专题2.2代数式的值（高效培优讲义）数学新教材华东师大版七年级上册

本初中数学讲义聚焦“代数式的值”核心知识点，系统梳理从定义理解、取值要求到代入求值步骤（直接、整体、非负性）的递进脉络，构建从概念认知到几何、生活等实际应用的学习支架。 资料以10类分层题型（典例+变式）为特色，通过几何图形计算、出租车计费等实际情境，培养学生抽象能力（符号意识）、运算能力（整体代入）与应用意识，课中助力教师高效教学，课后便于学生查漏补缺。

专题2.2代数式的值 教学目标 1. 理解代数式的值的定义与取值要求，熟记代入求值的标准步骤与书写规范。 2. 熟练掌握直接代入、整体代入、非负性求值三种核心方法，规范完成基础运算。 3. 能运用代数式求值解决几何、生活实际、程序运算、规律探究类基础问题。 4. 建立代数整体思想，规避符号、括号、运算顺序等高频易错点，提升代数运算能力。 教学重难点 重点 （1）代数式的值的概念理解，规范掌握代入求值的完整步骤。 （2）熟练运用直接代入法进行基础代数式求值运算。 （3）掌握非负数和为0条件下的代数式求值方法。 难点 （1）负数、分数、乘方混合代入时的括号添加与符号纠错。 （2）整式变形后的整体代入求值，灵活运用整体思想简化运算。 （3）结合实际情境、规律探究的综合代数式求值应用。 知识点01：代数式的值的概念 1. 定义：用数值代替代数式中的字母，按照代数式规定的运算顺序计算得出的结果，叫作代数式的值。 2. 核心特性：代数式的值随字母取值的变化而变化，字母取值确定，代数式的值唯一确定。 3. 字母取值限制：一是保证代数式本身有意义，分式分母不为0；二是符合实际问题的现实意义，人数、长度等取值为正数、整数。 【即学即练】 1．当时，代数式 的值为2026，则当时，代数式 的值为______． 【答案】 【分析】先将代入已知代数式，求出的值，再将代入待求代数式，整体代入计算即可． 【详解】解：当时，， ， ； 当时，． 知识点02：求代数式的值的标准步骤 1. 代入：写出“当字母取对应数值时”，用指定数值替换代数式中对应的字母，其余符号、数字保持不变。 2. 计算：还原省略的乘号，遵循先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序，有括号先算括号内，算出最终结果。 【即学即练】 1．当时，代数式的值为 （    ） A．1 B．7 C． D． 【答案】A 【详解】解：将代入可得， ，A选项符合题意． 8．若，则______． 【答案】 【详解】解：， ． 知识点03：代数式求值常用思想方法 1. 直接代入法：已知所有字母具体数值，直接替换计算，适用于基础题型。 2. 整体代入法：无法单独求出字母值时，将已知整式整体替换、变形后代入求值，是本节核心重难点方法。 3. 非负性求值法：利用绝对值、平方数的非负性，若几个非负数和为0，则每一项均为0，求解字母值后代入计算。 【即学即练】 1．“整体思想”是一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用广泛．例如：可以把看成一个整体，则． 已知，，请你利用整体思想解决下列问题： (1)__________； (2)求的值． 【答案】(1)6 (2)10 【分析】本题考查了代数式求值，掌握整体思想是解题关键． （1）利用加法交换律和结合律变形，再整体代入计算求值即可； （2）先去括号，再添括号，再整体代入计算求值即可． 【详解】（1）解：已知，， 则， 故答案为：6； （2）解：已知，， 则． 知识点04：代数式的值的实际应用 1. 几何应用：代入数值求解图形周长、面积等几何量。 2. 生活应用：用于销售方案、行程、计费、工程等实际场景的数值计算与方案对比。 3. 规律应用：结合数字、图形、程序运算规律，代入序号求解对应结果。 【即学即练】 1．如图，某学校的中草药实践基地需要在一个长为米，宽为4米的长方形圃里种植草药（阴影部分为小路，其他部分种草药）． (1)根据图中的数据，则用含的代数式表示小路的面积为 平方米； (2)若，小路铺设费用为每平方米200元，求铺设这条小路需要多少钱？ 【答案】(1) (2)1400元 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值，有理数四则混合计算的实际应用． （1）用的面积减去的面积即可； （2）根据（1）所求，直接代值计算求出小路的面积，再计算费用即可． 【详解】（1）解：由题可知，， ， 所以，小路的面积为； 故答案为：； （2）解：当时，小路的面积为（平方米）， 则铺设这条小路的费用为（元）， 答：铺设这条小路需要1400元． 题型01 基础直接代入求值 严格遵循“先代入、再计算”，还原省略乘号，按四则运算顺序计算，步骤规范不跳步。 【典例1】. （25-26九年级下·贵州贵阳·中考复习）当时，代数式的值是（     ） A．7 B． C．3 D． 【答案】C 【详解】解：∵ ， ∴ ． 【变式1】. （25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）已知，则的值为（     ） A．1 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】直接将a，b的值代入代数式，再计算求出答案即可． 【详解】解：∵， ∴． 【变式2】. （2026·海南省直辖县级单位·二模）当时，代数式的值为（     ） A．5 B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】将给定的的值代入代数式，按照有理数运算法则计算即可得到结果． 【详解】解：把代入，得， 即代数式的值为． 【变式3】. （2026·海南省直辖县级单位·二模）已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题为代数式求值题，只需将已知的的值代入所求代数式，通过有理数加法计算即可得到结果． 【详解】解：当时，． 题型02 利用非负数性质求值 依据、，和为0则各项均为0，求出字母值后代入计算。 【典例2】. （25-26七年级下·湖南岳阳·期中）若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用绝对值和完全平方数的非负性可求出、的值，再计算即可． 【详解】解：，，， ，， ，， ． 【变式1】. （25-26七年级上·四川乐山·期末）若，则的值为（   ） A． B． C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值，绝对值和平方的非负性，解题的关键是正确利用非负数的性质． 利用绝对值与平方的非负性求解x、y的值，再代入计算乘方即可． 【详解】解：∵，， ∴且 ∴， 解得， 则， 故选：A． 【变式2】. （25-26七年级上·云南红河·期末）已知，那么代数式的值为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查非负数的性质及代数式求值，利用平方和绝对值的非负性求出x、y的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵任何数的平方和绝对值均为非负数，且， ∴，， 解得，， 则， ∴． 故选：B． 【变式3】. （25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）若，则______． 【答案】7 【分析】根据绝对值和平方的非负性，得到，，解方程求出，的值，代入代数式计算即可． 【详解】解：， 又，， ，， 解得，， ． 题型03 整体代入求值 对已知条件或所求代数式适当变形，构造相同整式结构，再整体代入运算。 【典例3】. （2026·福建南平·二模）若，则________． 【答案】5 【分析】由得到，再将代入即可． 【详解】解：∵，且， 将代入可得． 【变式1】. （2026·福建厦门·模拟预测）代数式，则的值为_______． 【答案】 【分析】先将所求代数式变形，再把已知整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：， ． 【变式2】. （26-27七年级·全国·暑假作业）代数式的值为7，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】由已知条件可得的值，将所求代数式变形后，整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：， ， ． 【变式3】. （26-27七年级上·全国·课后作业）当时，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将已知 整体代入代数式，直接计算即可得到结果； （2）将已知 整体代入代数式，直接计算即可得到结果． 【详解】（1）解：已知， 将代入 ， 得：原式； （2）解：将代入， 得：原式． 题型04 绝对值化简结合代数式求值 根据字母取值范围化简绝对值，再代入剩余式子求值，先化简、后计算。 【典例4】. （25-26七年级上·湖南湘潭·期末）已知，，且，则________． 【答案】或 【分析】根据绝对值的定义得到，的所有可能取值，结合的条件筛选出符合要求的取值，再计算． 【详解】解：∵ ， ∴ 或 ， ∵ ， ∴ 或 ， ∵ ，当时，，，不满足条件，舍去； 当时，，，两种情况都满足条件， 当，时，， 当，时，， 因此的值为或． 【变式1】. （26-27七年级·浙江·暑假作业）若，求的值． 【答案】1 【分析】根据绝对值的非负性求出x，y的值，代入式子即可求解． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴， ∴． 【变式2】. （26-27七年级·浙江·暑假作业）回答下列问题 (1)若，求的值 (2)若，则 ． 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ， 解之得， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ， ． 【变式3】. （25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）已知，，且，求的值． 【答案】或 【分析】根据绝对值意义，结合，先确定x、y的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ， ，只能， 当时，； 当时，； 综上，的值为或． 题型05 程序运算类代数式求值 读懂程序运算逻辑，将程序流程转化为代数式，多次循环运算需找准循环规律。 【典例5】. （25-26七年级上·浙江温州·期末）按如图所示程序运算，当输入值时，输出值为___________． 【答案】8 【分析】本题考查程序流程图与代数式求值，将代入，根据流程图，进行计算，直至结果为偶数，输出即可． 【详解】解：当时，为奇数，继续输入， 当时，为偶数，输出； 故答案为：8 【变式1】. （25-26七年级下·重庆·期中）如图是一个运算程序的示意图，若输入的值为，则输出的结果为（     ） A． B．1 C．3 D． 【答案】C 【分析】把代入运算程序中，计算可得，根据，那么需再次代入得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴需把再次代入，可得， ∵， ∴输出的结果为． 【变式2】. （25-26七年级上·山东滨州·期末）按如图所示的程序计算：若开始输入的值为，则最后输出的结果是______． 【答案】 【分析】根据运算步骤输入，按照逻辑图逐步计算至输出结果，得到答案． 【详解】解：当时， ∵， ∴计算， ∵， ∴当时， ∵， ∴计算， ∵， ∴当时， ∵， ∴计算， ∵， ∴结果为． 【变式3】. （26-27七年级上·全国·课后作业）在计算机上可以设置运算程序，输入一组数据，计算机就会呈现运算结果，就好像一个“数值转换机”．下面是一组“数值转换机”，请填写下表，并写出图（1）的输出结果、图（2）的运算过程． 输入 0 0.26 4.5 图（1）的输出 图（2）的输出 【答案】解：填表如下 输入 0 0.26 4.5 图（1）的输出 12 24 图（2）的输出 9 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 【分析】根据程序流程图，代入字母的值进行计算即可. 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 填表略． 题型06 几何图形类代数式求值 先用代数式表示图形周长、面积，再代入对应数值，求解几何量的具体值。 【典例6】. （25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图是由3个完全相同的小长方形拼成的图形，其周长为，则一个小长方形的周长为______． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，设小长方形的长为，宽为，根据图形的周长为，得出，进而得出一个小长方形的周长，即可求解． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意得，， ∴ ∴，即一个小长方形的周长为 故答案为：． 【变式1】. （25-26七年级上·浙江宁波·期末）用四张完全相同的长方形纸片可以摆放成如图所示两种正方形图案，即正方形与正方形，已知正方形与正方形的周长之差为5，则正方形的边长为________．    【答案】 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值，正确表示出各个正方形的边长是解题的关键． 设小长方形的长为，宽为，则可得正方形的周长为，正方形的周长为，根据题意列出式子，即可解答． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 则正方形的周长为，正方形的周长为， ， 正方形的边长为， 故答案为：． 【变式2】. （25-26七年级上·宁夏银川·期末）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7部分，部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推，阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了乘方，理解题意是解题的关键． 根据图形规律解题即可． 【详解】解：由图可知，阴影部分的面积为． 故答案为： ． 【变式3】. （25-26七年级上·贵州遵义·期末）为优化厨房电器的空间适配性，某家电品牌在设计新款抽油烟机时，需要精准计算其侧面截面的面积（该截面由长方形烟机主体区域与梯形进风区域组成）．已知设计图纸中，长方形区域的宽为，长为，梯形区域的上底与长方形的宽一致（为），下底为，高为4．请根据这些参数完成截面面积的计算，为后续的安装空间预留材料用量估算提供数据支持． (1)用含，的代数式表示该截面的面积； (2)当，时，求该截面的面积． 【答案】(1) (2)48 【分析】本题考查了列代数式、代数式求值，熟练掌握该截面的面积的构成是解题关键． （1）根据该截面的面积等于长方形区域的面积与梯形区域的面积之和，化简即可得； （2）将，代入计算即可得． 【详解】（1）解：由题意得： ． （2）解：当，时， ． 题型07 生活实际问题求值（销售、计费、行程） 先根据题意列代数式，再代入数值计算，结合结果对比方案优劣。 【典例7】. （26-27七年级上·全国·课后作业）人体血液的质量占人体体重的． (1)如果某人体重是，那么他的血液质量大约在什么范围内？ (2)小亮体重是，他的血液质量大约在什么范围内？ (3)估计你自己的血液质量． 【答案】(1) 血液质量大约在范围内． (2) 小亮的血液质量大约在范围内． (3) 示例：若自身体重为，则血液质量大约在范围内（可根据实际体重计算）． 【分析】（1）结合题干信息给出的范围，以及代数式的意义求解即可； （2）在（1）的基础之上，代入求解即可； （3）结合自身体重，代入求解即可． 【详解】（1）由题意可知，人体血液质量最低是体重的，最高是体重的， ∴某人体重是， ∴他的血液质量大约在范围内； （2）将代入（1）中的代数式内：， ， ∴他的血液质量大约在范围内； （3）结合自身实际情况，代入（1）中代数式求解即可， 例：若自身体重为，则 代入得， ∴血液质量大约在范围内（答案不唯一，符合题意即可）． 【变式1】. （26-27七年级上·全国·课后作业）骑山地自行车过程中，如果车座高度不合适，会使骑行者踩踏费力，甚至造成膝盖磨损．如何确定合适的车座高度呢？有一种雷蒙德（Lemond）测量方法：双腿站立，两脚（不穿鞋）间距约，测量裆部离地面的高度h（单位：），得出的数据乘0.883就是相应的车座顶部到中轴的距离l（如图，单位：），此时的车座高度是骑行最合适的高度． 根据雷蒙德测量方法解决下列问题： (1)用代数式表示l与h之间的关系． (2)当时，l为多少厘米？ (3)请测量自身的相关数据，计算并调整自己山地自行车的车座高度，检验雷蒙德测量方法是否适合自己． 【答案】(1) (2) (3)解：自测，调整自己山地自行车的车座高度， 经过测试，雷蒙德测量方法适合自己． 【分析】（1）根据题意和雷蒙德测量方法列出关系式即可； （2）将代入（1）式计算即可； （3）测量出h值，代入关系式求出l，测试解答即可． 【详解】（1）解：根据题意和雷蒙德测量方法可得：； （2）解：当时，； （3）略 【变式2】. （26-27七年级上·全国·课后作业）在某地，人们发现在一定气温下某种蟋蟀叫的次数与气温之间有如下的近似关系：用蟋蟀叫的次数加30，再把结果除以7，就近似地得到该地当时的气温（单位：）． (1)用代数式表示该地当时的气温； (2)当蟋蟀叫的次数分别是80，100和120时，该地当时的气温大约是多少？ 【答案】(1)解：设蟋蟀叫的次数为，则该地当时的气温为； (2)当蟋蟀叫的次数为80,100,120时，该地当时的气温大约分别是，，． 【分析】（1）设蟋蟀叫的次数为，用的代数式表示该地当时的气温即可； （2）当、或时，分别代入（1）中的代数式计算即可． 【详解】（1）略； （2）解：当时，该地当时的气温大约是； 当时，该地当时的气温大约是； 当时，该地当时的气温大约是． 【变式3】. （26-27七年级上·湖南长沙·开学考试）出租车司机和外卖员成为人民生活的“摆渡人”，平凡人也能成为真英雄．潍坊市出租车收费标准：3千米以内按8元计费，超过3千米，每多跑1千米加价2元，不足1千米的按1千米计算． (1)出租车司机王叔叔去坊子泰华城接乘客，出租车行驶了千米（且为整数）． ①乘客应付车费多少元？ ②当时，乘客应付车费多少元？ (2)张叔叔和李叔叔两位外卖员同时从家出发先去坊子泰华城取货，再送往新怡园小区．张叔叔的骑行速度是340米/分，李叔叔的骑行速度是360米/分．5分钟后两人在坊子泰华城同时到达，他们两家相距多少米？ (3)在（2）的条件下，两人同时从坊子泰华城前往新怡园小区，6分钟时，李叔叔先到达新怡园小区，这时张叔叔离新怡园小区还有多少米？ 【答案】(1)①元；②22元 (2)米或3500米 (3)120米 【分析】（1）①根据“乘车的路程小于3千米，则乘车费用为8元；大于等于3千米时，乘车的费用为基础的8元加上超过3千米部分的费用，超过3千米部分的费用为（总路程）元”列式；②将代入式子即可； （2）如果两人的家在坊子泰华城的同侧，则两人家的距离为两人运动的距离之差；如果两人的家在坊子泰华城的两侧，则两人家的距离为两人运动的距离之和； （3）两人从同一地点到同一个位置，李叔叔先到，则张叔叔距离目的地的距离为两人骑行的距离之差． 【详解】（1）解：①∵， ∴乘客应付的车费为（元）； ②将代入，得（元）． （2）解：当两人的家在坊子泰华城的同侧时， 两人家的距离为：（米）； 当两人的家在坊子泰华城的两侧时， 两人家的距离为：（米）， 答：他们两家相距米或3500米． （3）解：， ， （米）， 答：这时张叔叔离新怡园小区还有120米． 题型08数字规律类代数式求值 先归纳出含序号的规律代数式，再代入指定序号求值。 【典例8】. （2026·宁夏·中考真题）观察一组数：，，，，，，…．根据以上规律，用代数式表示第个数为__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】分别找出数的绝对值规律和符号规律，即可得到第个数的代数式． 【详解】解：观察给出的数可知，第个数的绝对值为，当为奇数时，为正数；为偶数时，为负数， ∴用代数式表示第个数为． 【变式1】. （25-26七年级下·重庆·开学考试）有一些自然数，这样排列：1、2、2、3、3、3、1、1、2、2、2、3、3、3、3、1、1、1、2、2、2、2、3、3、3、3、3、… (1)第100个数是几？ (2)到第几个数时正好有100个3排在一起？（这个数后面的数字不再是3） 【答案】(1) 第100个数是3. (2) 到第14847个数时正好有100个3排在一起. 【分析】（1）将数列按连续的1、2、3分组，得出每组的数字个数规律，计算前若干组总个数以确定第100个数的位置，进而得到结果； （2）根据每组中3的个数规律，求出对应100个连续3的组号，再计算该组结束时的总个数即可得到结果． 【详解】（1）解：将每一段“连续的1、连续的2、连续的3”记为一组， 第1组有1个1，2个2，3个3， 第2组有2个1，3个2，4个3， 第3组有3个1，4个2，5个3， ， 以此类推，可知第组有个1，个2，个3， ∴第组有个数， ∴前组一共有个数， 当时，前组一共有个数， 当时，前组一共有个数， ∵第7组一共有个3，且，， ∴第100个数是3； （2）解：∵， ∴第98组有100个3排在一起， ∵前98组一共有个数， ∴到第14847个数时正好有100个3排在一起． 【变式2】. （26-27七年级上·广东深圳·开学考试）如图，按此规律，第行最后一个数字是，第（　　）行最后一个数是． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】每一行的最后一个数字分别是，，，易得第行的最后一个数字为，求得最后一个数是在哪一行即可． 【详解】解：每一行的最后一个数分别是，，，， ∴第行的最后一个数字为， ∴当时，， ∴第行最后一个数是． 【变式3】. （25-26七年级上·江苏南京·开学考试）位同学坐成一排，从左往右依次编号，，，，，第一次老师让编号是双数的同学站起来，然后余下的同学再从左往右编号，，，，第二次老师又让编号是双数的同学站起来，如此重复做了次后，共有（     ）位同学站着． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依次计算次操作后剩余坐着的人数，再用总人数减去剩余坐着的人数，得到总站着的人数． 【详解】解：初始人数为， 第一次剩余：（人）， 第二次剩余：（人）， 第三次剩余：（人）， 第四次剩余：（人）， 第五次剩余：（人）， 则站着的总人数为：（人）． 题型09 图形规律类代数式求值 统计前几组图形数据，推导通用规律式子，代入对应项数计算结果。 【典例9】. （26-27七年级上·全国·课后作业）完成下列小题 (1)观察下面图中小圆圈的排列方式，你发现了什么规律？ (2)根据（1）中的规律猜想： __________． (3)一般地，你能得到什么猜想？请用代数式表示． 【答案】(1)解：由图可得，图1由1个小圆圈组成，图2由4个小圆圈组成，图3由9个小圆圈组成，图4由16个小圆圈组成，…，图n由个小圆圈组成； 还可以发现图1由1个小圆圈组成，图2由个小圆圈组成，图3由个小圆圈组成，图4由个小圆圈组成，…，图n由个小圆圈组成； (2) (3)(n为正整数） 【分析】（1）根据图形的变化寻找规律进行求解即可； （2）由（1）求解即可； （3）由（1）求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得：， ∴， ∴； （3）解：由（1）可得：(n为正整数）． 【变式1】. （26-27七年级上·全国·课后作业）用长度相同的小棒按下图中的方式拼摆图形． (1)按图示规律填空； 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ 小棒根数 (2)按照这种方式拼摆下去，第n个图形需要______根小棒． 【答案】(1) 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ 小棒根数 (2) 【分析】第一个图形有小棒根，第二个图形有小棒根，第三个图形有小棒根，于是可找得规律，后面的图形都比前面相邻的图形多根，根据此规律可得答案． 【详解】（1）解：第一个图形小棒根数，第二个图形小棒根数为，第三个图形小棒根数为，于是可找得规律，后面的图形都比前面相邻的图形多根，所以第四个图形小棒根数为，第五个图形小棒根数为． （2）解：由小问1可知后面的图形都比前面相邻的图形多根， 第一个图形小棒根数为，可表示为， 第二个图形小棒根数为，可表示为， 第三个图形小棒根数为，可表示为， 第个图形可表示为． 【变式2】. （26-27七年级上·全国·课后作业）某学校食堂的餐桌椅有两种摆放方式． (1)按下图方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆n张桌子呢？ (2)按下图方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆n张桌子呢？ (3)在食堂就餐的高峰时段，要求同时能坐下300人，上面哪种方式所需要的餐桌数较少？ 【答案】(1)摆4张桌子可坐12人，摆5张桌子可坐14人，摆n张桌子可坐人 (2)摆4张桌子可坐18人，摆5张桌子可坐22人，摆n张桌子可坐人 (3)按第二种方式所需要的餐桌数较少 【分析】（1）观察发现第一张餐桌上可以坐6人，每多一张餐桌，多坐2人，n张餐桌共可坐（人）； （2）观察发现第一张餐桌上可以坐6人，每多一张餐桌，多坐4人，n张餐桌共可坐（人）． （3）分别求出两种方式坐300人各需多少张桌子，再比较大小即可得解． 【详解】（1）解：观察发现：摆1张桌子可坐6人， 摆2张桌子可坐（人）， 摆3张桌子可坐（人）， 每增加一张桌子，增加2人， ∴摆4张桌子可坐（人）， 摆5张桌子可坐（人） 摆n张桌子可坐（人）； （2）解：观察发现：摆1张桌子可坐6人， 摆2张桌子可坐（人）， 摆3张桌子可坐（人）， 每增加一张桌子，增加4人， ∴摆4张桌子可坐（人）， 摆5张桌子可坐（人）， 摆n张桌子可坐（人）； （3）解：若按第一种方式， 由， 得， 则需要148张桌子； 若按第二种方式， 由， 得， 则需要75张桌子； ∵， ∴按第二种方式所需要的餐桌数较少． 【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律是解决问题的关键． 【变式3】. （25-26七年级上·湖南湘潭·期中）观察下图： (1)图中的点被线段隔开分成了四层，则第1层有1个点，第2层有3个点，第5层有________个点； (2)第n层应该有多少个点？ (3)第27层有多少个点？ 【答案】(1)9 (2) (3)53 【分析】（1）先统计已知的第1层、第2层、第3层、第4层的点数，分析相邻两层点数的差值规律即可求解； （2）根据层数和对应点数之间的规律，即可归纳出第层的点数公式； （3）将层数代入（2）中的公式计算即可． 【详解】（1）解： 第1层有 个点，第2层有 个点，第3层有 个点，第4层有 个点， 如果继续画下去，那么第5层有 个点 （2）解：第1层： 第2层： 第3层： 第4层： 按照这个规律：第层应该有个点． （3）解：把代入规律公式，得（个）， 所以第27层有个点． 题型10 新定义运算代数式求值 精准理解新定义运算规则，将陌生运算转化为常规代数式运算，规范代入计算。 【典例10】. （25-26九年级下·河南驻马店·期中）定义一个新运算，若，，则______． 【答案】1或 【分析】先根据可得或，再根据题意进行分类讨论即可求解． 【详解】解：， 或， ， ①当，时， ； ②当，时， ； 综上所述：或， 【变式1】. （25-26七年级下·湖北武汉·期末）对于实数x，y，给出定义：，例如．已知，，则=________． 【答案】 【分析】先根据新的定义可得，，再作为整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由①②得：，即， 由②①得：，即， ∴． 【变式2】. （25-26七年级下·江苏南京·阶段检测）定义一种运算：，其中k是正整数，且，例如，．若，则的值为_____ ． 【答案】 【分析】本题考查规律型：数字的变化类，通过计算前若干项的值，归纳出数列的循环规律，再利用规律计算的值. 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 同理可得， 数列从开始，每个数为一个循环，依次为， ，即是的整数倍， ． 【变式3】. （2026·安徽合肥·三模）定义一种正整数层级变换；对任意正整数，按下面规则得到新数： ①若为偶数，则； ②若为奇数，则． 把一次变换称作一级变换，连续换算依次为二级、三级变换． （1）对数字进行三级变换，结果为_________； （2）若某正整数经过三级变换后得数为，则满足条件的所有正整数的和为_________． 【答案】 【分析】（1）根据题目定义的变换规则，逐级计算即可得到结果； （2）从三级变换的结果逆推，分奇偶性讨论得到所有可能的原正整数，再计算所有满足条件的正整数的和． 【详解】（1）解：对进行层级变换： 一级变换：为偶数， ， 二级变换：为偶数， ， 三级变换：为奇数， ； （2）解：从三级变换结果逆推原正整数： ① 逆推三级变换前的数，设三级变换前的数为，变换后得， 若为偶数，则， 解得：，符合条件， 若为奇数，则， 解得， 为偶数，与假设矛盾，舍去， 二级变换的结果为； ② 逆推二级变换前的数，设二级变换前的数为，变换后得， 若为偶数，则， 解得：，符合条件； 若为奇数，则， 解得：，为奇数，符合条件； 因此一级变换的结果为或。 ③ 逆推一级变换前的原正整数：当一级变换结果为时， 设原数为， 若为偶数，则， 解得：，符合条件； 若为奇数，则， 解得：，为奇数，符合条件； 当一级变换结果为时，设原数为， 若为偶数，则， 解得：，符合条件； 若为奇数，则， 解得：，为偶数，与假设矛盾，舍去； 满足条件的所有正整数为，，，其和为：． 一、单选题 1．若m，n互为倒数，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】解：∵， 互为倒数， ∴， ∴． 2．当时，代数式的值为2026，当时，这个代数式的值为（     ） A． B． C． D．2019 【答案】B 【分析】先将代入代数式求出的值，再将代入代数式，利用整体代入法计算求值． 【详解】解：当时，代数式的值为， ， 当时，， 把代入，则， ∴当时，这个代数式的值为． 3．如图，棋子按图中的规律摆放，那么第⑦个图中的棋子比第⑥个图中的棋子多（     ） A．49枚 B．36枚 C．13枚 D．9枚 【答案】C 【详解】解：观察可知，第个图中的棋子数为个， ∴第⑦个图中的棋子数为，第⑥个图中的棋子数为， ∴第⑦个图中的棋子比第⑥个图中的棋子多枚. 二、填空题 4．已知，则 ________ 【答案】 【分析】根据已知等式变形得到的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 5．已知 ，则_______． 【答案】 【分析】根据绝对值的非负性与平方的非负性，两个非负数的和为时，每个非负数都为，据此求出，的值，再代入计算即可． 【详解】解： ，，且 ， 解得， ． 6．在中国的古代建筑中，山西应县木塔以其独特的结构和悠久的历史而闻名于世．榫卯是中国传统木艺的精神内核，被称为“巧夺天工”的中国古典智慧，如图结构为固定榫槽连接结构，彼此按照同样的拼接方式紧密相连，当榫槽结构数分别为和时，长度分别为和，则当有个榫槽结构时，拼接成的木条总长为________． 【答案】38 【分析】先通过分析榫槽结构数为1和2时的长度，找出榫槽结构数与总长度之间的规律，再根据规律计算12个榫槽结构时的总长度． 【详解】解：由题意得：当榫槽结构数为1时，长度为；当榫槽结构数为2时长度为， 所以，从1个榫槽结构增加到2个榫槽结构，增加的长度为， 由此可推测，每增加1个榫槽结构，总长度就增加， 设榫槽结构数为n，总长度为L，则总长度L与榫槽结构数n的关系为． 当时，将其代入可得：． 三、解答题 7．按要求作答 (1)根据图示尺寸计算阴影部分的面积（用含、的代数式表示，并化简）； (2)在（1）中，若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据组合图形的特点可知阴影部分由长、宽的长方形和边长为的正方形两部分组成，依此列出代数式并化简； （2）将，的值代入即可求出的值． 【详解】（1）解：阴影部分的面积 ； （2）解：将，代入得， ． 8．观察下列等式，找规律： ， ， ， …… (1)填空：　　　，　　　； (2)结合（1）中的规律，试说明任意两个连续奇数的平方差是8的倍数． 【答案】(1)； (2) 解：设两个连续奇数为和， ， 即． 故两个连续奇数的平方差是8的倍数． 【分析】（1）仿照已知等式写出算式即可； （2）设两个连续奇数为和，然后利用完全平方公式解答即可． 【详解】（1）解：，； （2）略 9．如图，将边长为a的正方形纸片剪去一个边长为的小正方形，剩余部分沿实线剪开后拼成一个长方形（无重叠、无缝隙）． (1)用含a、b的代数式分别表示拼成的长方形的长和宽； (2)分别计算剪拼前后图形的面积（用含a、b的代数式表示），并根据结果写出一个关于a、b的等式； (3)利用（2）中的等式，计算的值． 【答案】(1)长为，宽为 (2)剪拼前的面积为，剪拼后的面积为；等式为 (3)4049 【分析】（1）原图形是边长为的正方形剪去边长为的小正方形，剩余部分拼接后，长方形的长为大、小正方形的边长和，宽为大、小正方形的边长差； （2）由图可得剪拼前后图形的面积，再根据剪拼前后面积不变，可得等式； （3）把2025和2024代入（2）中的等式进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可得，拼成的长方形的长为，宽为； （2）解：由图可得，剪拼前的面积为， 剪拼后的面积为， ∴得到的等式为； （3）解：由（2）得： ． 1．已知，则的值为（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】先从已知等式变形得到与的关系，再对所求多项式降次代入化简，即可得到结果． 【详解】解：∵，且， ∴等式两边同乘得， 整理得， 对所求式变形得， 将代入得， 再将代入上式得， ∴的值为． 2．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、21…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、36…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和．下列等式中，不符合这一规律的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的部分“三角形数”和“正方形数”找出“三角形数”可看成从1开始几个连续自然数的和以及“正方形数”可看成某个自然数的平方，依此规律逐一分析四个选项中的三个数是否符合该规律，由此即可得出结论． 【详解】解：A、9和16不是三角形数，该选项符合题意； B、， 该选项不符合题意； C、， 该选项不符合题意； D、； 该选项不符合题意． 3．一个三位自然数，其各位数字互不相等且均不为0，百位数字比十位数字大2，我们称这个三位自然数为“兄弟数”，记．比如，各位数字互不相等且均不为0，百位数字4比十位数字2大2，所以427是“兄弟数”，．当“兄弟数”取最小值时，_________，若一个“兄弟数”，使恰为7的倍数，则满足题意的最大“兄弟数”是_________． 【答案】 【分析】根据“兄弟数”定义确定最小，再计算；求最大“兄弟数”时从最大百位开始验证，结合整除条件得到结果． 【详解】解：∵“兄弟数”要求各位数字互不相等且均不为0，百位数字比十位数字大2，即，求最小的“兄弟数”时，优先让百位最小， ∵不为0，即， ∴，得最小为，对应， 再取最小的个位，不为0，且不等于、，得最小， ∴最小的“兄弟数”，． 设，则，，且互不相等， ∴， ∴， ∵是7的倍数， ∴能被7整除，整理得能被7整除。 要找最大的“兄弟数”，优先让尽可能大，最大为，此时，代入得，要求能被7整除， 可得，即，下一个符合条件的超出个位数范围，舍去， 此时，互不相等且均不为0，满足所有条件，所以满足题意的最大“兄弟数”是． 4．某校数学兴趣小组开展探究活动，他们结合所学内容，决定研究数的一些“神秘”性质． (1)任何一个大于1的整数m的平方都可以写成m个连续奇数之和．举例论证：；；．请你按照规律写出：①______． (2)当m是奇数（如9）时，则等号右边式子中的中间数（即第5个数）为m（即9）．当m为偶数（如10）时，则等号右边式子中的中间两个数（即第5和第6个数）分别为②______、______（即______、______）． (3)利用上面结论计算：③______． (4)若n表示正整数，则的值为（④______）． 【答案】(1) (2)，，9，11 (3)2601 (4) 【分析】（1）根据题干中的规律解答即可； （2）根据题干中的规律求解； （3）首先求出中间数为51，然后根据结论求解即可； （4）首先求出中间数为，然后根据结论求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵， ∴的中间数为51， ∴； （4）解：∵， ∴的中间数为， ∴． 5．某服装店销售一种服装，每件成本为元，销售价为元．元旦期间，该店进行促销活动，方案如下： 方案一：每件按销售价的8折销售； 方案二：每件成本价提高后作为促销价销售． (1)分别用含的代数式表示两种方案下每件服装的促销价； (2)若，哪种方案的促销价更高？高多少元？ (3)当时，哪种方案的促销价更高？请说明理由． 【答案】(1)方案一促销价：元；方案二促销价：1.2a元 (2)两种方案的促销价一样高，高0元 (3)方案一的促销价较高 【分析】本题主要考查列代数式和代数式求值，理解题意是解题的关键． （1）根据题意列式即可． （2）将，代入（1）求解即可． （3）将代入比较两种方案的促销价即可． 【详解】（1）解：方案一促销价：元； 方案二促销价：元； （2）解：方案一：元， 方案二：元， 故两种方案的促销价一样高，高0元． （3）解：方案一：， 方案二：， 所以方案一的促销价较高． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2代数式的值 教学目标 1. 理解代数式的值的定义与取值要求，熟记代入求值的标准步骤与书写规范。 2. 熟练掌握直接代入、整体代入、非负性求值三种核心方法，规范完成基础运算。 3. 能运用代数式求值解决几何、生活实际、程序运算、规律探究类基础问题。 4. 建立代数整体思想，规避符号、括号、运算顺序等高频易错点，提升代数运算能力。 教学重难点 重点 （1）代数式的值的概念理解，规范掌握代入求值的完整步骤。 （2）熟练运用直接代入法进行基础代数式求值运算。 （3）掌握非负数和为0条件下的代数式求值方法。 难点 （1）负数、分数、乘方混合代入时的括号添加与符号纠错。 （2）整式变形后的整体代入求值，灵活运用整体思想简化运算。 （3）结合实际情境、规律探究的综合代数式求值应用。 知识点01：代数式的值的概念 1. 定义：用 代替代数式中的字母，按照代数式规定的 计算得出的结果，叫做代数式的 。 2. 核心特性：代数式的值随字母取值的变化而变化，字母取值确定，代数式的值唯一确定。 3. 字母取值限制：一是保证代数式本身有意义，分式分母不为0；二是符合实际问题的现实意义，人数、长度等取值为正数、整数。 【即学即练】 1．当时，代数式 的值为2026，则当时，代数式 的值为______． 知识点02：求代数式的值的标准步骤 1. 代入：写出“当字母取对应数值时”，用指定数值替换代数式中对应的 ，其余符号、数字保持不变。 2. 计算：还原省略的乘号，遵循先 、再 、最后 的运算顺序，有括号先算括号内，算出最终结果。 【即学即练】 1．当时，代数式的值为 （    ） A．1 B．7 C． D． 8．若，则______． 知识点03：代数式求值常用思想方法 1. 直接代入法：已知所有字母具体数值，直接替换计算，适用于基础题型。 2. 整体代入法：无法单独求出字母值时，将已知 、变形后代入求值，是本节核心重难点方法。 3. 非负性求值法：利用 、 的非负性，若几个非负数和为0，则每一项均为0，求解字母值后代入计算。 【即学即练】 1．“整体思想”是一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用广泛．例如：可以把看成一个整体，则． 已知，，请你利用整体思想解决下列问题： (1)__________； (2)求的值． 知识点04：代数式的值的实际应用 1. 几何应用：代入数值求解图形周长、面积等几何量。 2. 生活应用：用于销售方案、行程、计费、工程等实际场景的数值计算与方案对比。 3. 规律应用：结合数字、图形、程序运算规律，代入序号求解对应结果。 【即学即练】 1．如图，某学校的中草药实践基地需要在一个长为米，宽为4米的长方形圃里种植草药（阴影部分为小路，其他部分种草药）． (1)根据图中的数据，则用含的代数式表示小路的面积为 平方米； (2)若，小路铺设费用为每平方米200元，求铺设这条小路需要多少钱？ 题型01 基础直接代入求值 严格遵循“先代入、再计算”，还原省略乘号，按四则运算顺序计算，步骤规范不跳步。 【典例1】. （25-26九年级下·贵州贵阳·中考复习）当时，代数式的值是（     ） A．7 B． C．3 D． 【变式1】. （25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）已知，则的值为（     ） A．1 B． C．7 D． 【变式2】. （2026·海南省直辖县级单位·二模）当时，代数式的值为（     ） A．5 B．0 C．1 D． 【变式3】. （2026·海南省直辖县级单位·二模）已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 题型02 利用非负数性质求值 依据、，和为0则各项均为0，求出字母值后代入计算。 【典例2】. （25-26七年级下·湖南岳阳·期中）若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26七年级上·四川乐山·期末）若，则的值为（   ） A． B． C．8 D．9 【变式2】. （25-26七年级上·云南红河·期末）已知，那么代数式的值为（   ） A．1 B． C． D．3 【变式3】. （25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）若，则______． 题型03 整体代入求值 对已知条件或所求代数式适当变形，构造相同整式结构，再整体代入运算。 【典例3】. （2026·福建南平·二模）若，则________． 【变式1】. （2026·福建厦门·模拟预测）代数式，则的值为_______． 【变式2】. （26-27七年级·全国·暑假作业）代数式的值为7，则代数式的值为______． 【变式3】. （26-27七年级上·全国·课后作业）当时，求下列代数式的值： (1)； (2)． 题型04 绝对值化简结合代数式求值 根据字母取值范围化简绝对值，再代入剩余式子求值，先化简、后计算。 【典例4】. （25-26七年级上·湖南湘潭·期末）已知，，且，则________． 【变式1】. （26-27七年级·浙江·暑假作业）若，求的值． 【变式2】. （26-27七年级·浙江·暑假作业）回答下列问题 (1)若，求的值 (2)若，则 ． 【变式3】. （25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）已知，，且，求的值． 题型05 程序运算类代数式求值 读懂程序运算逻辑，将程序流程转化为代数式，多次循环运算需找准循环规律。 【典例5】. （25-26七年级上·浙江温州·期末）按如图所示程序运算，当输入值时，输出值为___________． 【变式1】. （25-26七年级下·重庆·期中）如图是一个运算程序的示意图，若输入的值为，则输出的结果为（     ） A． B．1 C．3 D． 【变式2】. （25-26七年级上·山东滨州·期末）按如图所示的程序计算：若开始输入的值为，则最后输出的结果是______． 【变式3】. （26-27七年级上·全国·课后作业）在计算机上可以设置运算程序，输入一组数据，计算机就会呈现运算结果，就好像一个“数值转换机”．下面是一组“数值转换机”，请填写下表，并写出图（1）的输出结果、图（2）的运算过程． 输入 0 0.26 4.5 图（1）的输出 图（2）的输出 输入 0 0.26 4.5 图（1）的输出 12 24 图（2）的输出 9 题型06 几何图形类代数式求值 先用代数式表示图形周长、面积，再代入对应数值，求解几何量的具体值。 【典例6】. （25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图是由3个完全相同的小长方形拼成的图形，其周长为，则一个小长方形的周长为______． 【变式1】. （25-26七年级上·浙江宁波·期末）用四张完全相同的长方形纸片可以摆放成如图所示两种正方形图案，即正方形与正方形，已知正方形与正方形的周长之差为5，则正方形的边长为________．    【变式2】. （25-26七年级上·宁夏银川·期末）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7部分，部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推，阴影部分的面积是______． 【变式3】. （25-26七年级上·贵州遵义·期末）为优化厨房电器的空间适配性，某家电品牌在设计新款抽油烟机时，需要精准计算其侧面截面的面积（该截面由长方形烟机主体区域与梯形进风区域组成）．已知设计图纸中，长方形区域的宽为，长为，梯形区域的上底与长方形的宽一致（为），下底为，高为4．请根据这些参数完成截面面积的计算，为后续的安装空间预留材料用量估算提供数据支持． (1)用含，的代数式表示该截面的面积； (2)当，时，求该截面的面积． 题型07 生活实际问题求值（销售、计费、行程） 先根据题意列代数式，再代入数值计算，结合结果对比方案优劣。 【典例7】. （26-27七年级上·全国·课后作业）人体血液的质量占人体体重的． (1)如果某人体重是，那么他的血液质量大约在什么范围内？ (2)小亮体重是，他的血液质量大约在什么范围内？ (3)估计你自己的血液质量． 【变式1】. （26-27七年级上·全国·课后作业）骑山地自行车过程中，如果车座高度不合适，会使骑行者踩踏费力，甚至造成膝盖磨损．如何确定合适的车座高度呢？有一种雷蒙德（Lemond）测量方法：双腿站立，两脚（不穿鞋）间距约，测量裆部离地面的高度h（单位：），得出的数据乘0.883就是相应的车座顶部到中轴的距离l（如图，单位：），此时的车座高度是骑行最合适的高度． 根据雷蒙德测量方法解决下列问题： (1)用代数式表示l与h之间的关系． (2)当时，l为多少厘米？ (3)请测量自身的相关数据，计算并调整自己山地自行车的车座高度，检验雷蒙德测量方法是否适合自己． 【变式2】. （26-27七年级上·全国·课后作业）在某地，人们发现在一定气温下某种蟋蟀叫的次数与气温之间有如下的近似关系：用蟋蟀叫的次数加30，再把结果除以7，就近似地得到该地当时的气温（单位：）． (1)用代数式表示该地当时的气温； (2)当蟋蟀叫的次数分别是80，100和120时，该地当时的气温大约是多少？ 【变式3】. （26-27七年级上·湖南长沙·开学考试）出租车司机和外卖员成为人民生活的“摆渡人”，平凡人也能成为真英雄．潍坊市出租车收费标准：3千米以内按8元计费，超过3千米，每多跑1千米加价2元，不足1千米的按1千米计算． (1)出租车司机王叔叔去坊子泰华城接乘客，出租车行驶了千米（且为整数）． ①乘客应付车费多少元？ ②当时，乘客应付车费多少元？ (2)张叔叔和李叔叔两位外卖员同时从家出发先去坊子泰华城取货，再送往新怡园小区．张叔叔的骑行速度是340米/分，李叔叔的骑行速度是360米/分．5分钟后两人在坊子泰华城同时到达，他们两家相距多少米？ (3)在（2）的条件下，两人同时从坊子泰华城前往新怡园小区，6分钟时，李叔叔先到达新怡园小区，这时张叔叔离新怡园小区还有多少米？ 题型08数字规律类代数式求值 先归纳出含序号的规律代数式，再代入指定序号求值。 【典例8】. （2026·宁夏·中考真题）观察一组数：，，，，，，…．根据以上规律，用代数式表示第个数为__________． 【变式1】. （25-26七年级下·重庆·开学考试）有一些自然数，这样排列：1、2、2、3、3、3、1、1、2、2、2、3、3、3、3、1、1、1、2、2、2、2、3、3、3、3、3、… (1)第100个数是几？ (2)到第几个数时正好有100个3排在一起？（这个数后面的数字不再是3） 【变式2】. （26-27七年级上·广东深圳·开学考试）如图，按此规律，第行最后一个数字是，第（　　）行最后一个数是． A． B． C． D． 【变式3】. （25-26七年级上·江苏南京·开学考试）位同学坐成一排，从左往右依次编号，，，，，第一次老师让编号是双数的同学站起来，然后余下的同学再从左往右编号，，，，第二次老师又让编号是双数的同学站起来，如此重复做了次后，共有（     ）位同学站着． A． B． C． D． 题型09 图形规律类代数式求值 统计前几组图形数据，推导通用规律式子，代入对应项数计算结果。 【典例9】. （26-27七年级上·全国·课后作业）完成下列小题 (1)观察下面图中小圆圈的排列方式，你发现了什么规律？ (2)根据（1）中的规律猜想： __________． (3)一般地，你能得到什么猜想？请用代数式表示． 【变式1】. （26-27七年级上·全国·课后作业）用长度相同的小棒按下图中的方式拼摆图形． (1)按图示规律填空； 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ 小棒根数 (2)按照这种方式拼摆下去，第n个图形需要______根小棒． 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ 小棒根数 【变式2】. （26-27七年级上·全国·课后作业）某学校食堂的餐桌椅有两种摆放方式． (1)按下图方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆n张桌子呢？ (2)按下图方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆n张桌子呢？ (3)在食堂就餐的高峰时段，要求同时能坐下300人，上面哪种方式所需要的餐桌数较少？ 【变式3】. （25-26七年级上·湖南湘潭·期中）观察下图： (1)图中的点被线段隔开分成了四层，则第1层有1个点，第2层有3个点，第5层有________个点； (2)第n层应该有多少个点？ (3)第27层有多少个点？ 题型10 新定义运算代数式求值 精准理解新定义运算规则，将陌生运算转化为常规代数式运算，规范代入计算。 【典例10】. （25-26九年级下·河南驻马店·期中）定义一个新运算，若，，则______． 【变式1】. （25-26七年级下·湖北武汉·期末）对于实数x，y，给出定义：，例如．已知，，则=________． 【变式2】. （25-26七年级下·江苏南京·阶段检测）定义一种运算：，其中k是正整数，且，例如，．若，则的值为_____ ． 【变式3】. （2026·安徽合肥·三模）定义一种正整数层级变换；对任意正整数，按下面规则得到新数： ①若为偶数，则； ②若为奇数，则． 把一次变换称作一级变换，连续换算依次为二级、三级变换． （1）对数字进行三级变换，结果为_________； （2）若某正整数经过三级变换后得数为，则满足条件的所有正整数的和为_________． 一、单选题 1．若m，n互为倒数，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 2．当时，代数式的值为2026，当时，这个代数式的值为（     ） A． B． C． D．2019 3．如图，棋子按图中的规律摆放，那么第⑦个图中的棋子比第⑥个图中的棋子多（     ） A．49枚 B．36枚 C．13枚 D．9枚 二、填空题 4．已知，则 ________ 5．已知 ，则_______． 6．在中国的古代建筑中，山西应县木塔以其独特的结构和悠久的历史而闻名于世．榫卯是中国传统木艺的精神内核，被称为“巧夺天工”的中国古典智慧，如图结构为固定榫槽连接结构，彼此按照同样的拼接方式紧密相连，当榫槽结构数分别为和时，长度分别为和，则当有个榫槽结构时，拼接成的木条总长为________． 三、解答题 7．按要求作答 (1)根据图示尺寸计算阴影部分的面积（用含、的代数式表示，并化简）； (2)在（1）中，若，，求的值． 8．观察下列等式，找规律： ， ， ， …… (1)填空：　　　，　　　； (2)结合（1）中的规律，试说明任意两个连续奇数的平方差是8的倍数． 9．如图，将边长为a的正方形纸片剪去一个边长为的小正方形，剩余部分沿实线剪开后拼成一个长方形（无重叠、无缝隙）． (1)用含a、b的代数式分别表示拼成的长方形的长和宽； (2)分别计算剪拼前后图形的面积（用含a、b的代数式表示），并根据结果写出一个关于a、b的等式； (3)利用（2）中的等式，计算的值． 1．已知，则的值为（     ） A． B．0 C．1 D．2 2．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、21…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、36…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和．下列等式中，不符合这一规律的是（     ）． A． B． C． D． 3．一个三位自然数，其各位数字互不相等且均不为0，百位数字比十位数字大2，我们称这个三位自然数为“兄弟数”，记．比如，各位数字互不相等且均不为0，百位数字4比十位数字2大2，所以427是“兄弟数”，．当“兄弟数”取最小值时，_________，若一个“兄弟数”，使恰为7的倍数，则满足题意的最大“兄弟数”是_________． 4．某校数学兴趣小组开展探究活动，他们结合所学内容，决定研究数的一些“神秘”性质． (1)任何一个大于1的整数m的平方都可以写成m个连续奇数之和．举例论证：；；．请你按照规律写出：①______． (2)当m是奇数（如9）时，则等号右边式子中的中间数（即第5个数）为m（即9）．当m为偶数（如10）时，则等号右边式子中的中间两个数（即第5和第6个数）分别为②______、______（即______、______）． (3)利用上面结论计算：③______． (4)若n表示正整数，则的值为（④______）． 5．某服装店销售一种服装，每件成本为元，销售价为元．元旦期间，该店进行促销活动，方案如下： 方案一：每件按销售价的8折销售； 方案二：每件成本价提高后作为促销价销售． (1)分别用含的代数式表示两种方案下每件服装的促销价； (2)若，哪种方案的促销价更高？高多少元？ (3)当时，哪种方案的促销价更高？请说明理由． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $