5.3 二元一次方程组的应用 新课预习2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 初中数学北师大版八年级上册5.3二元一次方程组的应用同步练，新授课使用，以基础巩固为核心，分层设计梯度清晰，覆盖多元应用场景，培养模型意识与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一问题建模（方案、行程、工程问题）|单选1-5、填空11-13，直接应用方程组概念，强化抽象能力| |提升层|综合情境应用（几何、坐标、销售问题）|单选6-10、填空14-15，结合图形与实际数据，发展几何直观| |综合层|跨知识点整合（新定义、动态问题）|解答16-20，如“美好数”探究、工程接力问题，提升推理能力与创新意识|

5.3 二元一次方程组的应用 新课预习2026-2027学年 北师大版八年级数学上册 一、单选题 1．五四青年节某校举办歌咏比赛，为鼓励本班同学们积极参加，刘老师花了48元钱买了甲、乙两种（两种都买）碳素笔作为奖品．已知甲种碳素笔每支6元，乙种碳素笔每支4元，则老师购买碳素笔的方案共有（    ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 2．A地至B地的航线长，一架飞机从A地顺风飞往B地需，设飞机无风时的平均速度为，风速为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 3．现有一段长为5000米的马路需要整修，由甲、乙两个工程小组先后接力完成，甲工程小组每天整修200米，乙工程小组每天整修250米，共用时22天．设甲工程小组整修马路米，乙工程小组整修马路米，依题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 4．如图，的网格内填了一些数与式．为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等，则的值是（   ） 3 2 A． B．0 C．1 D．2 5．甲是乙现在的年龄时，乙8岁；乙是甲现在年龄时，甲20岁，则（    ） A．甲比乙大6岁 B．乙比甲大6岁 C．甲比乙大4岁 D．乙比甲大4岁 6．某工厂有名工人，每个工人每天能加工6个型零件或者3个型零件，其中某产品每套由4个型零件和3个型零件配套组成，现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套，现50天恰好完成1200套产品的生产任务，则的值为（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 7．根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨，乙地降价元．已知销售单价调整前甲地比乙地少元，调整后甲地比乙地少元，则调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为（   ） A．元、元 B．元、元 C．元、元 D．元、元 8．科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用，已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，两片银杏树叶与三片国槐树叶一年的平均滞尘总量为146毫克．设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为毫克，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为毫克．依据题意，可列方程组（   ） A． B． C． D． 9．如图，在长方形中，放入6个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示．则阴影部分的面积是（   ） A．60 B．64 C．67 D．180 10．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有这样一题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价格是多少？设共有x个人，该物品价格是y元，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图的方格内填入了一些表示数的代数式，若图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则_____． -2 6 0 12．用如图①中的长方形和正方形纸板分别作为侧面和底面，制作如图②的竖式和横式两种无盖纸盒．现有a 张长方形纸板和b张正方形纸板，若做出竖式纸盒x个，横式纸盒y个，恰好将纸板用完，则两种纸盒的总个数为______.（用含a，b的式子表示） 13．从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路，如果上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需要36分钟，从乙地到甲地需要24分钟，甲地到乙地全程是多少？根据题意，老师给出的方程组为，则方程组中x表示______． 14．用5张大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点B的坐标为，则点A的坐标为______． 15．如图1，有甲乙两个圆柱形水槽，其中乙水槽内装有一定量的水，甲水槽内没有装水，且甲水槽中放有两个完全相同且底面为正方形的长方体铁块．现将乙水槽内的水匀速注入甲水槽中，两个水槽内的水深y（）与注水时间x（）的函数关系如图2所示，根据图象解答下列问题： （1）由点A、B坐标可知一个长方体铁块的体积为___； （2）若设注水速度为，甲水槽的底面积为S，则注水前乙水槽内装有水______． 三、解答题 16．如图，在长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图） (1)求图中9个形状、大小都相同的小长方形的长与宽； (2)求图中阴影部分的面积． 17．某中学组织师生共人去参观博物院．阅读下列对话： 李老师：“客运公司有座和座两种型号的客车可供租用，且租用辆座客车和辆座客车到河南省博物院，一天的租金共计元．” 小明说：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了辆座和辆座的客车到河南省博物院，一天的租金共计元．” (1)客运公司座和座的客车每辆每天的租金分别是多少元？（利用二元一次方程组求解） (2)若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位；且每辆客车恰好坐满，若使用最省钱的租车方式，则租车费用为 元． 18．如图，某纺织厂从原料产地A地购进一批优质长绒棉运回工厂，加工制成高档纺织面料后运往B地销售，该纺织厂所在地与A、B两地分别通过公路、铁路相连，已知公路运费为0.5元/（吨），铁路运费为0.2元/（吨），从A地运输这批优质长绒棉到纺织厂，以及从纺织厂运输面料到B地，总共支出公路运费5200元，铁路运费16640元，求这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉和运往B地的纺织面料分别是多少吨？ 19．如果一个自然数N的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A的十位数字比B的十位数字大2，A、B的个位数字之和为10，则称数N为“美好数”，并把数N分解成的过程，称为“美好分解”．例如：∵，61的十位数字比49的十位数字大2，且61、49的个位数字之和为10，∴2989是“美好数”；又如：∵，35的十位数字比19的十位数字大2，但个位数字之和不等于10，∴605不是“美好数”． (1)判断525，1148是否是“美好数”？并说明理由； (2)把一个大于4000的四位“美好数”N进行“美好分解”，即分解成，A的各个数位数字之和的2倍与B的各个数位数字之和的和能被7整除，求出所有满足条件的N． 20．黄河是我国的母亲河，为打造黄河风光带，现有一段长为的河道整治任务由，两个工程队先后接力完成．工程队每天整治，工程队每天整治，共用时天． (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出的方程组如下： 甲： 乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数表示的意义． 甲：表示___________，表示___________； 乙：表示___________，表示___________； (2)从甲、乙两名同学所列的方程组中选择一种，求，两个工程队分别整治河道多少米． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C B C B C B C C 1．【答案】B 【知识点】二元一次方程的解、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设刘老师购买x本甲种碳素笔，本乙种碳素笔，利用总价单价数量，可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出张老师购买碳素笔的方案共有3种． 【详解】解：设刘老师购买本甲种碳素笔，本乙种碳素笔， 根据题意得：， 是正整数， ∴或或 ∴刘老师购买碳素笔的方案共有3种． 故选：B． 2．【答案】A 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．根据速度时间路程，可以列出相应的方程． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：A． 3．【答案】C 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组、工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． 根据题意，找到两个等量关系：甲工程小组整修马路的长度乙工程小组整修马路的长度米，甲工程小组整修马路的天数乙工程小组整修马路的天数天，由此列出方程组，得到答案． 【详解】解：根据题意， 设甲工程小组整修马路米，乙工程小组整修马路米， 依题意可列方程组： ， 故选：． 4．【答案】B 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组应用，根据题意，列出方程组，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； ∴， 故选：B． 5．【答案】C 【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用) 【分析】根据题中已知量和未知量之间的等量关系，设未知数，列二元一次方程组即可解决． 【详解】解：设甲现在x岁，乙现在y岁． 根据题意，得， 解得， ∴ 故选：C 【点睛】本题考查了列方程组解应用题的知识点，找出题中已知量和未知之间的等量关系是解题的关键． 6．【答案】B 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．设安排x名工人加工型零件，则安排名工人加工B型零件，根据每天加工的零件正好配套，50天恰好完成1200套，列出出关于二元一次方程组，解之可得出m的值即可求出结论． 【详解】解：设安排x名工人加工A型零件，则安排名工人加工B型零件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 则工厂有40名工人， 故选：B． 7．【答案】C 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意，正确列出方程组是解题的关键. 设调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为元、元，根据题意列方程组，解方程组即可得到答案. 【详解】解：设调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为元、元， 根据题意列方程组得：， 解得：， 调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为元、元， 故选：C. 8．【答案】B 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组、和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用， 根据一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国愧树叶一年的平均滞尘量得2倍少4毫克，可得，两片银杏树叶与三片国愧树叶一年的平均滞尘量为146，可得可得方程组． 【详解】解：根据题意，得． 故选：B． 9．【答案】C 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，求出小长方形的边长是解题的关键．设小长方形的长为，宽为，根据图形可得，解出的值，再利用阴影部分的面积大长方形的面积减去6个小长方形的面积即可得出答案． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由图可得，， 解得：， ， 阴影部分的面积． 故选C． 10．【答案】C 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】根据“人数物品价值、物品价值人数”可得方程组． 【详解】解：设共有个人，该物品价格是元，根据题意得： ． 11．【答案】6 【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】根据图中各行、各列上的三个数之和都相等，即可得出关于x，y的二元一次方程组，求解后即可得出（x－y）的值． 【详解】解：依题意得： ， 解得， ∴． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 12．【答案】 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据盒子的结构确定等量关系是解题的关键；由题意列出方程组可求解． 【详解】解：根据题意得：， ①+②得：， ∴． 故答案为：． 13．【答案】从甲地到乙地的上坡路程 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设从甲地到乙地的上坡路为，平路为，根据保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地用36分钟，从乙地到甲地用24分钟即可列出方程组，据此解答即可． 【详解】 解：设从甲地到乙地的上坡路为，平路为， 依题意得， 方程组中x表示从甲地到乙地的上坡路程， 故答案为：从甲地到乙地的上坡路程． 【点睛】根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组． 14．【答案】 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了坐标与图形，二元一次方程组的应用，设长方形纸片的长为，宽为，根据题意列出二元一次方程组，求出，从而可得，结合点的位置即可得出坐标． 【详解】解：设长方形纸片的长为，宽为， ∵点B的坐标为， 则， 解得：， ∴， ∵点在第一象限， ∴点的坐标为， 故答案为：． 15．【答案】 225 3600 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了函数图象，二元一次方程组的应用． （1）根据函数图象可知长方体铁块的底面边长为，高为，根据长方体的体积公式计算即可； （2）根据函数图象可知，求出，根据乙水槽倒完水的时间为40秒即可求出乙水槽存水量． 【详解】解：（1）观察图1甲槽与图2两次转折点A、B，可知： 长方体铁块的底面边长为，高为， 体积为； （2）根据题意得：， 解得：． ∴注水速度为， ∵乙水槽倒完水的时间为40秒， ∴乙水槽存水量， 故注水前乙水槽内装有水． 16．【答案】(1)小长方形的长为10，宽为3 (2)82 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用； （1）设小长方形的长为，宽为，结合图形性质建立方程组解题即可； （2）利用割补法可得阴影部分的面积等于大的长方形面积减去9个形状、大小都相同的小长方形面积，进一步列式计算即可. 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意得，解得， 答：小长方形的长为10，宽为3. （2）解：． 17．【答案】(1)座客车每辆每天的租金为元，座客车每辆每天的租金为元 (2) 【知识点】二元一次方程的解、方案问题(二元一次方程组的应用)、其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】此题主要考查了二元一次方程（组）的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）设座客车每辆每天的租金为元，座客车每辆每天的租金为元，根据题意列出方程组即可求解； （2）设租辆座客车，辆座客车，则，根据，都是非负整数，即可得到租金的值，进相比较即可得出结论． 【详解】（1）解：设座客车每辆每天的租金为元，座客车每辆每天的租金为元， 根据题意得：， 解得：， 答：座客车每辆每天的租金为元，座客车每辆每天的租金为元； （2）解：设租辆座客车，辆座客车， 根据题意得：， ， ，都是非负整数， ，，， 租金为， 当时，（元； 当时，（元； 当时，（元； 有三种方案，其中座客车租8辆时最省钱，为元， 故答案为：． 18．【答案】这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨． 【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨，再结合图形信息列出方程组解题即可． 【详解】解：设这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨，则 ， 解得：， 答：这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨． 19．【答案】(1)525是“美好数”，1148不是“美好数”，理由见解析 (2)或5561或7081 【知识点】两个有理数的乘法运算、数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）根据新定义进行判断即可求解； （2）根据题意设，其中，x，y为整数，根据A的各个数位数字之和的2倍与B的各个数位数字之和的和能被7整除，得出或18，然后分类讨论列出二元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）∵．35的十位数字比15的十位数字大2．个位数学之和等于10 ∴525是“美好数”； ∵．41的十位数字比28的十位数字大2，但个位数字之和不等于10 ∴1148不是“美好数”． （2）∵N为大于4000的四位“美好数” ∴设． 其中，x，y为整数 由题意得被7整除 即为整数 ∴为整数 ∵ ∴ ∴或21 即或18． ①当时 ∵．且x，y为整数 ∴或 ∴或 ∴或556 ②当时 ∵，且x，y为整数 ∴ ∴ ∴ 综上所述：或5561或7081． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解新定义是解题的关键． 20．【答案】(1)A工程队用的时间，工程队用的时间；工程队整治河道的长度，工程队整治河道的长度 (2)A工程队整治河道工程队整治河道 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握工作时间、工作效率、工作总量的关系是解题的关键． （1）分析甲、乙方程组中未知数的意义，结合工作时间、工作效率、工作总量的关系判断． （2）选择甲的方程组，通过消元法求解． 【详解】（1）解：甲：表示工程队用的时间，表示工程队用的时间； 乙：表示工程队整治河道的长度，表示工程队整治河道的长度． （2）解：选甲同学所列方程组解得 所以． 答：工程队整治河道工程队整治河道． 选乙同学所列方程组 解得 答：工程队整治河道工程队整治河道． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $