为1，2，3，4，5，下表为2020~2024年中国睡眠经济市场规模（单位：千亿元）的数据， 年份代码 1 2 3 4 5 市场规模 3.8 4.2 4.5 5.0 5.3 根据上表数据，求关于的线性回归方程． 参考公式：，其中． 线性回归方程，其中，. 参考数据：． 0.05 0.01 3.841 6.635 17. 已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列．数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若是的一个极值点，求的单调递增区间； （3）是否存在，使得在区间上的最大值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19. 如图1，在中，于点A，，四边形是平行四边形．将沿折起至的位置，如图2所示，连接，． （1）证明：； （2）设三棱锥的外接球球心为，证明：当时，； （3）若是的中点，连接，，记二面角为，二面角为，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳县第二中学2026-2027学年上学期开学测试卷 高三·数学 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 考试范围：高考全部内容 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的运算，化简为标准型，根据虚部的定义，可得答案. 【详解】，则该复数的虚部为. 故选：B. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过令进行分类讨论，求出集合B，再根据并集的含义即可求解. 【详解】因为，， 所以当时，；当时，； 所以，因此 故选：A 3. 已知函数是偶函数，是奇函数，满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇偶性求得函数，然后再代入计算函数值． 【详解】，则， 又函数是偶函数，是奇函数，则， 所以， ， 故选：B． 4. 已知双曲线的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据焦距求得c，再由焦点到渐近线的距离为求得b求解. 【详解】因为双曲线的焦距为， 所以，一条渐近线方程为 ，右焦点 ， 所以右焦点到渐近线的距离为 ， 则 ， 所以双曲线的离心率为 ， 故选：A 5. 地砖是一种地面装饰材料，也叫地板砖，用黏土烧制而成，质坚、耐压耐磨、防潮.地砖品种非常多，图案也多种多样.如图是某公司大厅的地砖铺设方式，地砖有正方形与正三角形两种，且它们的边长都相同，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设，，结合向量的坐标运算求解即可. 【详解】如图，以AB的中点M为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系. 设，则，，，， 可得，，. 设， 则，解得， 所以，即. 6. 已知函数，则下列结论中正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 的值域为 C. 点是图象的一个对称中心 D. 不等式的解集为 【答案】D 【解析】 【分析】把函数用分段函数表示，再作出的图象，观察图象即可判断选项A，B，C，解不等式即可判断选项D而作答. 【详解】， 作出的图象，如图，观察图象， 对于A， 的最小正周期为，故A错误； 对于B，的值域为，B错误； 对于C，的图象没有对称中心，C错误； 对于D，不等式， 即时，得， 解得， 所以的解集为，故D正确. 故选：D. 7. 直线分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆上,则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于,当时,,当时,,所以,, 所以.圆的圆心为,半径, 圆心到直线的距离为, 即直线与圆相离,所以点P到直线的距离的最大值为, 点P到直线的距离的最小值为, 所以面积的最大值为,最小值为, 所以面积的取值范围是. 8. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造，比较a，c，构造，比较b，c即可. 【详解】设，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值0， 则即， 则，即， 设，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最大值0， 则，即， 则，即， 所以. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为坐标原点，过抛物线：的焦点作斜率为的直线交抛物线于，两点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据焦点坐标求得抛物线方程，然后联立直线和抛物线方程求得点A和B坐标，利用焦半径公式求得弦长判断B，利用面积分割法求面积判断C，利用两点式斜率和正切函数的单调性判断A，利用数量积判断夹角范围判断D. 【详解】由题意，则抛物线：，准线方程为， 则直线的方程为， 设，联立方程组得，解得，， 所以点，点，所以， ，故选项BC正确； 又，所以， 故，故A错误； 因为， 所以， 所以为钝角，故D错误. 故选：BC. 10. 已知对任意角，均有公式.设△ABC的内角A，B，C满足.面积S满足.记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列式子一定成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】结合已知对进行变形化简即可得的值，从而判断A；根据正弦定理和三角形面积，借助于△ABC外接圆半径R可求的范围，从而判断B；根据的值，结合△ABC外接圆半径R即可求abc的范围，从而判断C；利用三角形两边之和大于第三边可得，从而判断D﹒ 【详解】∵△ABC的内角A、B、C满足， ∴，即， ∴， 由题可知，， ∴， ∴ ∴， ∴有，故A错误； 设△ABC的外接圆半径为R， 由正弦定理可知，， ∴， ∴，∴，故B错误； ，故C正确； ，故D正确． 故选：CD． 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点为线段上的一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积是 C. 的最小值为 D. 直线与平面夹角正弦值的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，以为原点建系，设，利用坐标计算；对B，由求解；对C，展开使其与在同一平面，根据两点之间直线最短计算；对D，得出平面的一个法向量为，计算的最大值． 【详解】以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设，，则， 则，故，故A正确； 因平面，则平面的一个法向量为， 则， 当时，有最小值，有最大值， 故直线与平面夹角正弦值的最大值为，故D正确； 因平面平面，平面，则平面， 所以，故B错误； 因平面，则展开使其与在同一平面，如图， 则的最小值为， 因为边长为等边三角形，是腰长为的等腰三角形， 则为的中点，则，故C正确. 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设为各项均为正数的等比数列的前项和，若，则__________. 【答案】##1.5 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，由求得，利用等比数列前项和公式求. 【详解】设等比数列的公比为，由数列各项均为正数，有， 由，有， 则，解得， 为的前项和，，， 则. 13. 已知点O是坐标原点，点M是圆上的动点，当动点P在直线上运动时，的最小值为______. 【答案】12 【解析】 【分析】求点关于直线对称的点为，根据圆的性质结合图形分析求解即可. 【详解】如图， 设点关于直线对称的点为， 则，解得，即， 由得，其圆心为，半径， 则， 当且仅当P，M均在线段AC上时，取得最小值12. 14. 投篮测试规则如下：每人最多投三次，投中为止，且第次投中得分为分，若三次均未投中则得分为0分．假设甲同学投篮的命中率为，且甲同学参加投篮测试的投篮次数的均值为1.56，则甲同学投篮测试的得分的均值为_____． 【答案】2.376 【解析】 【分析】通过甲同学参加投篮测试的投篮次数均值求出进球概率，进而求出得分概率从而求出甲同学投篮测试的得分的均值. 【详解】设甲同学参加投篮测试的投篮次数为， 则，， 于是 ． 另一方面，设甲同学投篮测试的得分为， 则， 可得． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，抛物线是抛物线内一点，过点作两条斜率存在且互相垂直的动直线，设与抛物线相交于点与抛物线相交于点，当恰好为线段的中点时: （1）求直线的斜率之和； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设直线，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，可得的值，从而得解； （2）利用弦长公式进行求解. 【小问1详解】 设直线，，， 联立，得， 所以，解得， 所以直线的斜率，直线的斜率， 所以直线的斜率之和． 【小问2详解】 由（1）可得， 设直线，，， 联立，得， 所以，， 可得， 故． 16. 近年来，因使用手机过久、工作压力大等因素导致不少人出现了睡眠问题.某媒体为了了解出现睡眠问题者的年龄分布，调查了200名成年人的睡眠时间，得到如下列联表： 睡眠时间 年龄分布 90后 非90后 合计 前入睡 30 80 后入睡 合计 100 200 （1）完成列联表，并根据独立性检验，分析能否有的把握认为睡眠时间与年龄分布有关？ （2）随着出现睡眠问题人群的增加及社会对睡眠健康重视程度的加深，有助于提高睡眠质量的产品受到消费者的推崇，记2020~2024年的年份代码依次为1，2，3，4，5，下表为2020~2024年中国睡眠经济市场规模（单位：千亿元）的数据， 年份代码 1 2 3 4 5 市场规模 3.8 4.2 4.5 5.0 5.3 根据上表数据，求关于的线性回归方程． 参考公式：，其中． 线性回归方程，其中，. 参考数据：． 0.05 0.01 3.841 6.635 【答案】（1） 睡眠时间 年龄分布 90后 非90后 合计 前入睡 30 50 80 后入睡 70 50 120 合计 100 100 200 有的把握认为睡眠时间与年龄分布有关 （2） 【解析】 【分析】（1）先补全列联表，再根据公式求出，进而通过独立性检验与临界值比较判断即可； （2）先根据表中数据求出，，，从而根据公式求出，进而即可得到线性回归方程． 【小问1详解】 完成列联表如下： 睡眠时间 年龄分布 90后 非90后 合计 前入睡 30 50 80 后入睡 70 50 120 合计 100 100 200 因为， 所以依据独立性检验，有的把握认为睡眠时间与年龄分布有关． 【小问2详解】 由的取值依次为，，，，，得，， 所以， 且 ，所以， 所以关于的线性回归方程为． 17. 已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列．数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合等差数列的求和公式和等比中项的定义，建立关于的方程，解方程求出，进而得出数列的通项公式； （2）由于，利用错位相减法，分别写出和的表达式，两式相减即可计算． 【小问1详解】 在等差数列中，公差， ，，， 因为，，成等比数列， 所以，即， 解得，所以． 【小问2详解】 因为，所以， 所以， ， 两式相减得 ， 所以． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若是的一个极值点，求的单调递增区间； （3）是否存在，使得在区间上的最大值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在； 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）由是的一个极值点，可得，求出的值，然后检验后由导数大于零可求出函数的增区间； （3）对函数求导后分和两种情况讨论导数的正负，求出函数的单调区间，从而可求出函数的最大值，然后使其最大值等于可求出的值. 【小问1详解】 当时，，所以． 因为，所以． 所以曲线在点处的切线方程为， 即． 【小问2详解】 函数的定义域为，则， 因为是的一个极值点，所以．解得． 所以，． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以当时，是的极大值点． 此时的单调递增区间为． 【小问3详解】 ①当时， 因为，， 所以在区间上单调递增． 此时． 若，则，不合题意． ②当，即时， 令，解得． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 此时． 若，则，符合题意． 综上，当时，在区间上的最大值为． 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的最值问题，第（3）问解题有关键是分和讨论导数的正负，求出函数的单调区间，进而可求出函数的最大值，考查计算能力，属于较难题. 19. 如图1，在中，于点A，，四边形是平行四边形．将沿折起至的位置，如图2所示，连接，． （1）证明：； （2）设三棱锥的外接球球心为，证明：当时，； （3）若是的中点，连接，，记二面角为，二面角为，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）由题意得题图1中，所以题图2中， 又，平面，，所以平面， 又平面，所以． （2）由（1）中得，，则当时，两两垂直， 则以为原点，的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 又，则，，， 易知的外接圆的圆心为的中点，而的外接圆的圆心为的中点， 分别过两个圆心作外接圆所在平面的垂线，则交点为， 根据已知条件，得点， 故，，则， 又四点不共线，所以． （3）是定值，该定值为 【解析】 【分析】（1）根据线线垂直的性质，线面垂直的判定和性质即可证明； （2）根据垂直关系先建立空间直角坐标系，再根据直角三角形外接圆的性质得到对应外接球球心的坐标，从而求出求出的坐标，进而即可证明； （3）根据垂直关系先建立空间直角坐标系，然后分别求出平面和平面的法向量和，从而求出，的表达式，进而即可判断是否为定值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，以为原点，的方向分别为轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 又，则，，，，其中， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，得，，即， 设平面的一个法向量为， 则， 令，得，，即， 易得平面和平面的一个法向量为， 故，则； ，则． 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $