不等式 专项训练—2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦不等式全模块，以题构建“性质-解法-应用”逻辑链，通过多样题型培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |不等式性质|单选1-3、28、多选29|比较大小、命题判断|从基本性质到不等关系推理| |不等式解法|单选4-6、24-27、填空33-34、解答46|解集求解、含参分类|从一元二次到分式/绝对值不等式的转化| |基本不等式应用|单选7-9、19-20、填空35-37|最值计算、条件约束|“一正二定三相等”的模型构建| |恒成立与能成立|单选11-12、15、填空39-40、解答49|参数范围、存在性问题|函数最值与不等式的逻辑联结| |实际应用与综合|单选21-22、填空41、解答48|优化问题、跨模块综合|从数学建模到实际问题解决|

不等式专项训练——2027届高三数学一轮复习（答案解析） 本册为答案与解析 选择题答案速查表 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B C B A A C A 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 B A A B B B C A 题号 17 18 19 20 21 22 23 24 答案 A B B B B B B A 题号 25 26 27 28 29 30 31 32 答案 A A A A ACD ABC ABCD AB 一、单项选择题解析 1. 答案 C。 ，其中 ，又 ，故 。A、B 反例 ，；D 反例 。 2. 答案 B。 。A、C 反例 ，；D 中 恒成立。 3. 答案 C。 ；；。故 。 4. 答案 B。 。 5. 答案 A。 同解于 且分母 ，故 。 6. 答案 A。 。 7. 答案 C。 ，当且仅当 时取等号。 8. 答案 A。 令 ，则 ，当且仅当 （即 ）时取等号。 9. 答案 B。 ，当且仅当 ，结合条件解得 ，。 10. 答案 A。 对勾函数的单调递增区间为 ，需 ，即 ，故 。 11. 答案 A。 设 ， 时 ，故需 。 12. 答案 B。 在 上的值域为 ，存在 使不等式成立，即 。与第 11 题对照：恒成立取最大值，能成立取最小值。 13. 答案 B。 对称轴 。当 时，最小值 ，成立；当 时，最小值 得 ；当 时，最小值 得 ，舍去。综上 。 14. 答案 B。 由解集为 知 ，且两根为 和 ，由韦达定理 ，，解得 ，。所求不等式即 ，即 ，解得 或 。 15. 答案 C。 当 时，不等式为 ，恒成立；当 时，抛物线开口向下，需 ，解得 ；当 时，开口向上，不恒成立。综上 。 16. 答案 A。 ； 中 解得 或 。故 。 17. 答案 A。 ；反之 时也有 ，故不必要。 18. 答案 B。 二次函数开口向上且恒正，需 ，即 。 19. 答案 B。 ，则 ，即 ，当且仅当 ， 时取等号。 20. 答案 B。 ，当且仅当 （在 内）时取等号。 21. 答案 B。 设垂直于墙的两边各长 米，则平行于墙的一边长 米，面积 。由 ，得 ，当且仅当 即 时取等号。 22. 答案 B。 设售价提高 元（），年利润 。当 时 （万元），此时售价 40 元/件。 23. 答案 B。 由 得 ；由均值不等式 。因 ，等号均取不到，故 。 24. 答案 A。 穿针引线：根为 、（三重，奇数重穿）、，最右端取正，从右往左符号依次 ，解集为 或 。 25. 答案 A。 需 且 ，即 ；两边平方得 ，即 ，解得 或 。与 取交集得 。 26. 答案 A。 底数为 ，不等号方向改变：，即 。 27. 答案 A。 令 ，则 ，即 ，得 ，即 ，故 。 28. 答案 A。 由 ，得 ，A 正确；B 应为 ；C 中 ；D 中 ，即 。 二、多项选择题解析 29. 答案 ACD。 A：，成立；B： 时不成立；C： 说明 ，故 ，成立；D：， 时，，成立。 30. 答案 ABC。 A：；B：；C：；D：，故 ，D 错误。 31. 答案 ABCD。 原不等式即 。A、B 按两根大小直接写出；C： 时为 ，解集为 ；D：解集 说明两根为 和 ，即 。 32. 答案 AB。 命题 ：需 ，A 对；C 错，因 时在 处取等号仍恒成立。命题 ：需 ，B 对；D 错，因 时在 或 处取等号仍能成立。 三、填空题解析 33. 答案： 或 。同解于 ，即 。 34. 答案： 或 。移项通分：，即 。 35. 答案：。，故 ，，当且仅当 时取等号。 36. 答案：。，当且仅当 ，解得 ，。 37. 答案：。，令 ，则 在 上单调递增，故最小值为 。 38. 答案：。原不等式即 ，因 ，解集为 。 39. 答案：。当 时， 不恒成立；当 时，需 ，即 ；当 时开口向下不恒成立。综上 。 40. 答案：。存在 使不等式成立，等价于 有解，而 的最大值为 （在 处取得）。 41. 答案：。设用水量 立方米，水费 ，解得 。 42. 答案： 或 。当 时，左边为 ，解得 ，成立；当 时，左边为 ，无解；当 时，左边为 ，解得 。故解集为 或 。 43. 答案：。，当且仅当 时取等号。 44. 答案： 或 。不等式有解等价于 ，即 。 45. 答案：。对勾函数的单调递减区间为 ，需 ，即 ，故 。 四、解答题解析 46. （1）原不等式同解于 ，即 ，解集为 或 。 （2）移项通分：，即 ，等价于 且 ，解集为 。 （3）当 时，，解得 ，故 ；当 时，左边恒为 ，成立；当 时，，解得 ，故 。综上，解集为 。 47. （1），而 ，故 ，当且仅当 时取等号。 （2）由均值不等式：，，。三式均为正数，相乘得 ，当且仅当 时取等号。 48. 容积 8 立方米、深 2 米，故池底面积为 4 平方米。设池底一边长 米，另一边长 米。 池壁面积 （平方米）。 总造价 （元）， 当且仅当 ，即 时取等号，此时另一边也为 2 米。 答：池底设计为边长 2 米的正方形时，总造价最低，最低总造价为 2520 元。 49. （1） 对任意 恒成立，等价于 ，即 ，故 。 （2）设 对任意 恒成立，对称轴 。 ① 当 时， 在 上单调递增，最小值 ，得 ，成立； ② 当 时，最小值 ，即 ，解得 ，与 无公共部分； ③ 当 时， 在 上单调递减，最小值 ，得 ，与 无公共部分。 综上，实数 的取值范围是 。 50. 原不等式左边可因式分解：。 （1）当 时，不等式为 ，即 ，解集为 。 （2）当 时，，两根为 与 ，且 ，故解集为 或 。 （3）由 （，），分离参数：，即 对任意 恒成立，故 ，即 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 不等式专项训练——2027届高三数学一轮复习（原卷） 试卷说明：本卷共 50 题（单项选择题 28 题、多项选择题 4 题、填空题 13 题、解答题 5 题），考查范围为不等式的性质、一元二次不等式、分式与绝对值不等式、基本不等式及其应用、恒成立与能成立问题、不等式与函数的实际应用及综合问题。建议用时 100 分钟。 一、单项选择题（第 1～28 题，每题只有一个正确选项） 1. 已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2. 已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3. 已知 ，，，则 ，， 的大小关系是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 4. 不等式 的解集为（　　） A．　　B．　　C． 或 　　D． 5. 不等式 的解集为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 或 6. 不等式 的解集为（　　） A．　　B． 或 　　C．　　D． 7. 已知 ，则 的最小值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 8. 已知 ，则 的最小值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 9. 已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 10. 已知函数 （）在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 11. 若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 12. 若存在 ，使不等式 成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 13. 已知函数 在区间 上的最小值为 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 或 14. 已知关于 的不等式 的解集为 ，则关于 的不等式 的解集为（　　） A．　　B． 或 　　C． 或 　　D． 15. 若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 16. 已知集合 ，，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 17. “”是“”的（　　） A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件　　C．充要条件　　D．既不充分也不必要条件 18. 若命题“，”是真命题，则实数 的取值范围是（　　） A．　　B．　　C． 或 　　D． 19. 已知 ，，且 ，则 的最大值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 20. 已知 ，则 的最大值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 21. 用长为 20 m 的篱笆围一个矩形菜园，一边靠墙（墙足够长，篱笆只围三边），则菜园面积的最大值为（　　） A．25 平方米　　B．50 平方米　　C．100 平方米　　D．20 平方米 22. 某商品进价 20 元/件，当售价为 30 元/件时，年销量为 6 万件；售价每提高 1 元，年销量减少 0.2 万件。要使年利润最大，售价应定为（　　） A．35 元，且最大年利润为 75 万元　　B．40 元，且最大年利润为 80 万元　　C．40 元，且最大年利润为 90 万元　　D．45 元，且最大年利润为 80 万元 23. 已知 ，设 ，，，则 ，， 的大小关系是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 24. 不等式 的解集为（　　） A． 或 　　B． 或 　　C．　　D． 或 25. 不等式 的解集为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 26. 不等式 的解集为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 27. 不等式 的解集为（　　） A．　　B． 或 　　C．　　D． 28. 已知 ，，且 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 二、多项选择题（第 29～32 题，每题至少有两个正确选项，全部选对得满分，部分选对得部分分，有错选得 0 分） 29. 下列命题中正确的是（　　） A．若 ，，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，，则 30. 已知 ，，且 ，则下列不等式正确的是（　　） A． B． C． D． 31. 关于 的不等式 ，下列说法正确的是（　　） A．当 时，解集为 B．当 时，解集为 C．当 时，解集为 D．若解集恰为 ，则 32. 设命题 ：对任意 ， 恒成立；命题 ：存在 ，使 成立。下列说法正确的是（　　） A．命题 成立的充要条件是 B．命题 成立的充要条件是 C．命题 成立的充要条件是 D．命题 成立的充要条件是 三、填空题（第 33～45 题） 33. 不等式 的解集为________． 34. 不等式 的解集为________． 35. 已知 ，则 的最大值为________． 36. 已知 ，，且 ，则 的最小值为________． 37. 已知 ，则 的最小值为________． 38. 若 ，则不等式 的解集为________． 39. 若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是________． 40. 若存在 ，使 成立，则实数 的取值范围是________． 41. 某市居民用水实行阶梯水价：每月用水量不超过 10 立方米的部分按 2 元/立方米计费，超过 10 立方米的超出部分按 4 元/立方米计费。若某户居民某月的水费不超过 30 元，则该户本月用水量最多为________立方米． 42. 不等式 的解集为________． 43. 已知 ，，且 ，则 的最大值为________． 44. 若关于 的不等式 有实数解，则实数 的取值范围是________． 45. 已知函数 （）在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是________． 四、解答题（第 46～50 题，写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 46. 解下列不等式： （1）； （2）； （3）． 47. （1）已知 ，，且 ，求证：； （2）已知 ，， 均为正数，求证：． 48. 某工厂要建造一个无盖的长方体蓄水池，容积为 8 立方米，深 2 米。已知池底造价为每平方米 150 元，池壁造价为每平方米 120 元。设池底矩形的一边长为 米，问底面尺寸怎样设计，可使总造价最低？最低总造价是多少元？ 49. 已知函数 ． （1）若对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围； （2）若对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围． 50. 已知关于 的不等式 ． （1）当 时，求不等式的解集； （2）若 ，求不等式的解集； （3）若 ，且该不等式对任意 都成立，求实数 的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $