专题2.2 代数式的值 易错重难点培优同步讲义-2025-2026学年华东师大版数学七年级上册

2.2代数式的值 【题型1】直接代入单个字母值求代数式的值 1.核心知识点总结 -代数式的值:用数值代替代数式中的字母,按代数式规定的运算计算得出的结果,称为代数式的值。 -求值基本步骤:①“代入”:用指定数值替换字母,运算符号、原数字不变;②“计算”:按有理数运算法则(先乘方,再乘除,最后加减)计算结果。 2.高频考点梳理 -单个字母取正数、负数、分数时的代入求值(如、、)。 -代数式含简单乘方、乘除混合运算(如、)。 3.易错点警示 -代入负数时未加括号(如将代入错写为,正确应为)。 -代入分数进行乘方运算时未加括号(如代入错写为,正确应为)。 4.解题技巧拆解 -遵循“一找二代三算”:①找:确定代数式中待替换的字母及对应数值;②代:严格用数值替换字母,还原省略的乘号(如代入为);③算:按运算顺序分步计算,避免跳步。 -复杂运算可先化简代数式(如合并同类项),再代入求值(仅限不含括号的简单代数式)。 【例题1】.(2024-2025•琼中县一模)当x=4时,则2x+1的值是( ) A.3 B.7 C.8 D.9 【变式题1-1】.(2024-2025•黔东南州期末)若x=﹣1,则5x3﹣2x=( ) A.﹣3 B.3 C.﹣7 D.7 【变式题1-2】.(2024-2025•海南模拟)当x=﹣2时,代数式3x﹣2的值是( ) A.﹣4 B.4 C.8 D.﹣8 【变式题1-3】.(2024-2025•马尾区校级月考)若a=﹣2,则( ) A.﹣2 B.﹣1 C.2 D.1 【题型2】多字母值已知时的代数式求值 1.核心知识点总结 -多字母代入核心:明确每个字母对应的数值,按“先替换、后运算”的原则,不混淆字母与数值的对应关系。 -运算优先级:含多字母的代数式中,乘方运算优先于乘除,乘除优先于加减,有括号先算括号内。 2.高频考点梳理 -两个或三个字母的代入(如已知、,求)。 -代数式含括号运算(如、)。 3.易错点警示 -混淆字母与数值的对应关系(如将、代入时,误把的值代入的位置)。 -多步运算中忽略运算顺序(如计算时,先算减法再算乘法,导致结果错误)。 4.解题技巧拆解 -用“列表法”对应字母与数值(如列出、),避免替换错误。 -分步计算:先计算代数式中每一项的值(如先算、再算、最后算),再将各项结果相加或相减。 【例题2】.(2024-2025•东坡区期末)已知x=7时,代数式ax3+bx+2的值为14,则x=﹣7时,代数式ax3+bx﹣5的值为( ) A.﹣17 B.﹣15 C.12 D.7 【变式题2-1】.(2024-2025•肥城市校级期末)当x=﹣6,时,x2019y2020的值为( ) A. B. C.6 D.﹣6 【变式题2-2】.(2024-2025•马边县期中)当x=2时,ax+3的值是5;当x=﹣2时,代数式ax﹣3的值是( ) A.﹣5 B.1 C.﹣1 D.2 【变式题2-3】.(2024-2025•海南一模)已知m=1,n=﹣2,则代数式2m﹣n的值为( ) A.﹣4 B.3 C.﹣3 D.4 【题型3】利用已知式子值进行整体代入求值(提升) 1.核心知识点总结 -整体思想:当无法直接求出单个字母值时,将含字母的式子(如、)看成一个“整体”,代入待求代数式。 -关键前提:待求代数式可变形为含已知整体的形式(如已知,待求式可变形为)。 2.高频考点梳理 -已知“单项式+多项式”的值求代数式(如已知,求)。 -已知“二次项式子”的值求代数式(如已知,求)。 3.易错点警示 -不会对待求式进行变形,强行求解单个字母值(如已知,试图解出再代入,忽略整体代入)。 -变形时系数计算错误(如将变形为时,误写为)。 4.解题技巧拆解 -“观察对比”:对比已知式子与待求式的系数关系(如已知,待求式的系数是已知式的3倍)。 -“一步变形”:对於待求式,提取公因数或利用分配律,转化为含已知整体的形式(如,已知,直接代入得)。 【例题3】.(2024-2025•富平县期末)已知b=2a2﹣4,则式子3﹣2a2+b的值为( ) A.﹣7 B.﹣1 C.1 D.7 【变式题3-1】.(2024-2025•淮滨县期末)已知x2﹣x﹣1=0,则3x2﹣3x+2的值为( ) A.﹣5 B.﹣3 C.5 D.3 【变式题3-2】.(2024-2025•郯城县期末)若a2﹣b=﹣3,则代数式6+2a2﹣2b的值为 . 【变式题3-3】.(2024-2025•昂昂溪区期末)已知2x2﹣3x+4等于9,则6﹣4x2+6x的值为 . 【题型4】结合相反数、倒数、绝对值的代数式求值(提升) 1.核心知识点总结 -相关概念性质:①相反数:若、互为相反数,则;②倒数:若、互为倒数,则;③绝对值:,若,则。 -代数式求值逻辑:先将概念性质转化为等式(如),再代入代数式计算。 2.高频考点梳理 -含“相反数+倒数”的代数式(如已知、,求)。 -含“绝对值”的代数式(如已知,求,需分和两种情况)。 3.易错点警示 -忽略绝对值的多解性(如已知,仅代入,遗漏)。 -混淆“相反数”与“倒数”的性质(如误将作为相反数关系,实际应为)。 4.解题技巧拆解 -“先转后代”:第一步,将相反数、倒数、绝对值的条件转化为数学等式(如“、互为倒数” );第二步,代入代数式,若含绝对值,需分情况讨论。 -特殊值验证:代入符合条件的特殊值(如、满足相反数关系),验证计算结果是否正确。 【例题4】.(2024-2025•江岸区校级月考)若a是最大的负整数,b与a互为相反数,c,d互为倒数且cd≠0,m是绝对值最小的数,n的绝对值是2,求b+2a+3cdm﹣1012n的值. 【变式题4-1】.(2024-2025•贵州期末)已知a,b互为相反数,c是绝对值最小的负整数,m,n互为倒数,则的值为( ) A.2 B.﹣2 C.4 D.﹣4 【变式题4-2】.(2024-2025•龙马潭区期末)如果|a+3|与(b﹣2)2互为相反数,那么代数式(a+b)2022的值是( ) A.1 B.﹣1 C.0 D. 1 【变式题4-3】.(2024-2025•费县期末)已知四个有理数a,b,c,d,若a,b互为相反数,c,d互为倒数,则a+b﹣2cd的值是 . 【题型5】基于程序流程图的代数式分步求值(提升) 1.核心知识点总结 -程序流程图与代数式的关系:流程图中的“输入值”对应代数式的字母,“分支条件”(如、为偶数)对应不同的代数式,“输出值”即代数式的值。 -循环流程图:若流程图含“返回输入”步骤,需先找出输出结果的循环规律,再计算指定次数的输出值。 2.高频考点梳理 -单分支流程图求值(如输入,若,则;若,则,求输入时的)。 -循环流程图求值(如输入,第一次输出24,第二次输出12,第三次输出6,第四次输出3,第五次输出6……求第2024次输出值)。 3.易错点警示 -看错分支条件(如将“”误判为“”,导致代入错误代数式)。 -循环流程图中规律找错(如未发现从第四次开始“6、3”循环,直接逐次计算至指定次数,浪费时间)。 4.解题技巧拆解 -“翻译流程图”:将流程图转化为数学语言(如“输入 若为偶数,;若为奇数,”)。 -循环问题“三步解”:①计算前5-6次输出值,找出循环周期(如“6、3”周期为2);②计算(指定次数-循环起始次数) 周期,求余数;③根据余数确定输出值(余数为1对应周期第一个数,余数为0对应周期最后一个数)。 【例题5】.(2024-2025•淄博期末)如图所示是计算机程序流程图,若开始输入x=1,则最后输出的结果是( ) A.11 B.﹣11 C.13 D.﹣13 【变式题5-1】.(2024-2025•济宁校级期末)根据流程图中的程序,当输入数值x为﹣2时,输出数值y为( ) A.4 B.6 C.8 D.10 【变式题5-2】.(2024-2025•保定二模)如图是计算机程序的一个流程图,现定义:“x+2 x”表示用x+2的值作为x的值输入程序再次计算,比如:当输入x=2时,依次计算作为第一次“传输”,可得2 2=4,4﹣1=3,32=9,9不大于2025,所以2+2=4,把x=4输入程序,再次计算作为第二次“传输”,可得4 2=8,8﹣1=7,⋯,当起始输入x=4时,要使最终可以结束程序,则需经过“传输”的次数为( ) A.10次 B.11次 C.12次 D.13次 【变式题5-3】.(2024-2025•郑州期末)按如图所示的程序流程计算,若开始输入的值为x=2,则最后输出的结果是( ) A.6 B.42 C.1806 D.无法输出结果 【题型6】利用平方与绝对值非负性求代数式值(提升) 1.核心知识点总结 -非负性性质:①任意有理数的平方非负,即;②任意有理数的绝对值非负,即。 -非负性应用:若几个非负数的和为0,则每个非负数均为0(如,则且,即、)。 2.高频考点梳理 -含“平方+绝对值”的等式求字母值(如,求)。 -含“平方+平方”或“绝对值+绝对值”的等式(如,求)。 3.易错点警示 -忘记非负性性质,直接求解字母值(如面对,试图通过解方程求、,忽略“非负性和为0则各部分为0”)。 -计算非负性等式时,符号错误(如由得,正确应为)。 4.解题技巧拆解 -“非负和为0 各非负项为0”:第一步,识别等式中的非负项(平方项、绝对值项);第二步,令每个非负项等于0,列方程求字母值(如 , );第三步,代入代数式求值。 -验证非负性:求出字母值后,代入原等式验证,确保非负项和为0(如、代入,验证正确)。 【例题6】.(2024-2025•苍溪县期末)若(a+1)2+|b﹣2|=0,则(a+b)2025的值是( ) A.1 B.﹣2025 C.﹣1 D.2025 【变式题6-1】.(2024-2025•西山区期末)若|a+5|+(b﹣3)2=0,则代数式b3﹣a2的值为( ) A.49 B.﹣49 C.﹣2 D.2 【变式题6-2】.(2024-2025•龙华区校级期中)若x、y满足|x+3|+(y﹣2)2=0,则代数式(x+y)2023的值为( ) A.﹣2023 B.2023 C.1 D.﹣1 【变式题6-3】.(2024-2025•江阴市期中)如果|a+2|+(b﹣1)2=0,那么代数式(a+b)2024的值是( ) A.1 B.﹣1 C. 1 D.2021 【题型7】规律型代数式的求值与推导(培优) 1.核心知识点总结 -数字规律与代数式:按一定规律排列的数字序列,其第项可表示为含的代数式(如序列“2,4,6,8,…”的第项为)。 -规律推导方法:通过分析前3-5项数字与序号()的关系,归纳代数式,再验证后续项是否符合。 2.高频考点梳理 -等差数字序列(如“-3,-1,1,3,…”,公差为2,第项为)。 -含乘方的数字序列(如“1,-2,4,-8,…”,第项为)。 3.易错点警示 -规律归纳不全面(如序列“3,5,7,9,…”误归纳为,忽略时为3,正确应为)。 -符号规律遗漏(如含负号的序列,未考虑或,导致代数式符号错误)。 4.解题技巧拆解 -“列表分析”:列出序号(1,2,3,4)与对应数字,计算数字与的倍数、和差关系(如时3=2 1+1,时5=2 2+1,归纳为)。 -“验证规律”:将代入归纳的代数式,看结果是否与序列第5项一致(如,若序列第5项为11,则规律正确)。 【例题7】.(2024-2025•仓山区校级期末)综合与实践 请同学们用数学的眼光认真观察下面表格中两个代数式及其相应的值,通过数学的思维进行思考,并用数学的语言表达下列问题. x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … 3x﹣1 … ﹣7 m ﹣1 2 5 … ﹣3x+2 … 8 5 2 ﹣1 n … (1)【初步感知】根据表中信息可知:m= ,n= ; (2)【归纳规律】表中代数式3x﹣1的值的变化规律是:x的值每增加1,3x﹣1的值就增加3.类似地,代数式﹣3x+2的值的变化规律是什么? (3)【拓展应用】当x的值每增加2时,猜想代数式﹣5x﹣1的值会怎样变化?请通过具体数据代入计算加以验证. 【变式题7-1】.(2024-2025•连平县期末)综合与实践 请同学们用数学的眼光认真观察下面表格中两个代数式及其相应的值,通过数学的思维进行思考,并用数学的语言表达下列问题. (1)【初步感知】根据表中信息可知:m= ,n= ; (2)【归纳规律】表中代数式3x﹣1的值的变化规律是:x的值每增加1,3x﹣1的值就增加3.类似的,代数式﹣3x+2的值的变化规律是什么? (3)【拓展应用】当x的值每增加2时,猜想代数式﹣5x﹣1的值会怎样变化?请通过具体数据代入计算加以验证. x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … 3x﹣1 … ﹣7 m ﹣1 2 5 … ﹣3x+2 … 8 5 2 ﹣1 n … 【变式题7-2】.(2024-2025•辛集市期末)试探索代数式a2﹣2ab+b2与(a﹣b)2的关系. (1)当a=2,b=﹣1时,分别求代数式a2﹣2ab+b2与(a﹣b)2的值; (2)当,b=2时,分别求代数式a2﹣2ab+b2与(a﹣b)2的值; (3)从上述计算中,你发现了什么规律?当a=2023,b=2022时,请利用你发现的规律求代数式a2﹣2ab+b2的值. 【变式题7-3】.(2024-2025•德城区期末)观察下列表格中几个代数式及其相应的值,回答问题. x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … x﹣2 ﹣4 ﹣3 ﹣2 a 0 … 2x+3 ﹣1 1 b 5 7 … ﹣3x﹣4 … 2 ﹣1 ﹣4 ﹣7 ﹣10 … 【初步感知】 (1)根据表中信息可知,a= ,b= ; 【归纳规律】 (2)表中x﹣2的值的变化规律是:x的系数是1,x的值每增加1,x﹣2的值就增加1;2x+3的值的变化规律是:x的系数是2,x的值每增加1,2x+3的值就增加 ;类似的,﹣3x﹣4的值的变化规律是:x的系数是﹣3,x的值每增加1,﹣3x﹣4的值就减少 . 【问题解决】 (3)若关于x的代数式mx+n,当x的值每增加1,mx+n的值就减少5,且当x=2时,mx+n的值为6. ①求这个代数式; ②若x1,x2,x3是三个连续偶数;当x=x1时,mx1+n=y1;当x=x2时,mx2+n=y2;当x=x3时,mx3+n=y3;且y1+y2+y3=﹣72.求x1的值. 【题型8】代数式值在实际场景中的应用(培优) 1.核心知识点总结 -代数式的实际意义:代数式是实际数量关系的数学表达,其值对应具体场景中的实际量(如价格、路程、面积、数量等)。 -常见实际模型:①价格模型(总价=单价 数量);②路程模型(路程=速度 时间);③面积模型(长方形面积=长 宽)。 2.高频考点梳理 -解读代数式值的实际含义(如“”表示“3支单价为元的笔加2元笔记本的总价”,当时,值为17表示“总费用17元”)。 -根据实际场景列代数式并求值(如“购买本单价2.5元的练习本,付款元,求时的付款金额”)。 3.易错点警示 -误解代数式中运算的实际意义(如将“”误解读为“比多5”,实际为“比少5”)。 -代数式带单位时未加括号(如“元”错写为“元”,正确应为“元”)。 4.解题技巧拆解 -“先拆后联”:先拆解代数式中的运算(如“”拆为“2乘与的积”),再联系实际场景中的量(如为单价、为数量,“”表示“2份商品的总价”)。 -结合生活经验验证:用具体数值代入代数式,判断结果是否符合实际逻辑(如“人数”“数量”应为非负整数)。 【例题8】.(2024-2025•萧县期末)我国“华为”公司是世界通讯领域的龙头企业,某款手机后置摄像头模组如图所示.其中大圆的半径为r,中间小圆的半径为r,4个半径为r的高清圆形镜头分布在两圆之间. (1)请用含r的式子表示图中阴影部分的面积; (2)当r=2cm时,求图中阴影部分的面积( 取3). 【变式题8-1】.(2024-2025•安康期末)某校组织x名学生外出研学,旅行社报价每人收费300元,当研学人数超过50人时,旅行社给出两种优惠方案:方案一:研学团队先交1500元后,每人收费225元; 方案二:5人免费,其余每人收费打八折. (1)当x>50时,方案一共收费 元,方案二共收费 元;(用含有x的代数式表示) (2)当x=85时,采用哪种方案省钱?说说你的理由. 【变式题8-2】.(2024-2025•平城区期末)山西省图书馆是中国国内为数不多的百年老馆之一,是政府举办的大型综合性公共图书馆.某周日早上图书馆开馆时进入读者(a+2b)人,到十点钟时馆内共有读者(3a+5b)人. (1)求从开馆到十点钟时馆内增加读者多少人; (2)当a=200,b=300时,求从开馆到十点钟时馆内增加读者的人数. 【变式题8-3】.(2024-2025•沅江市期末)一建筑物的地面结构如图所示(图中各图形均为长方形或正方形),请根据图中的数据(单位:米),解答下列问题: (1)用含x,y的代数式表示地面总面积; (2)图中阴影部分需要铺设地砖,铺地砖每平方米的平均费用为80元,若x=7,y=5,则铺地砖的总费用为多少元? 同步练习 一.选择题(共5小题) 1.若|a|=3,|b|=8,a<b,则a+b为( ) A.﹣11 B.﹣11或﹣5 C.5 D.11或5 2.已知3x﹣y+5=0,则代数式2y﹣6x+7的值为( ) A.﹣3 B.3 C.17 D.﹣17 3.当x=1时,多项式ax3+bx﹣2的值为2,则当x=﹣1时,该多项式的值是( ) A.﹣6 B.﹣2 C.0 D.2 4.当x=2时,整式px3+qx+1值为2024,则当x=﹣2时,整式px3+qx+1的值为( ) A.2022 B.﹣2022 C.2024 D.﹣2024 5.根据如图所示的计算程序,若输出的值为y=﹣1,则输入的值x为( ) A.﹣5或1 B.﹣5或﹣1 C.1或﹣1 D.﹣5或1或﹣1 二.填空题(共5小题) 6.若|x|=5,|y|=4且x+y<0,则x+y= . 7.已知a﹣2b=3,则2a﹣4b﹣3的值为 . 8.已知x2+xy=2,y2+xy=3,则2x2+5xy+3y2= . 9.给出下列程序:已知当输入的x值为1时,输出值为1;当输入的x值为﹣1时,输出值为5,则当输入的x值为时,输出值为 . 10.按如图所示的程序计算,若开始输入x的值为﹣2,则最后输出的结果是 . 三.解答题(共5小题) 11.已知a、b互为倒数,c的绝对值是2,求3ab﹣5c的值. 12.如图,正方形ABCD的边长为a. (1)根据图中数据,用含a,b的代数式表示阴影部分的面积S; (2)当a=6,b=2时,求阴影部分的面积. 13.如图,将边长为10cm的正方形纸片的四个角各剪去一个边长为x cm的小正方形. (1)阴影部分的面积S= cm2;(用含x的代数式表示) (2)当x=2时,求阴影部分的面积. 14.某服装厂生产一种围巾和手套,每条围巾的定价为50元,每双手套的定价为20元.厂方在开展促销活动期间,向客户提供两种优惠方案: 方案①:买一条围巾送一双手套; 方案②:围巾和手套都按定价的80%付款. 现某客户要到该服装厂购买围巾20条,手套x双(x>20) (1)若该客户按方案①购买,则需付款 元(用含x的代数式表示); 若该客户按方案②购买,则需付款 元(用含x的代数式表示); (2)若x=30,则通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算. 15.某中学准备在网上订购一批篮球和跳绳,查阅后发现篮球每个售价为120元,跳绳每根售价为25元.现有甲、乙两家网店均提供包邮服务,并提出了各自的优惠方案. 甲网店:买一个篮球送一根跳绳; 乙网店:篮球和跳绳都按定价的90%付款. 已知要购买篮球40个,跳绳x根(x>40). (1)若在甲网店购买,则需付款 元;若在乙网店购买,则需付款 元;(用含x的代数式表示) (2)当x=80时,在哪家网店购买较为合算? (3)当x=80时,你认为还有更为省钱的购买方案吗?如果没有,请说明理由;如果有,请写出你的购买方案,并计算需要付款的金额. 学科网(北京)股份有限公司 $ 2.2代数式的值 【题型1】直接代入单个字母值求代数式的值 1.核心知识点总结 -代数式的值：用数值代替代数式中的字母，按代数式规定的运算计算得出的结果，称为代数式的值。 -求值基本步骤：①“代入”：用指定数值替换字母，运算符号、原数字不变；②“计算”：按有理数运算法则（先乘方，再乘除，最后加减）计算结果。 2.高频考点梳理 -单个字母取正数、负数、分数时的代入求值（如、、)。 -代数式含简单乘方、乘除混合运算(如、)。 3.易错点警示 -代入负数时未加括号(如将代入错写为，正确应为)。 -代入分数进行乘方运算时未加括号(如代入错写为，正确应为)。 4.解题技巧拆解 -遵循“一找二代三算”：①找：确定代数式中待替换的字母及对应数值；②代：严格用数值替换字母，还原省略的乘号(如代入为)；③算：按运算顺序分步计算，避免跳步。 -复杂运算可先化简代数式(如合并同类项)，再代入求值(仅限不含括号的简单代数式)。 【例题1】．（2024-2025•琼中县一模）当x＝4时，则2x+1的值是（　　） A．3 B．7 C．8 D．9 【答案】D． 【分析】利用代入法，代入所求的式子即可． 【解答】解：当x＝4时，原式＝2×4+1＝9． 故选：D． 【点评】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 【变式题1-1】．（2024-2025•黔东南州期末）若x＝﹣1，则5x3﹣2x＝（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣7 D．7 【答案】A 【分析】利用代入法，代入所求的式子即可． 【解答】解：当x＝﹣1时，原式＝5×（﹣1）3﹣2×（﹣1）＝﹣3． 故选：A． 【点评】本题考查代数式求值，把代数式中的字母用具体的数代替，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 【变式题1-2】．（2024-2025•海南模拟）当x＝﹣2时，代数式3x﹣2的值是（　　） A．﹣4 B．4 C．8 D．﹣8 【答案】D． 【分析】利用代入法，代入所求的式子即可． 【解答】解：当x＝﹣2时，原式＝3×（﹣2）﹣2＝﹣8． 故选：D． 【点评】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 【变式题1-3】．（2024-2025•马尾区校级月考）若a＝﹣2，则（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1 【答案】B． 【分析】利用代入法，代入所求的式子即可． 【解答】解：当a＝﹣2时，原式1． 故选：B． 【点评】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 【题型2】多字母值已知时的代数式求值 1.核心知识点总结 -多字母代入核心：明确每个字母对应的数值，按“先替换、后运算”的原则，不混淆字母与数值的对应关系。 -运算优先级：含多字母的代数式中，乘方运算优先于乘除，乘除优先于加减，有括号先算括号内。 2.高频考点梳理 -两个或三个字母的代入(如已知、，求)。 -代数式含括号运算(如、)。 3.易错点警示 -混淆字母与数值的对应关系(如将、代入时，误把的值代入的位置)。 -多步运算中忽略运算顺序(如计算时，先算减法再算乘法，导致结果错误)。 4.解题技巧拆解 -用“列表法”对应字母与数值(如列出、)，避免替换错误。 -分步计算：先计算代数式中每一项的值(如先算、再算、最后算)，再将各项结果相加或相减。 【例题2】．（2024-2025•东坡区期末）已知x＝7时，代数式ax3+bx+2的值为14，则x＝﹣7时，代数式ax3+bx﹣5的值为（　　） A．﹣17 B．﹣15 C．12 D．7 【答案】A 【分析】将x＝7代入ax3+bx+2，得到a与b的关系式，再将x＝﹣7代入ax3+bx﹣5并利用a与b的关系式求值即可． 【解答】解：当x＝7时，73a+7b+2＝14， 解得73a+7b＝12， 则当x＝﹣7时， ax3+bx﹣5 ＝﹣（73a+7b）﹣5 ＝﹣12﹣5 ＝﹣17． 故选：A． 【点评】本题考查代数式求值，掌握整体代入法求代数式的值是解题的关键． 【变式题2-1】．（2024-2025•肥城市校级期末）当x＝﹣6，时，x2019y2020的值为（　　） A． B． C．6 D．﹣6 【答案】B 【分析】根据同底数幂的乘法和积的乘方法则可得x2019y2020＝（xy）2019•y，代入即可求解． 【解答】x2019y2020＝x2019y2019•y＝（xy）2019•y， 当x＝﹣6，时， ． 故选：B． 【点评】本题考查同底数幂的乘法和积的乘方的逆运算，熟记逆运算法则是解题的关键． 【变式题2-2】．（2024-2025•马边县期中）当x＝2时，ax+3的值是5；当x＝﹣2时，代数式ax﹣3的值是（　　） A．﹣5 B．1 C．﹣1 D．2 【答案】A 【分析】由当x＝2时，代数式ax+3的值为5就可得到一个关于a的方程，求出a的值，再把a的值及x＝﹣2代入代数式就可求出代数式的值． 【解答】解：根据题意得2a+3＝5， 解得：a＝1， 把a＝1以及x＝﹣2代入， 得：ax﹣3＝﹣2﹣3＝﹣5． 故选：A． 【点评】此题的关键是据已知条件求出a的值，再根据已知条件求代数式的值． 【变式题2-3】．（2024-2025•海南一模）已知m＝1，n＝﹣2，则代数式2m﹣n的值为（　　） A．﹣4 B．3 C．﹣3 D．4 【答案】D 【分析】把m＝1，n＝﹣2代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【解答】解：由题意可得： ∴原式＝2×1﹣（﹣2）＝2+2＝4， 故选：D． 【点评】本题考查了代数式求值，正确进行计算是解题关键． 【题型3】利用已知式子值进行整体代入求值(提升) 1.核心知识点总结 -整体思想：当无法直接求出单个字母值时，将含字母的式子(如、)看成一个“整体”，代入待求代数式。 -关键前提：待求代数式可变形为含已知整体的形式(如已知，待求式可变形为)。 2.高频考点梳理 -已知“单项式+多项式”的值求代数式(如已知，求)。 -已知“二次项式子”的值求代数式(如已知，求)。 3.易错点警示 -不会对待求式进行变形，强行求解单个字母值(如已知，试图解出再代入，忽略整体代入)。 -变形时系数计算错误(如将变形为时，误写为)。 4.解题技巧拆解 -“观察对比”：对比已知式子与待求式的系数关系(如已知，待求式的系数是已知式的3倍)。 -“一步变形”：对於待求式，提取公因数或利用分配律，转化为含已知整体的形式(如，已知，直接代入得)。 【例题3】．（2024-2025•富平县期末）已知b＝2a2﹣4，则式子3﹣2a2+b的值为（　　） A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．7 【答案】B 【分析】将b＝2a2﹣4代入3﹣2a2+b，再合并同类项即可． 【解答】解：∵b＝2a2﹣4， ∴3﹣2a2+b ＝3﹣2a2+2a2﹣4 ＝3﹣4 ＝﹣1． 故选：B． 【点评】本题考查代数式求值，掌握用整体代入法求代数式的值是解题的关键． 【变式题3-1】．（2024-2025•淮滨县期末）已知x2﹣x﹣1＝0，则3x2﹣3x+2的值为（　　） A．﹣5 B．﹣3 C．5 D．3 【答案】C 【分析】所求代数式化为3x2﹣3x+2＝3（x2﹣x）+2，再将已知代入即可求解． 【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0， ∴x2﹣x＝1， ∵3x2﹣3x+2＝3（x2﹣x）+2， ∴3x2﹣3x+2＝3×1+2＝5， 故选：C． 【点评】本题考查代数式求值，熟练掌握代数式求值的方法，将所求代数式根据已知条件进行适当的变形是解题的关键． 【变式题3-2】．（2024-2025•郯城县期末）若a2﹣b＝﹣3，则代数式6+2a2﹣2b的值为　0　 ． 【答案】0． 【分析】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可． 【解答】解：当a2﹣b＝﹣3时，原式＝2（a2﹣b）+6＝2×（﹣3）+6＝0． 故答案为：0． 【点评】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 【变式题3-3】．（2024-2025•昂昂溪区期末）已知2x2﹣3x+4等于9，则6﹣4x2+6x的值为 　﹣4　 ． 【答案】﹣4． 【分析】根据题意可得：2x2﹣3x+4＝9，即2x2﹣3x＝5，把代数式变形为：﹣2（2x2﹣3x）+6，然后把2x2﹣3x＝5代入计算即可． 【解答】解：∵2x2﹣3x+4＝9， ∴2x2﹣3x＝5， ∴6﹣4x2+6x ＝﹣2（2x2﹣3x）+6， ＝﹣2×5+6 ＝﹣10+6 ＝﹣4． 故答案为：﹣4． 【点评】本题考查了代数式求值，掌握整体代入法是解题的关键． 【题型4】结合相反数、倒数、绝对值的代数式求值(提升) 1.核心知识点总结 -相关概念性质：①相反数：若、互为相反数，则；②倒数：若、互为倒数，则；③绝对值：，若，则。 -代数式求值逻辑：先将概念性质转化为等式(如)，再代入代数式计算。 2.高频考点梳理 -含“相反数+倒数”的代数式(如已知、，求)。 -含“绝对值”的代数式(如已知，求，需分和两种情况)。 3.易错点警示 -忽略绝对值的多解性(如已知，仅代入，遗漏)。 -混淆“相反数”与“倒数”的性质(如误将作为相反数关系，实际应为)。 4.解题技巧拆解 -“先转后代”：第一步，将相反数、倒数、绝对值的条件转化为数学等式(如“、互为倒数”→)；第二步，代入代数式，若含绝对值，需分情况讨论。 -特殊值验证：代入符合条件的特殊值(如、满足相反数关系)，验证计算结果是否正确。 【例题4】．（2024-2025•江岸区校级月考）若a是最大的负整数，b与a互为相反数，c，d互为倒数且cd≠0，m是绝对值最小的数，n的绝对值是2，求b+2a+3cdm﹣1012n的值． 【答案】﹣2022或2026． 【分析】根据a是最大的负整数，b与a互为相反数，c，d互为倒数且cd≠0，m是绝对值最小的数，n的绝对值是2，得出a＝﹣1，b＝1，cd＝1，m＝0，n＝±2，然后代入进行计算，即可作答． 【解答】解：由条件可知a＝﹣1，b+a＝0， ∵a＝﹣1， ∴b＝1， ∵c，d互为倒数且cd≠0， ∴cd＝1， ∵m是绝对值最小的数，n的绝对值是2， ∴m＝0，n＝±2， 则， 当n＝2时，则2﹣1012n＝2﹣1012×2＝﹣2022； 当n＝﹣2时，则2﹣1012n＝2﹣1012×（﹣2）＝2026． 【点评】本题考查了已知字母的值求代数式的值，相反数的性质，倒数的性质，绝对值的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 【变式题3-1】．（2024-2025•贵州期末）已知a，b互为相反数，c是绝对值最小的负整数，m，n互为倒数，则的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 【答案】D 【分析】根据互为相反数的两数之和为0，互为倒数的两数之积为1，绝对值最小的负整数为﹣1，得到a+b＝0，c＝﹣1，mn＝1，整体代入代数式进行计算即可． 【解答】解：由题意，得：a+b＝0，c＝﹣1，mn＝1， ∴； 故选：D． 【点评】本题考查代数式求值，整体代入是关键． 【变式题3-2】．（2024-2025•龙马潭区期末）如果|a+3|与（b﹣2）2互为相反数，那么代数式（a+b）2022的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．±1 【答案】A 【分析】通过绝对值和平方的非负性将a，b的值求出来，代入求解即可． 【解答】解：∵|a+3|与（b﹣2）2互为相反数， ∴|a+3|+（b﹣2）2＝0， ∵|a+3|≥0，（b﹣2）2≥0， ∴|a+3|＝0，（b﹣2）2＝0， ∴a＝﹣3，b＝2， ∴（a+b）2022＝（﹣3+2）2022＝（﹣1）2022＝1， 故选：A． 【点评】本题考查绝对值，偶次方的非负性，解题的关键是利用绝对值和平方的非负性将a，b的值求出来． 【变式题3-3】．（2024-2025•费县期末）已知四个有理数a，b，c，d，若a，b互为相反数，c，d互为倒数，则a+b﹣2cd的值是 　﹣2　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用相反数，倒数的定义求出a+b＝0，cd＝1的值，代入原式计算即可得到结果． 【解答】解：∵a和b互为相反数，c和d互为倒数， ∴a+b＝0，cd＝1， ∴a+b﹣2cd＝0﹣2×1＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】此题考查了相反数，倒数，代数式求值，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 【题型5】基于程序流程图的代数式分步求值(提升) 1.核心知识点总结 -程序流程图与代数式的关系：流程图中的“输入值”对应代数式的字母，“分支条件”(如、为偶数)对应不同的代数式，“输出值”即代数式的值。 -循环流程图：若流程图含“返回输入”步骤，需先找出输出结果的循环规律，再计算指定次数的输出值。 2.高频考点梳理 -单分支流程图求值(如输入，若，则；若，则，求输入时的)。 -循环流程图求值(如输入，第一次输出24，第二次输出12，第三次输出6，第四次输出3，第五次输出6……求第2024次输出值)。 3.易错点警示 -看错分支条件(如将“”误判为“”，导致代入错误代数式)。 -循环流程图中规律找错(如未发现从第四次开始“6、3”循环，直接逐次计算至指定次数，浪费时间)。 4.解题技巧拆解 -“翻译流程图”：将流程图转化为数学语言(如“输入→若为偶数，；若为奇数，”)。 -循环问题“三步解”：①计算前5-6次输出值，找出循环周期(如“6、3”周期为2)；②计算(指定次数-循环起始次数)÷周期，求余数；③根据余数确定输出值(余数为1对应周期第一个数，余数为0对应周期最后一个数)。 【例题5】．（2024-2025•淄博期末）如图所示是计算机程序流程图，若开始输入x＝1，则最后输出的结果是（　　） A．11 B．﹣11 C．13 D．﹣13 【答案】C 【分析】利用程序图进行运算即可解答． 【解答】解：当x＝1时，﹣4x﹣（﹣1）＝﹣4×1+1＝﹣3＜10， ∴当x＝﹣3时，﹣4x﹣（﹣1）＝﹣4×（﹣3）+1＝13＞10，符合要求， ∴最后输出的结果是：13． 故选：C． 【点评】本题主要考查了有理数的混合运算、求代数式的值等知识点，理解程序的要求是解题的关键． 【变式题5-1】．（2024-2025•济宁校级期末）根据流程图中的程序，当输入数值x为﹣2时，输出数值y为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】根据所给的函数关系式所对应的自变量的取值范围，将x的值代入对应的函数即可求得y的值． 【解答】解：∵x＝﹣2，不满足x≥1 ∴对应yx+5， 故输出的值yx+5（﹣2）+5＝1+5＝6． 故选：B． 【点评】本题主要考查了代数式求值，注意正确计算． 【变式题5-2】．（2024-2025•保定二模）如图是计算机程序的一个流程图，现定义：“x+2→x”表示用x+2的值作为x的值输入程序再次计算，比如：当输入x＝2时，依次计算作为第一次“传输”，可得2×2＝4，4﹣1＝3，32＝9，9不大于2025，所以2+2＝4，把x＝4输入程序，再次计算作为第二次“传输”，可得4×2＝8，8﹣1＝7，⋯，当起始输入x＝4时，要使最终可以结束程序，则需经过“传输”的次数为（　　） A．10次 B．11次 C．12次 D．13次 【答案】B 【分析】由程序图可得，当起始输入x＝4时，依次输入的数为6，8，10⋯，设经过n次传输，可以结束程序，由442＝1936＜2025，462＝2116＞2025，可得[4+2（n﹣1）]×2﹣1≥46，解不等式即可求解． 【解答】解：由程序图可知，当x＝4时，依次输入的数为6，8，10⋯， 设经过n次传输，可以结束程序， ∵442＝1936＜2025，462＝2116＞2025， ∴[4+2（n﹣1）]×2﹣1≥46， 4+（2n﹣2）×2﹣1≥46， 4+4n﹣4﹣1≥46， 解得：n≥10.75， ∵n为正整数， ∴n的值为11，即经过11次传输，可以结束程序． 故选：B． 【点评】本题考查了程序流程图，一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键． 【变式题5-3】．（2024-2025•郑州期末）按如图所示的程序流程计算，若开始输入的值为x＝2，则最后输出的结果是（　　） A．6 B．42 C．1806 D．无法输出结果 【答案】C 【分析】根据题意，将x＝2代入x（x+1）求出结果是6，此时结果小于100，将x＝6代入x（x+1）求出结果是42，42＜100，将x＝42代入x（x+1）得：42×（42+1）＝1806．据此解答． 【解答】解：将x＝2代入x（x+1）得： 2×（2+1）＝6， 6＜100， 将x＝6代入x（x+1）得： 6×（6+1）＝42， 42＜100， 将x＝42代入x（x+1）得： 42×（42+1）＝1806． 故选：C． 【点评】本题考查了代数式求值、有理数的混合运算，解决本题的关键是将x的值代入计算程序计算即可． 【题型6】利用平方与绝对值非负性求代数式值(提升) 1.核心知识点总结 -非负性性质：①任意有理数的平方非负，即；②任意有理数的绝对值非负，即。 -非负性应用：若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0(如，则且，即、)。 2.高频考点梳理 -含“平方+绝对值”的等式求字母值(如，求)。 -含“平方+平方”或“绝对值+绝对值”的等式(如，求)。 3.易错点警示 -忘记非负性性质，直接求解字母值(如面对，试图通过解方程求、，忽略“非负性和为0则各部分为0”)。 -计算非负性等式时，符号错误(如由得，正确应为)。 4.解题技巧拆解 -“非负和为0→各非负项为0”：第一步，识别等式中的非负项(平方项、绝对值项)；第二步，令每个非负项等于0，列方程求字母值(如→，→)；第三步，代入代数式求值。 -验证非负性：求出字母值后，代入原等式验证，确保非负项和为0(如、代入，验证正确)。 【例题6】．（2024-2025•苍溪县期末）若（a+1）2+|b﹣2|＝0，则（a+b）2025的值是（　　） A．1 B．﹣2025 C．﹣1 D．2025 【答案】A． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵（a+1）2+|b﹣2|＝0， ∴a+1＝0，b﹣2＝0， ∴a＝﹣1，b＝2， ∴（a+b）2025＝（﹣1+2）2025＝1． 故选：A． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【变式题6-1】．（2024-2025•西山区期末）若|a+5|+（b﹣3）2＝0，则代数式b3﹣a2的值为（　　） A．49 B．﹣49 C．﹣2 D．2 【答案】D 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|a+5|+（b﹣3）2＝0， ∴a+5＝0，b﹣3＝0， ∴a＝﹣5，b＝3， ∴b3﹣a2＝﹣a2+b3＝﹣（﹣5）2+33＝2． 故选：D． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【变式题6-2】．（2024-2025•龙华区校级期中）若x、y满足|x+3|+（y﹣2）2＝0，则代数式（x+y）2023的值为（　　） A．﹣2023 B．2023 C．1 D．﹣1 【答案】D． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|x+3|+（y﹣2）2＝0， ∴x+3＝0，y﹣2＝0， ∴x＝﹣3，y＝2， ∴（x+y）2023＝（﹣3+2）2023＝﹣1． 故选：D． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【变式题6-3】．（2024-2025•江阴市期中）如果|a+2|+（b﹣1）2＝0，那么代数式（a+b）2024的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．2021 【答案】A 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|a+2|+（b﹣1）2＝0， ∴a+2＝0，b﹣1＝0， ∴a＝﹣2，b＝1， ∴（a+b）2024＝1， 故选：A． 【点评】本题考查了非负数的性质．初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0． 【题型7】规律型代数式的求值与推导(培优) 1.核心知识点总结 -数字规律与代数式：按一定规律排列的数字序列，其第项可表示为含的代数式(如序列“2，4，6，8，…”的第项为)。 -规律推导方法：通过分析前3-5项数字与序号()的关系，归纳代数式，再验证后续项是否符合。 2.高频考点梳理 -等差数字序列(如“-3，-1，1，3，…”，公差为2，第项为)。 -含乘方的数字序列(如“1，-2，4，-8，…”，第项为)。 3.易错点警示 -规律归纳不全面(如序列“3，5，7，9，…”误归纳为，忽略时为3，正确应为)。 -符号规律遗漏(如含负号的序列，未考虑或，导致代数式符号错误)。 4.解题技巧拆解 -“列表分析”：列出序号(1，2，3，4)与对应数字，计算数字与的倍数、和差关系(如时3=2×1+1，时5=2×2+1，归纳为)。 -“验证规律”：将代入归纳的代数式，看结果是否与序列第5项一致(如，若序列第5项为11，则规律正确)。 【例题7】．（2024-2025•仓山区校级期末）综合与实践 请同学们用数学的眼光认真观察下面表格中两个代数式及其相应的值，通过数学的思维进行思考，并用数学的语言表达下列问题． x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … 3x﹣1 … ﹣7 m ﹣1 2 5 … ﹣3x+2 … 8 5 2 ﹣1 n … （1）【初步感知】根据表中信息可知：m＝　﹣4　 ，n＝　﹣4　 ； （2）【归纳规律】表中代数式3x﹣1的值的变化规律是：x的值每增加1，3x﹣1的值就增加3．类似地，代数式﹣3x+2的值的变化规律是什么？ （3）【拓展应用】当x的值每增加2时，猜想代数式﹣5x﹣1的值会怎样变化？请通过具体数据代入计算加以验证． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）把x＝﹣1代入3x﹣1可求出m，把x＝2代入﹣3x+2可求出n； （2）根据表中数据可知x的值每增加1，﹣3x+2值就减少3； （3）分别求出x＝a和x＝a+2时代数式﹣5x﹣1的值，相减即可得到答案． 【解答】解：（1）当x＝﹣1时，m＝﹣4； 当x＝2时，n＝﹣4， 故答案为：﹣4，﹣4； （2）由数据可知：x的值每增加1，﹣3x+2值就减少3， （3）代数式﹣5x﹣1的值会减少10； 证明：当x＝a时，﹣5x﹣1＝﹣5a﹣1； 当x＝a+2时，﹣5x﹣1＝﹣5a﹣11； ∵﹣5a﹣11﹣（﹣5a﹣1）＝﹣5a﹣11+5a+1＝﹣10， ∴当x的值每增加2时，代数式﹣5x﹣1的值减少10． 【点评】本题考查了代数式求值，整式的加减，列出代数式是关键． 【变式题7-1】．（2024-2025•连平县期末）综合与实践 请同学们用数学的眼光认真观察下面表格中两个代数式及其相应的值，通过数学的思维进行思考，并用数学的语言表达下列问题． （1）【初步感知】根据表中信息可知：m＝ 　﹣4　 ，n＝ 　﹣4　 ； （2）【归纳规律】表中代数式3x﹣1的值的变化规律是：x的值每增加1，3x﹣1的值就增加3．类似的，代数式﹣3x+2的值的变化规律是什么？ （3）【拓展应用】当x的值每增加2时，猜想代数式﹣5x﹣1的值会怎样变化？请通过具体数据代入计算加以验证． x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … 3x﹣1 … ﹣7 m ﹣1 2 5 … ﹣3x+2 … 8 5 2 ﹣1 n … 【答案】（1）﹣4，﹣4； （2）x的值每增加1，﹣3x+2 值就减少3； （3）当x的值每增加2时，代数式﹣5x﹣1 的值会减少10，证明见解析． 【分析】（1）把x＝﹣1和x＝2分别代入3x﹣1和﹣3x+2，求出m，n即可； （2）观察表格中数据，写出代数式﹣3x+2的值的变化规律即可； （3）根据题意和表格中的数据，找出当x的值每增加2时，﹣5x﹣1的值的变化规律，并证明即可． 【解答】解：（1）把x＝﹣1代入3x﹣1得： m＝3×（﹣1）﹣1＝﹣3﹣1＝﹣4， 把x＝2代入﹣3x+2得： n＝﹣3×2+2＝﹣6+2＝﹣4 故答案为：﹣4，﹣4； （2）由表中数据可知，x的值每增加1，﹣3x+2 值就减少3； （3）当x的值每增加2时，代数式﹣5x﹣1 的值会减少10， 证明：当 x＝a时，﹣5x﹣1＝﹣5a﹣1， 当 x＝a+2 时，﹣5x﹣1＝﹣5（a+2）﹣1＝﹣5a﹣11， ∵﹣5a﹣11﹣（﹣5a﹣1） ＝﹣5a﹣11+5a+1 ＝5a﹣5a+1﹣11 ＝﹣10， ∴当x的值每增加2时，代数式﹣5x﹣1的值减少10． 【点评】本题主要考查了代数式求值，解题关键是观察表格，找出规律． 【变式题7-2】．（2024-2025•辛集市期末）试探索代数式a2﹣2ab+b2与（a﹣b）2的关系． （1）当a＝2，b＝﹣1时，分别求代数式a2﹣2ab+b2与（a﹣b）2的值； （2）当，b＝2时，分别求代数式a2﹣2ab+b2与（a﹣b）2的值； （3）从上述计算中，你发现了什么规律？当a＝2023，b＝2022时，请利用你发现的规律求代数式a2﹣2ab+b2的值． 【答案】（1）a2﹣2ab+b2＝9，（a﹣b）2＝9； （2），； （3）a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，1． 【分析】（1）把a＝2，b＝﹣1分别代入a2﹣2ab+b2与（a﹣b）2计算即可； （2）把，b＝2分别代入a2﹣2ab+b2与（a﹣b）2计算即可； （3）由（1）（2）总结可得a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，再利用规律计算即可． 【解答】解：（1）当a＝2，b＝﹣1时， a2﹣2ab+b2＝22﹣2×2×（﹣1）+（﹣1）2＝9， （a﹣b）2＝[2﹣（﹣1）]2＝32＝9． （2）当时， ， ； （3）归纳可得：a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2； 当a＝2023，b＝2022时，a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2＝（2023﹣2022）2＝1． 【点评】本题考查了代数式的求值，发现规律是解决此题的关键． 【变式题7-3】．（2024-2025•德城区期末）观察下列表格中几个代数式及其相应的值，回答问题． x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … x﹣2 ﹣4 ﹣3 ﹣2 a 0 … 2x+3 ﹣1 1 b 5 7 … ﹣3x﹣4 … 2 ﹣1 ﹣4 ﹣7 ﹣10 … 【初步感知】 （1）根据表中信息可知，a＝ 　﹣1　 ，b＝ 　3　 ； 【归纳规律】 （2）表中x﹣2的值的变化规律是：x的系数是1，x的值每增加1，x﹣2的值就增加1；2x+3的值的变化规律是：x的系数是2，x的值每增加1，2x+3的值就增加 　2　 ；类似的，﹣3x﹣4的值的变化规律是：x的系数是﹣3，x的值每增加1，﹣3x﹣4的值就减少 　3　 ． 【问题解决】 （3）若关于x的代数式mx+n，当x的值每增加1，mx+n的值就减少5，且当x＝2时，mx+n的值为6． ①求这个代数式； ②若x1，x2，x3是三个连续偶数；当x＝x1时，mx1+n＝y1；当x＝x2时，mx2+n＝y2；当x＝x3时，mx3+n＝y3；且y1+y2+y3＝﹣72．求x1的值． 【答案】（1）﹣1；3； （2）2；3； （3）①﹣5x+16；②6． 【分析】（1）将对应的x值代入含有x的代数式计算即可； （2）根据表格中的数据分析判断即可； （3）①根据（2）中的规律可知，当x的值每增加1，mx+n的值就减少5时，x的系数 m＝﹣5，又当x＝2时，mx+n的值为6，则﹣5×2+n＝6，求出n的值即可得到代数式； ②根据连续偶数的意义，分别用含x1的代数式表示出y1、y2、y3，再代入y1+y2+y3＝﹣72求解即可； 【解答】解：（1）当x＝1时，x﹣2＝1﹣2＝﹣1；当x＝0时，2x+3＝0+3＝3； ∴a＝﹣1；b＝3， 故答案为：﹣1；3； （2）表中x﹣2的值的变化规律是：x的系数是1，x的值每增加1，x﹣2的值就增加1；2x+3的值的变化规律是：x的系数是2，x的值每增加1，2x+3的值就增加2；类似的，﹣3x﹣4的值的变化规律是：x的系数是﹣3，x的值每增加1，﹣3x﹣4的值就减少3， 故答案为：2；3； （3）①根据（2）可知： ∴x的系数m＝﹣5， 又∵当x＝2时，mx+n的值为6， ∴﹣5×2+n＝6， 解得：n＝16， ∴这个代数式为﹣5x+16； ②由题意可得：x2＝x1+2，x3＝x1+4， ∴y1＝﹣5x1+16，y2＝﹣5（x1+2）+16＝﹣5x1+6，y3＝﹣5（x1+4）+16＝﹣5x1﹣4， ∵y1+y2+y3＝﹣72， ∴（﹣5x1+16）+（﹣5x1+6）+（﹣5x1﹣4）＝﹣72， 解得：x1＝6， 【点评】本题考查代数式求值及解一元一次方程，掌握列代数式是解题的关键． 【题型8】代数式值在实际场景中的应用(培优) 1.核心知识点总结 -代数式的实际意义：代数式是实际数量关系的数学表达，其值对应具体场景中的实际量(如价格、路程、面积、数量等)。 -常见实际模型：①价格模型(总价=单价×数量)；②路程模型(路程=速度×时间)；③面积模型(长方形面积=长×宽)。 2.高频考点梳理 -解读代数式值的实际含义(如“”表示“3支单价为元的笔加2元笔记本的总价”，当时，值为17表示“总费用17元”)。 -根据实际场景列代数式并求值(如“购买本单价2.5元的练习本，付款元，求时的付款金额”)。 3.易错点警示 -误解代数式中运算的实际意义(如将“”误解读为“比多5”，实际为“比少5”)。 -代数式带单位时未加括号(如“元”错写为“元”，正确应为“元”)。 4.解题技巧拆解 -“先拆后联”：先拆解代数式中的运算(如“”拆为“2乘与的积”)，再联系实际场景中的量(如为单价、为数量，“”表示“2份商品的总价”)。 -结合生活经验验证：用具体数值代入代数式，判断结果是否符合实际逻辑(如“人数”“数量”应为非负整数)。 【例题8】．（2024-2025•萧县期末）我国“华为”公司是世界通讯领域的龙头企业，某款手机后置摄像头模组如图所示．其中大圆的半径为r，中间小圆的半径为r，4个半径为r的高清圆形镜头分布在两圆之间． （1）请用含r的式子表示图中阴影部分的面积； （2）当r＝2cm时，求图中阴影部分的面积（π取3）． 【答案】（1）πr2； （2）． 【分析】（1）根据阴影部分的面积等于总面积减去空白圆的面积即可； （2）代入计算即可． 【解答】解：（1）阴影面积：πr2﹣π×（r）2﹣π×（r）2×4 πr2； （2）当r＝2cm，π取3时， 原式（cm2）． 【点评】本题考查列代数式以及代数式求值，掌握圆面积的计算方法是正确解答的前提． 【变式题8-1】．（2024-2025•安康期末）某校组织x名学生外出研学，旅行社报价每人收费300元，当研学人数超过50人时，旅行社给出两种优惠方案：方案一：研学团队先交1500元后，每人收费225元； 方案二：5人免费，其余每人收费打八折． （1）当x＞50时，方案一共收费 　（225x+1500）　 元，方案二共收费 　（240x﹣1200）　 元；（用含有x的代数式表示） （2）当x＝85时，采用哪种方案省钱？说说你的理由． 【答案】（1）（225x+1500），（240x﹣1200）； （2）采用方案二省钱．理由如下： 当x＝85时，方案一共收费225×85+1500＝20625（元）， 方案二共收费240×85﹣1200＝19200（元）， ∵19200＜20625， ∴采用方案二省钱． 【分析】（1）根据两种方案分别列出代数式即可； （2）把x＝85代入两个代数式并求值，再比较大小即可． 【解答】解：（1）当x＞50时，方案一共收费（225x+1500）元， 方案二共收费0.8×300（x﹣5）＝（240x﹣1200）元． 故答案为：（225x+1500），（240x﹣1200）． （2）采用方案二省钱．理由如下： 当x＝85时，方案一共收费225×85+1500＝20625（元）， 方案二共收费240×85﹣1200＝19200（元）， ∵19200＜20625， ∴采用方案二省钱． 【点评】本题考查列代数式、代数式求值，根据两种方案分别列出代数式并求值是解题的关键． 【变式题8-2】．（2024-2025•平城区期末）山西省图书馆是中国国内为数不多的百年老馆之一，是政府举办的大型综合性公共图书馆．某周日早上图书馆开馆时进入读者（a+2b）人，到十点钟时馆内共有读者（3a+5b）人． （1）求从开馆到十点钟时馆内增加读者多少人； （2）当a＝200，b＝300时，求从开馆到十点钟时馆内增加读者的人数． 【答案】（1）（2a+3b）人． （2）从开馆到十点钟时馆内增加读者1300人． 【分析】（1）根据题意列式求解即可； （2）将a＝200，b＝300代入（2a+3b）求解即可． 【解答】解：（1）增加人数为：（3a+5b）﹣（a+2b） ＝3a+5b﹣a﹣2b ＝（2a+3b）， ∴从开馆到十点钟时馆内增加读者（2a+3b）人； （2）当a＝200，b＝300时，代入（1）的代数式， ∴2a+3b＝2×200+3×300＝1300（人）， ∴从开馆到十点钟时馆内增加读者1300人． 【点评】本题考查了整式的加减实际应用，代数式求值，能够通过题干信息列出代数式是解题的关键． 【变式题8-3】．（2024-2025•沅江市期末）一建筑物的地面结构如图所示（图中各图形均为长方形或正方形），请根据图中的数据（单位：米），解答下列问题： （1）用含x，y的代数式表示地面总面积； （2）图中阴影部分需要铺设地砖，铺地砖每平方米的平均费用为80元，若x＝7，y＝5，则铺地砖的总费用为多少元？ 【答案】（1）（x2+12x﹣y+32）m2； （2）7760元． 【分析】（1）利用长方形和正方形的面积公式分别表示出四个图形的面积，再相加即可； （2）利用代数式分别表示出两部分阴影面积之和，将x＝6，y＝2代入计算得出阴影部分的面积，再乘以铺地砖每平方米的平均费用为80元，即可得出结论． 【解答】解：（1）地面的面积为： x2+4x+3y+8（x+4﹣y）＝（x2+12x﹣5y+32）m2； （2）阴影部分的面积为：x2+8（x+4﹣y）， 当x＝7，y＝5时， 阴影部分的面积为：72+8×（7+4﹣5）＝97（m2）． ∴铺地砖的总费用为：97×80＝7760（元）． 答：铺地砖的总费用为7760元． 【点评】本题主要考查了列代数式，求代数式的值、整式的加减，利用图示数据表示出相应的长方形的边长是解题的关键． 同步练习 选择题答案快对 题号 1 2 3 4 5 答案 D C． A B． A 一．选择题（共5小题） 1．若|a|＝3，|b|＝8，a＜b，则a+b为（　　） A．﹣11 B．﹣11或﹣5 C．5 D．11或5 【答案】D 【分析】根据所给a，b绝对值，可知a＝±3，b＝±8；又知a＜b，那么分两种情况，求得a+b的值，即可． 【解答】解：由题意可得：a＝±3，b＝±8，由题意可得： 当a＝﹣3，b＝8时，a+b＝﹣3+8＝5； 当a＝3，b＝8时，a+b＝3+8＝11． 故选：D． 【点评】本题考查了绝对值的化简，求代数式的值，正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是它的相反数，正确进行计算是解题关键． 2．已知3x﹣y+5＝0，则代数式2y﹣6x+7的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．17 D．﹣17 【答案】C． 【分析】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可． 【解答】解：∵2y﹣6x+7＝﹣6x+2y+7， ∵3x﹣y+5＝0， ∴3x﹣y＝﹣5， ∴当3x﹣y＝﹣5时，原式＝﹣6x+2y+7＝﹣2（3x﹣y）+7＝﹣2×（﹣5）+7＝17． 故选：C． 【点评】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 3．当x＝1时，多项式ax3+bx﹣2的值为2，则当x＝﹣1时，该多项式的值是（　　） A．﹣6 B．﹣2 C．0 D．2 【答案】A 【分析】由已知先求出a+b的值，再整体代入即可得到答案． 【解答】解：∵当x＝1时，多项式ax3+bx﹣2的值为2， ∴a+b﹣2＝2， ∴a+b＝4， 当x＝﹣1时， ax3+bx﹣2 ＝﹣a﹣b﹣2 ＝﹣（a+b）﹣2 ＝﹣4﹣2 ＝﹣6， 故选：A． 【点评】本题考查代数式求值，解题的关键是掌握整体代入思想的应用． 4．当x＝2时，整式px3+qx+1值为2024，则当x＝﹣2时，整式px3+qx+1的值为（　　） A．2022 B．﹣2022 C．2024 D．﹣2024 【答案】B． 【分析】利用代入法，代入所求的式子即可． 【解答】解：当x＝2时，px3+qx+1＝8p+2q+1＝2024， ∴4p+q， ∴当x＝﹣2时，px3+qx+1＝﹣8p﹣2q+1＝﹣2（4p+q）+11＝﹣2022． 故选：B． 【点评】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 5．根据如图所示的计算程序，若输出的值为y＝﹣1，则输入的值x为（　　） A．﹣5或1 B．﹣5或﹣1 C．1或﹣1 D．﹣5或1或﹣1 【答案】A 【分析】利用分类讨论的思想方法，根据程序图列出关于x的方程，解方程并依据题意解答即可． 【解答】解：当x为正数时， |x|﹣2＝﹣1， ∴|x|＝1， ∴x＝±1， ∵x为正数， ∴x＝1． 当x为负数时， x+4＝﹣1， ∴x＝﹣5． 综上，输入的值x为1或﹣5． 故选：A． 【点评】本题主要考查了求代数式的值，有理数的混合运算，一元一次方程的解法，利用分类讨论的思想方法，根据程序图列出关于x的方程是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 6．若|x|＝5，|y|＝4且x+y＜0，则x+y＝　﹣1或﹣9　 ． 【答案】﹣1或﹣9． 【分析】先根据绝对值的意义得出x＝±5，y＝±4，再结合x+y＜0得出x＝﹣5，y＝﹣4或x＝﹣5，y＝4，分别计算即可得出答案． 【解答】解：由条件可知x＝±5，y＝±4， ∵x+y＜0， ∴x＝﹣5，y＝﹣4或x＝﹣5，y＝4， 当x＝﹣5，y＝﹣4时，x+y＝﹣5+（﹣4）＝﹣9， 当x＝﹣5，y＝4时，x+y＝﹣5+4＝﹣1， 综上所述，x+y＝﹣1或﹣9， 故答案为：﹣1或﹣9． 【点评】本题考查了绝对值的意义，求代数式的值，熟练掌握以上知识点是关键． 7．已知a﹣2b＝3，则2a﹣4b﹣3的值为　3　 ． 【答案】3． 【分析】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可． 【解答】解：当a﹣2b＝3时，原式＝2（a﹣2b）﹣3＝2×3﹣3＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 8．已知x2+xy＝2，y2+xy＝3，则2x2+5xy+3y2＝　13　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】将5xy写成2xy+3xy，然后将所求代数式写成已知条件的形式，然后代入数据计算即可得解． 【解答】解：2x2+5xy+3y2， ＝2x2+2xy+3xy+3y2， ＝2（x2+xy）+3（y2+xy）， ＝2×2+3×3， ＝4+9， ＝13． 故答案为：13． 【点评】本题考查了代数式求值，根据平方项的系数将所求代数式整理成已知条件的形式是解题的关键，注意整体思想的利用． 9．给出下列程序：已知当输入的x值为1时，输出值为1；当输入的x值为﹣1时，输出值为5，则当输入的x值为时，输出值为　2　 ． 【答案】2． 【分析】根据程序，输入的x值为1时，输出值为1，当输入的x值为﹣1时，输出值为5，可列出方程，解出k和b的值，当时，即可确定出所求． 【解答】解：由题意得：， 解得， ∴当时，， ∴输出值为：2， 故答案为：2． 【点评】本题考查二元一次方程的知识，解题的关键是掌握解二元一次的方法：代入法和加减消元法． 10．按如图所示的程序计算，若开始输入x的值为﹣2，则最后输出的结果是 　64　 ． 【答案】64． 【分析】将x＝﹣2输入，按照运算程序，计算结果，根据结果的大小，确定再次输入还是输出． 【解答】解：因为x＝﹣2＜0，x+10＝8≤50， 所以把x＝8＞0，再次代入得，， 因此输出的结果为64， 故答案为：64． 【点评】本题考查代数式求值和有理数的混合运算，掌握计算法则是正确计算的前提． 三．解答题（共5小题） 11．已知a、b互为倒数，c的绝对值是2，求3ab﹣5c的值． 【答案】﹣7或13 【分析】先根据题意互为倒数的两个数乘机为1，可知ab＝1，又根据|±2|＝2，得出c＝2和c＝﹣2两种情况，再分别代入求值解决． 【解答】解：∵a、b互为倒数， ∴ab＝1，即3ab＝3 又∵c的绝对值是2， ∴c＝±2，即5c＝±10， 当c＝2时，3ab﹣5c＝3﹣10＝﹣7， 当c＝﹣2时，3ab﹣5c＝3﹣（﹣10）＝3+10＝13， 综上所述，3ab﹣5c的值为﹣7或13． 【点评】本题主要考查了倒数、绝对值以及代数式求值知识，关键是分情况讨论代数式的值，注意别漏解． 12．如图，正方形ABCD的边长为a． （1）根据图中数据，用含a，b的代数式表示阴影部分的面积S； （2）当a＝6，b＝2时，求阴影部分的面积． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由于阴影部分不规则，所以可考虑用正方形的面积﹣两个三角形的面积； （2）代入计算即可． 【解答】解：（1）S阴影＝S正方形﹣S△ABC﹣S△DEF ＝a2a24b ； （2）当a＝6，b＝2时， S阴影 ＝14． 【点评】本题考查了列代数式和代数式的求值．列出代数式是解决本题的关键． 13．如图，将边长为10cm的正方形纸片的四个角各剪去一个边长为x cm的小正方形． （1）阴影部分的面积S＝ 　（100﹣4x2）　 cm2；（用含x的代数式表示） （2）当x＝2时，求阴影部分的面积． 【答案】（1）100﹣4x2 （2）84cm2 【分析】（1）用大正方形的面积减去四个小正方形的面积可以得出剩余面积； （2）代入（1）中的代数式求值即可． 【解答】（1）解：根据题意结合图形得，S＝102﹣4x2＝100﹣4x2， 故答案为：100﹣4x2； （2）当x＝2时， S＝100﹣4x2＝100﹣4×22＝100﹣4×4＝100﹣16＝84（cm2）． 【点评】考查图形理解以及整式的混合运算，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 14．某服装厂生产一种围巾和手套，每条围巾的定价为50元，每双手套的定价为20元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案： 方案①：买一条围巾送一双手套； 方案②：围巾和手套都按定价的80%付款． 现某客户要到该服装厂购买围巾20条，手套x双（x＞20） （1）若该客户按方案①购买，则需付款　（20x+600）　 元（用含x的代数式表示）； 若该客户按方案②购买，则需付款　（16x+800）　 元（用含x的代数式表示）； （2）若x＝30，则通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据买一条围巾送一双手套，以及围巾和手套都按定价的80%付款列出算式即可； （2）把x＝30代入（1）中的代数式，求出结果后比较即可； 【解答】解：（1）方案①需付款：50×20+（x﹣20）×20＝（20x+600）元； 方案②需付款：（50×20+20x）×0.8＝（16x+800）元； 故答案为：（20x+600），（16x+800）； （2）当x＝30时，方案①需付款：20×30+600＝1200（元）； 方案②需付款：16×30+800＝1280（元）； ∵1200＜1280， ∴按方案①购买较为合算． 【点评】此题主要考查了列代数式以及最佳方案选择问题，理解方案中买一条围巾送一双手套是解题关键． 15．某中学准备在网上订购一批篮球和跳绳，查阅后发现篮球每个售价为120元，跳绳每根售价为25元．现有甲、乙两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案． 甲网店：买一个篮球送一根跳绳； 乙网店：篮球和跳绳都按定价的90%付款． 已知要购买篮球40个，跳绳x根（x＞40）． （1）若在甲网店购买，则需付款 　（3800+25x）　 元；若在乙网店购买，则需付款 　（4320+22.5x）　 元；（用含x的代数式表示） （2）当x＝80时，在哪家网店购买较为合算？ （3）当x＝80时，你认为还有更为省钱的购买方案吗？如果没有，请说明理由；如果有，请写出你的购买方案，并计算需要付款的金额． 【答案】（1）（3800+25x），（4320+22.5x）； （2）甲； （3）更为省钱的购买方案是：在甲网店购买40个篮球送40根跳绳，再在乙网店购买40根跳绳，共需付款5700元． 【分析】（1）根据甲，乙两个网店的优惠方案所提供的数量关系直接列代数式化简即可； （2）把x＝80代入两个代数式计算，得出结论； （3）先到甲网店买40个篮球，获赠40条跳绳，再到乙网店购买跳绳80﹣40＝40条跳绳，更为合算． 【解答】解：（1）在甲网店购买需付款：40×120+（x﹣40）×25＝（3800+25x）元， 在乙网店购买需付款：（40×120+25x）×0.9＝（4320+22.5x）元， 故答案为：（3800+25x），（4320+22.5x）； （2）当x＝80时，甲网店购买需付款为3800+25×80＝5800（元）， 乙网店购买需付款为4320+22.5×80＝6120（元）， ∵6120＜5800， ∴在甲网店购买较为合算； （3）当x＝80时，我认为还有更为省钱的购买方案，在甲网店购买40个篮球送40根跳绳，再在乙网店购买40根跳绳，共需付款5700元；理由如下： 由（2）可知，当x＝80时，在甲网店付款5800元，在乙网店付款6120元， 若在甲网店购买40个篮球送40根跳绳，再在乙网店购买40根跳绳， 一共需付款：40×120+（80﹣40）×25×90%＝5700元， 6120＞5800＞5700， ∴更为省钱的购买方案是：在甲网店购买40个篮球送40根跳绳，再在乙网店购买40根跳绳，共需付款5700元． 【点评】本题考查列代数式，代数式求值，根据数量关系列出代数式是正确计算的前提，理解各个网店的优惠方案是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $