16.3.2 《乘法公式2》课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦完全平方公式（2），核心内容为添括号法则及乘法公式综合应用。通过温故知新复习完全平方公式及变式，再由去括号法则逆向推导添括号法则，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以逆向思维推导添括号法则，结合整体思想将复杂多项式转化为公式结构，如例3把(a+b+c)²凑成[(a+b)+c]²。通过分层练习和方法小结，培养学生抽象能力、推理意识与应用意识，助力学生提升代数变形能力，也为教师提供清晰教学流程与分层资源。

第十六章 整式的乘法 16.3乘法公式 第3课时 完全平方公式（2） 学习目标： 1.理解添括号法则的推导过程，掌握添括号的符号变化规律，能熟练利用添括号法则对多项式进行变形，灵活结合平方差公式、完全平方公式进行复杂整式化简与计算。 2. 通过去括号法则逆向推导添括号法则，培养逆向思维与整体代换思想，学会将三项及以上整式凑成公式结构，提升公式灵活运用与代数变形能力。 3. 克服添括号符号易错、不会凑公式结构的难点，养成先观察结构、合理变形、规范运算的习惯，提升整式综合运算的严谨性与准确率。 教学重点：掌握添括号法则，能正确对多项式添括号变形，并熟练结合乘法公式进行计算。 教学难点：精准掌握添括号的符号变化，灵活运用整体思想变形式子，把复杂多项式转化为可套用乘法公式的结构，解决综合性整式运算题型。 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍. 完全平方公式： (a-b)2 = a2 -2ab + b2 首平方，尾平方，积的2倍加减在中央 温故知新 (a+b)2 = a2 +2ab + b2 完全平方公式的特点： 等号左边是两个数的和或差的平方 等号右边为二次三项式，其中两项为这两数的平方和，另一项是两数积的2倍，当a、b 同号时取“+”号，异号时取“-”号 公式中的字母 a、b 可以为数、单项式、多项式 例1 已知x–y＝6，xy＝–8. 求:(1) x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值. ＝36 –16＝20. 解：(1)∵x–y＝6，xy＝–8， (x–y)2＝x2＋y2–2xy， ∴x2＋y2＝(x–y)2＋2xy (2)∵x2＋y2＝20，xy＝–8， ∴(x+y)2＝x2＋y2＋2xy ＝20 –16＝4. 变式应用 方法小结：要熟练掌握完全平方公式的变式： x2＋y2＝(x–y)2＋2xy＝(x+y)2–2xy，(x–y)2＝(x+y)2–4xy. a+(b+c) = a+b+c; a– (b+c) = a – b – c. a + b + c = a + ( b + c) ; a – b – c = a – ( b + c ) . 去括号： 把上面两个等式的左右两边反过来，也就是添括号： 探究新知 添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号;如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号(简记为“负都变正不变”). 例2 填空： (1) −x2+2x−1=−( ). (2) a2+4b2−4b+1=a2+( ). (3) 2(a+b)2−a−b=2(a+b)2−( ). x2−2x+1 4b2−4b+1 a+b 例题分析 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号;如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号(简记为“负都变正不变”). 例3. 运用乘法公式计算: (1) (a+b+c)2. （2）（a-b+c)2； （3）（a+b-c)2 (4)(-a+b+c)2 (5) (a-b-c)2 解(1)原式= [(a+b)+c]2 = (a+b)2+2(a+b)c+c2 =a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2. 例题分析 解(2)原式= [(a-b)+c]2 = (a-b)2+2(a-b)c+c2 =a2-2ab+b2+2ac-2bc+c2. (a+b+c)2 =a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2. (a-b+c)2 (a+b-c)2 (-a+b+c)2 (a-b-c)2 =a2 - 2ab+b2+2ac+2bc+c2. =a2 + 2ab+b2+2ac-2bc+c2. = a2 - 2ab+b2-2ac+2bc+c2. 举一反三 = a2 - 2ab+b2-2ac+2bc+c2. ........ 你发现了什么规律了吗？ 这也是完全平方公式的一种变式应用！ 例4.计算:(1)(3a＋b–2)(3a–b＋2)；(2)(x–y–m＋n)(x–y＋m–n)． (2)原式＝[(x–y)–(m–n)][(x–y)＋(m–n)] 解：(1)原式＝[3a＋(b–2)][3a–(b–2)] ＝(3a)2–(b–2)2 ＝9a2–b2＋4b–4.　 ＝(x–y)2–(m–n)2 ＝x2–2xy＋y2–m2＋2mn–n2. 例题分析 方法小结： 两个项数相同的多项式相乘，这两个多项式内部既有完全相同的部分，同时又有互为相反的部分，就可以先添括号，再用平方差公式计算，结果 等于相同部分的平方减去相反部分的平方；然后用完全平方公式展开。 添括号法则 法则 添括号时，如果括号前面是 ，括到括号里的各项都 . ；如果括号前面是 ，括到括号里的各项都 . 运用乘法公式计算 (1)选用平方差公式进行计算时，需要将 看成一个整体， 看成一个整体. (2)选用完全平方公式进行计算时，需要将多项式分为 . 正号 不变 相反项 相同项 符号 负号 改变符号 两组 课堂小结 2.下列计算结果为2ab–a2–b2的是( ) A．(a–b)2 B．(–a–b)2 C．–(a＋b)2 D．–(a–b)2 1. 运用乘法公式计算(a–2)2的结果是(　　) A．a2–4a+4 B．a2–2a+4 C．a2–4 D．a2–4a–4 D 分层练习 3.已知x+y=10，xy=24，则x2+y2=_____. 52 4.如果x2+kx+81是运用完全平方式得到的结果，则k=________ . 18或–18 5.已知ab=2，(a+b)2=9，则(a–b)2的值为______. 1 A 6.运用完全平方公式计算: (1) (6a+5b)2=______________；(2)(4x–3y)2=_____________； (3) (2m–1)2 =______________；(4)(–2m–1)2 =____________. 36a2+60ab+25b2 16x2–24xy+9y2 4m2+4m+1 4m2–4m+1 7.由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2＝64，运用这一方法计算：4.3212＋8.642×0.679＋0.6792=________． 25 分层练习 8.计算：(1)(a–b＋c)2； (2)(1–2x＋y)(1＋2x–y)． ＝1–4x2＋4xy–y2. 解：(1)原式＝[(a–b)＋c]2 ＝(a–b)2＋c2＋2(a–b)c ＝a2–2ab＋b2＋c2＋2ac–2bc. (2)原式＝[1– (2x–y)][1＋(2x–y)] ＝12–(2x–y)2 还有其他的添括号方法吗？ 分层练习 8.若a+b=5，ab= –6， 求a2+b2，a2–ab+b2. 解：a2+b2=(a+b)2–2ab=52–2×(–6)=37； a2–ab+b2=a2+b2–ab=37–(–6)=43. 解：∵x+y=8， ∴(x+y)2=64，即x2+y2+2xy=64①; ∵x–y=4， ∴(x–y)2=16，即x2+y2–2xy=16②; 由①–②得 4xy=48， ∴xy=12. 分层练习 9.已知x+y=8，x–y=4，求xy. 多项式×多项式 (a+b+c)(a−b−c) (a+b+c)2 添括号 整体思想 乘法公式 (a+b)(a−b)=a2−b2 (a±b)2=a2±2ab+b2 多项式×多项式 [a+(b+c)][a−(b+c)] [a+(b+c)]2 知识梳理 杨辉三角 拓展视野 利用杨辉三角形，写出 (a + b)7 的展开式. (a+b)7 = a7 + 7a6b + 21a5b2 + 35a4b3 + 35a3b4 + 21a2b5 +7ab6+b7 拓展视野 $