专题01 知识点5：不等式的性质及其应用 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以比较大小方法为基础，通过不等式性质系统梳理与核心考点解题方法提炼，构建“方法-性质-应用”逻辑链条，培养推理能力与严谨表达。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |比较大小方法|作差/作商原理步骤|步骤标准化+适用场景|从作差（基础）到作商（正数适用）| |不等式性质|性质分类表（7条）|性质成立条件+注意事项（如乘除变号）|从对称性/传递性（基本）到同向可加/乘（拓展）| |核心考点解题|3类考点方法（含错误示例）|直接法/特殊值法/待定系数法|方法与考点对应（如求范围用待定系数法）| |高考题型与易错|4类题型+4个易错点|命题判断/大小比较/范围求解|题型与易错点呼应（如范围扩大问题）|

知识点5：不等式的性质及其应用 一、两个实数比较大小的方法 1. 作差法 · 原理：；； · 步骤：①作差；②变形（常用方法：因式分解、配方、通分、有理化等）；③判断符号；④得出结论 2. 作商法 · 原理：当 时，；； · 步骤：①作商；②变形；③判断商与 1 的大小；④得出结论 二、不等式的基本性质 性质分类 性质内容 注意事项 对称性 可逆 传递性 同向 可加性 可逆，移项法则： 可乘性 ； 乘除数必须考虑正负，负数要变号 同向可加性 同向不等式只能相加，不能相减 同向同正可乘性 必须为正数，不能相除 同正可乘方性 （） 须为正数 三、常用结论与推论 1.倒数法则：若 ，则 。即 同号两数比较大小，取倒数后不等号方向改变 2.分数性质（糖水不等式）：若 ，则 。该性质可推广到 （） 3.开方性质：若 ，则 4.重要不等式链：对于正数 ，有 四、核心考点与解题方法 1. 判断不等式是否成立 · 直接法：利用不等式的性质逐项验证，注意性质成立的条件 · 特殊值法：选取满足条件的特殊值代入验证，排除错误选项 · 函数单调性法：构造函数，利用函数的单调性进行判断 2. 比较代数式的大小 · 作差法：标准化流程，适用于绝大多数情况 · 作商法：适用于正数比较，尤其是幂、指数形式 · 中间量法：当无法直接比较时，引入 等中间量进行比较 3. 利用不等式性质求取值范围 · 核心原则：同向不等式只能相加，不能相减，也不能直接相乘除 · 错误示例：若已知 ，直接求 的范围时，不能 。正确做法：先求出 的范围 ，再与 的范围相加得 · 待定系数法：对于已知 和 的范围，求 范围的问题，常设 ，通过解方程组求出 ，然后利用同向可加性求解 五、高考常见题型与易错点 常见题型 1.利用不等式性质判断命题真假 2.比较两个数或代数式的大小 3.已知部分代数式的范围，求另一代数式的范围 4.证明不等式 易错点提醒 1.忽视性质成立的条件：在不等式两边同乘以一个字母时，必须讨论该字母的正负 2.误用同向可加性：将不等式进行减法或除法运算，导致错误 3.混淆"不等式性质"与"函数单调性"：在解决复杂不等式问题时，应优先考虑使用函数单调性，而不是直接套用性质 4.求范围时多次使用同向可加性导致范围扩大：应通过"一次性"的线性运算或待定系数法来避免 总结：不等式的性质是高中数学的基础工具，应用广泛。复习时，务必牢记每条性质成立的前提，熟练掌握比较大小的方法和求取值范围的技巧，避免因忽视条件而导致的错误。 实战演练 一、单选题 1.若 ，则下列不等式一定不成立的是（ ） A. B. C. D. 2.已知 ，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 3.已知 ，下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 4.如果 、、 满足 ，且 ，那么下列选项中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5.已知 ，记 ，，则（ ） A. B. C. 6.已知 ，，则 ，， 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 7.若 ，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 8.已知 都是正数，则三数 （ ） A. 都大于2 B. 都小于2 C. 至少有一个不大于2 D. 至少有一个不小于2 二、多选题 9.已知 为实数，则（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，，则 C. 若 ，则 D. 若 ，，则 10.已知 ，则下列命题正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 11.若 ，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12.设 ，且 ，则 和 的大小关系是______。 13.记 表示数集 中最大的数，设 为正数，，则 的最小值为______。 14.已知 ，且 ，则 的最大值是______。 四、解答题 15.设正有理数 是 的一个近似值，令 ，求证： (1) 介于 与 之间； (2) 比 更接近于 。 16.已知 、、。 (1) 求证：； (2) 求证：。 17.试比较下列各数的大小，并说明理由： (1) 与 ； (2) 与 。 18.已知 ，求证：。 19.已知 ，。 (1) 求 的取值范围； (2) 比较两个代数式的大小： 与 。 参考答案 一、单选题 1.答案：C 解析： 根据不等式的基本性质，若 ，则不等式两边同时乘以一个负数，不等号方向改变。 A. ，正确（可加性）。 B. ，正确（可乘性，）。 C. ，错误（可乘性，，应变为 ）。 D. ，即 ，正确。 2.答案：B 解析： 选项A. 已知 ，则 ， 已知 ，则 。 因此 ，故A错误。 选项B. 已知 ，则 。 因为 ，则 ，故B正确。 选项C. 由 ，所以 ，进而 ，故C错误。 选项D. 取 ，，左边 ，右边 ，，不等式不成立，故D错误。 3.答案：A 解析： 已知 。 A. ，即 ，两边同除以 -2 得 ，与已知矛盾，故不成立。 B. ，正确。 C. ，正确。 D. ，正确。 4.答案：C 解析： 由 且 ，可知 ， 的符号不确定。 A. ，即 ，由于 ，故成立。 B. ，由于 ，负负得正，故成立。 C. ，即 ，由于 ，因此 。当 时，，不等式不成立。故 C 不一定成立。 D. ，由于 ，负正得负，故成立。 5.答案：C 解析： 已知 。比较 和 。 作差法：。 由 得 ，故 ，即 。 6.答案：A 解析： 因为 ，，所以 ，解得 ，同理可得 ， 由 ，可得 ，又 ，可得 ， 所以 ， 因为 ，，所以 ， 所以 ，所以 。 7.答案：C 解析： 已知 。 A. ，需 非负，不一定成立。 B. ，不一定成立（如 ）。 C. ，即 ，即 ，恒成立，故一定成立。 D. ，需 同号，不一定成立。 8.答案：D 解析： 假设三数都小于 2，即 ，，。三式相加得 。由基本不等式，，，，三式相加得 ，当且仅当 时取等。这与假设矛盾，故假设不成立，三数中至少有一个不小于 2。 二、多选题 9.答案：A、D 解析： A. 若 ，则 ，两边除以 得 ，正确。 B. 若 ，，取 ，则 ，不满足 ，错误。 C. 若 ，则 等价于 ，即 ，即 ，但题目未给出 ，故不一定成立。 D. 若 ，，则 。由 得 ，故 ，正确。 10.答案：B、C 解析： 选项A：举反例，取，，满足，但，因此A错误； 选项B：因为，且，所以，即，因此B正确； 选项C：函数在上单调递增，若，则必有，也可作差验证：，因此C正确； 选项D：由得，两边同乘负数时不等号方向改变，得，举反例：，，，，因此D错误. 11.答案：B、C 解析： 选项A：当时，指数函数在R上单调递减， 又，所以，故A错误； 选项B：变形得：， 因为且，所以，即，B正确； 选项C：作差整理：， 因为，则，， 可得，， 故，即，C正确； 选项D：作差整理：， 因为，得，其余项都为正， 故，即，D错误. 三、填空题 12.答案： 解析： 作商法：。当 时，，故 ，即 ；当 时，，故 ，同样成立。因此 。 13.答案： 解析： 设 。由均值不等式，。因此 ，即 。当且仅当 ，即 时取等。故 的最小值为 4。 14.答案：5 解析： 已知 ，则 的最大值在 最大、 最小时取得，即 ，此时 。注意 ，等号不能同时取到，但 可以无限接近 5，最大值为 5。 四、解答题 15.证明： （1）， 因为若，则，又，则； 若，则，又，则， 所以介于与之间。 （2）， 因为，，， 所以， 所以， 所以比更接近于。 16.证明： (1) ∵ ，且 ，，∴ ，∴ (2) ∵ ，∴ ，又 ，∴ ， ∴ ，∴ ， ∵ ，，∴ ，由 (1) 知 ， ∴ ，∴ 。 17.解： (1) 理由：， 由于，且 所以，即， 因此。 (2) 理由： 因为，，所以，即得， 即，又， 故。 18.证明： 方法一：因为 ，所以 ， 所以 ，所以 ， 所以 ， 即 ，所以 ， 又因为 ，所以 。 方法二： ， 因为 ，所以 ，，，， 所以 ，所以 ， 所以 ，因此 。 19.解： (1) , , ; (2) , . 学科网（北京）股份有限公司 $