第十八章 分式【章末复习】-课件-2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件系统梳理了分式的概念、性质、运算及分式方程等核心知识，通过分模块整合分式定义、基本性质、乘除加减乘方运算法则、科学记数法及方程解法，构建完整知识网络，凸显各知识点间的逻辑关联。 其亮点在于采用分层练习设计，基础题巩固分式有意义条件等概念，能力题提升混合运算与化简求值能力，压轴题结合工程问题强化应用，搭配高频易错汇总培养运算能力与推理意识。既助力学生夯实基础，又方便教师实施分层教学，提升复习效率。

人教版（新教材）数学八年级上册 第十八章 分式 章末复习 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/2 人教版八年级上册第十八章 分式 章末专项复习 一、全章核心知识体系梳理 1. 分式基础概念：形如$$\frac{A}{B}$$（A、B为整式，且B中含未知数，$$B eq0$$）的式子叫做分式。分式有意义的条件是分母不为0，分式值为0的条件是分子为0且分母不为0。分式的基本性质：分子分母同乘（或除以）同一个不为0的整式，分式值不变，是约分、通分的核心依据。 2. 分式乘除与乘方：乘法法则$$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$$，除法法则$$\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{ad}{bc}$$；分式乘方$$\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$$。混合运算遵循“先乘方、再乘除”，多项式优先因式分解，分步约分简化运算。 3. 分式加减运算：同分母分式加减，分母不变、分子相加减；异分母分式加减，先通分找最简公分母，化为同分母后再运算。分式混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内，最终结果必须化为最简分式或整式。 4. 科学记数法：绝对值小于1的小数可表示为$$a\times10^{-n}$$（$$1\leqslant a<10$$，n为正整数），n为第一个非零数字前所有0的个数，可实现小数与科学记数法的双向转化。 5. 分式方程及应用：分母含未知数的方程为分式方程，解法核心是去分母化为整式方程，必须检验根的有效性，使分母为0的根为增根，含增根则方程无解。实际应用涵盖工程、行程、销售等题型，需双重检验方程根与实际意义。 二、基础巩固练习（每题6分，共30分） 1. 判断分式有意义的条件：求分式$$\frac{x-2}{x+3}$$有意义时x的取值范围。 2. 分式化简计算：$$\frac{x^2-1}{x}\cdot\frac{2x}{x-1}$$ 3. 分式加减计算：$$\frac{3}{a-1}-\frac{2}{a+1}$$ 4. 科学记数法：用科学记数法表示0.0000306。 5. 解分式方程：$$\frac{1}{x-1}=\frac{2}{x}$$ 三、能力提升练习（每题10分，共40分） 6. 分式混合运算：$$\left(\frac{x^2+4}{x}-4\right)\div\frac{x^2-4}{2x}$$ 7. 乘方混合运算：$$\left(-\frac{2a}{b^2}\right)^2\cdot\frac{b^2}{4a}\div\frac{a}{b}$$ 8. 先化简再求值：$$\frac{x^2-6x+9}{x^2-9}\div\left(1-\frac{3}{x+3}\right)$$，其中$$x=4$$。 9. 分式方程进阶：解方程$$\frac{x}{x-2}-1=\frac{8}{x^2-4}$$ 四、综合压轴应用（15分） 10. 工程综合应用题：甲乙两队合作完成一项工程，甲单独完成所需天数是乙的1.5倍，两队合作12天可完成全部工程。求甲乙两队单独完成这项工程各需要多少天？ 五、参考答案与详细解析 1. 解析：分式有意义需分母不为0，即$$x+3 eq0$$，解得$$x eq-3$$。 2. 解析：因式分解$$x^2-1=(x+1)(x-1)$$，原式$$=\frac{(x+1)(x-1)}{x}\cdot\frac{2x}{x-1}=2(x+1)=2x+2$$。 3. 解析：最简公分母$$(a-1)(a+1)$$，原式$$=\frac{3(a+1)-2(a-1)}{(a-1)(a+1)}=\frac{3a+3-2a+2}{a^2-1}=\frac{a+5}{a^2-1}$$。 4. 解析：第一个非零数字前有5个0，结果为$$3.06\times10^{-5}$$。 5. 解析：去分母得$$x=2(x-1)$$，解得$$x=2$$，检验分母不为0，方程解为$$x=2$$。 6. 解析：先化简括号内式子，原式$$=\frac{x^2-4x+4}{x}\cdot\frac{2x}{(x+2)(x-2)}=\frac{(x-2)^2}{x}\cdot\frac{2x}{(x+2)(x-2)}=\frac{2(x-2)}{x+2}=\frac{2x-4}{x+2}$$。 7. 解析：先算乘方再算乘除，原式$$=\frac{4a^2}{b^4}\cdot\frac{b^2}{4a}\cdot\frac{b}{a}=\frac{b}{b^2}=\frac{1}{b}$$。 8. 解析：原式$$=\frac{(x-3)^2}{(x+3)(x-3)}\div\frac{x}{x+3}=\frac{x-3}{x+3}\cdot\frac{x+3}{x}=\frac{x-3}{x}$$，代入$$x=4$$，得$$\frac{1}{4}$$。 9. 解析：最简公分母$$(x+2)(x-2)$$，去分母得$$x(x+2)-(x^2-4)=8$$，化简得$$2x+4=8$$，解得$$x=2$$。检验：$$x=2$$使分母为0，是增根，方程无解。 10. 解析：设乙单独完成需$$x$$天，甲需$$1.5x$$天。列方程：$$12(\frac{1}{x}+\frac{1}{1.5x})=1$$，去分母化简得$$18+12=1.5x$$，解得$$x=20$$。甲：$$1.5\times20=30$$天。检验符合题意。答：甲单独完成需30天，乙单独完成需20天。 六、全章高频易错汇总 1. 概念误区：混淆分式有意义、值为0的条件，忽略分母恒不为0的核心要求；2. 运算误区：分式混合运算顺序混乱，乘方、乘除、加减层级错乱，多项式未因式分解直接计算；3. 化简误区：通分、约分不彻底，最终结果未化为最简分式，符号转换出错；4. 方程误区：解分式方程省略检验步骤，无法识别增根，混淆无解与有增根的概念；5. 应用误区：实际问题只检验方程根，忽略实际意义，出现负数、小数等不合理解，答题步骤不规范。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 知识结构 含有字母 不等于0 不等于 公因式 不等于0的整式 分子与分母 公因式 2 分母中含未知数的方程 最简公分母 整式方程 检验 3 一、分式 1. 分式的概念： 2. 分式有意义的条件： 对于分式 ： 当_______时分式有意义； 当_______时分式无意义. B≠0 B = 0 一般地，如果 A，B 都表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 叫作分式. 其中 A 叫作分式的分子，B 叫作分式的分母. 当 时，分式 的值为零. 3. 分式值为零的条件： A = 0 且 B≠0 4. 分式的基本性质： 5. 分式的约分 约分的定义 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分． 最简分式的定义 分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式. 注意：分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式. 约分的基本步骤 (1) 若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂； (2) 若分子、分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式． 6. 分式的通分： 通分的定义 依据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分. 最简公分母的定义 为通分要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫作最简公分母. 二、分式的运算 1. 分式的乘除法则： 2. 分式的乘方法则： 3. 分式的加减法则： (1) 同分母分式的加减法则： (2) 异分母分式的加减法则： 4. 分式的混合运算： 先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的. 计算结果要化为最简分式或整式． 5. 负整数指数幂： 6. 整数指数幂： (1) am · an = am+n ( m，n 都是整数)； (2) (am)n = amn ( m，n 都是整数)； (3) (ab)n = anbn ( n 是整数). 当 n 是正整数时，a-n＝ 三、分式方程 1. 分式方程的定义 分母中含未知数的方程叫作分式方程. 7. 科学记数法： 利用 10 的负整数次幂，可以把一个绝对值小于 1 的数表示成 a×10-n 的形式，其中 n 是正整数，1≤|a|＜10，n 等于原数第一个非零数字前所有零的个数（特别注意：包括小数点前面那个零）. 2. 解分式方程的一般步骤如下： 分式方程 去分母 整式方程 x = m 解整式方程 x = m 是分式 方程的解 最简公分母不为0 最简公分母为0 x = m 不是分式方程的解 检验 审 设 列 解 验 答 设：_______ 未知数 解：_______ 列：_________ 检验:1.__________________； 2.______________. 3. 分式方程解决实际问题的基本过程： 分式方程 分式方程 是否是分式方程的解 是否符合题意 核心考点巩固 1.对于代数式 ，有甲、乙两种判断，下列说法正确的是( ) 甲：是分式，因为是整式，且分母 中含有字母. 乙：是整式，因为 ，而1是整式. A A.甲对、乙不对 B.乙对、甲不对 C.甲和乙都对 D.甲和乙都不对 返回 考试考法 15 2.下列关于分式的判断正确的是( ) D A.当时，分式 的值为0 B.当时，分式 无意义 C.无论为何值，分式 的值不可能是整数 D.无论为何值，分式 的值总为正数 返回 考试考法 16 返回 B 考试考法 17 返回 C 考试考法 18 5.将克蔗糖完全溶于克水中，配制成蔗糖水，蔗糖水的浓度为 ， 若， 同时扩大为原来的2倍，且蔗糖能完全溶于水中，则蔗糖水的浓 度( ) A A.不变 B.缩小为原来的 C.扩大为原来的2倍 D.扩大为原来的4倍 返回 考试考法 19 返回 B 考试考法 20 返回 7. 阳阳同学在复习老师已经批阅的作业本时，发现有 一道填空题破了一个洞， 表示破损的部分,则破损部分的式子是 ( ) 化简：_________ . √ A A. B. C. D. . . 考试考法 21 返回 2 考试考法 22 考试考法 23 返回 考试考法 24 返回 考试考法 25 11.随着我国科技迅猛发展，电子制造技术不断取得突破性成就，电子元 件尺寸越来越小，在芯片上某种电子元件大约占 .将 用科学记数法表示为( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 26 12.下列运算正确的是( ) D A．(－2 027)0＝0 B．2 027－1＝－2 027 C. D. 返回 考试考法 27 13.［教材P练习T 变式］计算： （1） ; 解：原式 . （2） . 解：原式 . 返回 考试考法 28 返回 x＝3 考试考法 29 返回 D 考试考法 30 返回 16.［石家庄桥西区期末］对于实数,,定义一种新运算“☆”为： ☆ .例如：1☆.则方程☆ 的解是 ( ) C A. B. C. D. 考试考法 31 17.解分式方程： （1）［陕西中考］ ； 解：方程两边同乘，得 ， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 ， 检验：当时，， 原分式方程的解为 . 考试考法 32 （2） . 解：方程两边同乘，得 ， 解得 . 检验：当时， ， 不是原分式方程的解， 原分式方程无解. 返回 考试考法 33 18．江西中考小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6 000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1 000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为 ____________． 考试考法 34 返回 19．常州中考某块绿地改进浇水方式，将漫灌方式全部改为喷灌方式，平均每天用水量减少1吨，20吨水可以使用的天数是原来的2倍．问浇水方式改进后平均每天用水多少吨？ 考试考法 35 20. 广州中考智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘． (1)若用人工采摘的成本为a元，相比用人工采摘，用智能采摘机器人采摘的成本可降低30%.求用智能采摘机器人采摘的成本是多少元；(用含a的代数式表示) 解：∵用人工采摘的成本为a元，相比用人工采摘，用智能采摘机器人采摘的成本可降低30%， ∴用智能采摘机器人采摘的成本是(－130%)a＝0.7a(元)． 考试考法 36 返回 (2)若要采摘4 000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比用4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克． 考试考法 37 谢谢观看 THANKS 3．邢台期中若a≠b≠0，且＝，若“□”表示运算符号，则“□”可以是(　　) A．＋或－ B．×或÷ C．＋或× D．－或× 4．已知M＝(其中a≠b，且a，b都不是0)，下列与M的值相等的是(　　) A. B. C. D. 6．河北中考若a＝－3，则＝(　　) A．－3 B．－1 C．3 D．6 8．湖北中考计算－x的结果是________． 9．化简： (1)南通中考·； 解: 原式＝· ＝· ＝a－3. 解: 原式＝×－ ＝－＝＝. (2)辽宁中考÷－. 10．宿迁中考先化简，再求值：÷，其中x＝－4. 解：÷＝× ＝× ＝x＋3， 当x＝－4时，原式＝－4＋3＝－1. x＝ 14．(1)武汉中考方程＝的解是________． (2)长沙中考分式方程＝的解为________． 15．遂宁中考若关于x的分式方程＝－1无解，则a的值为(　　) A．2 B．3 C．0或2 D．－1或3 ＝ 解：设浇水方式改进后平均每天用水x吨，则浇水方式改进前平均每天用水(x＋1)吨， 根据题意，得＝×2，解得x＝1. 经检验，x＝1是原方程的解，且符合题意． 答：浇水方式改进后平均每天用水1吨． 解：设一个工人每天采摘该种水果x千克，则这台智能采摘机器人每天采摘水果5x千克． ∴＝－1，解得x＝200， 经检验，x＝200是原方程的解且符合题意.5x＝1 000. 答：这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果1 000千克． $