18.2 黄金分割（分层作业练题型）数学新教材北京版九年级上册

**基本信息** 本练习以黄金分割为核心，通过A、B、C三层设计，从基础概念识别到综合探究，适配新授课巩固与提升，培养数学眼光、思维与语言素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|黄金分割概念及简单计算|5道中考题，以选择填空为主，如鹦鹉螺螺纹、人体雕像高度计算，直观理解概念，发展几何直观| |B组能力进阶|黄金分割方程与几何应用|4道中考题，涉及舞台比例、黄金矩形、汉字结构，需建立方程或结合图形分析，提升推理能力与模型意识| |C组思维拔高|黄金分割线定义及综合探究|1道几何综合题，探究三角形黄金分割线的判定与作图，培养创新意识与逻辑推理|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 18.2黄金分割 参考答案 A组 巩固过关 题型01 黄金分割 1.A2.D3.A 4(805-160jcm/-160+80√5)cm 5.(（5-1/-1+5) B组 能力进阶 1.A2.A 3.（5-π 45-1/-1+V5 C组 思维拔高 1.【解析】 (1)直线CD是△ABC的黄金分割线.理由如下： 设△ABC的边AB上的高为h 则5ae号40h,5eDh,Sac 2AB-h. 1/2 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S△MDc=AD S△BC=BD ·SABC AB:S△ADC AD· 又，点D为边AB的黄金分割点， :0D S△ADc=SARDC ABAD· 则SAABC SAADC ∴，直线CD是△ABC的黄金分割线， (2),三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分， =%方，*度 1 ∴.三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线. (3).DF II CE ∴aDEC和△FCE的公共边CE上的高也相等， .S△DcE=S△FEc. 设直线EF与CD交于点G.则S△DGE=S△FGC. ∴.S△ADc=S四边形AFGD+S△FGC =S边形AFGD+S△DGE=S△AEF,SBDC=S四边形BEFC. .SA4=SABDC.S△E_S边形BEC 又SAA S,SeSE ∴直线EF也是△ABC的黄金分制线. (4)画法不唯一，现提供两种画法； DNP DNF C 画法一：如答图1，取的中点，再过点作一条直线 A EM B A EM B (图1) (图2) EF G G 分别交AB,DC于M,N点，则直线N就是口ABCD的黄金分割线， 画法二：如答图2，在DF上取一点N,连接EN,再过点F作FM∥NE交AB于点M,连接MN,则直 线N就是口ABCD的黄金分割线， 2/2 分层作业 18.2黄金分割 目 录 A组 巩固过关 题型01 黄金分割 B组 能力进阶 C组 思维拔高 黄金分割题型01 1．（2023广东中考）我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献，优选法中有一种0.618法应用了（   ） A．黄金分割数 B．平均数 C．众数 D．中位数 2．（2022山西中考）神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（    ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．黄金分割 3．（2020金昌中考）生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中为2米，则约为（   ） A．1．24米 B．1．38米 C．1．42米 D．1．62米 4．（2023达州中考）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点A的黄金分割点，之间的距离为__________． 5．（2022陕西中考）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为______米． 1.（2021巴中中考）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（　　） A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x） C．x（20﹣x）＝202 D．以上都不对 2．（2020泸州中考）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 3．（2025兰州中考）如图，黄金矩形中，以宽为边在其内部作正方形，得到四边形是黄金矩形，依此作法，四边形，四边形也是黄金矩形．依次以点E，G，L为圆心作，，，曲线叫做“黄金螺线”．若，则“黄金螺线”的长为__________．（结果用表示） 4．（2024山西中考）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清的边 ， 上，且，“远”字的笔画“、”的位置在 的黄金分割点处，且 若，则 的长为_______(结果保留根号)． 1．【几何综合】如图1，点将线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点． 某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为的图形分成两部分，这两部分的面积分别为，，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线． （1）研究小组猜想：在中，若点为边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是的黄金分割线．你认为对吗？为什么？ （2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？ （3）研究小组在进一步探究中发现：过点任作一条直线交于点E，再过点作直线，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是的黄金分割线．请你说明理由． （4）如图4，点E是的边的黄金分割点，过点E作，交于点，显然直线是的黄金分割线．请你画一条的黄金分割线，使它不经过各边黄金分割点． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 18.2黄金分割 目 录 A组 巩固过关 题型01 黄金分割 B组 能力进阶 C组 思维拔高 ( 题型 0 1 )黄金分割 1．（2023广东中考）我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献，优选法中有一种0.618法应用了（   ） A．黄金分割数 B．平均数 C．众数 D．中位数 【答案】A 【分析】根据黄金分割比可进行求解． 【详解】解：0.618为黄金分割比，所以优选法中有一种0.618法应用了黄金分割数； 故选A． 【点睛】本题主要考查黄金分割比，熟练掌握黄金分割比是解题的关键． 2．（2022山西中考）神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（    ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．黄金分割 【答案】D 【分析】根据黄金分割的定义即可求解． 【详解】解：动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的黄金分割． 故选：D 【点睛】本题考查了黄金分割的定义，黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，约等于0.618，这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．熟知黄金分割的定义是解题关键． 3．（2020金昌中考）生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中为2米，则约为（   ） A．1．24米 B．1．38米 C．1．42米 D．1．62米 【答案】A 【分析】根据a:b≈0.618，且b=2即可求解． 【详解】解：由题意可知，a:b≈0.618，代入b=2， ∴a≈2×0.618=1.236≈1.24． 故答案为：A 【点睛】本题考查了黄金分割比的定义，根据题中所给信息即可求解，本题属于基础题． 4．（2023达州中考）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点A的黄金分割点，之间的距离为__________． 【答案】/ 【分析】此题考查了黄金分割点的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．根据黄金分割的概念和黄金比值计算即可． 【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（2022陕西中考）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为______米． 【答案】/ 【分析】根据点E是AB的黄金分割点，可得，代入数值得出答案． 【详解】∵点E是AB的黄金分割点， ∴． ∵AB=2米， ∴米． 故答案为：（）． 【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键． 1.（2021巴中中考）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（　　） A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x） C．x（20﹣x）＝202 D．以上都不对 【答案】A 【分析】点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，则，即可求解． 【详解】解：由题意知，点P是AB的黄金分割点， 且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x， ∴， ∴（20−x）2＝20x， 故选：A． 【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 2．（2020泸州中考）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作AF⊥BC，根据等腰三角形ABC的性质求出AF的长，再根据黄金分割点的定义求出BE、CD的长度，得到中DE的长，利用三角形面积公式即可解题. 【详解】解：过点A作AF⊥BC， ∵AB=AC， ∴BF=BC=2， 在Rt,AF=， ∵D是边的两个“黄金分割”点， ∴即， 解得CD=， 同理BE=， ∵CE=BC-BE=4-(-2)=6-， ∴DE=CD-CE=4-8， ∴S△ABC===， 故选：A.    【点睛】本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三角形的面积公式，求出DE和AF的长是解题的关键。 3．（2025兰州中考）如图，黄金矩形中，以宽为边在其内部作正方形，得到四边形是黄金矩形，依此作法，四边形，四边形也是黄金矩形．依次以点E，G，L为圆心作，，，曲线叫做“黄金螺线”．若，则“黄金螺线”的长为__________．（结果用表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金矩形的定义，及弧长公式．先根据黄金矩形中，且，求出，进而求出，，再根据弧长公式即可求出“黄金螺线”的长．根据黄金矩形的定义求出的长，以及熟练掌握弧长的公式是解题的关键． 【详解】解: ∵黄金矩形中，且， ∴， ∵四边形是正方形， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， ∵四边形是正方形， ， ∴“黄金螺线”的长为， ． 故答案为：． 4．（2024山西中考）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清的边 ， 上，且，“远”字的笔画“、”的位置在 的黄金分割点处，且 若，则 的长为_______(结果保留根号)． 【答案】/ 【分析】先证明四边形是矩形，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 又∵， ∴． 1．【几何综合】如图1，点将线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点． 某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为的图形分成两部分，这两部分的面积分别为，，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线． （1）研究小组猜想：在中，若点为边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是的黄金分割线．你认为对吗？为什么？ （2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？ （3）研究小组在进一步探究中发现：过点任作一条直线交于点E，再过点作直线，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是的黄金分割线．请你说明理由． （4）如图4，点E是的边的黄金分割点，过点E作，交于点，显然直线是的黄金分割线．请你画一条的黄金分割线，使它不经过各边黄金分割点． 【答案】 （1）直线是的黄金分割线．理由如下： 设的边上的高为． 则，，， ∴，． 又∵点为边的黄金分割点， ∴．则． ∴直线是的黄金分割线． （2）∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分， ∴，即， ∴三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线． （3）∵， ∴和的公共边上的高也相等， ∴． 设直线与交于点．则． ∴ ，． 又∵，∴． 　∴直线也是的黄金分割线． 　（4）画法不唯一，现提供两种画法； 　画法一：如答图1，取的中点，再过点作一条直线分别交，DC于，N点，则直线MN就是的黄金分割线． 　画法二：如答图2，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作交于点，连接MN，则直线MN就是的黄金分割线． 【分析】（1）由于、、是同高，而点为边的黄金分割点，则，所以，故直线是的黄金分割线； （2）只需判断它们面积比是否相等，若相等则中线是三角形的黄金分割线，否则不是； （3）根据平行线间的距离相等，则，设直线与交于点，则．通过图形面积的转化，直线分三角形的图形面积有，故直线也是的黄金分割线； （4）画法不唯一，只需分成图形面积比相等即可． 【详解】略 【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中线性质、黄金分割、三角形的面积、平行线的性质等知识，综合性强，有一定的难度，关键是黄金分割线的灵活运用． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $