1.3 不等式的性质及其应用 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以作差作商为核心方法，系统整合不等式性质与应用，构建"方法-性质-应用"递进逻辑，强化推理与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础梳理|4要点|作差法/作商法步骤，倒数/糖水不等式结论|从比较方法到等式/不等式性质，形成概念体系| |作差比较|15题|作差变形（配方/因式分解）判断符号|通过代数变形应用作差法解决大小比较| |作商比较|13题|作商与1比较（注意正负）|针对正实数，强化作商技巧与条件判断| |性质理解|19题|性质条件分析（同向/同正等）|结合充分必要条件，深化性质逻辑关系| |性质应用|26题|范围叠加/实际问题建模|从代数范围到实际应用，提升综合运用能力|

1.3 不等式的性质及其应用 基础知识梳理 1.比较两个实数大小的方法 关系 方法 作差法 作商法 或   ＜0 或 2.等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 可逆 传递性 单向 可加（减）性 可逆 可乘性 单向 可除性 可逆 3.不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 可逆 传递性   同向 可加性 可逆 可乘性  ; 的符号 同向可加性 同向 同向同正 可乘性 同向,同正 可乘方性 同正 可开方性 同正 4.常考结论 ①倒数性质的三个必备结论 （1）.（口诀:同号同倒不等号改变） （2）.（口诀:异号同倒不等号不变） （3）. ②糖水不等式 若则（糖水不等式）. 若则： （1）；（真分数越加越大,越减越小） （2）.（假分数越加越小,越减越大） 题型一 作差法比较代数式大小 1．已知，，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则之间的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法比较 4．下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 5．下列运用等式或不等式的性质变形中，正确的是（    ） A．如果那么 B．如果那么 C．如果那么 D．如果，那么 6．已知的三边长分别是，，，则最大内角的度数为（   ） A． B． C． D． 7．已知，，，则（    ）． A． B． C． D． 8．（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（多选）已知实数，，满足，则下列不等式正确的有（   ） A． B． C． D． 10．（多选）若，则下列不等式成立的是（     ） A． B． C． D． 11．，，，则，，，由大到小的顺序是________． 12．对于，给出下列四个不等式①；②；③；④．其中成立的是________． 13．（1）已知，，，，比较p与q的大小，并说明理由； （2）已知，，比较与的大小，并说明理由． 14．(1)已知都是实数，比较与的大小． (2)求解不等式组 15．设，，当时，求证：． 题型二 作商法比较代数式大小 1．设，，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，.设，，，则（   ） A． B． C． D． 3．设，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．（多选）若，则以下结论正确的是（     ） A． B． C． D． 6．（多选）已知实数满足，则以下大小关系正确的是（    ） A．当时， B． C． D． 7．（多选）设，，，则（    ） A． B． C． D．无法确定 8．（1）作差法：_______，，_____ （2）作商法：_______，，____ 9．设，，且，则和的大小关系是_________． 10．已知，则___________．（填“”“”或“”） 11．若，，则与的大小关系为______.（用“”连接） 12．（1）比较大小：与； （2）设，比较与的大小. 13．（1）设，，比较与的大小； （2）求关于的不等式的解集. 题型三 不等式的基本性质 1．已知R，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设，，则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 4．若，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 6．若，则“”是“”的（    ）条件. A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既不必要也不充分 7．对实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知实数，则“”是“”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．已知a，b,c,d是实数，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（多选）若，，则（   ） A． B． C． D． 11．（多选）已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 12．（多选）已知实数a，b，c，d，则下列命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若且，则 13．（多选）下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 14．（多选）设且，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 15．（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 16．已知，求证:. 17．（1）设，．试比较与的大小． （2）已知，，．求证：． 18．假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． (1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； (2)利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则． 19．已知，都是正实数，证明：. 题型四 不等式性质的应用 1．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 4．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知实数满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．体育课是体育教学的基本组织形式，主要使学生掌握体育与保健基础知识，基本技术、技能，实现学生的思想品德教育，提高其运动技术水平.新学期开学之际，某校计划用不超过1500元的资金购买单价分别为120元的篮球和140元的足球.已知该校至少要购买8个篮球，且至少购买2个足球，则不同的选购方式有（    ） A．6种 B．7种 C．8种 D．5种 二、多选题 7．已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 8．已知实数a，b满足，，下面说法正确的有（     ） A． B． C． D． 9．（多选题）若实数a，b满足，则下列说法正确的有（ ） A．的取值范围为 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 10．已知实数x，y满足，则下列说法正确的有（   ） A．x的取值范围为 B．y的取值范围为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 三、填空题 11．关于的不等式组的整数解有且只有和，那么适合这个不等式组的整数对共有___________对． 12．若关于的不等式组的所有整数解之和为12，则的取值范围是__________． 13．已知，，则的取值范围是________． 14．已知，，且，则的值为____________． 15．以表示集合中最大的数，设，已知或，则的最小值为____. 16．已知，则的取值范围是___________ 17．若实数，满足，，则的取值范围是________． 18．已知，，则的取值范围为______________，的取值范围为______________. 19．已知，则代数式的取值范围为_____________． 四、解答题 20．已知，，求的取值范围． 21．（1）已知，求的取值范围． （2）已知，，求的取值范围． 22．已知实数． (1)若，则的取值范围； (2)若，求的取值范围． 23．已知，． (1)求y的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 24．已知，，求，，的范围． 25．火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物.现计划用，两种型号的货箱共50节运送这批货物.已知甲种货物和乙种货物可装满一节型货箱，甲种货物和乙种货物可装满一节型货箱. (1)据此安排，两种货箱的节数，共有几种方案？ (2)若每节型货箱的运费是万元，每节型货箱的运费是万元，哪种方案的运费最少？ 26．已知. (1)求，的取值范围； (2)若将条件变为“”，求的范围. 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 不等式的性质及其应用 基础知识梳理 1.比较两个实数大小的方法 关系 方法 作差法 作商法 或   ＜0 或 2.等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 可逆 传递性 单向 可加（减）性 可逆 可乘性 单向 可除性 可逆 3.不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 可逆 传递性   同向 可加性 可逆 可乘性  ; 的符号 同向可加性 同向 同向同正 可乘性 同向,同正 可乘方性 同正 可开方性 同正 4.常考结论 ①倒数性质的三个必备结论 （1）.（口诀:同号同倒不等号改变） （2）.（口诀:异号同倒不等号不变） （3）. ②糖水不等式 若则（糖水不等式）. 若则： （1）；（真分数越加越大,越减越小） （2）.（假分数越加越小,越减越大） 题型一 做差法比较代数式大小 1．已知，，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式的性质证明，或者构造反例说明，即可得解. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，满足，则，故B错误； 对于C，显然成立，C正确； 对于D，，当时等号成立，故D错误. 2．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用作差法计算判断各个选项. 【详解】对于A，由题意，即，故A错误； 对于B，由题意，即，故B错误； 对于C，由题意，即，故C正确； 对于D，由题意，即，故D错误. 3．已知，则之间的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【分析】设，则，，代入可得，，可证，进而得出答案． 【详解】设，则， 可得，， 因为， 即， 且，，可得，所以. 4．下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用特值法分析选项AD，因式分解分析选项B，作差法分析选项C. 【详解】若，则，选项A错误； 因为即，解得，选项B错误； ， ， 则，选项C正确； 若， 因为，，所以只有时等号成立， 不存在实数使得正弦值和余弦值同时等于1，选项D错误. 5．下列运用等式或不等式的性质变形中，正确的是（    ） A．如果那么 B．如果那么 C．如果那么 D．如果，那么 【答案】B 【详解】对于A，若，则等式变形不成立；A错误； 对于B，若，则，， 所以，B正确； 对于C，时，满足，但，C错误； 对于D，， 因为，所以，但的符号不确定， 当时，，当时，，当时，，D错误. 6．已知的三边长分别是，，，则最大内角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据已知并应用作差法比较大小确定最大边，即对应的最大角，再应用余弦定理求最大内角. 【详解】已知，三边长分别为，，， 所以，，则是最大边，对应最大角， 由， 由，因此. 7．已知，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：作出单位圆，由面积大小关系得到，从而得到，再利用作差法，二倍角公式得到，从而得到答案；方法二：通过构造函数和，求导判断函数的单调性即可比较大小. 【详解】方法一：设，作出单位圆，与轴交于点，则， 过点作垂直于轴，交射线于点，连接，过点作⊥轴于点， 由三角函数定义可知，，， 设扇形的面积为，则，即， 故， 所以，即， 又，故，即，    由， 因为，所以，故， 综上可得，. 方法二：设函数，则， 因，可得，故，即函数在上单调递增， 故，即在上恒成立， 因，则，即，故； 再设函数，则， 令，则，即函数在上单调递增， 则，故函数在上单调递增， 则，故在上恒成立， 因，则，即. 综上可得. 8．（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】A选项，当时，，所以A选项错误； B选项，若，则，所以，所以B选项正确； C选项，若，则，所以C选项错误； D选项，若，则，则，所以D选项正确. 9．（多选）已知实数，，满足，则下列不等式正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对AB选项可通过作差比较法及不等式性质判断可得，对C选项可通过作商比较法及指数函数的性质判断可得，对D选项则通过特殊值法判断可得. 【详解】选项A：对两式作差得， 由，得，，所以，即，A正确； 选项B：对两式作差得， 由，得，又， 所以，即，B正确； 选项C：因为，所以， 对两式作商得， 由得，由得，因为函数在上单调递增， 所以，即，C正确； 选项D：取特殊值，左边，右边， 此时，不满足大于关系，D错误. 10．（多选）若，则下列不等式成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】对于A，由指数函数的单调性可判断，对于BCD，通过作差法可判断. 【详解】选项A：当时，指数函数 在R上单调递减， 又，所以，故A错误； 选项B：变形得： ， 因为 且 ，所以 ，即 ，B正确； 选项C：作差整理： ， 因为，则，， 可得 ，， 故，即 ，C正确； 选项D：作差整理： ， 因为，得 ，其余项都为正， 故，即 ，D错误. 11．，，，则，，，由大到小的顺序是________． 【答案】 【分析】根据题意，利用作差法判断即可. 【详解】已知，，，则，，，， 由于，所以， 由于，所以， 所以， 综上，. 12．对于，给出下列四个不等式①；②；③；④．其中成立的是________． 【答案】②④ 【分析】利用作差法得，再由判断与都为减函数即可. 【详解】由， 因为，所以，所以，即， 因为，所以为减函数，为减函数， 所以且. 13．（1）已知，，，，比较p与q的大小，并说明理由； （2）已知，，比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用差比较法判断两者的大小关系. （2）利用差比较法判断两者的大小关系. 【详解】（1），理由： 由， ， 作差得 . 因 ，，故 ，又 ， 所以 ，即 ，当且仅当 时取等号. （2），理由： 作差得 . 因 ，，故 ，，又 ， 所以 ， 即 ，当且仅当 时取等号. 14．(1)已知都是实数，比较与的大小． (2)求解不等式组 【答案】(1)当时， ;当或时， . (2) 【详解】（1）由 ，当且仅当时，等号成立， 所以当时， . 所以当或时， . （2）由 得 所以 或 ； 由 ，移项通分得 即 ， 所以，解得， 由， 所以不等式组的解是. 15．设，，当时，求证：． 【答案】略 【分析】利用作差法可得，分析可知与同号，可得，即可得结果. 【详解】由题意可得： ． 因为，则， 当时，，，当且仅当时，等号成立； 当时，，； 综上所述：与同号，可得，所以． 题型二 作商法比较代数式大小 1．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 因为，且， 所以，即， ，因为，幂函数在上单调递增，， 所以，因此，即， ， 因为，，所以， 因为，所以，即， 因此. 2．已知，.设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意整理对数式，根据已知的大小关系，结合对数的运算律与公式，可得答案. 【详解】由题意可得，， 因为，，所以两边取对数整理可得，，所以 又，，， 且，即， 所以，，所以. 故选：D. 3．设，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由指数函数的单调性比较与的大小，再作商比较的大小即可得解. 【详解】， ， 而，因为，所以， 所以，故， 所以. 故选：B 4．若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数的单调性以及对数函数单调性可判断范围，比较它们的大小；利用作商法比较的大小，即可得答案. 【详解】因为函数在R上单调递增，所以． 又，所以． 因为，故在上单调递减， 所以，所以， 所以实数的大小关系为， 故选：B． 5．（多选）若，则以下结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，由，两边同除以正数即可求解；对于B，使用反例证伪即可，对于C，将原不等式转化为即可求解，对于D，使用不等式的传递性完成放缩即可. 【详解】因为，所以， 对于A，因为，且，则有，进而可得，故A正确； 对于B，不妨取，此时，满足， 此时， 以2为底的指数函数单调递增且，则，此时，故B错误； 对于C，因为，，则有，进而，即， 因为，即，因为，即， 不等式两边同时除以得， 整理得，故C正确； 对于D，因为，，则， 因为,，则， 进而有，即，故D正确. 6．（多选）已知实数满足，则以下大小关系正确的是（    ） A．当时， B． C． D． 【答案】AD 【分析】应用指数幂的性质、作差作商或平方法，结合不等式的性质判断各项的正误. 【详解】A：由，则且，故，对； B：当时，，错； C：，而，的符号不定， 所以的符号不能确定，故大小不定，错； D：法一：， 而，则； 法二：由， 则 ， 所以； 法三： ， ，， 故，对. 故选：AD 7．（多选）设，，，则（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】AB 【分析】根据换底公式，结合基本不等式与作商法判断即可. 【详解】因为，，， 又， ， 故，，所以，. 故选：AB 8．（1）作差法：_______，，_____ （2）作商法：_______，，____ 【答案】 > < > < 【分析】由作差法，作商法定义可得答案. 【详解】故答案为： 9．设，，且，则和的大小关系是_________． 【答案】 【分析】由，，且，得到， 再分和讨论求解. 【详解】因为，，且，所以， 当时，由，，可得，所以． 当时，由，，可得，所以． 综上可得，． 故答案为：． 10．已知，则___________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】将指数式化为对数式，然后用作商法，结合换底公式即可比较大小. 【详解】由题得，， 而，所以. 故答案为： 11．若，，则与的大小关系为______.（用“”连接） 【答案】 【分析】利用作商法以及基本不等式可得出两个对数式的大小关系. 【详解】 ， 因为，，则，， 所以. 故答案为：. 12．（1）比较大小：与； （2）设，比较与的大小. 【答案】（1）. （2）. 【分析】（1）利用作差法比较大小. （2）利用作商法比较大小. 【详解】（1） ， 因为，所以， 即. （2）由，得，，， 因此， 所以. 13．（1）设，，比较与的大小； （2）求关于的不等式的解集. 【答案】（1）； （2）当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 【分析】（1）根据条件得到，再通过作商法，即可求解； （2）先分和，时，易解得，时，原不等式可变形为，再利用一元二次不等式的解法，对分类讨论，即可求解. 【详解】（1）因为，， 则， 故，当且仅当时取等号. （2）当时，不等式可化为一次不等式：，则有； 当时，不等式可化为二次不等式. ①当时，，可得或. ②当时，. 时，则；时，解集为；时，则. 综上所述： 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 题型三 不等式的基本性质 1．已知R，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，，故成立. 若，取，，满足，但，故不成立. 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 2．设，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合重要不等式和赋值法，根据充分条件和必要条件的定义直接判断即可. 【详解】若，则， 所以，故必要性成立. 取，，则， 但，充分性不成立. 因此“”是“”的必要不充分条件. 3．设，，则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义结合不等式的性质判断. 【详解】充分性：若，由不等式的性质可知成立， 必要性：若成立，但不一定成立， 例如：，成立，但不满足， 所以是的充分不必要条件. 4．若，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取特值寻找ABD的反例,使用同正可乘性验证C即可. 【详解】当，时，ABD显然错误； 由可得，由不等式性质可得，，故C正确. 5．已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A、B，当时，，所以，故A、B均不正确； 对于C、D，因为，所以，又，所以，所以，即，C正确，D错误； 6．若，则“”是“”的（    ）条件. A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既不必要也不充分 【答案】C 【详解】充分性：由“”可得，但当时，，不满足“”， 因此充分性不成立； 必要性：由“”可得，所以，即，可知必要性成立； 因此“”是“”的必要非充分条件. 7．对实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】应用不等式性质结合充分必要条件的定义求解即可. 【详解】对实数，当时，，则， 当时，，则， 则“”是“”的充要条件. 故选：C. 8．已知实数，则“”是“”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，不妨取,,此时,所以不能推出， 若等价于,因为，所以, 即能推出, 综上，“”是“”的必要且不充分条件， 故选：B 9．已知a，b,c,d是实数，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】应用不等式性质化简得出充分性成立，再应用特殊值法判断必要性即可. 【详解】当， 又，∴，充分性成立， 反过来，不妨取，，，，则， 但且不成立，故必要性不成立． 故选：A. 10．（多选）若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】本题考查不等式的基本性质、幂函数的单调性，可通过性质推导或特值法验证选项. 【详解】选项A：由，两边同乘得， 结合，根据不等式性质：若，，则， 可得，即，所以选项A正确. 选项B：取特值，，，，则，， 此时，所以选项B错误. 选项C：已知，，设幂函数， 因为，所以幂函数在上单调递减， 根据幂函数的单调性，可得，所以选项C错误. 选项D：对进行通分：. 因为，所以，，，则. 所以，即，所以，所以选项D正确. 11．（多选）已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用不等式的性质即可判断AC，利用作差法即可判断B，利用基本不等式即可判断D. 【详解】对于A：由得，又，所以，故A正确； 对于B：，又， 所以，所以， 所以，所以，故B错误； 对于C：由，所以，故C错误； 对于D：， 由，所以，所以， 当，即时，等号成立， 所以，故D正确. 12．（多选）已知实数a，b，c，d，则下列命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】BCD 【详解】对于A，，若，则，故A为假命题； 对于B，，，又，，故B为真命题； 对于C，，则，，故C为真命题； 对于D，且，则，，故D为真命题． 13．（多选）下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】ABD 【分析】对于A，由不等式同向可加性可判断选项正误；对于B，由可判断选项正误；对于C，通过举特例可判断选项正误；对于D，由作差法可判断选项正误. 【详解】对于A，因，由不等式同向可加性可得，故A正确； 对于B，因，则，故B正确； 对于C，当，时，，故C错误； 对于D，， 因，则， 从而，故D正确. 故选：ABD 14．（多选）设且，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】通过变形比较判断A、C；通过特值判断B、D. 【详解】对于选项：变形为，因实数的平方非负，故该不等式一定成立； 对于选项：取，得，故该不等式不一定成立； 对于选项：变形为，因实数的平方非负，故该不等式一定成立； 对于选项：取，得，故该不等式不一定成立. 故选：AC. 15．（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】由不等式性质逐项分析判断即可. 【详解】对于A：若，则当时，；时，；时，，A错误； 对于B：因为，所以，所以，所以， 即，不等式两侧同时乘以，得，即，B正确； 对于C：因为，所以，所以，C正确； 对于D：因为，所以，所以，即，D错误； 故选：BC. 16．已知，求证:. 【答案】略 【分析】利用不等式的性质及作差法比较，即可得到结论． 【详解】证明：方法一：因为，所以， 所以，所以， 所以， 即，所以， 又因为，所以. 方法二： 因为，所以， 所以，所以， 所以，因此. 17．（1）设，．试比较与的大小． （2）已知，，．求证：． 【答案】（1）； （2）略 【分析】（1）根据题意，利用作差比较法，即可求解； （2）根据题意，利用不等式的基本性质，即可得证. 【详解】（1）解：由，， 则， 因为，可得，所以； （2）因为，可得， 又因为，所以，所以， 因为，所以 18．