2.2锐角的正切（分层作业练题型）数学新教材湘教版九年级上册

**基本信息** 本同步练以“锐角的正切”为核心，通过A、B、C组及中考拓展的分层设计，构建从概念辨析到综合应用的知识巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|正切概念、求正切值、特殊角运算|基础题型为主，如概念辨析题巩固定义理解| |B组|几何图形（菱形、矩形）中正切应用|综合几何知识，如折叠问题提升空间观念| |C组|复杂证明与计算|含多步推理题，如结合中线、角平分线考查应用意识|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 2.2锐角的正切 目录 A组巩固过关 题型01正切的概念辨析 题型02求角的正切值 题型03已知正切值求边长 题型04特殊角三角函数值的混合运算 题型05由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 题型06根据特殊角三角函数值求角的度数 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接中考 A组 巩固过关 题型01 正切的概念辨析 1.在△ABC中，∠C=90°，则tanB等于() A.AG 。.船 c 。瓷 2.(24-25九年级上·湖南常德·期末)将Rt△ABC的斜边和直角边都扩大到原来的n倍，那么锐角A的三角 函数值() A.都扩大到原来的n倍 B.都缩小到原来的 C.没有变化 D.只有tanA发生变化 1/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD L BC于点D,下列不能表示tanB的是() B AD CD A. BD B.BD C. D.AD 4.(23-24九年级上湖南娄底期末)在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，下 列各式成立的是() A.sinB=a b B.cos B= C.tanB=4 b D.tanB=b 题型02 求角的正切值 1.Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12,BC=5,下列结论成立的是() 12 5 A.sin A= B.cosA= 5 13 C.tan A=- 12 D.cos B=12 13 2.(25-26八年级下山东济南期末)如图所示，每个小正方形的边长均为1，若点A,B,C都在格点上， 则tan∠BAC=() A .3 。号 3.(2026陕西宝鸡二模)如图，在△ABC中，∠B=90°，点D、E分别是AB、AC的中点，连接DE.若 DE=4,AC=17,则anC的值为() A.17 B.15 c. D.8 4.(2026云南曲靖模拟预测)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,若A0=1,B0=2,则 2/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 tan/BA0的值为() A 86 5 0.2 5.(2026云南昆明模拟预测)如图，在△ABC中，以点B为圆心，适当长为半径作弧，与AC交于点D, E:再分别以点D'E为圆心，大于2DE长为半径作弧，两弧交于点F,作射线BF,交AC于点G·已 知BG=6,AG=8,则下列选项中正确的是() B EX A,sin∠BAG=4 B.cos∠ABG=S C.tan∠BAG= D.tan/ABG=3 6.(25-26九年级上·四川南充阶段检测)如图，在矩形ABCD中，AB=15,BC=25,将△ABC沿AC折叠 到△AB'C的位置，B'C交AD于点E,则tan∠ECD的值为() B B 8 8 7 A.17 B.15 c 15 D.15 7.(25-26九年级下江苏淮安·期中)在Rt△4BC中，∠ACB=90,CD1AB' 垂足为D' 8=2则 tan∠B=() 3/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.2 D. V6 B.6 3 &.(2026浙江宁波三模)如图，在Rt△4BC中，∠B=90°，D平分∠BAC,an<C 4'BC=4 B D (1)求AC的长： (2)求tan∠BAD的值. 颗型03 已知正切值求边长 6九年级下宁夏吴忠阶段检测D在RtA4BC中，∠C-909,A=3,BC=2则 2(2026云南保一模)女如图，AD是BC的BC边上的商，若BD=AD-8:m∠D4C-分，则边BC 的长为() B D A.4 B.8 C.12 D.16 3如图，点4(31)在第一象限，O1与轴所夹的锐角为a,ama 3,则t的值是() 4/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 VA A 0 A.1 B.2 C.3 9-2 D 4如图.BC中，血B-有mC= 2’AB=3,则AC的长为() A.1 B.2 C.3 D.5 5.(25-26八年级下山东济南期末)如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=12,∠ABC的平分线交AC于点 D,BD=8V3,求AC. 题型04 特殊角三角函数值的混合运算 1.计算： (1)(π-3.14)°+-64+tan60 (2)cos60°+2sin245°-cos30°tan30°. 2计算： (1)sin260°-tan30°.cos30°+tan45°： 3计算： 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)cos60°+sin245°-3tan30°： (2)V9+2cos30°+小V5-2+(-1)2m6. 4.求下列各式的值： cos45 (1)sin45° +2sin60°.tan60°- tan30+tan45 (2)sin45°.cos45°+4tan30°.sin60°： 2 (3)cos60°-2sin245°+二tan260°-sin30° 3 颗型05 由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 (2026九年级下江苏连云港专愿练习D在BC中，若mA+cosB=0,郁是钢 角，则△ABC是三角形. 2在BcC中，∠A∠B都是领角，且n1=空m=5,则。BC的形球是《) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.不能确定 3.(2526九年级上江苏徐州-阶段检测)在。4BC中，anA=? tan B=v3 3,那么。ABC是（） A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D等腰三角形 4.(25-26九年级上·安徽合肥阶段检测)在△ABC中，∠A的正切和∠B的余弦满足 (N5tan4-3+|2cosB-1=0,则。ABC为() A,直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 5已知。Bc中的∠4与∠B满足0-tm+nB- =0 2 (1)试判断△ABC的形状. (2)求2cos2A-1+tanB)}'+(3-tanC)°的值. 颗型06 根据特殊角三角函数值求角的度数 1.在Rt△ABC中，∠C为直角，BC=6,AC=2,则∠B=() 6/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.30° B.45° C.60° D.75° 2已知锐角。满足c0s(a-10)= 2,则锐角。的度数是（) A.40° B.55° C.60° D.70° B,(2324九年级上山东淄博期中)在ABC中，若cos4-+21-tamB0,则C的度数是( A.750 B.60° C.105o D.90° 4,(25-26九年级下四川内江期中)如图，M8C中，simC=3 5’4C=5'cosB=2 2；SAABC= B B组 能力进阶 1.如图，在边长为1的8×8正方形网格中，点A、B、C均在格点上. B (1)△ABC的面积=_ (2)请用无刻度的直尺，作△ABC的中线CM,并简要说明点M是如何找到的（不要求证明）： (3)直接写出(2)中所作出的∠BCM的正切值为 2.(25-26九年级下·北京阶段检测)如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,E,F分别为AB,AC的中 点，G为边BC上一点，∠EGB=∠FDC,连接EF. 7/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B G (1)求证：四边形EFCG是平行四边形. (2)若点D是CG的中点，BC=12，,anC=2,求AC的长. 3.如图，在R△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB的中线，过点C、D分别作CE∥AB,DE∥AC交于点 E,连接BE, A D (1)求证：四边形CDBE是菱形. (2)若四边形CDBE的边长为4，面积为4V15,则tan4=_ 4.(2026云南昆明模拟预测)如图，在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作垂线EF,分别交AD、 BC于点F、E. E (1)求证：四边形AECF是菱形. 2)若an∠ACF= 2,且四边形AECF的面积为15，求四边形AECF的周长. C组 思维拔高 1.(25-26九年级下·北京阶段检测)如图，四边形ABCD是平行四边形，AC,BD相交于点O,E为边 AB的中点，连接OE,过点E作EF⊥BC于点F,过点O作OG⊥BC于点G. 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E (1)求证：四边形EFGO是矩形： 2若四边形4BCD是菱形，且B=1O:an∠DBC=4,求矩形EEC0的面积 2.(2026湖北武汉模拟预测)在四边形ABCD中，对角线交于点E,∠ABD=90°，∠DBC=2∠BAC, BD=BC. 图1 图2 (1)如图1，①求证：CD=CE;②求证：CE2=BDDE: (2)如图1，若DE=2BE，AB=5,求CE的长度： (3)如图2，若CE=nAE,直接写出tan∠ADB的值（用含n的式子表示）， 拓展 链接中考 1.(2025天津中考真题)tan45°-V2cos45°的值等于() A.0 B.1 C.12 2 D.1-2 2. (2026陕西中考真题)如图，正方形ABCD和正方形CEFG,点E在BC的延长线上.若CE=2BC, 则tan∠AFC的值为() G 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2 B. 2V5 D. 5 5 3.(2026广东中考真题)在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现一 个明亮的光斑.如图， 4=∠2，若tan∠40D =4,0B=8,则BC=— 墙 光斑 平面镜 D 桌子 A 日B 4.(2025四川攀枝花中考真题)如图，己知R△ABC中，∠C=90°，∠4、∠B、∠C的对边分别为a、b、 C. B C b (1)根据锐角三角函数的定义，证明：sin2A+cos2A=1: 1 (2)若sinA=。 =3,求coSA的值. 10/10 分层作业 2.2锐角的正切 目 录 A组 巩固过关 题型01 正切的概念辨析 题型02 求角的正切值 题型03 已知正切值求边长 题型04 特殊角三角函数值的混合运算 题型05 由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 题型06   B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 正切的概念辨析题型01 1.在中，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图， 在中， ∵， ∴ 2.（24-25九年级上·湖南常德·期末）将的斜边和直角边都扩大到原来的倍，那么锐角的三角函数值（   ） A．都扩大到原来的倍 B．都缩小到原来的 C．没有变化 D．只有发生变化 【答案】C 【分析】本题主要考查了锐角三角形函数值的知识点，解题的关键理解锐角三角函数的概念． 根据锐角三角函数的概念：锐角的各个三角函数值等于锐角所在直角三角形的边的比值，求解即可． 【详解】解：∵锐角的各个三角函数值等于锐角所在直角三角形的边的比值， ∴的斜边和直角边都扩大到原来的倍，锐角的三角函数值不变， 故选：C． 3.如图，在中，，于点，下列不能表示的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形相关知识，熟练掌握锐角三角函数在直角三角形中的应用是解题关键． 【详解】解：∵在中，，是边上的高， ∴均为直角三角形， 又∵，， ∴， 在中，，故A可以表示，不符合题意； 在中，，故C可以表示，不符合题意； 在中，，故D可以表示，不符合题意； 不能表示，故B符合题意． 故选：B． 4.（23-24九年级上·湖南娄底·期末）在中，，、、分别为、、的对边，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角函数的知识，熟记正弦、余弦和正切的定义是解题的关键．正弦是对边比斜边，余弦是邻边比斜边，正切是对边比邻边，据此可判断． 【详解】解：如下图， A. ，故该选项不成立，不符合题意； B. ，故该选项不成立，不符合题意； C. ，故该选项不成立，不符合题意； D. ，故该选项成立，符合题意． 故选：D． 求角的正切值题型02 1.中，，下列结论成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用勾股定理求出斜边AB的长度，再根据锐角三角函数的定义计算各选项的值，即可得到正确结论． 【详解】∵在中，，，， ∴由勾股定理得 ， 根据锐角三角函数定义判断： ，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误． 2.（25-26八年级下·山东济南·期末）如图所示，每个小正方形的边长均为1，若点A，B，C都在格点上，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，先得出是直角三角形，且，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由图可知，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴在中，． 3.（2026·陕西宝鸡·二模）如图，在中，，点D、E分别是、的中点，连接．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解，，再利用正切的定义求解即可. 【详解】解：在中，，点D、E分别是、的中点， ， ， ． 4.（2026·云南曲靖·模拟预测）如图，菱形的对角线与相交于点，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由菱形的性质可知，再根据正切函数的定义进行计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， 在中，． 5.（2026·云南昆明·模拟预测）如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，与交于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点．已知，，则下列选项中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据作图得出，再根据勾股定理得出，然后根据三角函数定义逐项进行判断即可． 【详解】解：根据作图可得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ， ，故D选项正确． 6.（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）如图，在矩形ABCD中，，，将沿AC折叠到的位置，交AD于点E，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用矩形对边平行及折叠性质证得，从而得出，设，在中利用勾股定理构建方程求解的长，最后根据正切定义计算即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ， 由折叠的性质可得， ，即， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得，即， ． 