18.5.1分式方程及其解法-培优课件-2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦分式方程，涵盖定义、解法五步流程及增根等核心知识点。通过轮船航行等情境导入，对比整式方程引出分式方程，搭建从已知到未知的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以探究式教学引导学生动手转化分式方程，结合情境问题培养抽象能力和模型意识，通过分层例题及易错点汇总强化推理意识。学生能提升严谨思维，教师可借助系统资源高效教学。

人教版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月3日 18.5.1分式方程及其解法 第十八章 分式 18.5.1 分式方程及其解法 总结与练习 一、学习目标 1. 掌握分式方程的定义，能准确区分整式方程与分式方程； 2. 理解分式方程“去分母化为整式方程”的解题思想，掌握标准解题五步流程； 3. 理解增根的产生原因，掌握必做验根步骤，熟练解各类基础分式方程。 二、核心知识点 1. 分式方程的定义 分母中含有未知数的方程，叫做分式方程。 区分关键：看分母是否含字母（未知数），含字母是分式方程，不含字母是整式方程。 举例：$$\dfrac{1}{x+1}=2$$（分式方程）、$$\dfrac{x}{2}+1=3$$（整式方程） 2. 解题核心思想（转化思想） 分式方程 去分母 转化为 整式方程，解整式方程后验根。 3. 分式方程满分五步解法（必考背诵） 第一步：找最简公分母：对所有分母因式分解，确定最简公分母； 第二步：两边同乘公分母：消去所有分母，化为整式方程； 第三步：解整式方程：去括号、移项、合并同类项、系数化为1； 第四步：必须验根（最关键）：把解代入最简公分母； 第五步：下结论：公分母≠0，是原方程的根；公分母=0，是增根，原方程无解。 4. 增根知识点（重难点） 增根定义：去分母过程中，人为扩大未知数取值范围，产生的不适合原方程的根。 产生原因：方程两边同乘了含未知数的整式，可能乘0，导致无效根。 核心结论：分式方程求解必须验根，无验根步骤直接扣分。 三、经典例题精讲 例1 基础可解分式方程 解方程：$$\dfrac{3}{x}=\dfrac{2}{x-1}$$ 解：最简公分母：$$x(x-1)$$ 方程两边同乘$$x(x-1)$$得：$$3(x-1)=2x$$ 去括号：$$3x-3=2x$$ 解得：$$x=3$$ 验根：当$$x=3$$时，$$x(x-1) e0$$ ∴ 原方程的解为 $$\boldsymbol{x=3}$$ 例2 含增根、无解题型（易错必考） 解方程：$$\dfrac{1}{x-2}+3=\dfrac{x-1}{x-2}$$ 解：最简公分母：$$x-2$$ 两边同乘$$x-2$$：$$1+3(x-2)=x-1$$ 化简：$$1+3x-6=x-1$$，$$2x=4$$，解得$$x=2$$ 验根：当$$x=2$$时，$$x-2=0$$，x=2是增根 ∴ 原方程无解 例3 分母可因式分解题型（拔高） 解方程：$$\dfrac{2}{x+1}-\dfrac{3}{x-1}=\dfrac{6}{x^2-1}$$ 解：因式分解$$x^2-1=(x+1)(x-1)$$，公分母$$(x+1)(x-1)$$ 两边同乘公分母：$$2(x-1)-3(x+1)=6$$ 整理得：$$2x-2-3x-3=6$$，$$-x=11$$，$$x=-11$$ 验根：$$x=-11$$时公分母不为0，∴ 方程解为$$\boldsymbol{x=-11}$$ 四、本节高频易错汇总 1. 忘记验根：分式方程不验根，考试直接扣全步骤分（最大扣分点）； 2. 漏乘整式项：方程中的常数项、整式项，去分母时忘记乘最简公分母； 3. 去括号符号错误：括号前是负号，去括号未全部变号； 4. 验根方式错误：代入原方程验算速度慢，正确方法是代入最简公分母； 5. 增根不会判断：算出解后，公分母为0未及时判定无解。 五、课时同步专项练习题 一、选择题 1. 下列属于分式方程的是（） A. $$\dfrac{x}{2}+3=5$$   B. $$\dfrac{1}{x}+2=3$$   C. $$2x+1=0$$   D. $$\dfrac{2}{3}x=1$$ 2. 解方程$$\dfrac{1}{x-3}=\dfrac{2}{x}$$，去分母后正确的整式方程是（） A. $$x=2(x-3)$$   B. $$x=2x-3$$   C. $$x=2(x+3)$$ 3. 若分式方程$$\dfrac{1}{x-2}+1=\dfrac{a}{x-2}$$有增根，则增根是（） A. $$x=0$$   B. $$x=1$$  C. $$x=2$$ 二、填空题 4. ________中含有未知数的方程叫做分式方程。 5. 解分式方程的核心思想是将分式方程转化为________方程。 6. 分式方程求解后必须________，判断是否存在增根。 三、解答题（必考题型） 7. 解下列分式方程： （1）$$\dfrac{2}{x+1}=\dfrac{4}{x+3}$$ （2）$$\dfrac{x}{x-1}-1=\dfrac{3}{(x-1)(x+2)}$$ 六、参考答案与详细解析 一、选择题 1. B  解析：只有B选项分母含未知数，属于分式方程。 2. A  解析：最简公分母$$x(x-3)$$，两边同乘得$$x=2(x-3)$$。 3. C  解析：增根使最简公分母$$x-2=0$$，即$$x=2$$。 二、填空题 4. 分母 5. 整式 6. 验根 三、解答题 7. （1）解： 公分母$$(x+1)(x+3)$$，两边同乘得：$$2(x+3)=4(x+1)$$ 展开：$$2x+6=4x+4$$，解得：$$x=1$$ 验根：$$x=1$$时分母不为0，∴ 解为$$\boldsymbol{x=1}$$ （2）解： 公分母$$(x-1)(x+2)$$，两边同乘：$$x(x+2)-(x-1)(x+2)=3$$ 展开化简：$$x^2+2x-(x^2+x-2)=3$$，$$x+2=3$$，得$$x=1$$ 验根：$$x=1$$时，公分母为0，是增根 ∴ 原方程无解 1. 理解分式方程的意义，掌握解分式方程的一般方法和步骤. (重点) 2. 理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握解分式方程中验根的方法. (难点) 3. 在将分式方程转化为整式方程，在解分式方程的方法中培养探究、合作学习的习惯. 学习目标 1.什么是方程？ 指含有未知数的等式. 2.我们已学过的方程有哪些？举例说明. 我们所学的方程，分母中都不含未知数，所以我们把这类方程叫作整式方程，例如一元一次方程，二元一次方程. 情境探究： 一艘轮船在静水中的最大航速为 30 km/h，它沿江以最大航速顺流航行 90 km所用时间与以最大航速逆流航行 60 km 所用时间相等，江水的流速为多少？ ① 分母中含有未知数． 问题：仔细观察这个方程，未知数的位置有什么特点？ 探究点一：分式方程的概念 像这样分母中含未知数的方程叫作分式方程. 我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中. 动手写几个分式方程吧！ 分式方程 探究点一：分式方程的概念 【针对训练】 1. 下列式子中，属于分式方程的是________； 属于整式方程的是_______. ②③ ① 探究点一：分式方程的概念 探究点二：分式方程的解法 解：去分母得 2×(2＋3x)－6×2＝x＋2 4＋6x－6×2＝x＋2 5x＝10 去括号得 移项合并得 解得 x＝2 类比解整式方程 如何转化？ 去分母 探究：如何解分式方程 动手解一解！ 【合作探究】 方程的最简公分母是：(30 + v)(30 - v). 解：方程两边同乘 (30 + v)(30 - v)，得 90(30 - v) = 60(30 + v)， 解得 v = 6. x = 6 是原分式方程的解吗？ 检验：将 v = 6 代入①中，左边 = ，右边 = ， 这时左、右两边的值相等，因此 v = 6 是分式方程 ① 的解. ① 探究点二：分式方程的解法 【归纳总结】 解分式方程的基本思路： 整式方程 去分母 分式方程 (方程两边同乘 最简公分母) 探究点二：分式方程的解法 【合作探究】下面我们再解一个分式方程： 解：方程两边乘最简公分母 (x + 5)(x - 5)，得整式方程 x + 5 = 10. 解得 x = 5. x = 5 是原分式方程的解吗？ 探究点二：分式方程的解法 检验： x = 5 代入 分式无意义 x - 5 = 0 x2 - 25 = 0 分母 分式方程无解 x = 5 是整式方程的解 不是分式方程的解 探究点二：分式方程的解法 【想一想】 上面两个分式方程中，为什么 ① 去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解， 而 ② 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？ 探究点二：分式方程的解法 【对比探究】 x + 5 = 10 两边同乘(x + 5)(x - 5) 90(30-x)=60(30+x) 两边同乘(30+x)(30-x) 当x=6时，(30+x)(30-x)≠0 当 x=5 时，(x + 5)(x - 5)=0 区别 ？ 整式方程的解是否使最简公分母为0 ① ② 探究点二：分式方程的解法 用图框的方式总结为： 当 x = m 时 最简公分母是 否为零 x = m 检验 x = m 是分式 方程的解 否 x = m 不是 分式方程的解 是 解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为 0，所以分式方程的解必须检验. 【归纳总结】 探究点二：分式方程的解法 例1 解方程： 解： 方程两边同乘 x(x - 3)，得 2x = 3x - 9. 解得 x = 9. 检验：当 x = 9 时， x(x - 3)≠0， 所以，原分式方程的解为 x = 9. ①将分式方程转化为整式方程 ②求整式方程的解 ③把解代入到最简公分母中，看是否为零 探究点二：分式方程的解法 例2 解方程： 解：方程两边同乘 (x - 1)(x + 2)，得 x(x + 2) - (x - 1)(x + 2) = 3. 解得 x = 1. 检验：当 x = 1 时， (x - 1)(x + 2) = 0， 因此 x = 1 不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解. ①化整式方程 ②求解 ③检验 探究点二：分式方程的解法 解：方程两边同乘 (x - 1)(x + 1)，得 4(x + 1) = 2x + 6. 解得 x = 1. 检验：当 x = 1 时， (x - 1)(x + 1) = 0， 因此 x = 1 不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解. 【针对训练】1. 解方程： . 探究点二：分式方程的解法 2. 如果关于 x 的方程 的解是无解，则 a 的值为_______. 解：将方程两边同乘 (x－2) 得 ax－4＝x－2，即 (a－1)x＝2. 因为方程无解，此时 a－1＝0 或 ＝2， 所以 a＝1 或 2. 1 或 2 探究点二：分式方程的解法 1. 为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后 比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造 前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为 ( ) B A. 200 B. 300 C. 400 D. 500 返回 中考考法 19 2. 某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的 投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，共有 三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工； ②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；③ ， 剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工.某同学设规定的 工期为天，根据题意列出了方程： ，则方案③ 中被墨水污染的部分应该是( ) 中考考法 20 A. 甲、乙两队合作了4天 B. 甲队先做了4天 C. 甲队先做了工程的 D. 甲、乙两队合作了工程的 √ 返回 中考考法 21 3. 教材P169习题 某物流仓储公司用， 两种型号 的机器人搬运物品，已知型机器人比 型机器人每小时多搬 运，型机器人搬运所用时间与 型机器人搬运 所用时间相等，则型机器人每小时搬运物品____ . 80 返回 中考考法 22 4.［2024自贡］为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某 校组织了包粽子活动.已知七（3）班甲组同学平均每小时比 乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包 120个粽子所用的时间相同.求甲、乙两组同学平均每小时各 包多少个粽子. 中考考法 23 【解】设乙组同学平均每小时包 个粽子，则甲组同学平均 每小时包个粽子，根据题意,得 ，解得 .经检验，是原方程的解， .; 答： 甲组同学平均每小时包100个粽子，乙组同学平均每小时包 80个粽子. 返回 中考考法 24 解分式方程的一般步骤如下： 分式方程 去分母 整式方程 x = m 解整式方程 x = m 是分式 方程的解 最简公分母不为0 最简公分母为0 x = m 不是分式方程的解 检验 目标 课堂小结 $