假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． (1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； (2)利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则． 【答案】(1)；证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据题意分析可得，其中，，并利用作差法分析证明. （2）利用糖水不等式，结合不等式的性质推理可得. 【详解】（1）因为加糖后糖水更甜，即糖水的浓度变大，所以提炼出的不等式为: ； 证明如下：利用作差法证明 ， 所以，不等式成立. （2）因为为三角形的三边长，所以 由（1）知， ， ， 将上述三个不等式相加可得： ， 所以 19．已知，都是正实数，证明：. 【答案】略 【分析】结合不等式的加法法则，利用基本不等式即可证明. 【详解】因为，都是正实数， 所以，当且仅当即时等号成立； ，当且仅当即时等号成立； 所以，即，当且仅当时等号成立. 题型四 不等式性质的应用 1．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】使用不等式的性质求解. 【详解】因为，，所以，， 因为，所以，即，得， 将代入中，得，即，得， 所以. 2．已知，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，而，则. 3．若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，解得. ，，相加得. 4．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意可知， 由可得，又， 所以，即的取值范围是. 5．已知实数满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意设求得的值，利用题设条件和不等式的性质即可求得. 【详解】设 ， 则，解得，所以； 又，， 所以 ， 所以. 故选：B. 6．体育课是体育教学的基本组织形式，主要使学生掌握体育与保健基础知识，基本技术、技能，实现学生的思想品德教育，提高其运动技术水平.新学期开学之际，某校计划用不超过1500元的资金购买单价分别为120元的篮球和140元的足球.已知该校至少要购买8个篮球，且至少购买2个足球，则不同的选购方式有（    ） A．6种 B．7种 C．8种 D．5种 【答案】D 【分析】根据题意列出不等式组，解出符合题意的组合即可. 【详解】设购买的篮球个数为，足球个数为，且， 根据题意可得， 解得符合题意的有序整数对可以是， 共5种不同的购买方式. 故选：D 7．（多选）已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，由，，得，则，故A正确； 对于B，由，，得，则，故B正确； 对于C，由，，得，则，故C错误； 对于D，由，，得，，则，故D正确. 8．（多选）已知实数a，b满足，，下面说法正确的有（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用不等式的性质即可判断. 【详解】对于A， ，即 ，故A正确； 对于B，由 ，得 ， 所以，即 ，故B正确； 对于C，当 时，得 ， 所以 ，即 ， 所以 ；当 时， ； 当 时，得 ，所以 . 综上可得， ，故C错误； 对于D，当 时，得 ，所以 ， 即 ，所以 ；当 时， ； 当 时，得 ，所以 . 综上可得， ，故D正确. 9．（多选）若实数a，b满足，则下列说法正确的有（ ） A．的取值范围为 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ABC 【分析】利用不等式的性质判断AB；求得，然后利用不等式的性质判断CD； 【详解】对于A，由， 两式相加得，即，故A正确； 对于B，由，得，又， 两式相加得，即，故B正确； 对于CD，设， 所以，解得，则， 因为，所以， 又因为，所以， 所以，即，故C正确，D错误. 10．（多选）已知实数x，y满足，则下列说法正确的有（   ） A．x的取值范围为 B．y的取值范围为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】AD 【分析】对于AB，根据不等式的同向可加性求解即可；对于C，由A知x的取值范围，结合对勾函数的性质可得的取值范围；对于D，根据指数幂的运算性质将展开，根据指数函数的单调性及不等式的同向可加性可得所求范围. 【详解】对于A，因为，则由，可知，即，故A正确； 对于B，因为，则由，可知，即，故B错误； 对于C，由A知，根据对勾函数的性质知在上单调递减，所以的取值范围为，故C错误； 对于D，因为，又， 所以，所以， 所以的取值范围为，故D正确． 故选：AD. 11．关于的不等式组的整数解有且只有和，那么适合这个不等式组的整数对共有___________对． 【答案】6 【分析】解不等式组，根据不等式组的解确定整数，即可得解. 【详解】由有解可得， 又关于的不等式组的整数解有且只有和， 所以，解得且，又， 所以，， 所以适合这个不等式组的整数对共有对. 12．若关于的不等式组的所有整数解之和为12，则的取值范围是__________． 【答案】或 【分析】先求解不等式组得到解集，再根据整数解的和为12确定所有可能的整数解集合，进而推导的取值范围. 【详解】由，得； 当时，所有的整数解为，所以； 当时，所有的整数解为，所以； 综上，的取值范围是或. 13．已知，，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】利用不等式的性质来确定的取值范围. 【详解】，，又因为， ，即． 14．已知，，且，则的值为____________． 【答案】 【分析】利用的范围，以及条件，可得到的值，利用取等情况可得答案. 【详解】由已知条件，，， 可得：当时，取到最大值， ； 当时，取到最小值为， . 因此，而题设给出， 故必有，当且仅当或时成立. 当时，，，，； 当时，，，，. 因此，的值为 15．以表示集合中最大的数，设，已知或，则的最小值为____. 【答案】 【分析】利用换元法表示出、，再根据不等式性质，分情况讨论求解. 【详解】令，，，其中， 所以， 令，因此， 若，则，即， 所以，则， 若，则，即， 所以，则， 又， 综上所述，，当且仅当，且时等号成立， 取，，，满足，且， 此时， 因此的最小值为. 故答案为：. 16．已知，则的取值范围是___________ 【答案】 【分析】先根据的范围求出的范围，再与的范围相加，从而得到的取值范围. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 即的取值范围为． 故答案为： 17．若实数，满足，，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先求出的范围，然后结合不等式的性质进行计算. 【详解】由于，则； 由于，则， 两式相加，则. 故答案为： 18．已知，，则的取值范围为______________，的取值范围为______________. 【答案】 【分析】由不等式的性质先求出的范围，再求得的取值范围；先求得的范围，再求出的范围，最后求得的取值范围. 【详解】由，得. 因为，所以. 所以的取值范围为. 因为，所以. 因为，所以，所以. 所以的取值范围为. 故答案为：；. 19．已知，则代数式的取值范围为_____________． 【答案】 【分析】依据不等式的性质得到答案. 【详解】因为，所以. 因为，所以， 当，所以，即； 当时，； 当时，，综上，， 故答案为： . 20．已知，，求的取值范围． 【答案】 【详解】因为，所以； 由 ． 所以， 即． 所以的取值范围为. 21．（1）已知，求的取值范围． （2）已知，，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据对进行变形，再根据不等式的性质计算求解； （2）用待定系数法将变形，根据已知范围确定的范围． 【详解】（1）， ∴，，， ， 且， ， 的取值范围为． 设， 解得，即， ， ， 又， ， 即的取值范围为． 22．已知实数． (1)若，则的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用不等式性质求出范围. （2）将用表示出，再利用不等式的性质求出范围. 【详解】（1）由，得， 当时，，则，即， 当时，，因此， 所以的取值范围是. （2）依题意，， 由，得， 则，所以的取值范围是. 23．已知，． (1)求y的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过待定系数法将表示为与的线性组合，分别求出各部分范围后相加； （2）由已知求出的取值范围，再与的范围相乘得到结果； （3）将表示为与的线性组合，求出范围后再相加. 【详解】（1）设，则， 所以，解得， 所以． 因为，所以．① 因为，所以．② ①＋②得，，所以． （2）∵，，∴，∴， 所以． （3）设，则， 所以，解得 所以． 因为，所以．③ 因为，所以． ④ ③＋④得，，所以． 24．已知，，求，，的范围． 【答案】，， 【分析】利用不等式的基本性质，对已知不等式进行变形、运算，逐步推导目标代数式的取值范围． 【详解】 ，， ，， ，； ，， ， ． 25．火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物.现计划用，两种型号的货箱共50节运送这批货物.已知甲种货物和乙种货物可装满一节型货箱，甲种货物和乙种货物可装满一节型货箱. (1)据此安排，两种货箱的节数，共有几种方案？ (2)若每节型货箱的运费是万元，每节型货箱的运费是万元，哪种方案的运费最少？ 【答案】(1)三种 (2)安排型货箱30节，型货箱20节时运费最少 【分析】（1）根据不等关系列出相应不等式以及方程，解出型货箱的节数，可分为三种方案； （2）根据相应货箱的运费，得出方案三运费最少. 【详解】（1）设安排两种货箱分别为节，节， 则可列不等式组， 利用不等式即可解得， ，或，或. 共有三种方案： 方案一，安排型货箱28节，型货箱22节； 方案二，安排型货箱29节，型货箱21节； 方案三，安排型货箱30节，型货箱20节. （2）共有三种方案，运费分别为： 安排两种货箱分别为28节，22节，运费为万元 安排两种货箱分别为29节，21节，运费为万元. 安排两种货厢分别为30节，20节，运费为万元. 易知安排型货箱30节，型货箱20节时，运费最少，为31万元. 26．已知. (1)求，的取值范围； (2)若将条件变为“”，求的范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用不等式的性质和齐次化可求的取值范围； （2）利用待定系数法结合不等式的性质可求的范围. 【详解】（1）因为，所以，所以； 因为，所以，∴，，即 所以， （2）令，所以， 所以，则，所以. 因为，所以， 所以. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $