精品解析：湖南省长沙市第一中学2026-2027学年高三上学期开学数学试题

高三数学一 时量：120分钟　满分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列各组向量中，可以作为平面内所有向量的一个基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知甲袋中有3个红球和2个白球，乙袋中有2个红球和3个白球.从甲袋中随机摸出一个球放入乙袋，再从乙袋中摸出一个球，则从乙袋中摸到红球的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点为矩形边的中点，以动直线为折痕将矩形在其下方的部分向上翻折，每次翻折后点都落在边上，记该落点为，过点作垂直交直线于点，则点的轨迹为（ ）的一部分. A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 7. 已知在中，内角，，的对边分别为，，，满足，且，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为π B. 的图象关于直线对称 C. 的一个零点为 D. 的值域为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 两点分布中，时，方差最大 B. 设10件产品中有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品的均值为0.6 C. 用独立性检验推断两个分类变量之间的关联性，如果把列联表中所有的数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，结论不受任何影响（参考公式：） D. 随机变量满足，若，则 11. 关于二次曲线，下列说法正确的是（ ） A. 当时，的图象为一条直线 B. ，的图象为中心对称图形 C. 已知时，的图象为椭圆，则上一点到原点的最大距离为2 D. 已知时，的图象为双曲线，则其离心率 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的展开式中的常数项为_______________． 13. 函数与函数在公共点处切线相同，则_______． 14. 已知函数总存在，使得关于的方程有四个实数解，则实数的取值范围是_________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，已知四棱锥的底面是矩形，底面，，，是侧棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 16. 已知向量，，且，. （1）求的值； （2）在中，内角的对边分别为. 若，求的取值范围. 17. 已知数列的前n项和为，且，且. （1）证明数列是等差数列； （2）求数列的前n项和； （3）若，求正整数k的所有取值. 18. 在平面直角坐标系中，已知点在双曲线上，且的离心率为． （1）求的方程； （2）若直线与交于，两点，设关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，记直线为． （ⅰ）若的斜率为，的面积为，求的方程； （ⅱ）若经过点，试判断与单位圆的位置关系，并说明理由． 19. 已知函数，． （1）当时，求的最值； （2）当时，证明：有唯一极值点； （3）讨论的零点个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学一 时量：120分钟　满分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出集合，利用补集的定义可得集合. 【详解】因为全集，，故. 2. 设，则“且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，结合充分条件、必要条件的概念即可求解. 【详解】由且可得； 若，可取，则且不成立. 所以且是的充分不必要条件. 故选：A 3. 下列各组向量中，可以作为平面内所有向量的一个基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以共线，故A不符合题意； 因为，所以不共线，故B符合题意； 因为，所以共线，故C不符合题意； 因为，所以共线，故D不符合题意； 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先应用两角和正弦公式得出，再结合同角三角函数关系及二倍角正弦公式求解. 【详解】由，得，则， 所以，即得， 由，得． 5. 已知甲袋中有3个红球和2个白球，乙袋中有2个红球和3个白球.从甲袋中随机摸出一个球放入乙袋，再从乙袋中摸出一个球，则从乙袋中摸到红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】考虑从甲袋中取出的球是白球还是红球，根据全概率公式，即可求得答案. 【详解】设事件表示“从甲袋取出又放入乙袋中的球是红球”，则事件表示“从甲袋中取出又放入乙袋中的球是白球”， 事件表示“最后从乙袋中取出的球是红球”， 所以，故，， 故，故A正确. 6. 如图，点为矩形边的中点，以动直线为折痕将矩形在其下方的部分向上翻折，每次翻折后点都落在边上，记该落点为，过点作垂直交直线于点，则点的轨迹为（ ）的一部分. A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】D 【解析】 【详解】由题意知翻折后点E与落点F重合，因此折痕l是线段的垂直平分线， 点P在l上，根据垂直平分线性质可得， 结合抛物线定义判断：已知，因此PF就是点P到定直线CD的距离， 即点P满足：到定点E的距离等于到定直线CD的距离，符合抛物线的定义， 因此点P的轨迹是抛物线的一部分. 另解： 如下图所示，以为原点，方向为轴，方向为轴，建立平面直角坐标系， 设，，则，，，， 因为是的中点，所以， 因为翻折后落在上，落点为，所以设的坐标为， 折痕是和连线的垂直平分线，的中点坐标为， 的斜率为，因此的斜率为， 所以的点斜式方程为， 在上，且，设P的坐标为， 代入可得，化简可得， 因为点的坐标为，把替换成可得点的轨迹方程为， 是一个二次函数，所以点的轨迹为抛物线的一部分. 7. 已知在中，内角，，的对边分别为，，，满足，且，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于条件，借助正弦定理、余弦定理进行边角互化得到为定值，结合三角形面积公式以及同角三角函数关系，将面积表示为，再利用基本不等式以及求得的的定值，求出最大值，即可求出面积最大值． 【详解】由正弦定理，可得． 又由余弦定理，可得， 整理可得． 因为，所以，． 因为在中，，所以． 根据的面积公式，可得． 已知，根据基本不等式，可得，即， 当且仅当时等号成立． 因此，当且仅当时等号成立，此时． 故的面积最大值为． 8. 已知，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求函数定义域，再分析函数在各定义域区间的单调性，分情况讨论解不等式. 【详解】依题意，得或，所以的定义域是， 当， 单调递减，则单调递减， 单调递减，则单调递减，所以在上单调递减； 当， 单调递增，则单调递增， 单调递增，则单调递增，所以在上单调递增； 当，，结合的定义域，则或，即或， 当，在上单调递减，，则，不符合要求；当，，不符合要求， 当，，在上单调递增，，则，符合要求，所以. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为π B. 的图象关于直线对称 C. 的一个零点为 D. 的值域为 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A：函数，根据周期公式可得，故A正确； 对于B：令，解得， 当时，，当时，，所以直线不是函数的对称轴，故B错误； 对于C：令，解得， 当时，，所以是的一个零点，故C正确； 对于D：对于函数，因为的值域为， 所以的值域为，故D错误. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 两点分布中，时，方差最大 B. 设10件产品中有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品的均值为0.6 C. 用独立性检验推断两个分类变量之间的关联性，如果把列联表中所有的数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，结论不受任何影响（参考公式：） D. 随机变量满足，若，则 【答案】ABD 【解析】 【详解】对A，设服从两点分布，则，当且仅当时取“”.故A正确； 对B，设表示查得次品的件数，则服从超几何分布， 且，，， 所以.故B正确； 对C，把列联表中所有的数据都扩大为原来的10倍，计算出是原来的10倍，在相同的检验标准下，结论会受到影响.故C错误； 对D，由.故D正确. 11. 关于二次曲线，下列说法正确的是（ ） A. 当时，的图象为一条直线 B. ，的图象为中心对称图形 C. 已知时，的图象为椭圆，则上一点到原点的最大距离为2 D. 已知时，的图象为双曲线，则其离心率 【答案】BCD 【解析】 【详解】对选项A，当时，方程为， 即，得，图象为两条平行直线，故A错误. 对选项B，替换为，代入方程左边得， 与原方程一致，故曲线关于原点中心对称， 即对任意，的图象为中心对称图形，B正确. 对选项C，当时，方程为. 设曲线上任一点到原点的距离为，则，方程化为，即. 由基本不等式，得，解得，即， 当且仅当时取等号，故上一点到原点的最大距离为，C正确. 对选项D，当时，方程为. 旋转坐标系消去项，取旋转角，令，，代入化简得，为焦点在轴上的双曲线， 其中，，则， 离心率，故D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的展开式中的常数项为_______________． 【答案】24 【解析】 【分析】求出二项式展开式的通项公式，再求出展开式的常数项作答. 【详解】二项式展开式的通项公式为， 由，得，， 所以所求常数项为24. 故答案为：24 13. 函数与函数在公共点处切线相同，则_______． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得， 设与的公共点为，，， 根据两条直线斜率相等可得，解得 则在公共点处切线方程为， ． 14. 已知函数总存在，使得关于的方程有四个实数解，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】换元分层，先看外层方程得到两个中间变量，再要求每个中间变量代入内层都能产生两个x解，转化为存在参数满足不等式，求出a的范围. 【详解】令 ，原方程化为 ,要使原方程有 4 个实数解，需同时满足： 方程 有2 个不同实根 ； 每个根 对应的方程 都有2 个不同实根,总解数为 . 时， 单调递增，值域 ； 时， 单调递减，值域 . 因此方程 的解的个数：，2 个解（两段各 1 个）；，1 个解（仅 段）；，无解. 同理， 有 2 个不同实根，当且仅当 ,此时两个根为：（）；（）, 要使每个根 对应的方程 都有2 个不同实根，需要满足(), 即，所以，则， 因为，，，所以， 所以，因为，的值域为， 所以，所以实数的取值范围是. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，已知四棱锥的底面是矩形，底面，，，是侧棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）以A为原点，以所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系， 已知，，是侧棱的中点，则： ， 故； ，故； ，故； 又，平面， 由线面垂直判定定理可得，平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知四棱锥的性质，建立空间直角坐标系，求出相关点和向量坐标，利用向量数量积计算得出线线垂直关系，进而利用线面垂直判定定理得出结论； （2）求出平面相关向量及平面法向量，进而利用线面角公式计算求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，设平面的法向量为， 则，令，则，故， 设直线与平面所成角为， 由线面角公式得：． 16. 已知向量，，且，. （1）求的值； （2）在中，内角的对边分别为. 若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量点积公式列方程，用辅助角公式化简为单一三角函数，结合的取值范围求解； （2）结合三角形内角和，用正弦定理将边的比转化为角的正弦比，再用三角恒等变换化简，最后求三角函数值域. 【小问1详解】 根据向量点积公式：， 用辅助角公式化简：，即. 已知，故，则， 解得. 【小问2详解】 已知，故，即 ，. 根据正弦定理，得， 代入，化简得 ， 因此：. 由得，故，代入得. 17. 已知数列的前n项和为，且，且. （1）证明数列是等差数列； （2）求数列的前n项和； （3）若，求正整数k的所有取值. 【答案】（1） 因为，两边同时除以得，， 化简得，所以， 又，所以数列为以为首项，为公差的等差数列， 所以，. （2） （3），， 【解析】 【分析】（1）本小问主要考查利用等差数列的定义来证明等差数列，两边同时除以，转化为所要求解数列的形式，通过定义判断即可； （2）由（1）可知的通项公式为等差乘等比数列的形式，利用乘公比错位相减即可求出前项和； （3）根据条件列出不等式，然后转化为函数，利用函数的单调性进行判断，从而求出正整数的所有可能的取值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，，所以， 则①， 又②， ①②得， 所以. 【小问3详解】 解：由（1）（2）可知，，. 所以，. 由可得，，整理可得. 令，易知在上单调递增， 在上单调递增，所以，在上单调递增. 又，， ，， 所以，当时，有，即，在，时不成立. 所以k可取，，. 18. 在平面直角坐标系中，已知点在双曲线上，且的离心率为． （1）求的方程； （2）若直线与交于，两点，设关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，记直线为． （ⅰ）若的斜率为，的面积为，求的方程； （ⅱ）若经过点，试判断与单位圆的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）（ⅰ）； （ⅱ）直线与圆相切，理由如下： 设直线：，代入，整理得. 则，. 所以. 所以直线的斜率. 直线方程为：， 整理得：. 所以原点到直线的距离：. 因为， . 所以. 故直线与圆相切. 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的离心率，双曲线上的点，结合双曲线中，，的关系列式，可求，，的值，得到双曲线的方程. （2）（ⅰ）设直线的方程为，与双曲线方程联立，结合韦达定理，得到，，结合的斜率为，可求的值，再利用的面积，可求的值. （ⅱ）直线：，与双曲线方程联立，结合韦达定理，得到，，利用两点式写出直线的方程，利用点到直线距离公式，求原点到直线的距离，即可得到结论. 【小问1详解】 由题意，. 所以双曲线的方程为：，即. 【小问2详解】 （ⅰ）如图， 设直线方程为，代入， 得，整理得：. 由，整理得：. 设，， 则，. 所以. 又，，由直线的斜率为， 所以或. 因为，所以不合题意，舍去.故. 此时，， 所以. 由点到直线的距离为， 由. 所以直线的方程为. （ⅱ）略 19. 已知函数，． （1）当时，求的最值； （2）当时，证明：有唯一极值点； （3）讨论的零点个数． 【答案】（1）最大值为 ，最小值为 ； （2），设， 则，因为 ，所以 ，， ①当，，则 因为 ，故 ，，又、，因此， 即 在 上单调递增， 因为，，根据零点存在定理，在 内有唯一零点； ②当，，结合 ，得 ； 又 ，，得 ，且与不能同时取为0， 因此 恒成立，无零点， 所以在 内有唯一零点，记该零点为， 则，，单调递减，，，单调递增， 所以是唯一的极值点，故有唯一极值点. （3）当，的零点个数为1；当，的零点个数为2. 【解析】 【分析】（1）利用导数判断的单调性，计算出的端点值和极值，比较可得最值； （2）设，证明在内存在唯一零点，且是变号零点，则有唯一极值点；（3）分和对进行讨论零点个数. 【小问1详解】 当 时，，，， 令，得 或 ， 当 时，，故， 单调递增； 当 时，，故， 单调递减， ，， ， 所以的最大值为 ，最小值为 . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 , ,， 即 恒为一个零点，只需讨论 内是否存在其他零点， ①当， ，则，， 因此 ，等号仅在 时成立， 故 时， 仅有 1 个零点； ②当，由第 (2) 问知的单调性：在 单调递减，在 单调递增（ 是 的极小值点）， ，， 因此存在唯一 ，使得， 即 时，， 单调递减； 时，， 单调递增， 在 处取得最小值 ，因 在 递增，故 ； 又 ，根据零点存在定理， 在 内存在一个零点， 加上恒成立的零点 ，此时 共有 2 个零点， 综上所述，当 时， 有 1 个零点；当 时， 有 2 个零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $