18.3 平行线分线段成比例（分层作业练题型）数学新教材北京版九年级上册

**基本信息** 该同步练习围绕“平行线分线段成比例”，通过A、B、C组分层设计，构建从基础概念辨析到综合应用再到思维拔高的巩固路径，融入中考真题培养数学推理能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|平行判断成比例线段、求线段长或比值|以选择填空题为主，整合2015-2026年多地中考题，强化基础推理意识| |B组|图形变换与综合计算|结合折叠、网格等情境，设置解答题，培养几何直观与空间观念| |C组|复杂几何综合与中考拓展|含最值、动态问题及证明题，发展创新意识与模型观念，衔接中考难度|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 18.3平行线分线段成比例 参考答案 A组 巩固过关 瓶孔型01 由平行判断成比例的线段 1.D 2.C 3.B4.D5.B6.37.10 8.6 9.2.5 题型02 由平行截线求相关线段的长或比值 10.D 11.D12.B13.B14.A15.416.1517. 3-2 18.1.2 题型n3 成比例线段 19.B 20.C 21.2√5+2或4 22.2.823.9m B组 能力进阶 1.D2.C3.C4.B5.4 6.2或4 7.32-3/-3+3√2 8.39.4 10.2 11.32 12.2或2+113.114317 15.【解析】 (1),四边形ABCD和AEFG都是正方形， AB=AD,AE=AG=EF=FG,∠BEF=LDGF=90°， ..BE=AB-AE,DG=AD-AG, ..BE=DG. 1/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △BEF≌△DGF(SAS), BF=DF: (2)连接AC, .BF=DF ∴.点F在对角线AC上， .ADIIEFIIBC. CF:BE=AF:AE=2AE:AE=2, CF:BE=√2. 16.【解析】(1) 证明：：EF⊥AC,AB LAC, ∴.∠BAC=∠EGC=90°」 .EG∥AB E为BC的中点， CG_CE-1, .AG BE ..AG=CG, 在口ABCD中，AD∥BC, .∠CAF=∠ACE,∠AFG=∠CEG. .△AGF≌△CGE (2) 证明：△AGF≌△CGE, 'AF=CE, ,AD∥BC, ∴.四边形AECF为平行四边形， E为BC的中点，∠BAC=90°， .EA=EC=EB ∴四边形AECF为菱形. 2/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.【解析】(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， ..AO=CO,AB=DC, BD⊥AC ∴，∠AOB=∠COB=90°， 在△AOB,△COB中， AO=CO ∠AOB=∠COB BO=BO ·△AOB2ACOB .AB=CB. 同理可得△DOA≌△ODC,则DA=DC, 又：AB=CD ..AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形： (2)①证明：：四边形ABCD是平行四边形，AD=5,AC=8,BD=6. D0=B0-号8D=340=C0-4C=4 在△A0D中，AD2=25,A02+0D2=32+42=25, .'.AD2=402+OD2. ∴△AOD是直角三角形，且∠AOD=90°， ∴AC⊥BD ∴.四边形ABCD是菱形： ②，四边形ABCD是菱形： ∠ACB=∠ACD E4c0. k6=0a .∠ACB=∠E+∠COE, ∴.∠E=∠COE, CE=0C=24C=4, 如图所示，过点O作OG∥CD交BC于点G, 3/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E BG_BO=1, ∴·GCOD :.CG-1BC-1 21 2 2 5 0F_GC_2- EF CE 4 8 18.【解析】 (1)如图所示： M E (2∠ADE=∠B, ·.DE//BC AE_AD=2. EC DB C组 思维拔高 1.A2.D3.204.555.2 6.【解析】(1)BF=DG, 理由如下： :正方形ABCD, .AB=AD,∠BAD=90° ,△EFG是直角三角形，EG=EF, 4/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠FEG=90°， 当点E与点A重合时，则：∠FAG=90°=∠BAD, .∠DAG=∠BAF=90°-∠DAF, 又AB=AD,AG=AF, .△ADG≌ABF, :.BF=DG: (2)AE=DG. ,正方形ABCD ∴.∠ADC=∠DAB=90 ,点G在CD的延长线上，FE的延长线与BA的延长线交于点P, .∠PAE=∠EDG=90° ∴.P+∠AEP=90° :∠FEG=∠DEF+∠DEG=90°，∠AEP=∠DEF. .∠P=∠DEG ·EG=EF,EF=EP, ∴.EG=EP, 在△APE和△DEG中， 「∠PAE=∠EDG=90° ∠P=∠DEG EP=EG .△PAE≌aEDG, .AE=DG: (3)BF =5DG, 理由如下： 由(2)可知：△PAE≌△EDG, .AE=DG,AP=DE, 作FH⊥AB于点H,则：∠FHB=∠FHA=9O°=∠PAE, E H B AE∥FH 5/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PA=PE=1, AH EF ∴.PA=AH, .PE=EF, ∴.AE为△PHF的中位线， ∴.HF=2AE, ..AP=DE,PA=AH, .DE=AH, 又AD=AB, .AE =BH, 在Rt△BHF中，由勾股定理，得：BF=√HF2+BH=√5AE, AE=DG, .BF=5DG 拓展 链接中考 1.32.55 3.【解析】(1) 证明：如图， B 由题意得， 2 D CA=CD,∠ACD=90 ∠1+∠2=90° DE⊥BC, ∠DEC=90°， .∠1+∠D=90°， ∴.∠2=∠D .·∠ABC=90° .∠B=∠DEC, 618 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△ABC≌aCED(AAS): (2)猜想：PC=PD 证明：：∠ABC=90°，∠ACB=a ∠A=90°-a, :CF平分∠ACD :.LACF LDCF, ..CA=CD,CF=CF, ∴.△ACF≌△DCF, .∠CDF=∠A=90°-a, :∠ACD=90°，∠ACB=&, ∠BCD=90°-a, .∠BCD=∠CDF, .PC=PD. (3)解：①由题意得FP=FE, ∴.∠P=∠FEP, .∠DEC=90°. .∠PED=90°， ∴.∠P+∠FDE=90°，∠FEP+∠FED=90°， ∴.∠FED=∠FDE, .FE=FD .FP=FD,即点F是PD中点： ②过点F作FM∥CP交CD于点M,连接EM, 、、 M ,△ABC≌△CED, 7/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .DE=CB. 设CE=m,DE=CB=n, .BE=CB-CE=n-m, 由翻折得PB=BE=n-m, ∴.PE=2n-2m, .'PC=PE+CE =2n-m=PD, 在Rt△PDE中，由勾股定理得：(2n-m)2=(2n-2m)+m2, 整理得，3m2-4mn+n2=0, 解得：n=3m或n=m(舍，此时a=45°)， 在Rt△CDE中，由勾股定理得：m2+(3m)=202, 解得：m2=40. 1 1 3 .S△cpe=5CE.DE=5m×3m=3m2=60. 2 2 ..FMII BC, =CM=1 SACEM SACEF 点M为CD中点， 5ac8w=25acm=30, ∴S△cEr=30 818 分层作业 18.3平行线分线段成比例 目 录 A组 巩固过关 题型01 由平行判断成比例的线段 题型02由平行截线求相关线段的长或比值 题型03 成比例线段 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型 0 1 )由平行判断成比例的线段 1．（2023江苏中考）小明按照以下步骤画线段AB的三等分点： 画法 图形 1．以A为端点画一条射线； 2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE； 3．过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N，M、N就是线段AB的三等分点．    这一画图过程体现的数学依据是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．两条平行线之间的距离处处相等 C．垂直于同一条直线的两条直线平行 D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 【答案】D 【分析】根据两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，即可求解． 【详解】解：由步骤２可得：C、D为线段AE的三等分点 步骤３中过点C、D分别画BE的平行线，由两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例得： M、N就是线段AB的三等分点 故选：D 【点睛】本题考查两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．掌握相关结论即可． 2．（2022巴中中考）如图，在平面直角坐标系中，为的边上一点，，过作交于点，、两点纵坐标分别为1、3，则点的纵坐标为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据得出，根据，得出，根据、两点纵坐标分别为1、3，得出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵、两点纵坐标分别为1、3， ∴， ∴， 解得：， ∴点的纵坐标为6，故C正确． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平面直角坐标系中点的坐标，根据题意得出，是解题的关键． 3．（2019贺州中考）如图，在中，分别是边上的点，，若，则等于（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】由平行线得出，得出对应边成比例，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴， 即， 解得：， 故选B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质；证明三角形相似得出对应边成比例是解题的关键． 4．（2015玉林中考）如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，则下列结论中不正确的是（ ） A．AD=AE B．DB=EC C．∠ADE=∠C D．DE=BC 【答案】D 【详解】试题分析：由DE与BC平行，得到△ADE∽△ABC，由相似得比例，根据AB=AC，得到AD=AE，进而确定出DB=EC，再由两直线平行同位角相等，以及等腰三角形的底角相等，等量代换得到∠ADE=∠C，而DE不一定为中位线，即DE不一定为BC的一半，即可得到正确选项． 故选D． 考点：1、等腰三角形的判定与性质；2、平行线的性质 5．（2015成都中考）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】根据平行线分线段成比例可得， 代入计算可得：， 即可解EC=2， 故选B． 6．（2021扬州中考）如图，在中，，点D是的中点，过点D作，垂足为点E，连接，若，，则________． 【答案】3 【分析】根据直角三角形的性质得到AB=10，利用勾股定理求出AC，再说明DE∥AC，得到，即可求出DE． 【详解】解：∵∠ACB=90°，点D为AB中点， ∴AB=2CD=10， ∵BC=8， ∴AC==6， ∵DE⊥BC，AC⊥BC， ∴DE∥AC， ∴，即， ∴DE=3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，解题的关键是通过平行得到比例式． 7．（2020吉林中考）如图，．若，，则______． 【答案】10 【分析】根据平行线分线段成比例得到，由条件即可算出DF的值． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 故答案为：10． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 8．（2017长春中考）如下图，直线，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，．若，，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握线段成比例的运算方法是解题的关键． 根据可得，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（2016泰州中考）如图，中，，将沿方向平移至的位置时，恰好经过的中点O，则平移的距离为_________cm．    【答案】 【分析】根据平移的性质：对应线段平行，平行线分线段成比例定理可得是的中点，利用三角形中位线定理求出即为所求． 【详解】解：已知将沿方向平移至的对应位置， 根据平移的性质可得， ∴， ∵O是的中点，即， ∴是的中点， 根据三角形的中位线定理可得． ∴平移的距离为． 【点睛】本题考查了平移的性质，平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．还考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理． ( 题型0 2 )由平行截线求相关线段的长或比值 10.（2025雅安中考）如图，直线分别交直线，于点，，，，，，已知，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 11．（2025哈尔滨中考）如图，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得到比例线段，注意线段的对应性． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 12．（2025乐山中考）如图，，，，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，找准线段的对应关系是解决本题的关键． 根据得到，再代入数据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 13．（2025河南中考）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（   ）    A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，证明出是的中位线是解题关键．取格点、，由网格的性质可知，，得到，，进而证明是的中位线，即可求解． 【详解】解：如图，取格点、，    由网格的性质可知，， ，， 、分别是、的中点， 是的中位线， ， 故选：B． 14．（2024哈尔滨中考）如图，在四边形中，，点在上，交于点，若，，则的长为（    ） A．6 B．3 C．5 D．9 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例即可解答． 【详解】解：∵在四边形中，，， ∴， ∴， 即， 解得， 故选：A． 15．（2026吉林中考）如图，在中，，点为边上一点，，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，则__________． 【答案】 【分析】由作法可知，，再利用平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：由作法可知，， ， ， ， ． 16．（2026眉山中考）如图，，，，，则的长度是_______． 【答案】 15 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由可得，求出的长，再根据即可求解.． 【详解】解： ，， ． 17．（2023北京中考）如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为______．    【答案】 【分析】由平行线分线段成比例可得，，，得出，，从而. 【详解】，   ，， ， ， ， ， ； 故答案为：. 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键. 18．下图是一架梯子的示意图，其中，且．为使其更稳固，在，间加绑一条安全绳（线段），量得，则________． 【答案】1.2 【分析】根据平行线分线段成比例定理，可得，进而即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴3， 故答案是：1.2． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握“平行线所截得的对应线段成比例”，是解题的关键． ( 题型0 3 )成比例线段 19．（2022衡阳中考）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（    ）（结果精确到．参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设雕像的下部高为x m，由黄金分割的定义得求解即可． 【详解】解：设雕像的下部高为x m，则上部长为（2-x）m， ∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比， 雷锋雕像为2m， ∴   ∴， 即该雕像的下部设计高度约是1.24m， 故选：B． 【点睛】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键． 20．在比例尺为1：40000的工程示意图上，将于2005年9月1日正式通车的南京地铁一号线（奥体中心至迈皋桥段）的长度约为54.3cm，它的实际长度约为（     ） A．0.2172km B．2.172km C．21.72km D．217.2km 【答案】C 【详解】比例尺=，得实际长度=21.72km，故选C 21．（2021德阳中考）我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形，边AB的长度为1，则该矩形的周长为 __________________． 【答案】或4 【分析】分两种情况：①边为矩形的长时，则矩形的宽为，求出矩形的周长即可； ②边为矩形的宽时，则矩形的长为，求出矩形的周长即可． 【详解】解：分两种情况： ①边为矩形的长时，则矩形的宽为， 矩形的周长为：； ②边为矩形的宽时，则矩形的长为：， 矩形的周长为； 综上所述，该矩形的周长为或4， 故答案为：或4． 【点睛】本题考查了黄金分割，熟记黄金分割的比值是解题的关键． 22．（2016常州中考）在比例尺为1：40000的地图上，某条道路的长为7cm，则该道路的实际长度是_____km． 【答案】2.8 【详解】设这条道路的实际长度为x， 则：， 解得x=280000cm=2.8km， 经检验，x=280000是原方程的解 ∴280000cm=2.8km ∴这条道路的实际长度为2.8km． 故答案为2.8． 【点睛】本题考查了根据比例尺列出分式方程，解题的关键是知道比例尺的意义． 23．在比例尺为1∶200的地图上，测得A，B两地间的图上距离为4.5cm，则A，B两地间的实际距离为___. 【答案】9m 【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，即可求得实际距离． 【详解】由题意得，AB=4.5×200=900（cm）=9m， 故答案为：9m． 【点睛】本题考查了比例尺，掌握比例尺的含义是关键． 1.（2025长春中考）将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 由折叠可得：，，则，那么，继而根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理逐一判断即可． 【详解】解：由折叠可得：，， ∴，故A正确，不符合题意； ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴，， ∴，， ∴，故C正确，不符合题意； ∵， ∴，，， ∴，故D错误，符合题意， 故选：D． 2．（2024广西中考）如图，边长为5的正方形，E，F，G，H分别为各边中点，连接，，，，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形的面积为（    ） A．1 B．2 C．5 D．10 【答案】C 【分析】先证明四边形是平行四边形，利用平行线分线段成比例可得出，，证明得出，则可得出，同理，得出平行四边形是矩形，证明，得出，进而得出，得出矩形是正方形，在中，利用勾股定理求出，然后利用正方形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵E，F，G，H分别为各边中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， 同理， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，同理， ∴平行四边形是矩形， ∵，，， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴矩形是正方形， 在中，， ∴， ∴， ∴正方形的面积为5， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理等知识，明确题意，灵活运用相关知识求解是解题的关键． 3．（2022大连中考）如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，直线与相交于点D，连接，若，则的长是（    ） A．6 B．3 C．1.5 D．1 【答案】C 【分析】由作图可得：是AC的垂直平分线，记MN与AC的交点为G，证明 再证明 可得，从而可得答案． 【详解】解：由作图可得：是AC的垂直平分线，记MN与AC的交点为G， ∴ ∵， ∴ ∴ 故选C 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，平行线分线段成比例，证明是解本题的关键． 4．（2021·甘孜中考）如图，直线，直线与分别交于点和点．若，，则的长是（　　） A．4 B．6 C．7 D．12 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，再求出答案即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 5．（2023益阳中考）如图，在中，，，以为圆心，的长为半径画弧交于点，连接，分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，过点作交于点．则的长为______．      【答案】 【分析】由尺规作图可知，射线是的角平分线，由于，结合等腰三角形“三线合一”得是边中点，再由，根据平行线分线段成比例定理得到是边中点，利用梯形中位线的判定与性质得到即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，射线是的角平分线， 由等腰三角形“三线合一”得是边中点， ， 由平行线分线段成比例定理得到，即是边中点， 是梯形的中位线， ， 在中，，，则， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形背景下求线段长问题，涉及尺规作图、等腰三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、梯形中位线的判定与性质、平行四边形的性质等知识，熟练掌握梯形中位线的判定与性质是解决问题的关键． 6．（2022上海中考）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D为AB中点，E在线段AC上，，则_____． 【答案】或 【分析】由题意可求出，取AC中点E1，连接DE1，则DE1是△ABC的中位线，满足，进而可求此时，然后在AC上取一点E2，使得DE1＝DE2，则，证明△DE1E2是等边三角形，求出E1E2＝，即可得到，问题得解． 【详解】解：∵D为AB中点， ∴，即， 取AC中点E1，连接DE1，则DE1是△ABC的中位线，此时DE1∥BC，， ∴， 在AC上取一点E2，使得DE1＝DE2，则， ∵∠A=30°，∠B=90°， ∴∠C=60°，BC＝， ∵DE1∥BC， ∴∠DE1E2=60°， ∴△DE1E2是等边三角形， ∴DE1＝DE2＝E1E2＝， ∴E1E2＝， ∵， ∴，即， 综上，的值为：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，等边三角形的判定和性质以及含30°角的直角三角形的性质等，根据进行分情况求解是解题的关键． 7．（2022包头中考）如图，在中，，，D为边上一点，且，连接，以点D为圆心，的长为半径作弧，交于点E（异于点C），连接，则的长为___________． 【答案】/ 【分析】过点D作DF⊥BC于点F，根据题意得出，根据等腰三角形性质得出，根据，，得出，设，则，证明，得出，列出关于x的方程，解方程得出x的值，即可得出． 【详解】解：过点D作DF⊥BC于点F，如图所示： 根据作图可知，， ∵DF⊥BC， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，勾股定理，平行线分线段成比例定理，平行线的判定，作出辅助线，根据题意求出CF的长，是解题的关键． 8．（2021重庆中考）如图，中，点D为边BC的中点，连接AD，将沿直线AD翻折至所在平面内，得，连接，分别与边AB交于点E，与AD交于点O．若，，则AD的长为__________． 【答案】3 【分析】利用翻折的性质可得推出是的中位线，得出，再利用得出AO的长度，即可求出AD的长度． 【详解】由翻折可知 ∴O是的中点， ∵点D为边BC的中点，O是的中点， ∴是的中位线， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了翻折的性质，三角形的中位线的判定和性质，以及平行线分线段成比例的性质，掌握三角形的中位线的判定和性质，以及平行线分线段成比例的性质是解题的关键． 9．（2016东营中考）如图，在RtABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＞AB，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是______． 【答案】4 【详解】解：根据“垂线段最短”，可知：当OD⊥BC时，OD最短，DE的值最小． 当OD⊥BC时，OD∥AB． ， ∴OD是△ABC的中位线． ∴OD＝AB＝2． ∴DE的最小值＝2OD＝4． 故答案为：4 10．（2015河南中考）如图，△ABC中，点D、E分别在边AB，BC上，DE//AC，若DB=4，DA=2，BE=3，则EC=_________.    【答案】. 【详解】试题分析：∵DE//AC,∴DB:AD=BE:CE,∴4:2=3:EC,EC=. 考点：平行线分线段成比例定理. 11．（2024南通中考）如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为______． 【答案】 【分析】过点作，易得为等腰直角三角形，设，得到，证明，得到，进而得到，，在中，利用勾股定理求出的值，根据平行线分线段成比例，求出的长即可． 【详解】解：过点作，则：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，平行线分线段成比例，解题的关键是添加辅助线构造特殊图形和全等三角形． 12．（2023河南中考）矩形中，M为对角线的中点，点N在边上，且．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，的长为______． 【答案】2或 【分析】分两种情况：当时和当时，分别进行讨论求解即可． 【详解】解：当时，    ∵四边形矩形， ∴，则， 由平行线分线段成比例可得：， 又∵M为对角线的中点， ∴， ∴， 即：， ∴， 当时，      ∵M为对角线的中点， ∴为的垂直平分线， ∴， ∵四边形矩形， ∴，则， ∴ ∴， 综上，的长为2或， 故答案为：2或． 【点睛】本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例，垂直平分线的判定及性质等，画出草图进行分类讨论是解决问题的关键． 13．（2022北京中考）如图，在矩形中，若，则的长为_______． 【答案】1 【分析】根据勾股定理求出BC，以及平行线分线段成比例进行解答即可． 【详解】解：在矩形中， ，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 14．（2020菏泽中考）如图，矩形中，，，点在对角线上，且，连接并延长，交的延长线于点，连接，则的长为_______． 【答案】 【分析】由矩形的性质求得BD，进而求得PD ，再由AB∥CD得，求得CQ，然后由勾股定理解得BQ即可． 【详解】∵四边形ABCD是矩形，，， ∴∠BAD=∠BCD=90º，AB=CD=5，BC=AD=12，AB∥CD， ∴，又=5， ∴PD=8， ∵AB∥DQ， ∴，即 解得：CQ=3， 在Rt△BCQ中，BC=12，CQ=3， ． 故答案为： 【点睛】本题考查了矩形的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理，熟练掌握矩形的性质，会利用平行线成比例定理列相关比例式是解答的关键． 15．（2014济宁中考）如图，正方形AEFG的顶点E、G在正方形ABCD的边AB、AD上，连接BF、DF. (1)求证：BF=DF； (2)连接CF，请直接写出的值为__________（不必写出计算过程）. 【答案】 （1）∵四边形ABCD和AEFG都是正方形， ∴AB=AD，AE=AG=EF=FG，∠BEF=∠DGF=90°， ∴BE=AB-AE，DG=AD-AG， ∴BE=DG， ∴△BEF≌△DGF（SAS）， ∴BF=DF； （2）. 【分析】（1）根据正方形的性质得出BE=DG，再利用△BEF≌△DGF求得BF=DF， （2）由BF=DF得点F在对角线AC上，再运用平行线间线段的比求解． 【详解】（1） 略 （2）连接AC， ∵BF=DF ∴点F在对角线AC上， ∵AD∥EF∥BC， ∴CF：BE=AF：AE=AE：AE=， ∴CF：BE=． 【点睛】本题主要考查正方形的性质及三角形全等的判定和性质，要熟练掌握基本基础知识，灵活应用解决问题． 16．（2025徐州中考）已知：如图，在中，E为的中点，于点G，交于点F，，连接，．求证： (1)； (2)四边形是菱形． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∵在中，， ∴，， ∴． (2) 证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵E为的中点，， ∴， ∴四边形为菱形． 【分析】（1）证明，可得，可得，再证明，，即可得到结论； （2）先证明四边形为平行四边形，结合E为的中点，，可得，从而可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，平行线分线段成比例，掌握以上基础知识是解本题的关键． 17．（2023江西中考）课本再现 思考 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． (1)定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在中，对角线，垂足为． 求证：是菱形．    (2)知识应用：如图，在中，对角线和相交于点，．    ①求证：是菱形； ②延长至点，连接交于点，若，求的值． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ， ∵ ∴， 在中， ∴ ∴， 同理可得，则， 又∵ ∴ ∴四边形是菱形； (2)①证明：∵四边形是平行四边形，． ∴ 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴四边形是菱形； ② 【分析】（1）根据平行四边形的性质证明得出，同理可得，则， ，进而根据四边相等的四边形是菱形，即可得证； （2）①勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，得出，即可得证； ②根据菱形的性质结合已知条件得出，则，过点作交于点，根据平行线分线段成比例求得，然后根据平行线分线段成比例即可求解． 【详解】（1）略 （2）①略 ②∵四边形是菱形； ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图所示，过点作交于点，    ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，勾股定理以及勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键． 18．（2019广东中考）如图，在中，点是边上的一点. （1）请用尺规作图法，在内，求作，使，交于；（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，求的值. 【答案】 （1）如图所示； （2）. 【分析】(1)以点B为圆心，以任意长为半径画弧，交BA、BC于点F、G，以点D为圆心，以BF长为半径画弧，交DA于点M，再以M为圆心，以FG长为半径画弧，与前弧交于点H，过点D、H作射线，交AC于点E，由此即可得； (2)由(1)可知DE//BC ，利用平行线分线段成比例定理进行求解即可. 【详解】(1)略 (2)∵， ∴. ∴. 【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，平行线分线段成比例定理，熟练掌握利用尺规作一个角等于已知角的作图方法是解题的关键. 1．【几何综合】（2021朝阳中考）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝2AE，DF＝2CF，点G，H分别是AC的三等分点，则S四边形EHFG÷S菱形ABCD的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可证EG∥BC，EG＝2，HF∥AD，HF＝2，可得四边形EHFG为平行四边形，即可求解． 【详解】解：∵BE＝2AE，DF＝2FC， ∴， ∵G、H分别是AC的三等分点， ∴，， ∴， ∴EG∥BC ∴， 同理可得HF∥AD，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，由题意可证EG∥BC，HF∥AD是本题的关键． 2．【作图】（2024济南中考）如图，在正方形中，分别以点A和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点（点在正方形内部），连接并延长交于点．若，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，设交于点H，正方形边长为，由作图知，，垂直平分，得到，，由勾股定理得到，证明，推出，推出，得到，即得． 【详解】连接，设交于点H，正方形边长为， 由作图知，，垂直平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形和线段垂直平分线综合．熟练掌握正方形性质，线段垂直平分线性质，勾股定理解直角三角形，平行线分线段成比例定理，梯形中位线性质，是解决问题的关键． 3．【折叠问题】（2026内蒙古中考）如图，等边三角形纸片的边长为10，点，分别为，边上的点．将沿折叠，若点恰好落在该纸片边的中点处，则四边形的周长是____________． 【答案】 【分析】连接交于点O，由三线合一得，． 由折叠的性质可知，，，，，可得，由平行线分线段成比例求出，再根据三角形中位线的性质求出即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点O， 是等边三角形，边长为 ， 点是边的中点 ，． 由折叠的性质可知，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长． 4．【几何综合】（2022襄阳中考）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为_____． 【答案】 【分析】如图，过点作于点，于点，过点作交于点．证明，设，证明，设，则，求出，可得结论． 【详解】解：如图，过点作于点，于点，过点作交于点． 平分，，， ， ， ， 设，则， ，， ， ， 设，则， ， ， ， 的周长， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． 5．【最值问题】（2019陕西中考）如图，在正方形ABCD中，AB=8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=6. P为对角线BD上一点，则PM—PN的最大值为___. 【答案】2. 【分析】如图所示，以BD为对称轴作N的对称点，连接，根据对称性质可知，，由此可得，当三点共线时，取“=”，此时即PM—PN的值最大，由正方形的性质求出AC的长，继而可得，，再证明，可得PM∥AB∥CD，∠90°，判断出△为等腰直角三角形，求得长即可得答案. 【详解】如图所示，以BD为对称轴作N的对称点，连接，根据对称性质可知，，∴，当三点共线时，取“=”， ∵正方形边长为8， ∴AC=AB=， ∵O为AC中点， ∴AO=OC=， ∵N为OA中点， ∴ON=， ∴， ∴， ∵BM=6， ∴CM=AB-BM=8-6=2， ∴， ∴PM∥AB∥CD，∠90°， ∵∠=45°， ∴△为等腰直角三角形， ∴CM==2， 故答案为2. 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的判定与性质，最值问题等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 6．【几何综合】（2025甘肃中考）四边形是正方形，点E是边上一动点（点D除外），是直角三角形，，点G在的延长线上． (1)如图1，当点E与点A重合，且点F在边上时，写出和的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形内部时，的延长线与的延长线交于点P，如果，写出和的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，写出和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， 理由如下： ∵正方形， ∴， ∵是直角三角形，， ∴， 当点E与点A重合时，则：， ∴， 又∵， ∴， ∴； (2)， ∵正方形， ∴， ∵点G在的延长线上，的延长线与的延长线交于点P， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (3)， 理由如下： 由（2）可知：， ∴，， 作于点，则：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∵， ∴． 【分析】（1）根据正方形的性质，证明，即可得出结论； （2）根据正方形的性质，证明，即可得出结论； （3）作，得到，平行线分线段成比例得到，进而得到为的中位线，得到，根据，得到，进而得到，勾股定理得到，再根据，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，三角形的中位线定理，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，添加辅助线构造特殊图形，是解题的关键． 1．（2024重庆中考）如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则______． 【答案】 【分析】先根据平行线分线段成比例证，进而得，，再证明，得，从而即可得解． 【详解】解：∵，过点作，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：， 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质，熟练掌握三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质是解题的关键． 2．（2022襄阳中考）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为_____． 【答案】 【分析】如图，过点作于点，于点，过点作交于点．证明，设，证明，设，则，求出，可得结论． 【详解】解：如图，过点作于点，于点，过点作交于点． 平分，，， ， ， ， 设，则， ，， ， ， 设，则， ， ， ， 的周长， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． 3．（2024辽宁中考）如图，在中，，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，垂足为． (1)如图1，求证：； (2)如图2，的平分线与的延长线相交于点，连接，的延长线与的延长线相交于点，猜想与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿折叠，在变化过程中，当点落在点的位置时，连接． ①求证：点是的中点； ②若，求的面积． 【答案】(1) 证明：如图， 由题意得，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) (3)30 【分析】（1）利用“”即可证明； （2）可知，证明，则，可得，则，故； （3）①翻折得，根据等角的余角相等得到，故，则，即点F是中点； ②过点F作交于点M，连接，设，，则，由翻折得，故，因此，在中，由勾股定理得：，解得：或（舍，此时） ，在中，由勾股定理得：，解得：，则，由，得到，，因此，故． 【详解】（1）略 （2）猜想： 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：①由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即点F是中点； ②过点F作交于点M，连接， ∵， ∴， 设，， ∴， 由翻折得， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 整理得，， 解得：或（舍，此时） ， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∵， ∴，， ∴点M为中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，翻折的性质，勾股定理解三角形，平行线分线段成比例定理，正确添加辅助线是解题的关键． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 18.3平行线分线段成比例 目 录 A组 巩固过关 题型01 由平行判断成比例的线段 题型02由平行截线求相关线段的长或比值 题型03 成比例线段 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 由平行判断成比例的线段题型01 1．（2023江苏中考）小明按照以下步骤画线段AB的三等分点： 画法 图形 1．以A为端点画一条射线； 2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE； 3．过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N，M、N就是线段AB的三等分点．    这一画图过程体现的数学依据是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．两条平行线之间的距离处处相等 C．垂直于同一条直线的两条直线平行 D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 2．（2022巴中中考）如图，在平面直角坐标系中，为的边上一点，，过作交于点，、两点纵坐标分别为1、3，则点的纵坐标为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（2019贺州中考）如图，在中，分别是边上的点，，若，则等于（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（2015玉林中考）如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，则下列结论中不正确的是（ ） A．AD=AE B．DB=EC C．∠ADE=∠C D．DE=BC 5．（2015成都中考）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2021扬州中考）如图，在中，，点D是的中点，过点D作，垂足为点E，连接，若，，则________． 7．（2020吉林中考）如图，．若，，则______． 8．（2017长春中考）如下图，直线，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，．若，，则的长为___________． 9．（2016泰州中考）如图，中，，将沿方向平移至的位置时，恰好经过的中点O，则平移的距离为_________cm．    由平行截线求相关线段的长或比值题型02 10.（2025雅安中考）如图，直线分别交直线，于点，，，，，，已知，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 11．（2025哈尔滨中考）如图，，若，，则（   ） A． B． C． D． 12．（2025乐山中考）如图，，，，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 13．（2025河南中考）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（   ）    A． B．1 C． D． 14．（2024哈尔滨中考）如图，在四边形中，，点在上，交于点，若，，则的长为（    ） A．6 B．3 C．5 D．9 15．（2026吉林中考）如图，在中，，点为边上一点，，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，则__________． 16．（2026眉山中考）如图，，，，，则的长度是_______． 17．（2023北京中考）如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为______．    18．下图是一架梯子的示意图，其中，且．为使其更稳固，在，间加绑一条安全绳（线段），量得，则________． 成比例线段题型03 19．（2022衡阳中考）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（    ）（结果精确到．参考数据：，，） A． B． C． D． 20．在比例尺为1：40000的工程示意图上，将于2005年9月1日正式通车的南京地铁一号线（奥体中心至迈皋桥段）的长度约为54.3cm，它的实际长度约为（     ） A．0.2172km B．2.172km C．21.72km D．217.2km 21．（2021德阳中考）我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形，边AB的长度为1，则该矩形的周长为 __________________． 22．（2016常州中考）在比例尺为1：40000的地图上，某条道路的长为7cm，则该道路的实际长度是_____km． 23．在比例尺为1∶200的地图上，测得A，B两地间的图上距离为4.5cm，则A，B两地间的实际距离为___. 1.（2025长春中考）将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024广西中考）如图，边长为5的正方形，E，F，G，H分别为各边中点，连接，，，，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形的面积为（    ） A．1 B．2 C．5 D．10 3．（2022大连中考）如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，直线与相交于点D，连接，若，则的长是（    ） A．6 B．3 C．1.5 D．1 4．（2021·甘孜中考）如图，直线，直线与分别交于点和点．若，，则的长是（　　） A．4 B．6 C．7 D．12 5．（2023益阳中考）如图，在中，，，以为圆心，的长为半径画弧交于点，连接，分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，过点作交于点．则的长为______．      6．（2022上海中考）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D为AB中点，E在线段AC上，，则_____． 7．（2022包头中考）如图，在中，，，D为边上一点，且，连接，以点D为圆心，的长为半径作弧，交于点E（异于点C），连接，则的长为___________． 8．（2021重庆中考）如图，中，点D为边BC的中点，连接AD，将沿直线AD翻折至所在平面内，得，连接，分别与边AB交于点E，与AD交于点O．若，，则AD的长为__________． 9．（2016东营中考）如图，在RtABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＞AB，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是______． 10．（2015河南中考）如图，△ABC中，点D、E分别在边AB，BC上，DE//AC，若DB=4，DA=2，BE=3，则EC=_________.    11．（2024南通中考）如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为______． 12．（2023河南中考）矩形中，M为对角线的中点，点N在边上，且．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，的长为______． 13．（2022北京中考）如图，在矩形中，若，则的长为_______． 14．（2020菏泽中考）如图，矩形中，，，点在对角线上，且，连接并延长，交的延长线于点，连接，则的长为_______． 15．（2014济宁中考）如图，正方形AEFG的顶点E、G在正方形ABCD的边AB、AD上，连接BF、DF. (1)求证：BF=DF； (2)连接CF，请直接写出的值为__________（不必写出计算过程）. 16．（2025徐州中考）已知：如图，在中，E为的中点，于点G，交于点F，，连接，．求证： (1)； (2)四边形是菱形． 17．（2023江西中考）课本再现 思考 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． (1)定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在中，对角线，垂足为． 求证：是菱形．    (2)知识应用：如图，在中，对角线和相交于点，．    ①求证：是菱形； ②延长至点，连接交于点，若，求的值． 18．（2019广东中考）如图，在中，点是边上的一点. （1）请用尺规作图法，在内，求作，使，交于；（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，求的值. 1．【几何综合】（2021朝阳中考）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝2AE，DF＝2CF，点G，H分别是AC的三等分点，则S四边形EHFG÷S菱形ABCD的值为（    ） A． B． C． D． 2．【作图】（2024济南中考）如图，在正方形中，分别以点A和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点（点在正方形内部），连接并延长交于点．若，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 3．【折叠问题】（2026内蒙古中考）如图，等边三角形纸片的边长为10，点，分别为，边上的点．将沿折叠，若点恰好落在该纸片边的中点处，则四边形的周长是____________． 4．【几何综合】（2022襄阳中考）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为_____． 5．【最值问题】（2019陕西中考）如图，在正方形ABCD中，AB=8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=6. P为对角线BD上一点，则PM—PN的最大值为___. 6．【几何综合】（2025甘肃中考）四边形是正方形，点E是边上一动点（点D除外），是直角三角形，，点G在的延长线上． (1)如图1，当点E与点A重合，且点F在边上时，写出和的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形内部时，的延长线与的延长线交于点P，如果，写出和的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，写出和的数量关系，并说明理由． 1．（2024重庆中考）如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则______． 2．（2022襄阳中考）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为_____． 3．（2024辽宁中考）如图，在中，，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，垂足为． (1)如图1，求证：； (2)如图2，的平分线与的延长线相交于点，连接，的延长线与的延长线相交于点，猜想与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿折叠，在变化过程中，当点落在点的位置时，连接． ①求证：点是的中点； ②若，求的面积． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $