第02讲 判别式、根与系数关系、参数取值及配方法应用（核心知识+7易错辨析+6典例精讲+课后作业）2026-2027学年人教版九年级数学上册秋期复习讲义+重难点专题训练

本初中数学讲义聚焦判别式、根与系数关系、参数取值及配方法应用，构建“配方法基础工具—判别式判断根的个数—韦达定理揭示根的关系—含参方程参数取值”的递进学习支架，系统梳理核心知识与应用逻辑。 资料通过7大易错辨析（如韦达定理忽略判别式验证）、6类典例精讲（含几何面积最值等实际问题），引导学生用数学思维规避错误，发展推理能力与模型意识。课中助力教师高效授课，课后学生可通过分层作业巩固知识，弥补薄弱环节。

第02讲 判别式、根与系数关系、参数取值及配方法应用 （核心知识+7易错辨析+6典例精讲+课后作业） 【知识点01】配方法的应用（高频考点） 配方法不仅用于解方程，更常用于求二次代数式的最值、判断代数式正负性： 若，代数式有最小值；若，代数式有最大值。 【知识点02】根的判别式（判断根的个数） 1. 核心公式 对于一元二次方程 ，定义判别式： 2. 判别式与根的关系（必考结论） ：方程有两个不相等的实数根； ：方程有两个相等的实数根； ：方程没有实数根。 ✅ 逆命题成立：已知根的情况，可反推的取值范围。 【知识点03】根与系数的关系（韦达定理） 1. 核心前提 仅适用于：一元二次方程 且 （有实数根） 2. 核心公式 若方程两根为，则： ， 3. 常用变形公式（计算高频） 【知识点04】含参一元二次方程参数取值范围（重难点） 1. 核心解题双重前提 但凡题目提及“一元二次方程”，必须同时满足： 1.二次项系数 ； 2.根据根的个数要求，满足对应取值。 2. 常见题型取值规则 方程有两个不相等实数根： 且 ； 方程有两个相等实数根： 且 ； 方程无实数根： 且 ； 方程有实数根： 且 （最易漏条件考点）。 3. 特殊题型补充 若题目仅说“方程有根”，未说明是一元二次方程，需分类讨论： 1.二次项系数为0：方程为一元一次方程，必有一个实数根； 2.二次项系数不为0：按一元二次方程求解。 易错点1：配方法求代数式最值，忽略取值范围 易错表述：认为 最值一定是k 辨析：仅当x取全体实数时，最值为k；若题目限定x的取值范围（如正数、整数、区间），必须结合范围判断。 易错点2：默认是一元二次方程，忽略a≠0 前提 题型：已知方程 有实数根，求m的取值范围 易错点3：混淆“两个实数根”与“两个不相等实数根” 有两个实数根：（包含相等、不相等） 有两个不相等实数根：（不含等于） 易错点4：使用韦达定理不验证 最高频丢分点：韦达定理的前提是方程有实数根，参数题求出结果后，必须检验。 例题：已知 两根 ，且 ，求k 核心口诀：参数韦达题，先判判别式，无实根直接舍去。 易错点5：根与系数变形代数式出错 常用必考变形（直接背诵）： 1. 2. 3. 易错提醒：求 必须先平方再开方，切勿直接相减。 易错点6：整数根、正根、负根条件不会转化 高频根的条件转化（考试直接用）： 1. 两根均为正数： 2. 两根均为负数： 3. 一正一负根：（积负必异号，可省略Δ） 易错点7：分类讨论不完整 含参数方程，题干无“一元二次”限定：先讨论一次方程（a=0），再讨论二次方程（a≠0），缺一不可。 【题型一】由一元二次方程的定义求参数 【例1】．（25-26九年级上·山东德州·期末）一元二次方程化为一般形式后各项的系数和为（    ） A．0 B．6 C．5 D． 【变式1】．（25-26九年级上·湖南张家界·期末）关于的方程是一元二次方程，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26九年级上·福建莆田·期末）方程为一元二次方程，则的值为_____． 【变式3】．（24-25九年级上·河北保定·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求m的值； (2)解这个方程． 【题型二】由一元二次方程的解求参数 【例2】．（25-26九年级上·河南漯河·期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则的值是（） A． B． C．1 D．2 【变式2】．（25-26九年级上·广东茂名·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为______． 【变式3】．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）已知关于的一元二次方程的一个根为，求的值． 【题型三】配方法的应用 【例3】．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）不论为何实数，多项式的值一定是（） A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定 【例4】．（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）把方程转化为的形式，则_____． 【例5】．（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）（1）若． _______， _______． （2）当_______时，代数式有最小值，最小值是_______． （3）如图，中，，点M,N分别是线段和上的动点，点M从A点出发以的速度向C点运动；同时点N从C点出发以的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为t，则当t的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 【变式1】．（22-23八年级上·广西贺州·期中）将代数式配方后，发现它的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【变式2】．（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）将方程转化为的形式，则______． 【变式3】．（25-26九年级上·内蒙古通辽·阶段检测）阅读与思考： 【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方式（注意：完全平方式是多项式的结构形式，区别于完全平方公式，完全平方公式是等式形式的运算规律）。如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ，可知当时，有最小值，最小值是-5． 再例如：求代数式的最大值． ．可知当时，有最大值．最大值是-1． (1)【直接应用】代数式的最小值为_____；代数式的最大值为_____； (2)【类比应用】若多项式，试求的最小值； (3)【知识迁移】如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积． 【题型四】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【例6】．（23-24九年级上·陕西西安·阶段检测）关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【例7】．（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）一元二次方程根的判别式的值为___________． 【例8】．（25-26九年级上·江西新余·期末）已知关于x的一元二次方程（k为常数）． (1)若方程的一个根为，求的值； (2)求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【变式1】．（25-26九年级上·河南驻马店·阶段检测）若，则方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．不能确定 【变式2】．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）已知关于的一元二次方程，求证：无论取何值，方程总有实数根． 【变式3】．（25-26九年级上·福建漳州·期末）定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中正确的有_____（填正确的序号）． 【题型五】根据一元二次方程根的情况求参数 【例9】．（25-26九年级上·河南许昌·期末）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（   ） A． B．1 C．0 D． 【例10】．（25-26九年级上·河北张家口·期末）若关于的方程有实数根，请你写出一个符合条件的常数的值：________． 【例11】．（25-26九年级上·吉林辽源·阶段检测）为何值时，关于的一元二次方程； (1)有两个相等的实数根？ (2)有两个不相等的实数根？ (3)无实数根？ 【变式1】．（2026·广东茂名·二模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2】．（22-23九年级上·贵州铜仁·期末）当t满足_______________时，关于的一元二次方程有实数根． 【变式3】．（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）已知关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围； (2)若k 为符合条件的最小正整数，求该方程的根． 【题型六】一元二次方程的根与系数的关系 【例12】．（25-26九年级下·四川南充·期中）一元二次方程两根之积为（    ） A． B． C．2 D． 【例13】．（2026·四川乐山·中考真题）已知方程的两个根是和，则_________． 【例14】．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)试说明无论k取何值时，此方程总有两个不相等的实根； (2)若方程的两根，，当取最小值时，求k的值． 【变式1】．（2026·湖北随州·一模）已知一元二次方程的两个根为，，则的值为（   ） A． B．1 C．5 D． 【变式2】．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知一元二次方程的两个根为，，且，，那么这个一元二次方程是_____. 【变式3】．（25-26九年级上·江西九江·期末）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，若，求的值． 1. 配方法是基础工具，核心是构造完全平方式，既可解方程，也可求代数式最值、判断正负，解题必须严格遵循等式恒等变形规则。 2. 判别式专属判断一元二次方程实数根的个数，所有结论的前提是，是含参取值题的核心依据。 3. 韦达定理用于不解方程、整体求值，使用前提是方程有实数根（），重点熟记公式及常用变形，规避符号错误。 4. 参数取值问题是本章重难点，解题核心逻辑：先定方程类型（一次/二次），再结合判别式列不等式，最后综合取舍取值范围，不漏条件、不看错符号。 5. 高频解题优先级：判断方程类型→确定可用定理→列式计算→验证前提条件，规避所有易错陷阱。 一、单选题 1．（25-26九年级上·山西太原·期末）为分析一元二次方程根的情况，四位同学分别计算根的判别式，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·浙江台州·阶段检测）若是一元二次方程的其中一个解，则的值为（　　） A．3 B． C． D．2 3．（2026·河北邯郸·模拟预测）若一元二次方程的两根为，，则的值是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·湖北随州·阶段检测）把方程化成的形式，其中m，n为实数，则n的值是（    ） A．1 B．5 C．16 D．17 5．（25-26九年级上·河南濮阳·期末）对于实数定义新运算：，则关于的方程的解，下列说法正确的是（    ） A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 6．（2026·河南平顶山·三模）关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 7．（25-26九年级上·广东湛江·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则m应满足的条件是（　） A． B． C． D． 8．（2023九年级上·湖南湘西·竞赛）关于的一元二次方程有两个不相等的同号实数根，则的取值范围是（  ） A．且 B． C．且 D． 9．设，是一元二次方程的两个根，则（     ） A．4 B．8 C．24 D．26 二、填空题 10．（2026·广东清远·三模）一元二次方程的两根为，，则______． 11．（2026·广东江门·一模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是______（写出一个即可）． 12．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______． 13．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为__________． 14．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为____________． 15．（25-26九年级上·四川达州·期末）若m、n是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是_______． 三、解答题 16．（2026·江西九江·一模）若是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求出实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 17．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，则称这个方程为“差1方程”．比如，一元二次方程的两根为，，因为，所以一元二次方程为“差1方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程 “差1方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的一元二次方程是“差1方程”，求k的值． 18．（25-26九年级上·江西上饶·期末）我们规定：对于任意实数有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． (1)求的值； (2)已知关于的方程有两个实数根，求的取值范围． 19．（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）已知：关于x的方程． (1)求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根为，且满足，求k的值． 20．（25-26九年级上·河南南阳·期中）已知关于的一元二次方程． (1)证明：不论为何值时，方程总有实数根； (2)若该方程有一个根为，求的值． 21．（25-26九年级上·河北沧州·期末）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： (1)代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 22．（24-25九年级上·四川资阳·期末）阅读下面材料：已知，是一元二次方程的两实数根，若满足，则此类方程称为“差根方程”．在学习了求根公式法解方程后，小聪同学发现：，最后得到“差根方程”中a，b，c之间的关系是． (1)请通过计算判断方程是否是“差根方程”． (2)若方程是“差根方程”，请求出k的值以及方程的两个根． (3)若关于x的“差根方程”的一个根是（a，m，b均为常数，），则方程是“差根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 判别式、根与系数关系、参数取值及配方法应用 （核心知识+7易错辨析+6典例精讲+课后作业） 【知识点01】配方法的应用（高频考点） 配方法不仅用于解方程，更常用于求二次代数式的最值、判断代数式正负性： 若，代数式有最小值；若，代数式有最大值。 【知识点02】根的判别式（判断根的个数） 1. 核心公式 对于一元二次方程 ，定义判别式： 2. 判别式与根的关系（必考结论） ：方程有两个不相等的实数根； ：方程有两个相等的实数根； ：方程没有实数根。 ✅ 逆命题成立：已知根的情况，可反推的取值范围。 【知识点03】根与系数的关系（韦达定理） 1. 核心前提 仅适用于：一元二次方程 且 （有实数根） 2. 核心公式 若方程两根为，则： ， 3. 常用变形公式（计算高频） 【知识点04】含参一元二次方程参数取值范围（重难点） 1. 核心解题双重前提 但凡题目提及“一元二次方程”，必须同时满足： 1.二次项系数 ； 2.根据根的个数要求，满足对应取值。 2. 常见题型取值规则 方程有两个不相等实数根： 且 ； 方程有两个相等实数根： 且 ； 方程无实数根： 且 ； 方程有实数根： 且 （最易漏条件考点）。 3. 特殊题型补充 若题目仅说“方程有根”，未说明是一元二次方程，需分类讨论： 1.二次项系数为0：方程为一元一次方程，必有一个实数根； 2.二次项系数不为0：按一元二次方程求解。 易错点1：配方法求代数式最值，忽略取值范围 易错表述：认为 最值一定是k 辨析：仅当x取全体实数时，最值为k；若题目限定x的取值范围（如正数、整数、区间），必须结合范围判断。 易错点2：默认是一元二次方程，忽略a≠0 前提 题型：已知方程 有实数根，求m的取值范围 典型错解：直接令 ，解得m≤2 错误根源：题目未说明是一元二次方程，可能是一元一次方程（二次项系数为0） 正确解法： ① 当 ，即m=1时，方程为 ，有实数根，符合题意； ② 当 ，即m≠1时，，解得m≤2； 综上：m≤2 易错点3：混淆“两个实数根”与“两个不相等实数根” 有两个实数根：（包含相等、不相等） 有两个不相等实数根：（不含等于） 易错点4：使用韦达定理不验证 最高频丢分点：韦达定理的前提是方程有实数根，参数题求出结果后，必须检验。 例题：已知 两根 ，且 ，求k 错解：，得k=1，直接作答 正解补全：代入k=1，，方程无实根，故此方程无解，k不存在。 核心口诀：参数韦达题，先判判别式，无实根直接舍去。 易错点5：根与系数变形代数式出错 常用必考变形（直接背诵）： 1. 2. 3. 易错提醒：求 必须先平方再开方，切勿直接相减。 易错点6：整数根、正根、负根条件不会转化 高频根的条件转化（考试直接用）： 1. 两根均为正数： 2. 两根均为负数： 3. 一正一负根：（积负必异号，可省略Δ） 易错点7：分类讨论不完整 含参数方程，题干无“一元二次”限定：先讨论一次方程（a=0），再讨论二次方程（a≠0），缺一不可。 【题型一】由一元二次方程的定义求参数 【例1】．（25-26九年级上·山东德州·期末）一元二次方程化为一般形式后各项的系数和为（    ） A．0 B．6 C．5 D． 【答案】D 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 先将方程化为标准形式，再计算各项系数之和即可． 【详解】解：， 移项得，即， ∴系数， ∴系数和． 故选D． 【变式1】．（25-26九年级上·湖南张家界·期末）关于的方程是一元二次方程，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键，一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程．根据一元二次方程的定义列式计算即可． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， 且 ， 由得， ， 又， ， ． 故选：B． 【变式2】．（25-26九年级上·福建莆田·期末）方程为一元二次方程，则的值为_____． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为且二次项系数不为，由此确定的值 【详解】解：方程为一元二次方程，则未知数的最高次数必须为，且二次项的系数，满足条件， 故． 故答案为 【变式3】．（24-25九年级上·河北保定·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求m的值； (2)解这个方程． 【答案】(1) (2)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程、由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的定义和求解方法是解题的关键． （1）依据一元二次方程未知数最高次数为2的定义，令方程中的次数等于2，从而列方程求解； （2）把求得的值代入原方程，再用合适的方法（如因式分解法）解一元二次方程． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得； （2）解：由（1）可知，方程为， ∴， ∴或， 解得，． 【题型二】由一元二次方程的解求参数 【例2】．（25-26九年级上·河南漯河·期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】将已知根代入方程求出的值，再代入代数式计算即可求解. 【详解】解：是方程的根， ， 即， ， ． 【变式1】．（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则的值是（） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】将已知根代入原方程，即可解出参数a的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个实数根， ∴将代入原方程，得， 计算得， 整理得， 解得． 【变式2】．（25-26九年级上·广东茂名·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】根据一元二次方程根的定义，将代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴将入方程得，， 解得． 【变式3】．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）已知关于的一元二次方程的一个根为，求的值． 【答案】3或 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查一元二次方程的解及其解法，先将代入方程中得到，再利用因式分解法解方程即可求解． 【详解】解：方程的一个根为， ， 即， 解得，， 的值为或． 【题型三】配方法的应用 【例3】．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）不论为何实数，多项式的值一定是（） A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定 【答案】A 【知识点】配方法的应用 【分析】本题考查配方法的应用，掌握知识点是解题的关键． 利用配方法将多项式转化为完全平方加常数的形式，根据平方的非负性判断其值恒为正数即可． 【详解】解：∵ ∵对于所有实数，都有， ∴ 因此，多项式的值总是正数． 故选：A． 【例4】．（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）把方程转化为的形式，则_____． 【答案】 【知识点】配方法的应用 【分析】根据配方法解答即可． 本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：∵, 配方，得，即． 故． 故， 故答案为：． 【例5】．（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）（1）若． _______， _______． （2）当_______时，代数式有最小值，最小值是_______． （3）如图，中，，点M,N分别是线段和上的动点，点M从A点出发以的速度向C点运动；同时点N从C点出发以的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为t，则当t的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 【答案】（1）；（2）；（3）当t的值为2时，的面积最大，最大值为 【知识点】配方法的应用 【分析】本题考查配方法的应用： （1）利用配方法求解； （2）利用配方法得出，即可求解； （3）用含t的式子表示出的面积，再利用配方法求解． 【详解】解：（1）， ，； 故答案为：； （2）， 当时，代数式有最小值，最小值是； 故答案为：； （3）解：由题意得：，则， ∴, ∵, ∴, ∴, ∴当时，有最大值，最大值为4． 即：当t的值为2时，的面积最大，最大值为． 【变式1】．（22-23八年级上·广西贺州·期中）将代数式配方后，发现它的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】利用完全平方公式对二次代数式配方，再根据平方数的非负性即可求出最小值． 【详解】解：∵ ， 又∵ 对任意实数都有， ∴ 当 时，代数式取得最小值，最小值为． 【变式2】．（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）将方程转化为的形式，则______． 【答案】 【分析】根据配方法解题即可． 本题考查了配方法的应用，求代数式的值，熟练掌握配方是解题的关键． 【详解】解：， 移项，得． 配方，得，即． 又． 解得． 故， 故答案为：． 【变式3】．（25-26九年级上·内蒙古通辽·阶段检测）阅读与思考： 【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方式（注意：完全平方式是多项式的结构形式，区别于完全平方公式，完全平方公式是等式形式的运算规律）。如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ，可知当时，有最小值，最小值是-5． 再例如：求代数式的最大值． ．可知当时，有最大值．最大值是-1． (1)【直接应用】代数式的最小值为_____；代数式的最大值为_____； (2)【类比应用】若多项式，试求的最小值； (3)【知识迁移】如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积． 【答案】(1)；13 (2)2025 (3) 【知识点】配方法的应用 【分析】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，熟练掌握配方法的一般步骤、偶次方的非负性是解题的关键． （1）配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答即可； （2）利用配方法把原式进行变形，再根据偶次方的非负性解答即可； （3）设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米，利用矩形的面积公式可得，再利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】（1）解：， 当时，代数式有最小值，最小值为， ， 当时，代数式有最大值，最大值为13， 故答案为：；13； （2） ． 当，时，有最小值为2025． （3）设菜地垂直于墙面的一边为，则平行于墙的一边长为， 根据题意，得，． ． 当时，有最大值，最大值为． 故围成的菜地的最大面积是． 【题型四】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【例6】．（23-24九年级上·陕西西安·阶段检测）关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【答案】B 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【详解】解：∵， 移项整理得，其中 , , ∴， ∴方程有两个不相等的实数根. 【例7】．（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）一元二次方程根的判别式的值为___________． 【答案】1 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．根据一元二次方程根的判别式，代入题中数值计算即可． 【详解】解：∵中，，， ∴， 故答案为：1． 【例8】．（25-26九年级上·江西新余·期末）已知关于x的一元二次方程（k为常数）． (1)若方程的一个根为，求的值； (2)求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解的概念以及根的判别式的应用，代入根求解参数和利用判别式判断根的情况是解题的关键． （1）将代入方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值； （2）计算方程的判别式，通过配方证明，从而证明方程总有两个不相等的实数根． 【详解】（1）解：把代入方程，得 ， 解得； （2）证明：∵中，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【变式1】．（25-26九年级上·河南驻马店·阶段检测）若，则方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．不能确定 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用．根据确定方程是一元二次方程，再计算判别式判断符号即可得出根的情况． 【详解】解：∵， ∴，，方程是一元二次方程， ， ∴方程有两个不相等的实数根． 【变式2】．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）已知关于的一元二次方程，求证：无论取何值，方程总有实数根． 【答案】见解析 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识是做题的关键． 根据一元二次方程根的判别式符号与方程根的情况的关系，即可证明． 【详解】证明：∵， ， 即，                             ∴无论取何值，方程总有实数根． 【变式3】．（25-26九年级上·福建漳州·期末）定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中正确的有_____（填正确的序号）． 【答案】 ①②③ 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查新定义和一元二次方程，根据倒方程的定义，分别验证每个结论的正确性： ①通过代入求解； ②利用判别式即可； ③通过判别式得到，代入倒方程判别式可得； ④举反例说明不成立． 【详解】解：结论①，原方程 的倒方程为 ， 将 代入得 ， 解得 ， 故①正确； 结论②，当 时， 判别式 ， 两个方程均有两个不相等的实数根， 故②正确； 结论③， 原方程无解， ， 即 ， 倒方程判别式 ， 倒方程无解， 故③正确； 结论④， 举反例说明，当 时，原方程为， 若要其有两个不相等的实数根，则其判别式：， 即， 原方程 的倒方程为 ，，， 倒方程为，是一元一次方程， 只有一个根， 故④错误． 故答案为①②③． 【题型五】根据一元二次方程根的情况求参数 【例9】．（25-26九年级上·河南许昌·期末）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（   ） A． B．1 C．0 D． 【答案】B 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】根据一元二次方程根的判别式性质，当方程有两个相等的实数根时，判别式，代入方程系数计算即可求出m的值． 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 【例10】．（25-26九年级上·河北张家口·期末）若关于的方程有实数根，请你写出一个符合条件的常数的值：________． 【答案】1（答案不唯一） 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】根据当时，一元二次方程有实数根，先求出的取值范围，再写出一个符合条件的的值即可． 【详解】解：∵方程有实数根． ∴， 整理得． 解得 ． ∴符合条件的常数可以为1． 【例11】．（25-26九年级上·吉林辽源·阶段检测）为何值时，关于的一元二次方程； (1)有两个相等的实数根？ (2)有两个不相等的实数根？ (3)无实数根？ 【答案】(1) (2)且 (3) 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，准确计算是解题的关键． （1）求解即可； （2）求解且即可； （3）求解即可； 【详解】（1）方程有两个相等的实数根， ， 解得； （2）方程有两个不相等的实数根， 且， 且． （3）方程无实数根， ， ． 【变式1】．（2026·广东茂名·二模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据方程有两个相等实数根得判别式的值为0，解方程即可求出的值. 【详解】解：展开得， ∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得. 【变式2】．（22-23九年级上·贵州铜仁·期末）当t满足_______________时，关于的一元二次方程有实数根． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】需先将方程化为一元二次方程的标准形式，计算判别式，再根据判别式非负求解答案即可． 【详解】解：， ， 由于一元二次方程有实数根， ． 故答案：． 【变式3】．（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）已知关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围； (2)若k 为符合条件的最小正整数，求该方程的根． 【答案】(1)且 (2)， 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）根据一元二次方程根与判别式的关系，根据判别式大于零列出不等式求解即可； （2）根据k 的取值范围和k 为正整数确定的值，代入方程后求解方程的根． 【详解】（1）解：判别式且， 解得且； （2）解：根据题意得，k为最小正整数， 则， 方程为 解得，． 【题型六】一元二次方程的根与系数的关系 【例12】．（25-26九年级下·四川南充·期中）一元二次方程两根之积为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程的两个根为,，利用计算即可． 【详解】解：一元二次方程中，， 则方程的两根之积为． 【例13】．（2026·四川乐山·中考真题）已知方程的两个根是和，则_________． 【答案】3 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】对于一元二次方程，若方程的两个实数根是，则，据此可得答案． 【详解】解：∵方程的两个根是和， ∴． 【例14】．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)试说明无论k取何值时，此方程总有两个不相等的实根； (2)若方程的两根，，当取最小值时，求k的值． 【答案】(1) 解：关于x的一元二次方程， ， ， 无论k取何值时，此方程总有两个不相等的实根． (2) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）将一元二次方程根的判别式用含有k的式子表示出来，跟0作比较，即可求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，可得，代入，化简得，再根据，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：关于x的一元二次方程的两根为，， ， ， ， 当时， 有最小值， 此时，解得． 【变式1】．（2026·湖北随州·一模）已知一元二次方程的两个根为，，则的值为（   ） A． B．1 C．5 D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵ 一元二次方程为 ，其中 ，，， ∴，， ∴． 【变式2】．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知一元二次方程的两个根为，，且，，那么这个一元二次方程是_____. 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴根据一元二次方程根与系数的关系可得：， ∵，， ∴， ∴这个一元二次方程是． 【变式3】．（25-26九年级上·江西九江·期末）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数关系等知识． （1）利用一元二次方程根的判别式可得到，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数关系，可得，根据，可得到，即可求解． 【详解】（1）解：方程有实数根， ， 即， 解得：． （2）解：方程的两个实数根分别为， ， ∵， ， 解得：． 1. 配方法是基础工具，核心是构造完全平方式，既可解方程，也可求代数式最值、判断正负，解题必须严格遵循等式恒等变形规则。 2. 判别式专属判断一元二次方程实数根的个数，所有结论的前提是，是含参取值题的核心依据。 3. 韦达定理用于不解方程、整体求值，使用前提是方程有实数根（），重点熟记公式及常用变形，规避符号错误。 4. 参数取值问题是本章重难点，解题核心逻辑：先定方程类型（一次/二次），再结合判别式列不等式，最后综合取舍取值范围，不漏条件、不看错符号。 5. 高频解题优先级：判断方程类型→确定可用定理→列式计算→验证前提条件，规避所有易错陷阱。 一、单选题 1．（25-26九年级上·山西太原·期末）为分析一元二次方程根的情况，四位同学分别计算根的判别式，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，先将方程化为一般形式，再计算判别式 ，判断即可． 【详解】解：原方程为， 移项得， 其中，，， ∴， 故只有选项D正确； 故选D． 2．（22-23九年级上·浙江台州·阶段检测）若是一元二次方程的其中一个解，则的值为（　　） A．3 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据一元二次方程解的定义，方程的解满足方程，将已知解代入原方程，即可计算求出的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个解， ∴， 解得． 3．（2026·河北邯郸·模拟预测）若一元二次方程的两根为，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，若两根为，由根与系数的关系得，，先得到两根之和与两根之积，再代入所求式子计算即可得到结果． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴，， ∴． 4．（25-26九年级上·湖北随州·阶段检测）把方程化成的形式，其中m，n为实数，则n的值是（    ） A．1 B．5 C．16 D．17 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的配方法，熟练掌握配方法是解题的关键． 通过完成平方将方程化为的形式，直接计算n的值即可． 【详解】解：由题意得， ， ∴． 故选D． 5．（25-26九年级上·河南濮阳·期末）对于实数定义新运算：，则关于的方程的解，下列说法正确的是（    ） A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，先根据新运算定义将方程转化为一元二次方程，并把一元二次方程化为一般式，再利用一元二次方程的根的判别式判断根的情况即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 6．（2026·河南平顶山·三模）关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据根的判别式进行判断即可. 【详解】解：∵， ∴方程没有实数根． 7．（25-26九年级上·广东湛江·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则m应满足的条件是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程要求二次项系数不为零，由此计算即可得出结果，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∴， 故选：C． 8．（2023九年级上·湖南湘西·竞赛）关于的一元二次方程有两个不相等的同号实数根，则的取值范围是（  ） A．且 B． C．且 D． 【答案】D 【分析】本题需要结合一元二次方程定义，二次根式有意义的条件，根的判别式和根同号的要求，列出不等式组求解即可． 【详解】解：原方程是关于的一元二次方程，且含二次根式， 且， 解得：且， 方程有两个不相等的实数根， 判别式， 解得：， 两个根同号，同号两数乘积为正，两根乘积为， ，即， 综上所述，可得：． 9．设，是一元二次方程的两个根，则（     ） A．4 B．8 C．24 D．26 【答案】C 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再利用完全平方公式将所求式子变形，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ，是一元二次方程的两个根， ∴，， 又∵ ， ∴ 代入得． 二、填空题 10．（2026·广东清远·三模）一元二次方程的两根为，，则______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴，， ∴． 11．（2026·广东江门·一模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是______（写出一个即可）． 【答案】 1(答案不唯一) 【分析】对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，据此将原方程整理为一般形式，求出的取值范围，即可得到符合条件的的值． 【详解】解：将原方程整理为一般形式得， 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 化简得， 解得， 的值可以是． 12．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了根的判别式，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 利用判别式的意义得到，然后解关于的不等式即可． 【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根， ， ， 故答案为：． 13．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为__________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个根是， 将代入方程得：， 整理得：， 解得：． 14．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为____________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且． 解得． 故答案为：． 15．（25-26九年级上·四川达州·期末）若m、n是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是_______． 【答案】11 【分析】利用一元二次方程根的定义将高次项降次，再结合根与系数的关系代入求值． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ∴根据一元二次方程根的定义，得，即， 根据一元二次方程根与系数的关系，得，， 将代入多项式，得： 把，代入上式： ． 三、解答题 16．（2026·江西九江·一模）若是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求出实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，再结合题意即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ， 解得； （2）解：由题意得，， ∵ ， 解得，符合题意． 17．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，则称这个方程为“差1方程”．比如，一元二次方程的两根为，，因为，所以一元二次方程为“差1方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程 “差1方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的一元二次方程是“差1方程”，求k的值． 【答案】(1)不是 (2)-6或-8 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系． （1）解该一元二次方程，得出，，再根据“差1方程”的定义判断即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得出，，根据 “差1方程”的定义可得，即可求出或，再结合“差1方程”的定义检验即可. 【详解】（1）解：此方程不是“差1方程”，理由如下： ， 解得：，， ∵， ∴方程不是“差1方程”； （2）解：∵设方程两根为，， 由根与系数的关系，得，， ∵方程 是“差1方程”， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴, ∴或； 当时，方程，解得：，，此时， 当时，方程，解得：，，此时， 综上所述：当或时，关于x的一元二次方程是“差1方程”. 18．（25-26九年级上·江西上饶·期末）我们规定：对于任意实数有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． (1)求的值； (2)已知关于的方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】(1)10 (2)且 【分析】本题考查了新定义、一元二次方程的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意求值即可； （2）根据一元二次方程的判别式得，解题即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ， 此方程有两个实数根， ， 解得且． 19．（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）已知：关于x的方程． (1)求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根为，且满足，求k的值． 【答案】(1)详见解析 (2)k的值为 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式列出关于k的式子． （1）根据根的判别式，据此可得答案； （2）根据根与系数的关系得出，利用，即可得到k的值． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴不论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：根据根与系数的关系得： ， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即k的值为． 20．（25-26九年级上·河南南阳·期中）已知关于的一元二次方程． (1)证明：不论为何值时，方程总有实数根； (2)若该方程有一个根为，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义以及根的判别式，熟练掌握相关公式是解题关键． ()根据根的判别式即可求出答案； ()把代入方程中即可求出答案． 【小问1】 证明： ， ， 不论为何值时，方程总有实数根； 【小问2】 解：该方程有一个根为， ， 解得：； 的值为． 21．（25-26九年级上·河北沧州·期末）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： (1)代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 【答案】(1)1；大；8 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了配方法的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的非负性． （1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最值； （2）两式相减，配方后根据完全平方式恒大于等于0，可得差值的正负，即可得到两式的大小关系． 【详解】（1）解：∵，∴当1时，代数式有最大值，这个值是8； 故答案为：1，大，8． （2）解：， 理由如下： ， ． 22．（24-25九年级上·四川资阳·期末）阅读下面材料：已知，是一元二次方程的两实数根，若满足，则此类方程称为“差根方程”．在学习了求根公式法解方程后，小聪同学发现：，最后得到“差根方程”中a，b，c之间的关系是． (1)请通过计算判断方程是否是“差根方程”． (2)若方程是“差根方程”，请求出k的值以及方程的两个根． (3)若关于x的“差根方程”的一个根是（a，m，b均为常数，），则方程是“差根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由． 【答案】(1)方程是“差根方程”，见解析 (2)，， (3)方程是“差根方程”，它的根是，或， 【分析】（1）利用因式分解法求出方程的解，再结合“差根方程”的定义判断即可得解； （2）由题意可得，从而可得，由一元二次方程根与系数的关系可得，，再利用完全平方公式的变形计算可得，最后解方程即可得解； （3）由“差根方程”的定义计算可得，从而可得，，，求解并判断即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴，， ∴， ∴方程是“差根方程”． （2）解：∵方程是“差根方程”， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴方程为， 解得，． （3）解：∵， ∴ ∵方程关于x的“差根方程”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵关于x的“差根方程”的一个根是（a，m，b均为常数，）， ∴， ∴，． 将代入方程可得：， 解得：，， ∴， ∴方程是“差根方程”，它的根为，． 即，或，． ∴方程是“差根方程”．它的根是，或，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $