专题2.3 整式（高效培优讲义）数学新教材华东师大版七年级上册

本讲义聚焦初中数学整式核心知识点，系统梳理单项式（定义、系数、次数）、多项式（项、次数、命名）及整式概念，衔接多项式升降幂排列，通过易错汇总与规律探究构建从基础概念到综合应用的学习支架。 资料亮点在于知识点分层细化，易错类型归纳清晰，题型涵盖识别、计算、参数求解及规律探究，典例与变式结合。通过概念辨析培养抽象能力，参数问题提升推理意识，规范排列训练模型表达，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

专题2.3 整式 教学目标 1. 理解单项式、多项式、整式的概念，能正确识别三类代数式。 2. 可以准确找出单项式的系数、次数，分清多项式的项、常数项、多项式次数，会命名几次几项式。 3. 掌握多项式按指定字母做升幂、降幂排列的方法，养成规范书写习惯。 4. 能结合单项式、多项式概念求解参数，会分析简单整式相关数字、图形规律。 教学重难点 重点： （1）单项式、多项式、整式概念辨析 （2）确定单项式系数、次数，确定多项式的项、次数 （3）多项式按指定字母进行升幂、降幂排列 难点： （1）系数含符号、含时的单项式系数次数判断 （2）多项式各项符号识别，区分最高次项与多项式次数 （3）利用单项式、多项式次数、项数条件求字母参数 知识点 01：单项式 1. 定义：由数与字母的积组成的代数式叫作单项式；单独一个数或者单独一个字母也属于单项式。 2. 判断要点：只能含有乘法、乘方运算；分母中不能含有字母；不含加减运算。 3. 单项式的系数：单项式中的数字因数，系数包含前面的符号；系数为 1、‑1 时数字 1 省略；属于常数，算作系数的一部分。 4. 单项式的次数：单项式中所有字母的指数之和；单独非零常数的次数规定为 0；不计算数字的指数。 【即学即练】 1．在代数式，，，中，单项式的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】解：是单独的数，属于单项式；是两个单项式的差，不属于单项式；是字母的积，属于单项式；是数与字母的积，属于单项式， ∴单项式的个数是个． 知识点 02：多项式 1. 定义：几个单项式的和叫作多项式。 2. 多项式的项：组成多项式的每一个单项式叫作多项式的项，每一项要连同自身前面的符号；不含字母的项称为常数项。 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数作为整个多项式的次数，不是所有项次数相加。 4. 几次几项式：根据多项式的最高次数与项数对多项式命名。 【即学即练】 1．下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥，属于多项式的有_______．（填序号） 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了多项式的定义． 根据多项式的定义，几个单项式的和叫作多项式，逐一判断每个式子是否可表示为单项式的和． 【详解】①，是单项式和的和，因此是多项式； ②分母中含有字母，是分式，不是多项式； ③是单项式、和的和，因此是多项式； ④是单项式； ⑤是常数，是单项式； ⑥分母中含有字母，不是多项式； 故属于多项式的有①③． 故答案为：①③． 知识点 03：整式 1. 定义：单项式和多项式统称为整式。 2. 判断方法：整式的分母中不能含有字母；代数式不一定是整式，但整式一定是代数式。 【即学即练】 1．代数式，，，，中，是整式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的定义，表示数或字母的积的式子叫作单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，几个单项式的和的形式叫作多项式，而整式是单项式和多项式的统称，据此可得答案． 【详解】解：代数式，，，，中，整式有，，，，共4个， 故选：D． 知识点 04：多项式的升幂排列与降幂排列 1. 降幂排列：把多项式按照某一个字母的指数从大到小的顺序重新排列。 2. 升幂排列：把多项式按照某一个字母的指数从小到大的顺序重新排列。 3. 核心规则：移动项的时候，必须连同该项前面的符号一起移动；只看指定字母的指数，其他字母不参与指数对比；常数项的指数视作 0。 【即学即练】 1．把多项式按字母的降幂排列是：_____． 【答案】 【分析】先确定多项式各项中字母的指数，再按照的指数从大到小的顺序重新排列各项即可. 【详解】解：原多项式的各项分别为，，，， 各项中的指数依次为，，，， 按字母的降幂排列得： 知识点 05：本节常见易错汇总 易错类型 易错说明 单项式判断 分母带字母不是单项式；含加减运算不是单项式；是常数不是字母 系数、次数 漏掉负号；忽略省略的系数 1、‑1；把数字指数计入单项式次数 多项式相关 丢项前面的负号；误把全部项次数相加作为多项式次数 升降幂排列 移动项丢掉符号；混淆排序参照字母 【即学即练】 题型 01 识别判断单项式 对照定义，排除含加减、分母有字母的式子；单独数字、字母属于单项式。 【典例1】. （2026·上海奉贤·三模）下列代数式中，不是单项式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查单项式的概念，根据单项式的定义判断各选项即可，单项式是数或字母的乘积，单独的数或字母也是单项式，多个单项式的和为多项式． 【详解】解：A.是符合单项式定义，属于单项式； B.是数与字母的积，属于单项式； C.是与的积，属于单项式； D.是两个单项式的和，属于多项式，不是单项式． 【变式1】. （25-26七年级下·重庆江北·开学考试）下列各式：，，，，，，，中，是单项式的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据单项式定义逐个判断即可，注意是常数不是字母，分母含字母的式子不是单项式，多项式不属于单项式． 【详解】解：根据单项式的定义：由数与字母的积组成的代数式叫作单项式，单独的一个数或一个字母也叫作单项式， ∵ 是数与字母的积，∴是单项式； ∵ 分母含有字母，∴不是单项式； ∵ 展开后为，是两个单项式的和，属于多项式，∴不是单项式； ∵ 是常数，是常数与字母的积，∴是单项式； ∵ 整理后为，是两个单项式的和，属于多项式，∴不是单项式； ∵ 分母含有字母，∴不是单项式； ∵ 是常数，是单独的常数，∴是单项式； ∵ 是单独的常数，∴是单项式； 综上，符合要求的单项式共有个． 【变式2】. （25-26七年级上·上海·期中）在整式，，，，中，单项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查单项式的定义，解题思路为根据单项式定义逐个判断题干中的整式，统计单项式个数即可得到答案，单项式定义为：由数与字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫作单项式，几个单项式的和为多项式． 【详解】解：∵是数与字母的乘积，是单项式 ∵，是两个单项式的差，属于多项式，不是单项式 ∵是数与字母的乘积，是单项式 ∵是单独的一个字母，是单项式 ∵是单项式和单项式的和，属于多项式，不是单项式 综上，单项式共有个，因此选C． 【变式3】. （26-27七年级上·全国·课后作业）判断下列代数式是不是单项式： (1)a； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)是单项式 (2)是单项式 (3)不是单项式 (4)是单项式 (5)是单项式 【分析】由数或字母的积组成的代数式叫作单项式，单独的一个数或一个字母也叫作单项式，据此求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 （5）略 题型 02 求单项式的系数与次数 系数带上符号，注意为常数；次数只累加所有字母的指数，不含数字部分。 【典例2】. （25-26七年级上·辽宁大连·期末）下列说法正确的是（     ） A．0和a不是单项式 B．的次数是1 C．的系数是 D．的次数是5 【答案】D 【分析】注意单项式的系数含符号，次数为所有字母指数和，单独的数或字母均为单项式． 【详解】解：A．0和a都是单项式，故A错误． B．的次数是，故B错误． C．的系数是，故C错误． D．的次数是，故D正确． 【变式1】. （25-26七年级上·河南郑州·期末）单项式的系数是 ___________． 【答案】 【分析】根据单项式系数的定义求解，注意是常数不是字母，需计入系数，不要遗漏原式的负号. 【详解】解：∵ 单项式的系数是单项式中的数字因数， ∵ 是常数，不属于字母， ∴ 单项式的数字因数为，因此该单项式的系数是. 【变式2】. （25-26七年级上·四川成都·期末）单项式的系数是______ ，次数是______ ． 【答案】 3 【分析】根据单项式系数与次数的定义求解，单项式中的数字因数叫作单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫作单项式的次数． 【详解】解：单项式的数字因数是，因此它的系数是， 单项式中字母的指数为，字母的指数为，所有字母的指数和为，因此它的次数是． 【变式3】. （26-27七年级上·全国·课后作业）填表： 单项式 a 系数 次数 【答案】 单项式 a 系数 1 次数 1 1 3 3 5 【分析】根据单项式系数是单项式中的数字因数，次数是单项式中所有字母的指数和的定义，逐个计算即可得到结果． 【详解】解：对每个单项式分别计算：对于单项式，提取数字因数得系数为，计算所有字母指数和得次数为； 对于单项式，提取数字因数得系数为，计算所有字母指数和得次数为； 对于单项式，提取数字因数得系数为，计算所有字母指数和，得次数为； 对于单项式，提取数字因数得系数为，计算所有字母指数和，得次数为； 对于单项式，提取数字因数得系数为，计算所有字母指数和，得次数为． 题型 03 按条件写指定特征的单项式 先确定系数、总次数，再分配各个字母的指数，写完后回验次数与符号。 【典例3】. （26-27七年级上·全国·课后作业）写出一个所含字母为x、y，并且次数为5的单项式． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据单项式的定义，只要写成和积的形式，且和的次数之和为5即可． 【详解】略． 【变式1】. （2026·河南平顶山·三模）请写出一个只含字母的三次单项式：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】只要写出的单项式只含有字母，并且所有字母的指数和为即可． 【详解】解：∵只含的三次单项式， ∴只需满足和的指数和为，且系数不为即可， 例如中，指数为，指数为，指数和，符合要求． 【变式2】. （2026·河南平顶山·三模）请写出一个含有字母m，n，且次数是3，系数为的单项式：______． 【答案】或（答案不唯一） 【详解】解：符合题意的单项式可以是或． 【变式3】. （2026·河南三门峡·一模）若一个关于m，n的单项式的系数是，次数是5，则这个单项式可以是____________．（写出一个即可） 【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据单项式系数是单项式中的数字因数，次数是所有字母的指数之和，即可写出符合要求的单项式. 【详解】解：由题意可知，单项式的系数为，次数为，即，的指数之和为； 故单项式可以为（答案不唯一） 题型 04 识别判断多项式 看式子是否为若干单项式的和，注意每一项自带符号，分母不能含有字母。 【典例4】. （25-26七年级上·广东江门·期末）下列代数式中，是多项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式与多项式的定义，明确“多项式是几个单项式的和”这一概念，据此区分单项式与多项式． 【详解】解：A：是数与字母的积，属于单项式； B：是两个单项式与的和，属于多项式； C：是数与字母的积，属于单项式； D：是数与字母的积，属于单项式； 故选：B． 【变式1】. （25-26七年级上·云南昭通·阶段检测）把下列各式填在相应的大括号里（填序号）： ①，②，③，④，⑤y，⑥，⑦，⑧，⑨ 单项式集合{        …}； 多项式集合{        …}． 【答案】②③⑤⑧⑨；①④⑥⑦ 【分析】本题主要考查的是整式，掌握单项式、多项式的定义是解题的关键． 根据单项式、多项式的定义解答即可． 【详解】解：单项式有：，，，，， 即单项式集合{②③⑤⑧⑨…}； 多项式有：，，，； 则多项式集合{①④⑥⑦…}． 故答案为：②③⑤⑧⑨；①④⑥⑦． 【变式2】. （25-26七年级上·湖北荆门·期中）式子 ，，，，，中，多项式有___________个． 【答案】3 【分析】本题考查了多项式的定义，根据多项式的定义，分母中不含变量且变量指数为非负整数的代数式为多项式，逐个判断给定式子即可，熟练掌握多项式的定义是解此题的关键． 【详解】解：式子可化为，分母为常数，故为多项式； 中系数为字母，非常数，为单项式，故不是多项式； 分母含变量，故不是多项式； 为多项式； 分母含变量，故不是多项式； 为多项式， 因此多项式有，，，共3个， 故答案为：3． 【变式3】. （25-26七年级下·北京·课后作业）下列式子：①；②；③；④；⑤0；⑥n；⑦． （1）属于单项式的有_______；（请填写序号） （2）属于多项式的有_______；（请填写序号） （3）属于整式的有_________．（请填写序号） 【答案】 ③⑤⑥ ①④ ①③④⑤⑥ 【分析】本题主要考查了单项式、多项式、整式．根据单项式是数与字母的乘积的形式表示的代数式，单独的数字与字母也是单项式；几个单项式的和叫作多项式；单项式和多项式统称整式． 【详解】解：（1）属于单项式的有③；⑤0；⑥n； 故答案为：③⑤⑥； （2）属于多项式的有①；④； 故答案为：①④； （3）属于整式的有①；③；④；⑤0；⑥n． 故答案为：①③④⑤⑥． 题型 05 确定多项式的项、常数项、次数，判断几次几项式 各项连带符号；取最高次项的次数作为多项式整体次数，数清全部项数。 【典例5】. （25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列关于多项式的说法中，错误的是（     ） A．有三项 B．常数项为 C．次数是7 D．二次项的系数是 【答案】C 【分析】本题考查多项式的基本概念，首先明确多项式相关定义：组成多项式的每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫常数项，多项式中次数最高项的次数就是多项式的次数，单项式中的数字因数是单项式的系数．根据多项式的项数，次数，常数项，系数的定义逐一判断即可，找出错误说法，即可求解． 【详解】解：∵ 多项式 由个单项式组成， ∴ 多项式共有三项，A选项说法正确； ∵ 不含字母的项是， ∴ 常数项为，B选项说法正确； ∵ 最高次项为 ，次数为， ∴ 多项式的次数为，不是，C选项说法错误； ∵ 二次项是，数字因数为， ∴ 二次项的系数是，D选项说法正确． 综上，错误的是C． 【变式1】. （25-26七年级上·广东茂名·期中）下列说法正确的是（    ） A．的系数是 B．的次数是5 C．是多项式 D．的常数项是3 【答案】C 【分析】根据单项式的系数、次数，多项式的定义与常数项的概念逐一判断选项即可． 【详解】解：A、，单项式的数字因数即系数为，故A错误； B、中所有字母的指数和为，单项式的次数为3，故B错误； C、，是两个单项式的和，符合多项式的定义，故C正确； D、多项式中不含字母的项为，即常数项是，故D错误． 【变式2】. （25-26七年级下·山东日照·开学考试）关于整式的概念，下列说法正确的是（　　） A．的系数是 B．的次数是6 C．的三次项系数是 D．是五次三项式 【答案】C 【分析】本题考查单项式与多项式的相关概念，根据单项式的系数、次数，多项式的次数、项数的定义，逐个判断选项即可． 【详解】解：选项A中，单项式的数字因数为，是常数，因此系数是，不是，故A错误． 选项B中，单项式的次数是所有字母的指数和，即，常数的指数不计算入单项式次数，因此次数是4，不是6，故B错误． 选项C中，的三次项是，其系数为，故C正确． 选项D中，的最高次项次数为3，共含3个单项式，因此是三次三项式，不是五次三项式，故D错误． 【变式3】. （25-26七年级上·湖北襄阳·期末）有下列说法：①一定是负数；②若，则a是负数；③的系数是；④多项式是四次四项式，其中正确的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题需逐个分析每个说法，依据负数定义、绝对值性质、单项式系数定义、多项式次数和项数的定义判断对错，统计正确个数后得出答案． 【详解】解：①：当m是正数时，是负数，当时，，当m是负数时，是正数，所以不一定是负数，该说法错误； ②：若，则，当时，成立，但a不是负数，该说法错误； ③：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数，在中，数字因数是，所以它的系数是，而不是，该说法错误； ④：在多项式中，各项分别为、、、，一共有四项， 多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，的次数是，的次数是，的次数是1，的次数是0，所以该多项式是四次四项式，该说法正确， 综上，正确的说法只有1个， 故选：A． 题型 06 根据多项式次数、项数条件求参数 最高次项满足对应次数，同时最高次项系数不能等于 0；多余项系数为 0 实现指定项数。 【典例6】. （25-26七年级上·湖南湘潭·期末）若多项式是关于的二次二项式，则________． 【答案】 【分析】根据二次二项式的定义，最高次数为，且多项式只含两项，据此确定和的值，再计算即可． 【详解】解：∵多项式是关于的二次二项式． ∴多项式的最高次数为，可得． ∵多项式为二项式，即总共只有个非零项，最高次项系数，常数项． ∴一次项的系数为，即， 解得． ∴． 【变式1】. （2026·四川广安·二模）若多项式是关于x，y的三次多项式，则______． 【答案】或 【分析】本题考查多项式的次数的概念，解题关键是根据多项式次数要求，令高于三次的项系数为，再求解最高次项的次数得到参数的值． 【详解】解：多项式是关于，的三次多项式， 次数为的项的系数必须为，且最高次项的次数为， 可得， 由得， 将代入 得， 即或， 解得或， 当，时，， 当，时，． 【变式2】. （2026·甘肃白银·二模）多项式是关于x的二次三项式，则m的值是（    ） A． B． C．2 D．2或 【答案】C 【分析】二次三项式即多项式的最高次项的次数为2，且多项式含3个非零项，据此列条件计算即可． 【详解】解：∵多项式是关于x的二次三项式， ∴， 解得． 【变式3】. （25-26七年级上·陕西西安·期末）若关于的多项式有三项且次数是3，则的值为_____． 【答案】1 【分析】本题主要考查了多项式的次数和项的定义，根据多项式的次数的定义可得，根据多项式的项数的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的多项式有三项且次数是3， ∴， ∴， 故答案为：1． 题型 07 开放性写出符合条件的多项式 先满足次数、项数、字母条件，写完后回验次数、项数。 【典例7】. （25-26七年级上·陕西延安·期末）写出一个关于、的多项式，其次数是5，项数是2：______．（写出一个即可） 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题考查了多项式，多项式的次数和多项式的项，掌握相关概念是解题的关键．根据多项式次数和项数的定义，构造一个含有字母和的多项式，项数为，且最高次数为即可． 【详解】解：由于多项式含有字母、，次数是，即最高项次数为，项数是， 该多项式可以为． 故答案为：(答案不唯一)． 【变式1】. （25-26七年级上·河南·期末）请写出一个含有字母x，y的三次二项式，要求含有一次项且一次项系数为： _______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了多项式的系数和次数，熟练掌握多项式的次数和系数，是解题的关键；根据题意写出一个符合要求的三次二项式即可． 【详解】解：多项式是三次项，是一次项，系数为，且该多项式含有字母x和y， 满足条件， 故答案为：．（答案不唯一） 【变式2】. （25-26七年级上·北京·期末）写出一个关于x的三次二项式，使得它的三次项系数为2，则这个三次二项式为____________ ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：由题意得满足条件的多项式可以为．（答案不唯一） 【变式3】. （25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）写出一个只含有字母a和b，最高次项系数为，且一次项系数为5，常数项为9的二次三项式：___________________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查多项式的系数、次数和项数，掌握好多项式的概念是关键． 根据多项式的系数、次数和项数的概念，写出一个符合要求的二次三项式即可． 【详解】解：根据题意，符合要求的二次三项式为． 故答案为：（答案不唯一）． 题型 08 多项式按指定字母做升/降幂排列 只看指定字母指数；每一项连同符号移动；常数项放在末尾。 【典例8】. （26-27七年级上·全国·课后作业）把多项式按x的升幂排列． 【答案】 【详解】解：多项式按x的升幂排列为． 【变式1】. （26-27七年级上·全国·课后作业）把多项式重新排列： (1)按x的升幂排列； (2)按x的降幂排列． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按x的指数从小到大的顺序排列即可； （2）按x的指数从大到小的顺序排列即可． 【详解】（1）解：按x的升幂排列如下：； （2）解：按x的降幂排列如下：． 【变式2】. （25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）将多项式按x的降幂排列为 ____________________ ． 【答案】 【分析】把多项式各项按x的指数从大到小的顺序排列． 【详解】解：多项式按x的降幂排列为． 【变式3】. （26-27七年级上·全国·课后作业）将下列多项式按x的降幂排列： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】先分清多项式的各项，然后按多项式降幂排列的定义排列即可得. 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 题型 09 多项式的式子规律探究 拆分每一项，分别分析符号、系数、字母指数，归纳含序号的通用代数式。 【典例9】. （25-26七年级下·四川成都·期末）如图是我国南宋数学家杨辉年的著作《详解九章算法》，它揭示了（为非负整数）的展开式中每一项按字母的指数由大到小排列的系数规律，请根据其中的规律，写出后面计算的结果． ________． 【答案】 【分析】由题意可得的系数为，，，，，则的首位系数均为，中间系数为的相邻两系数之和，则的系数为，，，，，；的字母降幂排列，字母升幂排列，即可求解． 【详解】解：根据题意可得． 【变式1】. （25-26七年级上·安徽淮南·期中）已知多项式． (1)根据多项式的排列规律，你能确定这个多项式是几次几项式吗？ (2)这个多项式的第七项和第八项分别是什么？ 【答案】(1)十次十一项式 (2)第七项是，第八项是 【分析】本题考查了数字类变化规律，多项式的有关概念，解题的关键是要理解多项式的项、次数、项数等概念的意义． （1）该多项式按a的降幂排列，共十一项，且每一项的次数都是10，奇数项的系数符号是正号，偶数项的系数符号是负号，根据规律即可得解； （2）结合（1）的规律即可得这个多项式的第七项和第八项． 【详解】（1）解：这个多项式是按a的降幂排列的，且每一项的次数都是10，奇数项的系数符号是正号，偶数项的系数符号是负号； 所以这个多项式是十次十一项式； （2）解：由多项式的规律得，第项是， 所以这个多项式的第七项是，第八项是． 【变式2】. （25-26七年级上·河南驻马店·期末）观察下列各单项式： 根据你发现的规律： (1)请你写出第9个单项式为 ，第n个单项式为 ． (2)请你求出当时，第9个单项式与第10个单项式和的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查单项式的变化规律，解答的关键是由所给的单项式总结出存在规律． （1）根据题意得到所给单项式的系数，字母的指数的规律，即可求解； （2）由（1）中规律解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得：所给单项式的系数依次为，即， ∴第个单项式的系数为， ∵单项式中字母的指数依次为， ∴第个单项式中字母的指数为， ∴第个单项式为， 当时，， ∴第9个单项式为， 故答案为：，； （2）解：由（1）得：第9个单项式为， ∴第10个单项式为， 当时： 第9个单项式： ， 第10个单项式： ， ∴第9个单项式与第10个单项式和的值为． 【变式3】. （26-27七年级上·全国·课后作业）有一列单项式：，，，，，，， (1)你能说出这一列单项式的排列规律吗？ (2)写出第个单项式； (3)写出第个单项式． 【答案】(1) 观察这一列单项式： ，，，，，，， 发现它们的排列规律：奇数项的系数为负，偶数项的系数为正，系数的绝对值以及的指数均与式子的次序相同． (2) (3) 【分析】本题考查单项式规律探究； （1）观察发现，奇数项的系数为负，偶数项的系数为正，系数的绝对值以及的指数均与式子的次序相同； （2）根据规律写出第2024个单项式； （3）根据规律写出第n个单项式． 【详解】（1）略 （2）由（1）知第个单项式为：． （3）由（1）知，第(是正整数)个单项式为． 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ）． A．单项式x的系数是0 B．单项式的次数是5 C．单项式的系数是 D．单项式的次数是3 【答案】D 【详解】解：单项式的系数是，A错误； 单项式的次数是，B错误； 单项式的系数是，C错误； 单项式的次数是，D正确． 2．单项式的系数与次数分别是（   ） A．－3，3 B．，3 C．，4 D．，3 【答案】D 【分析】本题考查了单项式系数与次数的定义，根据单项式的系数是单项式中的数字因数，单项式的次数是单项式中所有字母的指数和，进行分析，即可作答． 【详解】解：单项式的系数为，次数为， 故选：D 3．以下是一组按规律排列的单项式：，，，，其中第个单项式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】拆分单项式的系数与字母部分，分别寻找规律． 【详解】解：第1个单项式的系数为； 第2个单项式的系数为； 第3个单项式的系数为； 第4个单项式的系数为； ∴ 第个单项式的系数为， 又∵ 所有单项式的字母部分均为， ∴ 第个单项式为． 二、填空题 4．在代数式中，一次项系数是________． 【答案】 【分析】先确定代数式中各项的次数，找到一次项，再提取一次项的数字因数即可． 【详解】解：代数式包含三项，分别为，，， 其中是二次项，是一次项，是常数项， 一次项的数字因数为，因此一次项系数是． 5．如果是一次式，那么___． 【答案】0 【分析】根据一次式的定义解题即可． 【详解】解：∵是一次式， ∴， 解得． 6．按一定规律排列的代数式：、、、、、、……第n个代数式是________． 【答案】 【分析】分别从符号、系数绝对值、字母a的指数三个维度分析已知代数式的变化规律，归纳得到第n个代数式的一般形式． 【详解】解：根据已知给出的代数式，分三部分归纳规律： ①符号规律：第1个为负，第2个为正，第3个为负，第4个为正…… 奇数项为负，偶数项为正，因此第n个代数式符号可表示为； ②系数绝对值规律：第1个系数绝对值为，第2个为，第3个为，……， 可得第n个代数式系数的绝对值为； ③字母a的指数规律：第1个指数为，第2个指数为，第3个指数为…… 可得第n个代数式中a的指数为； 将三部分合并，可得第n个代数式为． 三、解答题 7．写出一个同时满足下列条件的二次三项式：①只含有字母和；②每一项的次数都是2；③按字母的降幂排列． 【答案】（答案不唯一） 【分析】该题考查多项式的次数和项数的定义以及降幂排列，题目要求写出一个二次三项式，并且只含有字母和,每一项的次数都是2并且按字母的降幂排列，那么这三个项的字母部分只能是，，． 【详解】根据题意可以写出多个答案：，等 8．代数式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． (1)请把上述代数式的序号分别填在相应的圆圈内： (2)其中次数最高的多项式是______次多项式； (3)其中次数最高的单项式的次数是______，系数是______． 【答案】(1) 解：根据多项式以及单项式定义可得： (2)二 (3)4， 【分析】此题主要考查了多项式以及单项式的相关定义，正确把握相关定义是解题关键． （1）直接利用多项式以及单项式定义分析即可； （2）直接利用多项式的次数的定义分析得出答案； （3）直接利用单项式的次数与系数的定义分析即可． 【详解】（1）略 （2）解：多项式的次数为：2， 多项式的次数为：1， 多项式的次数为：1， 故次数最高的多项式是二次多项式； （3）解：单项式的次数为1次，系数为， 单项式的次数为0次，系数为， 单项式的次数为4次，系数为， 故次数最高的单项式的次数是4，系数为． 9．已知关于x，y的多项式是五次四项式（m、n为有理数），且单项式的次数与该多项式相同． (1)求m，n的值． (2)将这个多项式按x的降幂排列． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查多项式的项与次数，单项式的次数，求解代数式的值，熟练掌握基础概念是解题的关键． （1）根据多项式的项数和次数的定义，可得，再由单项式的次数与该多项式的次数相同，可得，再求解即可； （2）按x的指数从大到小排列即可． 【详解】（1）解：关于x、y的多项式是五次四项式，且m，n为有理数， ∴，解得， 又∵单项式的次数与该多项式的次数相同，都是5， ∴，而，解得， 答：，． （2）解：当，时， 关于x，y的多项式按x的降幂排列是． 1．按一定规律排列的多项式：，，，，则第10个多项式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别归纳多项式中a的次数，常数项的绝对值和符号规律，得到第n个多项式的一般形式，再代入即可求解． 【详解】解：观察已知多项式：第1个：，第2个：，第3个：，第4个：， 第n个多项式为：， 则第10个多项式是：． 2．我国古代的天元式可以用来表示多项式，在未知数的一次项旁标注“元”字，未知数的其他幂由与“元”的相对位置确定，高次幂在上，低次幂在下．如图1中的天元式表示多项式，则图2表示的多项式的一次项系数为__________． 【答案】248 【分析】本题考查数学常识．据此解答即可． 【详解】解：根据“天元式”规定的意义，图2表示的多项式是：， ∴一次项系数为248， 故答案为：248． 3．（1）按一定规律排列的单项式：，，，，，…其中第个单项式是_______． （2）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是__________． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的数字类规律探索，对单项式正确进行等价变形是解题关键． （1）对所给的单项式进行整理后即可求解． （2）对所给的单项式进行整理后即可求解． 【详解】解：（1）∵， ， ， ， ， ∴第n个单项式为． （2）第1个单项式的系数为，次数为， 第2个单项式的系数为，次数为， 第3个单项式的系数为，次数为， 第4个单项式的系数为，次数为， 第5个单项式的系数为，次数为， ……， 以此类推，可知第个单项式的系数为，次数为，即第个单项式是， 故答案为：，． 4．【知识呈现】已知=其中表示的是的系数，表示的是的系数，以此类推． 【灵活运用】当时， = 即：． 【解决问题】 (1)取，则可知_________． (2)利用取特殊值法求的值． (3)利用取特殊值法求的值． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】本题考查多项式的定义和有理数的乘方运算，理解题目中的特殊值法是解题关键． （1）代入x的值，计算即可； （2）观察式子可知，每一项的系数均为1，故该式子为时的计算结果，代入计算即可； （3）观察式子可知，当的为奇数时，系数为，为偶数时，系数为1，故该式子为时的计算结果，代入计算即可． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）解：取，则； （3）解：取，则． 5．对于多项式（其中、均是大于的整数）． (1)若为最小的正整数，求此多项式的次数； (2)若，且该多项式是关于的八次四项式， ①求的值；②把原多项式按的降幂重新排列． 【答案】(1)多项式的次数为6 (2)①；② 【分析】本题主要考查了多项式的次数、项数的定义及多项式的降幂排列，熟练掌握多项式次数的确定方法（最高次项的次数为多项式的次数）是解题的关键． （1）先确定最小的正整数的值，代入多项式后，根据多项式次数的定义（最高次项的次数）计算次数． （2）①代入，根据八次四项式的定义（最高次项次数为8）列方程求；②根据的次数从高到低重新排列多项式各项． 【详解】（1）解：由题意知，此时原多项式变为， 所以此时多项式的次数为6； （2）解：①时，原多项式变为， 因为该多项式是关于的八次四项式， 所以， 解得； ②由题意得，原多项式为， 则按的降幂重新排列为：． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 整式 教学目标 1. 理解单项式、多项式、整式的概念，能正确识别三类代数式。 2. 可以准确找出单项式的系数、次数，分清多项式的项、常数项、多项式次数，会命名几次几项式。 3. 掌握多项式按指定字母做升幂、降幂排列的方法，养成规范书写习惯。 4. 能结合单项式、多项式概念求解参数，会分析简单整式相关数字、图形规律。 教学重难点 重点： （1）单项式、多项式、整式概念辨析 （2）确定单项式系数、次数，确定多项式的项、次数 （3）多项式按指定字母进行升幂、降幂排列 难点： （1）系数含符号、含时的单项式系数次数判断 （2）多项式各项符号识别，区分最高次项与多项式次数 （3）利用单项式、多项式次数、项数条件求字母参数 知识点 01：单项式 1. 定义：由 与 的 组成的代数式叫做单项式；单独一个 或者单独一个 也属于单项式。 2. 判断要点：只能含有乘法、乘方运算；分母中不能含有字母；不含加减运算。 3. 单项式的系数：单项式中的 ，系数包含前面的符号；系数为 1、‑1 时数字 1 省略；属于常数，算作系数的一部分。 4. 单项式的次数：单项式中 ；单独非零常数的次数规定为 0；不计算数字的指数。 【即学即练】 1．在代数式，，，中，单项式的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 知识点 02：多项式 1. 定义：几个 叫做多项式。 2. 多项式的项：组成多项式的每一个单项式叫做多项式的项，每一项要连同自身前面的符号；不含字母的项称为常数项。 3. 多项式的次数：多项式里次数 的次数作为整个多项式的次数，不是所有项次数相加。 4. 几次几项式：根据多项式的最高次数与项数对多项式命名。 【即学即练】 1．下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥，属于多项式的有_______．（填序号） 知识点 03：整式 1. 定义： 和 统称为整式。 2. 判断方法：整式的分母中不能含有 ；代数式不一定是整式，但整式一定是代数式。 【即学即练】 1．代数式，，，，中，是整式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点 04：多项式的升幂排列与降幂排列 1. 降幂排列：把多项式按照某一个字母的 的顺序重新排列。 2. 升幂排列：把多项式按照某一个字母的 的顺序重新排列。 3. 核心规则：移动项的时候，必须连同该项前面的符号一起移动；只看指定字母的指数，其他字母不参与指数对比；常数项的指数视作 0。 【即学即练】 1．把多项式按字母的降幂排列是：_____． 知识点 05：本节常见易错汇总 易错类型 易错说明 单项式判断 分母带字母不是单项式；含加减运算不是单项式；是常数不是字母 系数、次数 漏掉负号；忽略省略的系数 1、‑1；把数字指数计入单项式次数 多项式相关 丢项前面的负号；误把全部项次数相加作为多项式次数 升降幂排列 移动项丢掉符号；混淆排序参照字母 【即学即练】 题型 01 识别判断单项式 对照定义，排除含加减、分母有字母的式子；单独数字、字母属于单项式。 【典例1】. （2026·上海奉贤·三模）下列代数式中，不是单项式的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26七年级下·重庆江北·开学考试）下列各式：，，，，，，，中，是单项式的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2】. （25-26七年级上·上海·期中）在整式，，，，中，单项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】. （26-27七年级上·全国·课后作业）判断下列代数式是不是单项式： (1)a； (2)； (3)； (4)； (5)． 题型 02 求单项式的系数与次数 系数带上符号，注意为常数；次数只累加所有字母的指数，不含数字部分。 【典例2】. （25-26七年级上·辽宁大连·期末）下列说法正确的是（     ） A．0和a不是单项式 B．的次数是1 C．的系数是 D．的次数是5 【变式1】. （25-26七年级上·河南郑州·期末）单项式的系数是 ___________． 【变式2】. （25-26七年级上·四川成都·期末）单项式的系数是______ ，次数是______ ． 【变式3】. （26-27七年级上·全国·课后作业）填表： 单项式 a 系数 次数 单项式 a 系数 1 次数 1 1 3 3 5 题型 03 按条件写指定特征的单项式 先确定系数、总次数，再分配各个字母的指数，写完后回验次数与符号。 【典例3】. （26-27七年级上·全国·课后作业）写出一个所含字母为x、y，并且次数为5的单项式． 【变式1】. （2026·河南平顶山·三模）请写出一个只含字母的三次单项式：________． 【变式2】. （2026·河南平顶山·三模）请写出一个含有字母m，n，且次数是3，系数为的单项式：______． 【变式3】. （2026·河南三门峡·一模）若一个关于m，n的单项式的系数是，次数是5，则这个单项式可以是____________．（写出一个即可） 题型 04 识别判断多项式 看式子是否为若干单项式的和，注意每一项自带符号，分母不能含有字母。 【典例4】. （25-26七年级上·广东江门·期末）下列代数式中，是多项式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26七年级上·云南昭通·阶段检测）把下列各式填在相应的大括号里（填序号）： ①，②，③，④，⑤y，⑥，⑦，⑧，⑨ 单项式集合{        …}； 多项式集合{        …}． 【变式2】. （25-26七年级上·湖北荆门·期中）式子 ，，，，，中，多项式有___________个． 【变式3】. （25-26七年级下·北京·课后作业）下列式子：①；②；③；④；⑤0；⑥n；⑦． （1）属于单项式的有_______；（请填写序号） （2）属于多项式的有_______；（请填写序号） （3）属于整式的有_________．（请填写序号） 题型 05 确定多项式的项、常数项、次数，判断几次几项式 各项连带符号；取最高次项的次数作为多项式整体次数，数清全部项数。 【典例5】. （25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列关于多项式的说法中，错误的是（     ） A．有三项 B．常数项为 C．次数是7 D．二次项的系数是 【变式1】. （25-26七年级上·广东茂名·期中）下列说法正确的是（    ） A．的系数是 B．的次数是5 C．是多项式 D．的常数项是3 【变式2】. （25-26七年级下·山东日照·开学考试）关于整式的概念，下列说法正确的是（　　） A．的系数是 B．的次数是6 C．的三次项系数是 D．是五次三项式 【变式3】. （25-26七年级上·湖北襄阳·期末）有下列说法：①一定是负数；②若，则a是负数；③的系数是；④多项式是四次四项式，其中正确的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型 06 根据多项式次数、项数条件求参数 最高次项满足对应次数，同时最高次项系数不能等于 0；多余项系数为 0 实现指定项数。 【典例6】. （25-26七年级上·湖南湘潭·期末）若多项式是关于的二次二项式，则________． 【变式1】. （2026·四川广安·二模）若多项式是关于x，y的三次多项式，则______． 【变式2】. （2026·甘肃白银·二模）多项式是关于x的二次三项式，则m的值是（    ） A． B． C．2 D．2或 【变式3】. （25-26七年级上·陕西西安·期末）若关于的多项式有三项且次数是3，则的值为_____． 题型 07 开放性写出符合条件的多项式 先满足次数、项数、字母条件，写完后回验次数、项数。 【典例7】. （25-26七年级上·陕西延安·期末）写出一个关于、的多项式，其次数是5，项数是2：______．（写出一个即可） 【变式1】. （25-26七年级上·河南·期末）请写出一个含有字母x，y的三次二项式，要求含有一次项且一次项系数为： _______． 【变式2】. （25-26七年级上·北京·期末）写出一个关于x的三次二项式，使得它的三次项系数为2，则这个三次二项式为____________ ． 【变式3】. （25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）写出一个只含有字母a和b，最高次项系数为，且一次项系数为5，常数项为9的二次三项式：___________________． 题型 08 多项式按指定字母做升/降幂排列 只看指定字母指数；每一项连同符号移动；常数项放在末尾。 【典例8】. （26-27七年级上·全国·课后作业）把多项式按x的升幂排列． 【变式1】. （26-27七年级上·全国·课后作业）把多项式重新排列： (1)按x的升幂排列； (2)按x的降幂排列． 【变式2】. （25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）将多项式按x的降幂排列为 ____________________ ． 【变式3】. （26-27七年级上·全国·课后作业）将下列多项式按x的降幂排列： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型 09 多项式的式子规律探究 拆分每一项，分别分析符号、系数、字母指数，归纳含序号的通用代数式。 【典例9】. （25-26七年级下·四川成都·期末）如图是我国南宋数学家杨辉年的著作《详解九章算法》，它揭示了（为非负整数）的展开式中每一项按字母的指数由大到小排列的系数规律，请根据其中的规律，写出后面计算的结果． ________． 【变式1】. （25-26七年级上·安徽淮南·期中）已知多项式． (1)根据多项式的排列规律，你能确定这个多项式是几次几项式吗？ (2)这个多项式的第七项和第八项分别是什么？ 【变式2】. （25-26七年级上·河南驻马店·期末）观察下列各单项式： 根据你发现的规律： (1)请你写出第9个单项式为 ，第n个单项式为 ． (2)请你求出当时，第9个单项式与第10个单项式和的值． 【变式3】. （26-27七年级上·全国·课后作业）有一列单项式：，，，，，，， (1)你能说出这一列单项式的排列规律吗？ (2)写出第个单项式； (3)写出第个单项式． 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ）． A．单项式x的系数是0 B．单项式的次数是5 C．单项式的系数是 D．单项式的次数是3 2．单项式的系数与次数分别是（   ） A．－3，3 B．，3 C．，4 D．，3 3．以下是一组按规律排列的单项式：，，，，其中第个单项式是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．在代数式中，一次项系数是________． 5．如果是一次式，那么___． 6．按一定规律排列的代数式：、、、、、、……第n个代数式是________． 三、解答题 7．写出一个同时满足下列条件的二次三项式：①只含有字母和；②每一项的次数都是2；③按字母的降幂排列． 8．代数式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． (1)请把上述代数式的序号分别填在相应的圆圈内： (2)其中次数最高的多项式是______次多项式； (3)其中次数最高的单项式的次数是______，系数是______． 9．已知关于x，y的多项式是五次四项式（m、n为有理数），且单项式的次数与该多项式相同． (1)求m，n的值． (2)将这个多项式按x的降幂排列． 1．按一定规律排列的多项式：，，，，则第10个多项式是（     ） A． B． C． D． 2．我国古代的天元式可以用来表示多项式，在未知数的一次项旁标注“元”字，未知数的其他幂由与“元”的相对位置确定，高次幂在上，低次幂在下．如图1中的天元式表示多项式，则图2表示的多项式的一次项系数为__________． 3．（1）按一定规律排列的单项式：，，，，，…其中第个单项式是_______． （2）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是__________． 4．【知识呈现】已知=其中表示的是的系数，表示的是的系数，以此类推． 【灵活运用】当时， = 即：． 【解决问题】 (1)取，则可知_________． (2)利用取特殊值法求的值． (3)利用取特殊值法求的值． 5．对于多项式（其中、均是大于的整数）． (1)若为最小的正整数，求此多项式的次数； (2)若，且该多项式是关于的八次四项式， ①求的值；②把原多项式按的降幂重新排列． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $