2.2锐角的正切同步练习 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

**基本信息** 本练习分层设计合理，从基础定义到综合应用梯度清晰，通过多样化题型巩固锐角正切知识，培养数学眼光与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|正切定义直接应用|如选择1直角三角形正切计算，填空9简单图形正切值求解，夯实概念理解| |中档层|图形综合与简单推理|如选择4网格图形正切计算，填空12结合余弦转化，提升几何直观与运算能力| |提升层|实际情境与跨学科应用|如解答16无人机测塔高、19遮阳棚问题，融入生活场景，培养模型意识与问题解决能力|

2026-2027湘教版数学九年级上册第二章2.2锐角的正切同步练习答案 一．选择题 1.在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，则tanB的值是（　　） A. B. C. D. 解析：tanB＝＝，故选A. 2．如图4－2－2，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，3)，那么tanα的值是(　　) A. B. C. D. [解析] 过点A作AB垂直x轴于点B，则AB＝3，OB＝4，所以tanα＝＝.故选A. 3.在中，＝，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【解答】由题意，设＝，则＝，， ∴ ．故选B. 4.如图，在中，，，，，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：．，正确，故该选项不符合题意； ． ，正确，故该选项不符合题意； ． ，正确，故该选项不符合题意； ．，原表示方法错误，故该选项符合题意； 故选：D． 5.如图，在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：D． 6.如图，在中，，则________. 【答案】 7.如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（    ） A． B． C． D． 解：取格点，连接．根据正方形的性质可得， 由勾股定理得，，∴．故选：A． 8.如图，在中，，点为的重心，若，，那么的长为（    ）． A． B． C． D． 【详解】解：如图，∵点为的重心， ∴为边的中线，为边的中线，， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵，为边的中线， ∴， ∴， 故选：． 二．填空题 9．如图，在中，，则________. 【答案】=2 10.在 中， ，则________． 【解析】解：∵ ， ∴ ， 则， . 故答案为：. 11.________． 解：原式 12．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanB＝，则cosA＝________． 　[解析] 如图，由tanB＝，可设AC＝4k，BC＝3k(k＞0)，由勾股定理，得AB＝5k，∴cosA＝＝＝.故答案为. 13．在中，，延长到点，使，连接．若，则___________（结果保留根号）． 【详解】解：设， 在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三．解答题 14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，sinA＝，求BC的长和tanB的值． 解：∵sinA＝＝，AB＝10，∴BC＝4. 又∵AC＝＝2， ∴tanB＝＝. 15．计算： (1)； 【详解】（1）解： ． (2)． 【详解】解： 16．位于登封市区西北的法王寺塔，是中国最早的佛寺之一，约建于唐代盛期即公元八世纪前半叶，是唐代甚至中国最优美的古塔，现为全国重点文物保护单位．某数学社团利用无人机测量法王寺塔的高度，无人机的起飞点B与法王寺塔（）的水平距离为，无人机垂直升腾到A处测得塔的顶部D处的俯角为，测得塔的底部C处的俯角为，求法王寺塔的高度．（结果精确到）（参考数据：，） 解：过点A作的平行线，与的延长线交于点E， 根据题意得：四边形为矩形， ∴， 在中，， 解得， 在中，， 解得， ∴． ∴法王寺塔的高度约为． 17．小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度AB．测量方案如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角∠1的度数，大楼底部点A的俯角∠2的度数．然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角∠3的度数．若∠1＝45°，∠2＝52°，∠3＝65°，CD＝10m，求大楼的高度AB．（精确到1m）． 参考数据：sin52°≈0.8，cos52°≈0.6，tan52°≈1.3；sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1． 【解答】解：过C作CG⊥AB于G，过D作DH⊥AB于H， 则四边形CDHG是矩形， ∴GH＝CD＝10m，CG＝DH， ∵∠1＝45°， ∴CG＝BG， 设AH＝xm， ∴AG＝（x+10）， 在Rt△ACG中， ∵∠2＝52°， ∴CG＝＝m， ∴BG＝CG＝m， ∴BH＝BG+GH＝（+10）m， 在Rt△BDH中，∠3＝65°， ∴tan65°＝＝≈2.1， ∴x≈1.8，AH≈1.8，BH≈19.1， ∴AB＝BH+AH≈21（m）． 答：大楼的高度AB约为21m． 18．综合与实践： 小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁AC的夹角为∠A； 第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水．（直线NN′为法线，AO为入射光线，OD为折射光线．） 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，N在同一平面内，测得AC＝20cm，∠A＝45°，折射角∠DON＝32°． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）BC的长为 20cm ； （2）求B，D之间的距离（结果精确到1cm）．（参考数据：sin32°≈0.52，cos32°≈0.84，tan32°≈0.62） 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠A＝45°， ∴∠B＝45°， ∴BC＝AC＝20cm， 故答案为：20cm； （2）由题可知ON＝EC＝AC＝10cm， ∴NB＝ON＝10cm， 又∵∠DON＝32°， ∴DN＝ON•tan∠DON＝10•tan32°≈10×0.62＝6.2cm， ∴BD＝BN﹣DN＝10﹣6.2＝3.8≈4cm． ∴B，D之间的距离为4cm． 19．综合与实践 素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3是它的侧面示意图，点A，C为墙壁上的固定点，摇臂CB绕点C旋转过程中长度保持不变，遮阳棚AB可自由伸缩，棚面始终保持平整．CA＝CB＝CD＝1.5米． 素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角α的正切值： 时刻（时） 12 13 14 15 角α的正切值 5 2.5 1.25 1 【问题解决】 （1）如图2，当∠ACB＝90°时，这天12时在点E位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离； （2）如图3，旋转摇臂CB，使得点B离墙壁距离为1.2米，为使绿萝在这天12时﹣14时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是多少？ 【解答】解：（1）如图1，过B作BM⊥DE于M， ∴CD＝BM＝1.5，BC＝DM＝1.5， 在Rt△BEM中，tan∠BEM＝， 即5＝， ∴EM＝0.3， ∴DE＝DM﹣EM＝1.5﹣0.3＝1.2． 答：绿萝摆放位置与墙壁的距离为1.2m． （2）过B作BF⊥AC于F，过B作BM⊥DE 于M， 则BF＝DM＝1.2， ∴CF＝＝＝0.9， ∴BM＝DF＝CD﹣CF＝1.5﹣0.9＝0.6， 由表格可知，在12时﹣14时， 角a的正切值逐渐减小，即∠BEM逐渐较小， ∴当14时，点E最靠近墙角， 当∠BEM越大，绿萝摆放位置与墙壁的距离越大， 在Rt△BEM中，tan∠MEM＝＝1.25， ∴1.25＝， ∴EM＝0.75， ∴DE＝DM﹣EM＝1.2﹣0.75＝0.45m． 答：绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是0.45m． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027湘教版数学九年级上册第二章2.2锐角的正切同步练习 一．选择题 1.在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，则tanB的值是（　　） A. B. C. D. 2．如图4－2－2，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，3)，那么tanα的值是(　　) A. B. C. D. 3.在中，＝，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4.如图，在中，，，，，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 5.如图，在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 6.如图，在中，，则________. 7.如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（    ） A． B． C． D． 8.如图，在中，，点为的重心，若，，那么的长为（    ）． A． B． C． D． 二．填空题 9．如图，在中，，则________. 10.在 中， ，则________． 11.________． 12．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanB＝，则cosA＝________． 13．在中，，延长到点，使，连接．若，则___________（结果保留根号）． 三．解答题 14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，sinA＝，求BC的长和tanB的值． 15．计算： (1)； (2)． 16．位于登封市区西北的法王寺塔，是中国最早的佛寺之一，约建于唐代盛期即公元八世纪前半叶，是唐代甚至中国最优美的古塔，现为全国重点文物保护单位．某数学社团利用无人机测量法王寺塔的高度，无人机的起飞点B与法王寺塔（）的水平距离为，无人机垂直升腾到A处测得塔的顶部D处的俯角为，测得塔的底部C处的俯角为，求法王寺塔的高度．（结果精确到）（参考数据：，） 17．小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度AB．测量方案如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角∠1的度数，大楼底部点A的俯角∠2的度数．然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角∠3的度数．若∠1＝45°，∠2＝52°，∠3＝65°，CD＝10m，求大楼的高度AB．（精确到1m）． 参考数据：sin52°≈0.8，cos52°≈0.6，tan52°≈1.3；sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1． 18．综合与实践： 小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁AC的夹角为∠A； 第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水．（直线NN′为法线，AO为入射光线，OD为折射光线．） 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，N在同一平面内，测得AC＝20cm，∠A＝45°，折射角∠DON＝32°． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）BC的长为 ； （2）求B，D之间的距离（结果精确到1cm）．（参考数据：sin32°≈0.52，cos32°≈0.84，tan32°≈0.62） 19．综合与实践 素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3是它的侧面示意图，点A，C为墙壁上的固定点，摇臂CB绕点C旋转过程中长度保持不变，遮阳棚AB可自由伸缩，棚面始终保持平整．CA＝CB＝CD＝1.5米． 素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角α的正切值： 时刻（时） 12 13 14 15 角α的正切值 5 2.5 1.25 1 【问题解决】 （1）如图2，当∠ACB＝90°时，这天12时在点E位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离； （2）如图3，旋转摇臂CB，使得点B离墙壁距离为1.2米，为使绿萝在这天12时﹣14时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $