第31课时 机械能守恒定律 讲义 -2027届高考物理一轮复习

该高中物理高考复习讲义围绕机械能守恒定律核心考点，涵盖重力做功与势能、弹性势能、守恒条件及应用，按概念规律应用逻辑层次展开，通过考点梳理（填空式知识清单）、方法指导（三种守恒判断法）、真题训练（分单选多选解答题）帮助学生突破难点，体现复习系统性和针对性。 讲义突出“非质点类”问题（链条液柱）等高考高频情境，结合科学思维（模型建构，如分段处理重心变化）和物理观念（能量转化），设计“三点注意”辨析守恒条件，分层例题训练科学推理，确保高效突破，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

机械能守恒定律 一、重力做功与重力势能 1.重力做功的特点:重力做功与 无关,只与始、末位置的 有关。 2.重力势能 (1)表达式:Ep= 。 (2)重力势能的特点 ①系统性:重力势能是 所共有的。 ②相对性:重力势能的大小与参考平面的选取 ,但重力势能的变化与参考平面的选取 。 二、弹性势能 1.定义:物体由于发生 而具有的能。 2.弹力做功与弹性势能变化的关系 弹力做功是弹性势能变化的量度,即:W= 。 三、机械能守恒定律及应用 1.机械能: 和 统称为机械能,其中势能包括 和 。 2.机械能守恒定律 (1)内容:在只有 做功的物体系统内,动能与势能可以相互转化,而总的机械能 。 (2)表达式:mgh1+。 3.守恒条件:只有 做功。 4.机械能是否守恒的三种判断方法 定义法 利用机械能的定义直接判断,分析物体或系统的动能和势能的和是否变化,若不变,则机械能守恒 做功法 若物体或系统只有重力或系统内弹力做功,或有其他力做功,但其他力做功的代数和为零,则机械能守恒 转化法 若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式能的转化,则机械能守恒 5.判断机械能守恒的“三点”注意 (1)系统机械能守恒时,机械能一般在系统内物体间转移,其中的单个物体机械能不一定守恒。 (2)合外力所做的功等于零,或者合外力等于零时,机械能不一定守恒。 (3)对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况,除非题目特别说明,否则机械能必定不守恒。 6.机械能守恒定律的应用 (1)表达式 (2)应用机械能守恒定律解题的一般步骤 7.“非质点类”机械能守恒问题 　　应用能量方法处理实际问题时,经常遇到像“链条”“液柱”类的物体,其在运动过程中将发生形变,重心位置相对物体也发生变化,因此这类物体不能再视为质点来处理,若只有重力做功,物体整体机械能守恒。 (1)物体虽然不能看作质点,但因只有重力做功,物体整体机械能守恒。 (2)在确定物体重力势能的变化量时,要根据情况,将物体分段处理,确定好各部分的重心及重心高度的变化量。 (3)分析非质点类物体的动能时,要看物体各部分是否都在运动,运动的速度大小是否相同,若相同,则物体的动能才可表示为mv2。 (4)在解决多个小球类问题时,应注意小球之间是否始终相互挤压。 例题： 一、单选题 1．在下面列举的各个实例中（除A外都不受空气阻力），哪个过程中的物体（或系统）机械能守恒（　　） A．跳伞运动员带着张开的降落伞在空中匀速降落 B．被起重机吊起并匀速上升的货物 C．抛出后在空中运动的标枪 D．在竖直平面内做匀速圆周运动的小球 2．如图所示，下列说法正确的是（不计摩擦、空气阻力以及滑轮和细线的质量） （　　） A．甲图中，火箭匀速升空，火箭的机械能守恒 B．乙图中，物块在外力F的作用下减速上滑，物块的机械能守恒 C．丙图中，物块A以一定的初速度将弹簧压缩的过程中，物块A的机械能守恒 D．丁图中，物块A加速下落，物块B加速上升的过程中，A、B系统机械能守恒 3．把质量是的小球放在竖立的弹簧上，并把小球往下按至A位置，如图甲所示。迅速松手后，弹簧把小球弹起，小球升至最高位置（图乙），途中经过位置时弹簧正好处于自由状态。已知的高度差为的高度差为，弹簧的质量和空气的阻力均可忽略，取，则下列说法正确的是（　　） A．小球由位置A至位置过程中弹簧的弹性势能全部转化为小球的重力势能 B．小球处于位置A时，弹簧的弹性势能 C．小球由位置至位置过程中小球的机械能不守恒 D．在位置时小球的机械能为0 4．如图所示，质量为m的小球沿光滑曲面滑下，当它到达高度为h1的位置A时速度大小为v1，当它继续滑到高度为h2的位置B时速度大小为v2。若选B点所在的水平面为参考平面，下列说法正确的是（　　） A．小球从A点下滑至底部的过程中，重力势能先减小后增大 B．小球在A点时的机械能为 C．小球在A点时的机械能为 D．由于不清楚支持力是否做功，所以无法断定机械能是否守恒 5．如图所示，两侧倾角均为30°的斜劈固定在水平地面上，将质量为m、长为L的光滑金属链条放在斜劈顶端，左右两侧链条长度之比为1：2。已知两斜面的长度均为2L，两侧链条与斜劈的截面在同一竖直平面内，重力加速度为g。某时刻将链条由静止释放，当链条下端到达斜劈底端时，链条的速度为（　　） A． B． C． D． 6．如图所示，甲为一长度为的均匀链条，总质量为，一半放在水平桌面上，一半竖直下垂。乙为两个质量均为的小球，中间用不计质量的细绳相连，一个放在水平桌面上，一个竖直下垂，水平部分和竖直部分细绳的长度均为，小球可以视为质点。不计一切摩擦，用外力使甲和乙静止在图示位置，撤去外力到甲、乙刚好离开桌面。取水平桌面所在的平面为零势能面，重力加速度大小为，这个过程中，下列说法不正确的是（　　） A．甲刚离开桌面时，甲的速度为 B．两者刚好离开水平桌面时，甲的重力瞬时功率大于乙的重力瞬时功率 C．甲的重力的做功为，乙的重力的做功为 D．甲重力势能的减少量小于乙重力势能的减少量 二、多选题 7．如图所示，质量为的小球套在固定倾斜的光滑杆上，原长为的轻质弹簧一端固定于点，另一端与小球相连，弹簧与杆在同一竖直平面内。图中水平，间连线长度恰好与弹簧原长相等，且与杆垂直，在点正下方，是段的中点， 。现让小球从处由静止释放，重力加速度为，弹簧的劲度系数为。查阅资料知，弹簧的弹性势能，其中为弹簧的形变量。下列说法正确的有（     ） A．下滑过程中小球的机械能先减小后增加 B．小球位于点时的加速度大小为 C．小球下滑到点时的动能为 D．小球下滑到点时的动能为 8．如图所示，劲度系数为100 N/m的轻弹簧下端固定于倾角为的光滑斜面底端，上端连接质量为的物块Q，物块Q同时与和斜面平行的轻绳相连，轻绳跨过固定在斜面顶端点的定滑轮与套在光滑竖直固定杆上的物块P连接，图中两点等高，其间距。当整个系统静止时，物块P在点静止不动，间距离，此时轻绳中张力大小为。现将物块P从杆上点上方处的点由静止释放，物块P从点到点过程中绳子一直存在张力，不计滑轮大小及摩擦。重力加速度，，，下列说法正确的是（     ） A．物块P到达点时的速度大小为 B．物块P到达点时的速度大小为 C．物块P从点运动到点的过程中，轻绳拉力对物块P做功 D．物块P从点运动到点的过程中，轻绳拉力对物块Q做的功 9．如图所示，一轻绳绕过无摩擦的两个轻质小定滑轮O1、O2，一端和质量为m的小球连接，另一端与套在光滑固定直杆上质量也为m的小物块连接，直杆与两定滑轮在同一竖直面内，与水平面的夹角，直杆上O点与两定滑轮均在同一高度，O点到定滑轮O1的距离为L，直杆上点到O点的距离也为L，重力加速度为g，直杆足够长，小球运动过程中不会与其他物体相碰。现将小物块从O点由静止释放，下列说法正确的是（     ） A．小物块刚释放时，轻绳中的张力大小为mg B．小球运动到最低点时，小物块加速度的大小为 C．小物块下滑至点时，小物块与小球的速度大小之比为2∶1 D．小物块下滑至点时，小物块的速度大小为 10．如图，有一质量为、长为的均匀链条，开始时链条总长的处于水平桌面上，剩余垂于桌外，现用外力使链条静止。不计一切摩擦，桌子足够高。下列说法中正确的是（     ） A．若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度 B．若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度 C．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功 D．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功 三、解答题 11．如图所示，一斜面体固定在水平地面上，其顶端固定一光滑轻质的定滑轮（不计大小），两斜面光滑，斜面倾角分别为60°和30°，一条不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接A、B两物块（可视为质点），且起初A、B距地面的高度均为h，已知B物块的质量为m，重力加速度为g，不计空气阻力，计算结果可带根号。 (1)为了使A、B两物块恰能静止在斜面上，求A物块的质量； (2)若A物块的质量也为m，由静止同时释放两物块，求当A物块刚滑至地面时的速度大小； (3)若斜面体不固定，当斜面体在外力作用下以大小为g的加速度水平向左做匀加速直线运动时，为了使A、B两物块相对斜面静止，求A物块的质量。 12．如图所示，某工厂输送物件的传送系统由固定的光滑圆弧轨道、水平传送带和一倾角为的长木板组成，已知圆弧轨道半径，传送带长，物件与传送带间的动摩擦因数，物件与木板间的动摩擦因数，传送带以的恒定速度顺时针转动。现将质量的物件无初速度从点滑下，经最低点滑到传送带上，发现当物件到达点时速度恰好为零，随即被机械手取走。物件可以看成质点，圆弧轨道与传送带、传送带与木板间均可认为无缝连接，物件过连接点时速度大小认为不变，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小，。 (1)求物件到达点时，轨道对其支持力的大小； (2)求传送带将物件由点运输到点的时间和在此过程中多消耗的电能； (3)假如机械手未能在点及时将物件取走，导致物件重新下滑，求此后它将在木板上运动的总路程。 13．如图所示，半径的光滑半圆轨道BC与倾角的粗糙斜面轨道在同一竖直平面内，两轨道间由一条光滑水平轨道AB相连，A处用光滑小圆弧轨道平滑连接，B处与圆轨道相切。在水平轨道上，两静止小球P、Q压紧轻质弹簧后用细线连在一起。某时刻剪断细线后，小球P向左运动到A点时，小球Q沿圆轨道到达C点，之后小球Q落到斜面上时恰好与沿斜面向下运动的小球P发生碰撞。已知小球P的质量，小球Q的质量，小球P与斜面间的动摩擦因数，剪断细线前弹簧的弹性势能，小球到达A点或B点时已和弹簧分离。重力加速度，，，不计空气阻力，求： (1)小球P、Q刚与弹簧分离时各自的速度大小； (2)小球P沿斜面上升的最大高度h及小球Q运动到C点时的速度大小； (3)小球Q离开圆轨道后经过多长时间与小球P相碰。 14．如图所示，半径为的光滑圆弧轨道竖直固定，圆心角为，另一半径为的光滑半圆轨道也竖直固定，两轨道分别与粗糙水平轨道相切于、两点。质量为、可视为质点的滑块从点斜向上抛出，抛出瞬间滑块的速度与水平方向的夹角为，经过一段时间滑块沿点的切线方向进入轨道。已知滑块在点的速度大小为，滑块经过点时对圆轨道的压力为，滑块与水平轨道间的动摩擦因数为，，，重力加速度取，不计空气阻力。求： (1)、两点的高度差 (2)、两点之间的距离； (3)滑块从离开点到第一次落在，落点到点的距离。 15．如图所示，斜面倾角为θ，在斜面底端垂直斜面固定一挡板，轻质弹簧一端固定在挡板上，质量为M＝1.0kg的木板与轻弹簧接触、但不拴接，弹簧与斜面平行、且为原长，在木板右上端放一质量为m＝2.0kg的小金属块，金属块与木板间的动摩擦因数为μ1＝0.75，木板与斜面粗糙部分间的动摩擦因数为μ2＝0.25，系统处于静止状态。小金属块突然获得一个大小为v1＝5.3m/s、平行斜面向下的速度，沿木板向下运动。当弹簧被压缩x＝0.5m到P点时，金属块与木板刚好达到相对静止，且此后运动过程中，两者一直没有发生相对运动。设金属块从开始运动到木板达到共速共用时间t＝0.75s，之后木板压缩弹簧至最短，然后木板向上运动，弹簧弹开木板，弹簧始终处于弹性限度内，已知sinθ＝0.28、cosθ＝0.96，g取10m/s2，结果保留二位有效数字。 (1)求木板开始运动瞬间金属块的加速度大小和木板的加速度大小； (2)求P点时弹簧的弹性势能Ep； (3)假设木板由P点压缩弹簧到弹回P点过程中不受斜面摩擦力作用，求木板离开弹簧后沿斜面向上滑行的距离。 答案第10页，共12页 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 机械能守恒定律 一、重力做功与重力势能 1.重力做功的特点:重力做功与路径无关,只与始、末位置的高度差有关。 2.重力势能 (1)表达式:Ep=mgh。 (2)重力势能的特点 ①系统性:重力势能是物体和地球所共有的。 ②相对性:重力势能的大小与参考平面的选取有关,但重力势能的变化与参考平面的选取无关。 二、弹性势能 1.定义:物体由于发生弹性形变而具有的能。 2.弹力做功与弹性势能变化的关系 弹力做功是弹性势能变化的量度,即:W=-ΔEp。 三、机械能守恒定律及应用 1.机械能:动能和势能统称为机械能,其中势能包括弹性势能和重力势能。 2.机械能守恒定律 (1)内容:在只有重力或弹力做功的物体系统内,动能与势能可以相互转化,而总的机械能保持不变。 (2)表达式:mgh1+。 3.守恒条件:只有重力或弹力做功。 4.机械能是否守恒的三种判断方法 定义法 利用机械能的定义直接判断,分析物体或系统的动能和势能的和是否变化,若不变,则机械能守恒 做功法 若物体或系统只有重力或系统内弹力做功,或有其他力做功,但其他力做功的代数和为零,则机械能守恒 转化法 若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式能的转化,则机械能守恒 5.判断机械能守恒的“三点”注意 (1)系统机械能守恒时,机械能一般在系统内物体间转移,其中的单个物体机械能不一定守恒。 (2)合外力所做的功等于零,或者合外力等于零时,机械能不一定守恒。 (3)对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况,除非题目特别说明,否则机械能必定不守恒。 6.机械能守恒定律的应用 (1)表达式 (2)应用机械能守恒定律解题的一般步骤 7.“非质点类”机械能守恒问题 　　应用能量方法处理实际问题时,经常遇到像“链条”“液柱”类的物体,其在运动过程中将发生形变,重心位置相对物体也发生变化,因此这类物体不能再视为质点来处理,若只有重力做功,物体整体机械能守恒。 (1)物体虽然不能看作质点,但因只有重力做功,物体整体机械能守恒。 (2)在确定物体重力势能的变化量时,要根据情况,将物体分段处理,确定好各部分的重心及重心高度的变化量。 (3)分析非质点类物体的动能时,要看物体各部分是否都在运动,运动的速度大小是否相同,若相同,则物体的动能才可表示为mv2。 (4)在解决多个小球类问题时,应注意小球之间是否始终相互挤压。 例题： 一、单选题 1．在下面列举的各个实例中（除A外都不受空气阻力），哪个过程中的物体（或系统）机械能守恒（　　） A．跳伞运动员带着张开的降落伞在空中匀速降落 B．被起重机吊起并匀速上升的货物 C．抛出后在空中运动的标枪 D．在竖直平面内做匀速圆周运动的小球 【答案】C 【详解】A．跳伞运动员匀速降落时，空气阻力做功，机械能转化为热能，机械能不守恒，故A错误； B．货物匀速上升，动能不变，重力势能增加，起重机拉力做功，机械能不守恒，故B错误； C．抛出后在空中运动的标枪，标枪仅受重力，机械能守恒，故C正确； D．匀速圆周运动中，重力势能变化且外力需做功维持速度，机械能不守恒，故D错误。 故选C。 2．如图所示，下列说法正确的是（不计摩擦、空气阻力以及滑轮和细线的质量） （　　） A．甲图中，火箭匀速升空，火箭的机械能守恒 B．乙图中，物块在外力F的作用下减速上滑，物块的机械能守恒 C．丙图中，物块A以一定的初速度将弹簧压缩的过程中，物块A的机械能守恒 D．丁图中，物块A加速下落，物块B加速上升的过程中，A、B系统机械能守恒 【答案】D 【详解】A．火箭匀速上升，动能不变，重力势能增加，机械能不守恒，A错误； B．乙图中，除了重力做功以外，拉力F也做功，机械能不守恒，B错误； C．丙图中，弹力对物块做功，机械能不守恒，C错误； D．丁图中，AB组成的系统中，拉力属于内力，只有重力对系统做功，系统机械能守恒，D正确。 故选D。 3．把质量是的小球放在竖立的弹簧上，并把小球往下按至A位置，如图甲所示。迅速松手后，弹簧把小球弹起，小球升至最高位置（图乙），途中经过位置时弹簧正好处于自由状态。已知的高度差为的高度差为，弹簧的质量和空气的阻力均可忽略，取，则下列说法正确的是（　　） A．小球由位置A至位置过程中弹簧的弹性势能全部转化为小球的重力势能 B．小球处于位置A时，弹簧的弹性势能 C．小球由位置至位置过程中小球的机械能不守恒 D．在位置时小球的机械能为0 【答案】B 【详解】A．小球由位置A至位置过程中弹簧的弹性势能转化为小球的重力势能和动能，故A错误； B．小球由，由系统的机械能守恒得 故B正确； C．小球由位置至位置，只有重力做负功，小球的动能转化为重力势能，小球的机械能守恒，故C错误； D．在位置时，小球的速度为0，动能是0，但重力势能与参考平面的选择有关，若选位置所在平面为参考平面，重力势能为零，机械能为零，若选择其他平面为参考平面，重力势能不为零，机械能不为零，故D错误。 故选B。 4．如图所示，质量为m的小球沿光滑曲面滑下，当它到达高度为h1的位置A时速度大小为v1，当它继续滑到高度为h2的位置B时速度大小为v2。若选B点所在的水平面为参考平面，下列说法正确的是（　　） A．小球从A点下滑至底部的过程中，重力势能先减小后增大 B．小球在A点时的机械能为 C．小球在A点时的机械能为 D．由于不清楚支持力是否做功，所以无法断定机械能是否守恒 【答案】B 【详解】A．小球从A点下滑至底部的过程中，重力做正功，重力势能减小，故A错误； BC．选B点所在的水平面为参考平面，则小球在A点时的机械能为 由于小球下滑过程中只有重力做功，小球机械能守恒，则有 即小球在A点时的机械能为，故B正确，C错误； D．由于小球速度方向沿曲面切线方向，支持力方向垂直于曲面切线方向，则小球所受支持力方向与速度方向垂直，可知，支持力不做功，小球机械能守恒，故D错误。 故选B。 5．如图所示，两侧倾角均为30°的斜劈固定在水平地面上，将质量为m、长为L的光滑金属链条放在斜劈顶端，左右两侧链条长度之比为1：2。已知两斜面的长度均为2L，两侧链条与斜劈的截面在同一竖直平面内，重力加速度为g。某时刻将链条由静止释放，当链条下端到达斜劈底端时，链条的速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】链条从静止至左侧斜面上的链条完全滑到右端的过程中，重力做功为 然后链条下端到达斜劈底端这一过程重力做功为 设链条运动至底端的速度为v，有 解得 故选B。 6．如图所示，甲为一长度为的均匀链条，总质量为，一半放在水平桌面上，一半竖直下垂。乙为两个质量均为的小球，中间用不计质量的细绳相连，一个放在水平桌面上，一个竖直下垂，水平部分和竖直部分细绳的长度均为，小球可以视为质点。不计一切摩擦，用外力使甲和乙静止在图示位置，撤去外力到甲、乙刚好离开桌面。取水平桌面所在的平面为零势能面，重力加速度大小为，这个过程中，下列说法不正确的是（　　） A．甲刚离开桌面时，甲的速度为 B．两者刚好离开水平桌面时，甲的重力瞬时功率大于乙的重力瞬时功率 C．甲的重力的做功为，乙的重力的做功为 D．甲重力势能的减少量小于乙重力势能的减少量 【答案】D 【详解】A．设桌面所在平面为零势能面，则对甲由机械能守恒定律 解得，甲刚离开桌面时，甲的速度为，故A正确； B．设桌面所在平面为零势能面，则对乙由机械能守恒定律 解得，乙刚离开桌面时，乙的速度为 因为，则。故两者刚好离开水平桌面时，甲的重力瞬时功率大于乙的重力瞬时功率，B正确； C．甲的重力的做功为 乙的重力的做功为，故C正确； D．由可知重力势能的减少量等于重力做的功，因为 所以甲重力势能的减少量大于乙重力势能的减少量，故D错误。 本题选择不正确的，故选D。 二、多选题 7．如图所示，质量为的小球套在固定倾斜的光滑杆上，原长为的轻质弹簧一端固定于点，另一端与小球相连，弹簧与杆在同一竖直平面内。图中水平，间连线长度恰好与弹簧原长相等，且与杆垂直，在点正下方，是段的中点， 。现让小球从处由静止释放，重力加速度为，弹簧的劲度系数为。查阅资料知，弹簧的弹性势能，其中为弹簧的形变量。下列说法正确的有（     ） A．下滑过程中小球的机械能先减小后增加 B．小球位于点时的加速度大小为 C．小球下滑到点时的动能为 D．小球下滑到点时的动能为 【答案】CD 【详解】A．小球与弹簧组成的系统机械能守恒，下滑过程中小球的机械能与弹簧的弹性势能相互转化，由题意知小球在点时弹簧的弹性势能为零，则小球下滑过程中弹簧的弹性势能先减小后增加，所以小球的机械能先增加后减小，故A错误； B．由几何关系得，则 根据对称性可知 小球位于点时，由牛顿第二定律可知 解得加速度大小，故B错误； C．、两点间的高度差为 由机械能守恒定律得 解得，故C正确； D．、两点间的高度差，、两位置弹簧弹性势能相等，小球减少的重力势能全部转化为小球的动能，所以得，故D正确。 故选CD。 8．如图所示，劲度系数为100 N/m的轻弹簧下端固定于倾角为的光滑斜面底端，上端连接质量为的物块Q，物块Q同时与和斜面平行的轻绳相连，轻绳跨过固定在斜面顶端点的定滑轮与套在光滑竖直固定杆上的物块P连接，图中两点等高，其间距。当整个系统静止时，物块P在点静止不动，间距离，此时轻绳中张力大小为。现将物块P从杆上点上方处的点由静止释放，物块P从点到点过程中绳子一直存在张力，不计滑轮大小及摩擦。重力加速度，，，下列说法正确的是（     ） A．物块P到达点时的速度大小为 B．物块P到达点时的速度大小为 C．物块P从点运动到点的过程中，轻绳拉力对物块P做功 D．物块P从点运动到点的过程中，轻绳拉力对物块Q做的功 【答案】BD 【详解】A．O点左侧绳的长度变化等于Q沿斜面的位移：C点位置 B点位置 A点位置 P到A点时，绳与竖直杆夹角的余弦 此时，对速度分解可得 从C到A，P下落总位移为 初末状态O点左侧绳的长度均为0.5 m，因此Q的位移为0，弹簧形变量不变，弹性势能不变。对P、Q、弹簧组成的系统由机械能守恒可得 A点静止时P受力平衡，有 得 联立解得，故A错误； B．P到B点时，绳水平，，此时 初始P在A点静止时，对Q受力分析：Q的重力沿斜面向下的分力为 绳张力，因此弹簧弹力沿斜面向下，大小为 对应弹簧伸长量 从C到B，P下落位移为，O点左侧绳长从缩短到，Q沿斜面向下移动的距离 弹簧从伸长变为压缩，初末状态弹簧弹性势能相等。对系统由机械能守恒可得 代入数值解得，故B正确； C．从C到A过程，对P由动能定理可得 代入解得 拉力对P做负功，并非，故C错误； D．从C到B过程，对Q由动能定理可得 由于弹簧初末弹性势能相同，则 代入得，故D正确。 故选BD。 9．如图所示，一轻绳绕过无摩擦的两个轻质小定滑轮O1、O2，一端和质量为m的小球连接，另一端与套在光滑固定直杆上质量也为m的小物块连接，直杆与两定滑轮在同一竖直面内，与水平面的夹角，直杆上O点与两定滑轮均在同一高度，O点到定滑轮O1的距离为L，直杆上点到O点的距离也为L，重力加速度为g，直杆足够长，小球运动过程中不会与其他物体相碰。现将小物块从O点由静止释放，下列说法正确的是（     ） A．小物块刚释放时，轻绳中的张力大小为mg B．小球运动到最低点时，小物块加速度的大小为 C．小物块下滑至点时，小物块与小球的速度大小之比为2∶1 D．小物块下滑至点时，小物块的速度大小为 【答案】BCD 【详解】A．刚释放时绳段及三个关键位置的几何关系如图所示。 设轻绳张力为，小物块沿直杆向下的加速度为，小球竖直向下的加速度为，以下均取这两个方向为正方向。刚释放时，小物块与间的绳段水平，由绳长不变得 对小物块沿直杆向下，由牛顿第二定律得 对小球取竖直向下，由牛顿第二定律得 联立得，故A错误； B．设小物块从点沿直杆下滑的距离为，小物块与间绳段长度为。由余弦定理得 绳长不变时，小球最低对应最小，此时，绳段垂直于直杆。绳的拉力沿绳段方向，对小物块沿杆方向无分量；由牛顿第二定律得 解得，故B正确； CD．小物块到达点时，绳段与直杆夹角为。设此时小物块和小球的速度大小分别为，，小物块沿绳段方向的速度分量大小为，由绳长不变得 即小物块的速度大小为小球的倍。从到，小物块下降高度为 而绳段长度由变为，小球高度不变。由机械能守恒定律得 代入 整理得，故CD正确。 故选BCD。 10．如图，有一质量为、长为的均匀链条，开始时链条总长的处于水平桌面上，剩余垂于桌外，现用外力使链条静止。不计一切摩擦，桌子足够高。下列说法中正确的是（     ） A．若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度 B．若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度 C．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功 D．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功 【答案】BC 【详解】AB．选取桌面所在的水平面为零重力势能参考平面。在自由释放链条直到其刚离开桌面的过程中，由于不计一切摩擦，只有重力对链条做功，因此链条的整体机械能守恒。 初始状态时，桌面上方的链条（长）重力势能为零；垂在桌面下方的链条长度为，其质量为，这部分链条的重心位于桌面下方处，故初始状态系统的总机械能为 当链条刚离开桌面时，整根链条都处于竖直悬垂状态，其整体重心位于桌面下方处。设此时的速度为，则末状态系统的总机械能为 根据机械能守恒定律，可得 整理得 解得，故A错误，B正确； CD．若要把链条全部拉回桌面上，要求对链条做的功最少，则应视为缓慢拉动链条，即链条回到桌面时的动能依然为零。根据功能关系，外力对链条做的最少功等于链条重力势能的增加量。 末状态整根链条都在桌面上，总重力势能为零（）。初状态链条的总重力势能为 则至少需要对链条做的功为，故C正确，D错误。 故选BC。 三、解答题 11．如图所示，一斜面体固定在水平地面上，其顶端固定一光滑轻质的定滑轮（不计大小），两斜面光滑，斜面倾角分别为60°和30°，一条不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接A、B两物块（可视为质点），且起初A、B距地面的高度均为h，已知B物块的质量为m，重力加速度为g，不计空气阻力，计算结果可带根号。 (1)为了使A、B两物块恰能静止在斜面上，求A物块的质量； (2)若A物块的质量也为m，由静止同时释放两物块，求当A物块刚滑至地面时的速度大小； (3)若斜面体不固定，当斜面体在外力作用下以大小为g的加速度水平向左做匀加速直线运动时，为了使A、B两物块相对斜面静止，求A物块的质量。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设轻绳的张力大小为T，A物块的质量，由A、B两物块均处于平衡状态，可得， 解得 （2）设A物块刚滑至地面时的速度为v，对于A、B系统，在滑动过程中，由机械能守恒定律得 解得 （3）设轻绳的张力大小为T，当斜面体向左做匀加速直线运动时，对A、B两物块，分别建立平面直角坐标系，进行正交分解，由牛顿第二定律对A，水平方向 竖直方向 对B，水平方向 竖直方向 解得 12．如图所示，某工厂输送物件的传送系统由固定的光滑圆弧轨道、水平传送带和一倾角为的长木板组成，已知圆弧轨道半径，传送带长，物件与传送带间的动摩擦因数，物件与木板间的动摩擦因数，传送带以的恒定速度顺时针转动。现将质量的物件无初速度从点滑下，经最低点滑到传送带上，发现当物件到达点时速度恰好为零，随即被机械手取走。物件可以看成质点，圆弧轨道与传送带、传送带与木板间均可认为无缝连接，物件过连接点时速度大小认为不变，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小，。 (1)求物件到达点时，轨道对其支持力的大小； (2)求传送带将物件由点运输到点的时间和在此过程中多消耗的电能； (3)假如机械手未能在点及时将物件取走，导致物件重新下滑，求此后它将在木板上运动的总路程。 【答案】(1)30N (2)0.75s；8J (3)1.2m 【详解】（1）物件从点运动到点，根据机械能守恒定律有 在B点，根据牛顿第二定律有 联立解得， （2）设物件到达传送带上后匀加速运动到与传送带共速的时间为，根据牛顿第二定律有 由运动学公式得 时间内物件的位移 物件与传送带共速后一起匀速运动到点的时间 综上得，物件从点运动到点的时间 传送带将物件从点运输到点多消耗的电能为 又 联立解得 （3）方法一： 物件由到，根据受力分析得 、两点间距离（板长）为 解得 物件从点向下运动，受力如图乙所示 根据牛顿第二定律得 第一次返回点时有， 物件滑过点后在传送带上先减速后以相同加速度返回，向上冲的位移 物件第二次返回点，有 物件往上冲时有 设物件第次向上经过C点时的速度为，物件可上冲的位移为，则物件返回点时的速度，可知物件第次向上经过点时的速度大小仍为，则物件可上冲的位移 即物件每次冲上木板的距离是上一次的 分析可得此后物件还能在木板上运动的路程 方法二：、两点间距离（板长）为 解得 离开传送带到物件速度减为零停在传送带右端，根据能量守恒有 解得 从木板滑下后还能在木板上运动的路程 13．如图所示，半径的光滑半圆轨道BC与倾角的粗糙斜面轨道在同一竖直平面内，两轨道间由一条光滑水平轨道AB相连，A处用光滑小圆弧轨道平滑连接，B处与圆轨道相切。在水平轨道上，两静止小球P、Q压紧轻质弹簧后用细线连在一起。某时刻剪断细线后，小球P向左运动到A点时，小球Q沿圆轨道到达C点，之后小球Q落到斜面上时恰好与沿斜面向下运动的小球P发生碰撞。已知小球P的质量，小球Q的质量，小球P与斜面间的动摩擦因数，剪断细线前弹簧的弹性势能，小球到达A点或B点时已和弹簧分离。重力加速度，，，不计空气阻力，求： (1)小球P、Q刚与弹簧分离时各自的速度大小； (2)小球P沿斜面上升的最大高度h及小球Q运动到C点时的速度大小； (3)小球Q离开圆轨道后经过多长时间与小球P相碰。 【答案】(1)5m/s，16m/s (2)0.75m，12m/s (3)1s 【详解】（1）设小球P、Q与弹簧刚分离时的速度大小分别为、，对于P、Q及弹簧组成的系统，在弹开的过程，由动量守恒定律得 由机械能守恒定律得 联立可得， （2）对于小球P沿斜面向上运动过程，由动能定理得 解得上升的最大高度为 小球Q沿圆轨道运动过程中，由机械能守恒定律可得 解得小球Q运动到C点时的速度大小 （3）设小球P从A点上升到两小球相遇所用的时间为t，小球P沿斜面上滑的加速度大小为，沿斜面下滑的加速度大小为，根据牛顿第二定律得， 解得， 小球P上升到最高点所用的时间 由小球P、Q相遇，可得 解得 14．如图所示，半径为的光滑圆弧轨道竖直固定，圆心角为，另一半径为的光滑半圆轨道也竖直固定，两轨道分别与粗糙水平轨道相切于、两点。质量为、可视为质点的滑块从点斜向上抛出，抛出瞬间滑块的速度与水平方向的夹角为，经过一段时间滑块沿点的切线方向进入轨道。已知滑块在点的速度大小为，滑块经过点时对圆轨道的压力为，滑块与水平轨道间的动摩擦因数为，，，重力加速度取，不计空气阻力。求： (1)、两点的高度差 (2)、两点之间的距离； (3)滑块从离开点到第一次落在，落点到点的距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）滑块在点沿切线方向进入圆弧，故其水平速度分量为 由速度分解得 从到的过程中只有重力做功，机械能守恒 整理得 （2）点轨道的圆心方向竖直向上，取竖直向上为正方向，由牛顿第二定律得 代入，， 整理得 从到，重力做功，水平段受到滑动摩擦力做负功，由动能定理得 整理得 （3）到为光滑圆弧，机械能守恒，故 解得 滑块离开点后做平抛运动，竖直方向位移为，有 解得，水平方向做匀速运动，落点到点的水平距离为 因此第一次落点到点的距离为 15．如图所示，斜面倾角为θ，在斜面底端垂直斜面固定一挡板，轻质弹簧一端固定在挡板上，质量为M＝1.0kg的木板与轻弹簧接触、但不拴接，弹簧与斜面平行、且为原长，在木板右上端放一质量为m＝2.0kg的小金属块，金属块与木板间的动摩擦因数为μ1＝0.75，木板与斜面粗糙部分间的动摩擦因数为μ2＝0.25，系统处于静止状态。小金属块突然获得一个大小为v1＝5.3m/s、平行斜面向下的速度，沿木板向下运动。当弹簧被压缩x＝0.5m到P点时，金属块与木板刚好达到相对静止，且此后运动过程中，两者一直没有发生相对运动。设金属块从开始运动到木板达到共速共用时间t＝0.75s，之后木板压缩弹簧至最短，然后木板向上运动，弹簧弹开木板，弹簧始终处于弹性限度内，已知sinθ＝0.28、cosθ＝0.96，g取10m/s2，结果保留二位有效数字。 (1)求木板开始运动瞬间金属块的加速度大小和木板的加速度大小； (2)求P点时弹簧的弹性势能Ep； (3)假设木板由P点压缩弹簧到弹回P点过程中不受斜面摩擦力作用，求木板离开弹簧后沿斜面向上滑行的距离。 【答案】(1)4.4m/s2，10m/s2 (2)3.0J (3)0.077m 【详解】（1）对金属块，由牛顿第二定律可知加速度大小为 沿斜面向上； 木板受到金属块的滑动摩擦力，沿斜面向下 木板受到斜面的滑动摩擦力，沿斜面向上 木板开始运动瞬间的加速度 解得，沿斜面向下 （2）设金属块和木板达到共同速度为v2，对金属块，应用速度公式有 在此过程中以木板为研究对象，设弹簧对木板做功为W，对木板运用动能定理得 解得 根据弹簧弹力做功与弹性势能变化的关系得 解得P点弹簧的弹性势能 （3）金属块和木板达到共速后压缩弹簧，速度减小为0后反向弹回，设弹簧恢复原长时木板和金属块的速度为v3，在此过程中对木板和金属块，由能量的转化和守恒得 木板离开弹簧后，设滑行距离为s，由动能定理得 解得s＝0.077 m 答案第10页，共12页 2 学科网（北京）股份有限公司 $