7.（25-26九年级下·江苏淮安·期中）在中，，，垂足为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，可证明得到，则，据此可得，则． 【详解】解：∵， ∴可设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 8.（2026·浙江宁波·二模）如图，在中，，平分，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）利用正切值和已知条件求出长度，根据勾股定理即可求出长度． （2）根据角平分线的性质定理即可求出的长度，以及，设参数，结合已知条件，利用勾股定理即可求出的长度，再根据正切值等于对边比邻边即可求出答案． 【详解】（1）解：中，，，， ， ， ， 在中，． （2）解：过点作于点，如图所示， ，，平分， ， 又， ∴， ∴， 设， ，， 在中，， ， ， 中，． 【点睛】本题考查了勾股定理，正切值，角平分线的性质，解题的关键在于熟练掌握如何利用正切值求已知线段，或者是利用已知线段比求正切值，以及角平分线性质定理． 已知正切值求边长题型03 1.（25-26九年级下·宁夏吴忠·阶段检测）在中，，，，则的长为________． 【答案】 【分析】根据正切的定义求出的长，再利用勾股定理计算的长即可． 【详解】解：在中，， 根据正切的定义得， ∵， ∴， 由勾股定理得：， 则的长为． 2.（2026·云南保山·二模）如图，是的边上的高，若，，则边的长为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】由可求出，由可求出的长． 【详解】解：， ， ， ， ． 3.如图，点在第一象限，与x轴所夹的锐角为，则t的值是（     ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】过A作轴于B，则，，在中，利用正切定义求解即可． 【详解】解：过A作轴于B， ∵点在第一象限， ∴，， 在中，， ∴，即． 4.如图，中，，，，则的长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】过A作于D，则，根据已知求出，，求出、的长，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：过A作于D，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理得：． 5.（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，的平分线交于点D，，求． 【答案】 【分析】求出的值，可知，根据角平分线的定义得到，根据计算即可． 【详解】解：在中，，， ， ， 平分， ， 在中，， ． 特殊角三角函数值的混合运算题型04 1.计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 2.计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先代入特殊三角函数值，再计算即可； （2）先计算绝对值、特殊三角函数值、零指数幂和算术平方根，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3.计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)6 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4.求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】先代入特殊三角函数值，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 由特殊角的三角函数值判断三角形的形状题型05 1.（2026九年级下·江苏连云港·专题练习）在中，若，，都是锐角，则是_____三角形． 【答案】等边 【分析】利用绝对值和平方的非负性求出与的值，结合锐角条件确定的度数，再通过三角形内角和求出，最终判定为等边三角形。 【详解】解：∵， ∴根据绝对值和平方均非负， ∴，． ∵、为锐角， ∴，，则， ∴为等边三角形． 2.在中，都是锐角，且，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查特殊角的三角函数值与三角形形状的判定，掌握利用特殊角的三角函数值求出角的度数，进而判断三角形形状是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值求出和的度数，再判断三角形的形状． 【详解】解：，且是锐角， ； ，且是锐角， ；则， 三个角都为， 是等边三角形． 故答案为：C． 3.（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）在中，，，那么是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，三角形的分类，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．根据和的值求出和的度数，再计算的度数，从而判断三角形类型． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是钝角三角形， 故选：A． 4.（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）在中，的正切和的余弦满足，则为（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，绝对值的非负性，利用非负数的性质，令平方项和绝对值项分别为零，求出和的度数，再计算，从而判断三角形形状，即可作答． 【详解】解：∵，且平方项与绝对值项均非负， ∴ 且 ， ∴ ，， ∴，， ∴， ∴为等边三角形． 故选：B． 5.已知中的与满足． (1)试判断的形状． (2)求的值． 【答案】(1)是锐角三角形． (2) 【分析】（1）根据绝对值的性质求出及的值，再根据特殊角的三角函数值求出及的度数，进而可得出结论； （2）根据（1）中及的值求出的度数，再把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 【详解】解：（1）， ， 是锐角三角形． （2）， 原式． 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． 根据特殊角三角函数值求角的度数题型06 1.在中，为直角，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，然后利用特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：在中，为直角， ∴， ． 2.已知锐角满足，则锐角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据特殊角三角函数值，即可求解． 【详解】解：∵，为锐角， ∴， ∴． 3.（23-24九年级上·山东淄博·期中）在中，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用非负数相加和为0则每一项都为0，求出和的度数，再根据三角形内角和计算即可. 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴，， ∵ 在中，，， ∴，， ∵ 三角形内角和为， ∴. 4.（25-26九年级下·四川内江·期中）如图，中，，，；_______． 【答案】 【分析】过点作于点，构造直角三角形，在中，利用锐角三角函数定义及勾股定理求出和的长；在中，利用特殊角的三角函数值求出的长；进而求出的长，最后利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过点作于点， 在中，，，， ， 根据勾股定理，得， 在中，，， ， 为等腰直角三角形， ， ， ． 1.如图，在边长为的正方形网格中，点、、均在格点上． (1)的面积=_________； (2)请用无刻度的直尺，作的中线，并简要说明点是如何找到的（不要求证明）； (3)直接写出（2）中所作出的的正切值为_________． 【答案】(1) (2) 由网格可知，在线段上取点，使，点即为的中点 (3) 【分析】（1）根据三角形的面积公式求出结果即可； （2）借助格点找到的中点，连接即为的中线； （3）过点作于点，借助三角形的面积公式求出的长度，利用勾股定理求出的长度，根据正切的公式求出的正切值． 【详解】（1）解：； （2）略 （3）解：如下图所示，过点作于点， ，是的中线， ， 借助格点可知，， ， ， ， ， 2.（25-26九年级下·北京·阶段检测）如图，在中，于点，，分别为，的中点，为边上一点，，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若点是的中点，，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵F为边中点，， ∴为斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵E，F分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． (2) 【分析】（1）先根据直角三角形斜边上的中线性质得到，进而可证明得到，再根据三角形的中位线性质证得，然后根据平行四边形的判定可证得结论； （2）根据正切定义可设，则，根据中点的定义，平行四边形的性质可求出，根据三角形中位线定理得出，求出，则，，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴设，则， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，分别为，的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴． 3.如图，在中，是斜边的中线，过点C、D分别作交于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若四边形的边长为4，面积为，则 ． 【答案】(1) 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵是斜边的中线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； (2) 【分析】（1）首先证明四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等，证明平行四边形是菱形． （2）过点C作于点F，根据菱形的面积，得到，利用勾股定理，求得，继而求得，根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：过点C作于点F， 四边形的边长为4，面积为， ， ， ， ， ． 4.（2026·云南昆明·模拟预测）如图，在矩形中，过对角线的中点作垂线，分别交、于点、． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，且四边形的面积为，求四边形的周长． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵点是的中点， ∴． 在和中 ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵ ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）先由矩形性质得，可以通过证明，再通过对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可作答． （2）由正切值求出，结合菱形的面积公式得出，，勾股定理求出，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴ ∵四边形是菱形 菱形的周长为． 1.（25-26九年级下·北京·阶段检测）如图，四边形是平行四边形，，相交于点，为边的中点，连接，过点作于点，过点作于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若四边形是菱形，且，，求矩形的面积． 【答案】(1) 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵为的中点, ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形； (2)矩形的面积为24． 【分析】（）由平行四边形的性质得，进而证明是的中位线，得，再证明四边形是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论； （）根据菱形的性质得到，，由，设，，根据勾股定理得到，求得，，据此计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵，即， 设，， 由勾股定理得，即， 解得（舍去负值）， ∴，， ∵，是的中位线， ∴，， 解得，， ∴矩形的面积． 2.（2026·湖北武汉·模拟预测）在四边形中，对角线交于点，，，． (1)如图1，①求证：；②求证：； (2)如图1，若，，求的长度； (3)如图2，若，直接写出的值（用含的式子表示）． 【答案】(1)① 证明：设，则， ， 为等腰三角形， ， ， 在中，，， ， ， ． ② 证明：由①知，，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ． (2) (3) 【分析】① 由及推出的底角为，再结合对顶角相等得，从而，故． ② 通过角度代换可得，，于是，由相似比推出． （2）过点作于点，由知为中点．结合得，从而，得．再利用（1）中及Rt中勾股定理列方程求解． （3） 过点作于点，由知为中点．由，相似比为，得，．设，用和表示、，结合(1)中及Rt中勾股定理，求出与的关系，进而计算． 【详解】（1）略 （2）解：过点作于点， 设，则， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 由（1），， 在中， ， ， 解得或（舍去） ∴， ∴ （3）解：过点作于点， ，， 为的中点， ，， （AA）， ， 相似比为， ，， 设，则， ， ， 由（1）知， ， 在Rt中，， ， ， ， ， ， ． 1．（2025·天津·中考真题）的值等于（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，代入各特殊角的三角函数值后按运算顺序计算，即可求解． 【详解】解： 故选：A． 2．（2026·陕西·中考真题）如图，正方形和正方形，点在的延长线上．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正方形的边长为，则，利用正方形性质求出、的长及，在中利用正切定义求解． 【详解】解：连接，如图： 设， ∵四边形和是正方形，， ∴，，， ∴，， ∵、分别是正方形、的对角线， ∴，， ∴， ∴在中，． 3.（2026·广东·中考真题）在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现一个明亮的光斑．如图，，若，，则_____． 【答案】6 【分析】根据余角的性质及已知条件推导出， 再根据锐角三角函数的定义在中计算的长即可． 【详解】由题意可知，法线垂直于平面镜， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴ ∴． 4.（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：； (2)若，求的值． 【答案】(1) 解：∵中，的对边分别为a、b、c． ∴，， ∴； (2) 【分析】本题考查锐角三角函数，熟练掌握正弦和余弦的定义，是解题的关键： （1）根据正弦和余弦的定义，结合勾股定理进行证明即可； （2）利用（1）中关系进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知：， ∵ ∴， ∴， ∴（负值已舍去）． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 2.2锐角的正切 参考答案 A组 巩固过关 颗型01 正切的概念辨析 1.C 2.C 3.B4.D 题型02 求角的正切值 1.C2.A3.C4.D5.D6.B7.A 8【详解】a解：：R△BC中，∠B=90,am<C 4,BC=4 .tanC=4B_3 BC4 ..4B3 44· ..AB=3. .在Rt△ABC中，AC=VAB2+BC2=V32+42=5. (2)解：过点D作DE⊥AC于点E,如图所示， E 平分 B C:AB⊥BCDE⊥ACAD∠BAC :BD=DE, 又AD=AD ,Rt△ABD≌Rt△AED(H). .'AB=AE=3. 设BD=DE=x, 1/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CD=BC-BD=4-x,EC=AC-AE=5-3=2. :在Rt△DEC中，x2+22=(4-x}, 3 x22 BD=3 3 中，an∠BAD=BD_2=1 ∴.Rt△ABD AB 3 2 颗型03 已知正切值求边长 1.210 2.C3.B4.C 5.【详解】解：在RtABCD中，BC=12,BD=85, ∴cos∠CBD=BC=12-V5 BD 83 2 ∴.∠CBD=30°， BD平分∠ABC, ∠ABC=60°， 在Ri△ABC中，an60° 4C-AC-5, BC 12 :AC=123 颗型04 特殊角三角函数值的混合运算 1.【详解】(1)解：原式=1-4+V5+3=V5: 1 (2)解：原式=2+2× -X 2 232 2. 【详解】(1)解：sin60°-tan30°.cos30°+tan45° 31 42+1 2/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4: =2+1-2+1 =2. 3.【详解】(1)解：cos60°+sin245°-3tan30° +2- =22) 3 1-3 =22 =1-3: (2)解：V5+2c0s30°+V3-2+(-1)226 3+2x 2+2-3+1 =3+V3+2-V5+1 =6 c0s45° 1 4.【详解】(1)解： +2sin60°.tan60°- sin45° tan30° tan45o 1+2x 3x5-5+1 =1+3-V3+1 =5-3: (2)解：sin45°.cos45°+4tan30°.sin60° 巨x点+45x写 22 32 5 (3)解：cos60°-2sin245°+2tan260°-sin30 3 3/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 √2 2 +号-月 1 -1+2-2 =1 颗型05 由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 1.等边2.C3.A4.B 5. 【详解)解：(1)：(1-an4)+Sin6- 2 =0 ∴.tanA=l,sinB= 2∠A=459,∠B=60, ∴∠C=180°-∠A-∠B=75°， ∴△ABC是锐角三角形 (2):∠A=45°，∠B=60,∠C=75°， 原式=2× 2 1+V5)2+1=1-(1+25+3)+1=-2-2√3 颗型06 根据特殊角三角函数值求角的度数 1.A2.B3.A4. 21 B组 能力进阶 1.【详解】(1)解：S4c=2×6x4=12: 4/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2) 由网格可知 ，在线段 上取点，使 ,点即为 AB=6 AB M AM=BM=3 M AB的中点 (3)解：如下图所示，过点M作MN⊥BC于点N, ~SHBc=12,CM是△ABC的中线， 1 S.s0v-254c=6, 借助格点可知BC=√22+42=2V5,CM=V1?+42=17, S.BcM BC.MN, X2V5MN=6 .MN=6/5 .CN=CM2-MN 7N5 59 6v5 ∴.tan∠BCM= MN 5 6 CN 757 2.【详解】(1)证明：，F为AC边中点，AD⊥BC, :DF为Rt△ADC斜边上的中线， .'.DF =CF, 5/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠FDC=∠ACD, .∠EGB=∠FDC, .∠ACD=∠EGB, ∴EG∥CF :E,F分别为AB,AC的中点 ∴.EF为△ABC的中位线， EF∥BC,即EF∥CG, ∴.四边形EFCG是平行四边形. 2)解：“D18C,如C=2=2. DC :设AD=2x,则CD=x, ,点D是CG的中点， ..CG=2CD=2x, .EFCG, ..CG=EF=2x, :E,F分别为AB,AC的中点， .BC=2EF=4x=12, ∴.x=3 CD=3,AD=6. ∴AC=VAD2+CD2=3√5. 3.【详解】(1)证明：：DE∥AC,CE∥AB ∴.四边形ADEC是平行四边形， .'AD=CE :∠ACB=90°，CD是斜边AB的中线， .CD-AB-4D-BD. .BD=CE, BD∥CE, ∴.四边形CDBE是平行四边形， CD=BD ∴.平行四边形CDBE是菱形： 6112 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：过点C作CF⊥AB于点F, E 四边形 的边长为4，面积为 CDBE 415 ∴BD=4,BD.CF=415 ∴.CD=AD=BD=4,CF=V15 ∴DF=cD2-CF=4-(W=1, ∴AF=AD+DF=5, ∴.tanA= CF 15 AF 5 4.【详解】(1)证明：：四边形ABCD是矩形， AD∥BC, .∠FAO=∠ECO ,点O是AC的中点， ∴.OA=OC 在△AOF和△COE中 ∠FAO=∠ECO OA=OC ∠AOF=∠COE ·.△AOF≌aCOE(ASA), ..OE=OF :0A=0C, ∴四边形AECF是平行四边形. EF⊥AC ∴四边形AECF是菱形： (2)解：由(1)知AC⊥EF, .∠C0F=90°， &tan∠ACF=OF-1 0C2 7/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .0C=20F, ,四边形AECF是菱形， ÷2AC-EF=15, 1 20C.20F=15, .2 .0C2=15, 0c=I5, oF=15 2 .CF=VOF2+0C7=53 ,四边形AECF是菱形 5v3 菱形ABCF的周长为2×4=10W5, C组 思维拔高 1.【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， ..OA=OC, ,E为AB的中点 :.OE是△ABC的中位线， .OE∥BC. .EF⊥BC,OG⊥BC, ÷.EF OG,∠EFG=90°， ∴.四边形EFGO是平行四边形， 又：∠EFG=90°， ∴平行四边形EFGO是矩形 (2)解：：四边形ABCD是菱形， ∴BC=AB=10,∠BOC=90°， :mDac-即86- 0C3 设0C=3x,OB=4x, 8/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由勾股定理得0B2+0C2=BC2,即(4x)}+(3x}=102, 解得x=2(舍去负值)， ∴OC=6,OB=8, :sin∠DBC=OC-OG BC=OB,OE是AABC的中位线， 60 .OE=BC, 1 108 2 解得0G=4.8,0E=5, ∴矩形EFG0的面积=OE.OG=24 2.【详解】(1)①证明：设∠BAC=B,则∠DBC=2p, .BD=BC, ∴△BCD为等腰三角形， :∠BDC=∠BCD=180,2E=90°-B, 2 ∠ABD=90° 在Rt△ABE中，∠BAE=B,∠AEB=90°-P, .∠DEC=∠AEB=90°-B, ∴∠CDE=∠BDC=90°-B=∠DEC, .CD=CE ②证明：由①知∠BDC=90°-B,∠DEC=90°-B,CD=CE, ∴.∠DCE=180°-2(90°-)=2p. ∴∠ECD=∠DBC, :∠CDE=∠BDC, ..ABCDACED. BC CD CE DE' BC CE CD DE' .CD.CE=BC.DE, .BC=BD,CD=CE. .CE2=BD·DE (2)解：过点C作CM⊥BD于点M, 9/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设BE=x,则DE=2BE=2x, ..CD=CE, .EH HD=x, 又∠ABD=∠CHE=90°，∠AEB=∠CEH, 、△ABE≌aCHE(ASA), .CH=AB=5. 由(1)CE2=BD.DE,CE=(BE+DE)DE=3x·2x=6x2, 在RtEHC中， EH2+HC2=EC2, x2+52=6x2, 解得x=5或-√5（舍去） CE2=6x2=30, ∴.CE=√30 (3)解：过点C作CH⊥BD于点H, :CD=CECH⊥ED H为ED的中点， ∠ABE=∠CHE=90°，∠AEB=∠CEH, .△ABEACHE(AA), CE =n.AE, ∴.相似比为AE:CE=1:n, ∴.CH=nAB,HE=nBE, 10/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设BE=a,则HE=na, ∴.DE=2HE=2na, :.BD=BE+DE=a+2na=(2n+D)a, 由(1)知CE2=BD.DE, .CE2=(2n+1)a.2na=2na2(2n+1). 在RtACHE中，CE2=CH2+HE2=2,AB2+na2, .n2.AB2+na2-2na2(2n+l), .n2.AB2=2na2(2n+1)-n2a2=na2(2(2n+1)-m)=na2(3n+2), AB2=a(3n+2) n2 tan∠ADB=AB BD' a2(3n+2) tan2∠ADB= AB2 n2 3n+2 BD2(2n+1)}an(2n+1 an∠ADB=Vn3n+2) n(2n+l)· 拓展 链接中考 1.A2.B3.6 4.【详解】1)解：：Rt△ABC中，∠C=90,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c. .sind-4,cos4 c’a2+b2=c2 .sin24+cos2A=a+62=0+6=c c2l (2)解：由(1)知：sin2A+cos2A=1, 1 .'sin A= 3 8 .'.cos2A= 9 11/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 82√2 .cosA= V93 (负值已舍去). 12/12