18.5.2 分式方程的实际应用-课件-2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦分式方程的实际应用，涵盖工程、行程、销售等问题，核心解题步骤为审设列解验答。课堂导入通过回顾工作量=效率×时间等基本数量关系，搭建学习支架，衔接整式方程知识，引导学生理解分式方程应用场景。 其亮点是分层设计练习（基础到综合）并融入中考题，培养学生数学思维（推理能力）和模型观念（如行程问题表格梳理数据）。强调双重检验和易错总结，提升应用意识，助力学生掌握解题方法，教师可借助系统结构高效教学。

人教版（新教材）数学八年级上册 第十八章 分式 18.5.2 分式方程的实际应用 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/2 人教版八年级上册18.5.2分式方程的实际应用专项练习 一、核心知识点梳理 1. 解题核心思路：分式方程实际应用，本质是利用实际问题中的等量关系列方程求解，常见题型分为工程问题、行程问题、销售利润问题、浓度问题四大类，核心公式是列方程的依据。 2. 高频核心公式：工程问题：工作总量=工作效率×工作时间；行程问题：路程=速度×时间；销售问题：单价=总价÷数量。实际问题通常以“时间差、效率差、速度差、单价差”为等量关系列方程。 3. 标准解题步骤：审（审题找已知量、未知量）→设（设未知数，优先设所求量）→列（根据等量关系列分式方程）→解（解整式方程）→验（双重检验，检验方程根、检验实际意义）→答（规范作答）。 4. 关键注意事项：实际应用题必须双重检验，既要保证分母不为零、是方程的有效根，又要保证未知数取值符合实际，如人数、速度、时间、数量均为正数，舍去不合理的解。 二、基础巩固练习（每题6分，共30分） 1. 工程基础题：一项工程，甲单独完成需要$$x$$天，乙单独完成比甲多3天，两人合作1天可完成工程的几分之几？列出化简后的代数式。 2. 行程基础题：小明骑车速度为$$x$$千米/时，步行速度比骑车慢8千米/时，骑行40千米比步行40千米少用多少小时？列代数式。 3. 销售基础题：用100元购买文具，原价每件$$x$$元，降价2元后，可多买5件，列出对应的分式方程。 4. 工程计算题：甲单独做一项工作需10天，乙单独做需$$x$$天，甲、乙合作2天可完成工作的一半，列方程并求解$$x$$。 5. 行程计算题：一段路程60千米，提速3千米/时后，行驶时间减少1小时，设原速度为$$x$$千米/时，列出分式方程。 三、能力提升练习（每题10分，共40分） 6. 工程问题：甲、乙两名工人加工零件，甲每小时比乙多加工2个零件，甲加工60个零件的时间与乙加工50个零件的时间相等，求甲、乙每小时各加工多少个零件。 7. 行程问题：A、B两地相距120千米，汽车原计划以恒定速度行驶，实际行驶时速度提升20%，结果提前1小时到达，求汽车原计划的行驶速度。 8. 销售问题：某商店购进一批笔记本，第一批用800元购进，第二批用1200元购进，第二批单价比第一批贵1元，购进数量比第一批多20本，求第一批笔记本的进价。 9. 效率问题：一台旧设备完成一批任务需要$$x$$小时，新设备效率是旧设备的2倍，新旧设备合作完成任务仅需4小时，求旧设备单独完成任务所需时间。 四、综合应用练习（15分） 10. 综合工程问题：某修路队修建一段公路，原计划每天修路若干米，实际每天比原计划多修15米，原计划修300米的时间，实际可以修450米，求原计划每天修路多少米，并求出实际修路效率。 五、参考答案与详细解析 1. 解析：甲效率$$\frac{1}{x}$$，乙效率$$\frac{1}{x+3}$$，合作效率：$$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+3}=\frac{2x+3}{x(x+3)}$$。 2. 解析：骑行时间$$\frac{40}{x}$$，步行时间$$\frac{40}{x-8}$$，时间差：$$\frac{40}{x-8}-\frac{40}{x}$$。 3. 解析：原购买数量$$\frac{100}{x}$$，降价后数量$$\frac{100}{x-2}$$，方程：$$\frac{100}{x-2}-\frac{100}{x}=5$$。 4. 解析：甲效率$$\frac{1}{10}$$，乙效率$$\frac{1}{x}$$，列方程：$$2(\frac{1}{10}+\frac{1}{x})=\frac{1}{2}$$，解得$$x=\frac{20}{3}$$。检验：解有效。 5. 解析：原时间$$\frac{60}{x}$$，提速后时间$$\frac{60}{x+3}$$，方程：$$\frac{60}{x}-\frac{60}{x+3}=1$$。 6. 解析：设乙每小时加工$$x$$个，甲每小时加工$$(x+2)$$个。列方程：$$\frac{60}{x+2}=\frac{50}{x}$$，去分母得$$60x=50x+100$$，解得$$x=10$$。甲：12个，乙：10个。检验符合题意。答：甲每小时12个，乙每小时10个。 7. 解析：设原速度为$$x$$千米/时，实际速度$$1.2x$$。方程：$$\frac{120}{x}-\frac{120}{1.2x}=1$$，解得$$x=20$$。检验有效。答：原计划速度20千米/时。 8. 解析：设第一批进价$$x$$元，第二批进价$$(x+1)$$元。方程：$$\frac{1200}{x+1}-\frac{800}{x}=20$$，化简求解得$$x=4$$。检验符合题意。答：第一批进价4元。 9. 解析：设旧设备单独需$$x$$小时，新设备效率$$\frac{2}{x}$$。方程：$$4(\frac{1}{x}+\frac{2}{x})=1$$，解得$$x=12$$。答：旧设备单独完成需12小时。 10. 解析：设原计划每天修路$$x$$米，实际每天修$$(x+15)$$米。根据时间相等列方程：$$\frac{300}{x}=\frac{450}{x+15}$$，交叉相乘得$$300(x+15)=450x$$，解得$$x=30$$。实际效率：$$30+15=45$$米/天。检验：解为正数，符合实际意义。答：原计划每天修路30米，实际每天修路45米。 六、易错总结 1. 审题不清，找错等量关系，混淆时间、效率、数量的差值关系，方程列写错误；2. 解完方程省略双重检验，只验方程根、忽略实际意义，出现负数、零等不合理解；3. 设未知数不规范，漏写单位或设元表述模糊；4. 速度、效率倍数关系理解错误，导致代数式列写偏差；5. 答题不完整，缺少规范答句，步骤缺失导致扣分。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 能根据具体问题中的数量关系列分式方程，检验方程的解的合理性. 解决简单的实际问题，建立模型观念，增强应用意识. 你能说出实际应用中存在哪些常见的数量关系吗？ 行程问题 路程 = 速度×时间 工作量=工作效率×工作时间， 合作效率=各自单独完成任务的效率和. 工程问题 利润 = 售价 – 进价，利润 = 进价×利润率， 销售额 = 销售量×单价. 销售问题 情境导入 知识点1：列分式方程解决工程问题 例1 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工 1 个月完成总工程的 ，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成. 哪个队的施工速度快？ 分析：审题 → 找等量关系 工作总量＝工作效率×工作时间 各部分工作量之和＝工作总量 思考： 在工程问题里，存在着哪些等量关系呢？ 探究新知 思考： 设乙队单独施工 1 个月能完成总工程的 . 那么甲队半个月完成总工程的 ， 乙队半个月完成总工程的 ， 问题中的等量关系可以列方程为 ＋两队共同工作半个月完成的总工程量＝1 . 知识点1：列分式方程解决工程问题 探究新知 解：设乙单独施工 1 个月能完成总工程的 . 记总工程量为 1，根据工程的实际进度，得 解得 x = 1. 检验：当 x = 1 时，6x≠0. 所以，原分式方程的解为 x = 1. 由上可知，若乙队单独施工 1 个月可以完成全部任务，对比甲队 1 个月完成任务的 ，可知乙队的施工速度快. 方程两边乘 6x，得 2x + x + 3 = 6x. 知识点1：列分式方程解决工程问题 探究新知 返回 A 举一反三 7 2．变式为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造， 改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生 产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为( ) B A.200 B.300 C.400 D.500 返回 举一反三 8 审 设 列 解 验 答 设：_______ 未知数 解：_______ 列：_________ 检验:1.__________________； 2.______________. 【归纳总结】分式方程解决实际问题的基本过程： 分式方程 分式方程 是否是分式方程的解 是否符合题意 知识点1：列分式方程解决工程问题 探究新知 【针对训练】1. 张明 3 小时清点完一批图书的一半，李强清点另一半图书的工作，两人合作 小时清点完另一半图书. 如果李强单独清点这批图书需要几个小时？ 解得 x = 4. 经检验 x = 4 是原方程的解. 答：李强单独清点完这批图书需要 4 个小时. 解：设李强单独清点完这批图书需要 x 个小时，张明的工作效率是 . 知识点1：列分式方程解决工程问题 探究新知 例2 某次列车平均提速 v km/h．用相同的时间，列车提速前行驶 s km，提速后比提速前多行驶 50 km，提速前列车的平均速度为多少？ 知识点2：列分式方程解决行程问题 思考： 在行程问题里，存在着什么等量关系呢？ 路程＝速度 × 时间 分析：这里的字母 v，s 表示已知数据，设提速前列车的平均速度为 x km/h. 用表格梳理数据如下： 探究新知 路程(km) 速度(km/h) 时间(h) 提速前 提速后 s x s + 50 x + v 提速后的行驶时间 = 提速前的行驶时间 等量关系： 【合作探究】 分析：这里的字母 v，s 表示已知数据，设提速前列车的平均速度为 x km/h. 用表格梳理数据如下： 探究新知 解：设提速前列车的平均速度为 x km/h，则提速前它行驶 s km 所用时间为 h；提速后列车的平均速度为 (x + v) km/h，提速后它行驶 (s + 50) km 所用时间 h. 方程两边乘 x(x + v)，得 s(x + v)＝x(s + 50). 检验：因为 v，s 都是正数，所以当 时，x(x + v)≠0. 所以，原分式方程的解是 答：提速前列车的平均速度为 km/h. 根据行驶时间的相等关系，得 探究新知 3．山西中考我国自主研发的HGCZ－2000型快速换轨车，采用先进的自动化技术，能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的千米数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116 km钢轨比一个工作队人工更换80 km钢轨所用时间少22小时．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少千米． 举一反三 14 返回 举一反三 15 返回 A 举一反三 16 返回 C 举一反三 17 6.一艘货轮在静水中的航速为，它以该航速沿江顺流航行 所用时间与以该航速沿江逆流航行 所用时间相等，求江水的流速. 解：设江水的流速为 ， 根据题意得，解得 ， 经检验， 是所列方程的根. 答：江水的流速为 . 返回 举一反三 18 7．保定期中如图是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程. 举一反三 19 返回 下列说法正确的是(　　) A．嘉嘉设的未知量是甲队每天修路的长度 B．淇淇设的未知量是乙队每天修路的长度 C．甲队每天修路的长度是40米 D．乙队每天修路的长度是40米 C 举一反三 20 8．淄博中考某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校240 km的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动． (1)一部分师生乘大巴车先行，出发36 min后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； 举一反三 21 举一反三 返回 (2)该景区对学生(或儿童)实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2 200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 设参加本次活动的学生人数是y人，则成人人数为(200－y)人， 根据题意，可列方程：10y＋30(200－y)＝2 200，解得y＝190. 答：参加本次活动的学生人数是190人． 举一反三 23 分式方程 整式方程 整式方程的解 分式方程的解 实际问题的解 实际问题 列方程 去分母 解整式方程 检验 目标 目标 课堂小结 谢谢观看 THANKS 1．深圳中考某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划种植人数为x人，则下列方程正确的是(　　) A.－＝3 B.－＝3 C.＝2× D.＝2× 解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x km. 根据题意得－＝22. 解得x＝2. 经检验，x＝2是原方程的根，且符合题意． 答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2 km. 4．无锡中考小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的1.2倍，两人各自骑行了6 km，小亮骑行时间比小红少用了4 min.设小红的骑行速度为x km/h，则可列方程为(　　) A.＋＝ B.＋4＝ C.－＝ D.－4＝ 5.《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍．根据题意列方程为＝，其中x表示(　　) A．快马的速度 B．慢马的速度 C．规定的时间 D．以上都不对 甲、乙两个工程队，甲队修路400米与乙队修路600米所用的时间相等，乙队每天比甲队多修20米，求甲队每天修路的长度. 嘉嘉：－＝20；淇淇：＝. 解: 设大巴车的速度为x km/h，则中巴车的速度为1.25x km/h. 根据题意，可列方程－＝，解得x＝80. 经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意． 答：大巴车的速度是80 km/h. $