专题2.3 函数的单调性和最值（高效培优讲义）数学北师大版高一必修第一册

本讲义聚焦函数单调性与最值核心知识点，系统梳理增函数、减函数定义，单调区间概念，定义法证明五步（取值、作差、变形、判号、下结论），函数最值及单调性应用（比较大小、解抽象不等式），形成从概念到方法再到应用的学习支架，含思维导图辅助知识脉络梳理。 资料特色在于知识点与“即学即练”紧密结合，7个题型分类（典例+变式）强化应用，通过定义法证明培养推理能力（数学思维），图像分析提升几何直观（数学眼光），易错点提示（如单调区间书写规范）助于精准表达（数学语言），课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

专题2.3函数的和最值 教学目标 理解函数增函数、减函数的定义，掌握单调性的代数定义，能从图像直观判断函数增减； 掌握用定义法证明函数单调性的步骤； 理解单调区间概念，区分 “单调递增、单调递减”； 理解函数最大值、最小值概念，会求简单函数的最值； 能利用单调性比较函数值大小、解抽象函数不等式。 教学重难点 1.重点 增函数、减函数、单调区间的概念； 定义法证明函数单调性； 函数最大值、最小值的理解，求简单函数的最值； 单调性简单应用：比较大小。 2.难点 对单调性定义中 “任意两个自变量” 的理解； 定义证明中作差、变形（因式分解、通分、配方）、判符号； 单调区间书写（多个区间不能用连接，用逗号隔开）； 利用单调性解抽象函数不等式。 知识点 1增函数与减函数（单调性定义） 设函数y=f(x)的定义域为I，区间。 增函数： 如果对，当时，都有，就说f(x)在区间D上是增函数。 图像特征：从左向右上升。 减函数： 如果对，当时，都有，就说f(x)在区间D上是减函数。 图像特征：从左向右下降。 重要提醒： 必须是区间 D 内任意，不能取两个特殊值就判定单调性； 单调性是局部性质：函数可以在定义域一部分递增，另一部分递减。 【即学即练】 已知函数对任意的，总满足以下不等关系：，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得： 当时，有， 当时，有， 说明在上严格单调递减. 已知， 可知是一个斜率为的一次函数，在上单调递减， 是一个开口向下的二次函数，对称轴为轴， 在上单调递减，故满足即可实现在上严格单调递减. ，，则， 解得. 知识点 2单调区间 如果函数在区间D上是增函数或减函数，就称函数在D上具有单调性，区间D叫做函数的单调区间。 易错点：若函数在分别递减，不能写成在递减，只能写成。不能用并集符号连接多个单调区间。 【即学即练】 函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，可知函数在上单调递增， 设，可作出函数图像： 可知函数在上单调递减，在上， 则的定义域为. 根据复合函数同增异减原则，可知在上单调递减，D正确. 知识点 3定义法证明函数单调性（五步） 取值：任取，设； 作差：计算； 变形：因式分解、通分、配方，化成乘积 / 商形式（便于判断正负）； 判号：判断的正负； 下结论：若，则，函数为增函数；若，则为减函数。 【即学即练】 已知函数. (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义给出证明； (2)若，求函数的最大值和最小值. 【答案】(1)在区间上递增，证明见解析 (2)最大值为，最小值为. 【分析】（1）设，且，然后作差变形，再判断符号可得结论； （2）由（1）可知在上递增，从而可求出其最值. 【详解】（1），函数在区间上递增，证明如下： 任取，且， 则 因为，且，所以，， 所以，所以，即， 所以在区间上递增， （2）由（1）可知在上递增， 所以的最大值为，最小值为. 知识点 4函数的最大值、最小值 设函数y=f(x)的定义域是I。 最大值：若存在M，满足①；②，使得。M就是函数的最大值。 几何：图像最高点纵坐标。 最小值：若存在M，满足①；②，使得。M就是函数的最小值。 几何：图像最低点纵坐标。 注意：最值必须能取到，区间是开区间时端点取不到，则端点处不是最值。 【即学即练】 函数在区间上的最大值为4，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】显然， 若，则函数在区间上是减函数， 则，解得，不满足，舍去； 若，则函数在区间上是增函数，则，解得. 综上，. 知识点 5单调性简单性质 f(x)与f(x)+C（C常数）单调性相同； k>0时，f(x)与kf(x)单调性相同；k<0时，f(x)与kf(x)单调性相反； 若f(x),g(x)都在区间D上递增，则f(x)+g(x)在D上递增；都递减，则f(x)+g(x)递减。 知识点 6单调性应用逻辑 在同一单调区间上： 增函数： 减函数： 可以实现自变量大小与函数值大小互相转化。 【即学即练】 若函数在上单调递减，则下列一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在上单调递减，且， 所以. 题型 01由图像判断单调区间、增减性 【典例1】函数的单调递增区间是________. 【答案】 【分析】利用数形结合，作出分段二次函数的图象，即可写出单调增区间. 【详解】由作图：    可得函数的单调递增区间是， 故答案为： 【变式1】设，则的单调递减区间为 _____  ． 【答案】 【分析】将写成分段函数的形式，作出函数的图象，结合图象即可得解． 【详解】因为 所以，函数的图象如下： 由图象可知，函数的单调递减区间为. 故答案为：. 【变式2】如图是函数的图象，则函数在下列区间单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用函数图像与函数单调性的对应关系，结合图像即得解 【详解】结合图像易知， 函数在区间、上单调递减， 故选：BD 【变式3】如图是定义在区间上的函数，则下列关于函数的说法正确的是（    ） A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递增 C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上不是单调函数 【答案】ABD 【分析】根据函数的图象，即可得出函数的单调性，说明A、B、D项；结合具体点的大小，即可说明C项. 【详解】对于A项，由图象可知，函数在区间上单调递增，故A项正确； 对于B项，由图象可知，函数在区间上单调递增，故B项正确； 对于C项，由图象可知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递减， 但是，所以函数在区间上不是单调递减的， 故C项错误； 对于D项，由图象可知，函数在区间上有增有减， 所以，函数在区间上不是单调函数，故D项正确. 故选：ABD. 【变式4】如图是函数的图象，则函数的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据函数单调性与图象的关系进行判断即可． 【详解】若函数单调递增，则对应图象上升趋势， 由图知：的递增区间为，， 故选：AC． 题型 02 定义法证明函数单调性 【典例1】已知函数满足：对任意实数，，，，且当时，． (1)求的值； (2)证明：是上的单调递减函数； (3)若对，，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)任取，且，则， 由条件知， 所以. 所以，故是上的单调递减函数； (3) 【分析】（1）由赋值法求解； （2）由函数单调性的定义求解； （3）由二次不等式恒成立求解． 【详解】（1）令，可得，结合知； （2）略 （3）令，知，，故. 又因为是上的单调递减函数，所以，等价于，， 即对，恒成立． 当时，不恒成立，舍去； 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围是． 【变式1】已知函数． (1)判断在区间上的单调性，并用定义进行证明； (2)求在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1)函数在区间上单调递增，证明如下： 任取，，且，则 因为，所以，且， 即， 所以 故在区间上单调递增． (2)， 【分析】（1）由单调性定义证明即可； （2）借助（1）中结论，根据单调性得最值. 【详解】（1）函数在区间上单调递增，证明略； （2）由（1）知在上递增， 所以， 【变式2】 已知. (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间上的最大值与最小值. 【答案】(1) 在上是增函数.证明如下： 任取，且， ， ， ， 函数在上是增函数. (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据题意，由函数单调性的定义代入计算，即可证明； （2）根据题意，由函数的单调性，即可得到最值. 【详解】（1）略 （2）由（1）知函数在上是增函数. 所以最大值为，最小值为. 【变式3】已知函数 （1）用定义法证明在区间上是增函数； （2）求函数在区间上的最值，并说明取最值时的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）当时，，当时， 【分析】（1）利用定义法证明单调性： （2）利用单调性求最值. 【详解】（1）证明： 任取，且 ， ，即 在单调递增 （2）由（1）知，在单调递增， ∴当时，，当时，. 题型 3：利用单调性比较函数值大小 【典例1】已知定义域为的函数满足，且对任意，，当时，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的对称性及单调性的定义确定区间单调性，再由单调性判断函数值的大小. 【详解】由得函数的图象关于对称， 根据已知及单调性的定义，知在上为减函数， 所以在上为增函数， ，且， ． 【变式1】已知函数在R上严格单调递增，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由条件，可推得且，再结合单调性逐一分析选项. 【详解】因为，所以. 因为在R上严格单调递增， 所以. 选项A：例如，，满足， 但，故A错误. 选项B：由，得，即，故B正确. 选项C：由，得，即，故C错误. 选项D：由且，两式相加得：，故D正确. 题型 4：求函数单调区间 【典例1】函数f（x）＝的单调递减区间是（   ） A． B． C．[1,4] D．[－2,1] 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，再换元，然后利用复合函数单调性“同增异减”的方法求解. 【详解】由题可知，，解得. 令，则， 因为在上单调递减，而在上单调递增，根据复合函数单调性“同增异减”， 所以在上单调递减. 故选：C. 【点睛】 【变式1】已知函数在上单调递减，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复合函数的单调性求解判断即可. 【详解】令，因为在上单调递增， 所以在上单调递减， 对于， 由解得：， 令，当时， 随增大而减小， 当时，随增大而增大， 因为在上单调递减， 所以的单调递增区间是函数的单调递减区间， 所以的单调递增区间是， 故选：C. 【变式2】函数的单调递增区间是______． 【答案】 【分析】由，求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】由，可得， 因为在上单调递增，而在上单调递增，在上单调递减， 由复合函数的单调性，可知的单调递增区间为. 故答案为： 【变式3】函数的单调减区间为______. 【答案】和 【分析】由反比例函数的单调性即可求解. 【详解】由题意得定义域为， ，由反比例函数的单调性可知： 函数的单调递减区间为. 故答案为：和 题型 5：求函数的最值（值域） 【典例1】已知不等式对任意的都成立，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意. 设，则. 若，则方程的解为； 若，由方程有解， 可得且. 综上.所以. 所以实数的最小值为2. 【变式1】已知函数，若在上的值域为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先分析函数的单调性与取值特征，即可画出函数图象，数形结合即可求出参数的取值范围. 【详解】因为，所以在上单调递减且， 当时，所以在上单调递增，在上单调递减， 又，，则的图象如下所示： 因为在上的值域为， 所以，即实数的取值范围为. 故选：A 【变式2】设函数． （1）用定义证明函数在区间上是单调减函数； （2）求函数在区间得最大值和最小值． 【答案】（1）见解析； （2）最大值为3，最小值为. 【分析】（1）根据函数单调性的定义法即可证明，（2）根据（1）的结果即可得出最值. 【详解】（1）任取，因为 在上是单调减函数 （2）由（1）得函数在上是单调减函数，所以函数在上为单调减函数，所以 【点睛】本题主要考查了用定义域判断函数单调性的问题以及根据单调性求最值,属于基础题. 【变式3】设函数. （1）用函数单调性定义证明：函数在区间上是单调递减函数； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）证明见解析;（2）最大值为, 最小值为. 【分析】（1）根据定义法步骤完成证明; （2）根据（1）的单调性可得在区间上的最大值和最小值. 【详解】（1）证明：设, 由题有, ∵, ∴, , , ∴, 即, ∴函数在区间上是单调递减函数. （2）由（1）可知在区间上单调递减, ∴的最大值为, 最小值为. ∴函数在区间上的最大值为, 最小值为. 题型 6：已知单调性求参数范围 【典例1】已知函数 (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解、根与系数关系求得. （2）利用分离常数法，结合基本不等式求得的取值范围. 【详解】（1）原不等式可化为，因为该不等式的解集为， 可知的两根为和， 则，即，解得； 所以. （2）若对任意的恒成立， 则对任意的，恒成立， 即对任意的，恒成立，所以， 又因为，， 当且仅当，即时取等号，所以， 所以实数的取值范围是. 【变式1】已知． (1)若a＝2，求的解集A； (2)若的解集A是集合的真子集，求实数a的取值范围； (3)若对一切x＞2的实数，均有恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)[﹣4，2] (3) 【分析】（1）直接解一元二次不等式即可得出答案； （2）令y＝0，解得x＝a或x＝1，分类讨论a＞1，a＝1，a＜1，求出解集A，结合题意，列出关于a的不等式，即可得出答案； （3）利用分离参数法，题意转化为对一切x＞2的实数，恒成立，即，利用基本不等式求出最小值，即可得出答案． 【详解】（1） 则当a＝2时，不等式，即， 即，解得， 故集合； （2）令y＝0，解得或x＝1， 由，可得， 当a＜1时，不等式的解集为， ∵集合A是集合的真子集，可得，∴﹣4≤a＜1； 当a＝1时，不等式的解集为A＝{1}， 1∈，满足题意； 当a＞1时，不等式的解集为， ∵集合A是集合的真子集，可得，∴， 综上所述，实数a的取值范围是[﹣4，2]； （3）对一切x＞2的实数，均有恒成立，即， 转化为对一切x＞2的实数，恒成立，即 ∵x＞2， ∴， 当且仅当，即x＝3时等号成立， ∴， 故实数a的取值范围是． 【变式2】已知函数 若在上存在最小值，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】先按、、分类讨论. 时无最小值；时有最小值；时需满足一定的条件，再分与 讨论，综合得的取值范围. 【详解】若，则由可知无最小值； 若，则有最小值. 以下假设，此时在区间上单调递减， 于是在上有最小值当且仅当. 下面对的取值分类讨论： 当时，因为， 所以. 当时，因为， 所以，整理得 ， 该二次判别式，不等式左端恒大于0，无解，不符合要求. 综合以上讨论可知：当时的取值范围是. 综上所述，实数的取值范围是. 【变式3】设，恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】 【详解】当时，不等式对任意m成立； 当时，不等式恒成立 ， 令，易知该函数在上单调递减，在上单调递增， 则，故得. 当时，不等式恒成立， 因在上单调递减，则，故得. 综上可得，. 题型 7：利用单调性解抽象不等式 【典例1】已知函数则的解集为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的定义域分和两类情况，分别求解对应不等式后取并集求解. 【详解】①当时，，不等式等价于：， 化简可得，解得， 因为，所以此时不等式解集为； ②当时，，不等式等价于：， 当时，得，显然不成立， 当，不等式两边同除以，得，得， 因为，所以此时不等式解集为. 综上，不等式解集为. 【变式1】已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的图象，结合转化为不等式组可得. 【详解】如图： 根据函数图象，及可知：， 得或， 故选：D 【变式2】已知是定义在上的函数，满足，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，探求函数的性质，再分段求解不等式. 【详解】由，得， 当时，，， 又在上单调递减，而在上单调递减，因此函数在上单调递增， 不等式化为或， 即或，解得或， 所以所求不等式的解集为. 故选：B 【变式3】已知函数若，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算出的值，再根据的取值范围分和两种情况，分别代入分段函数对应的解析式列不等式求解，最后将两种情况的解集合并得到的取值范围. 【详解】， 当，即时，，由，得； 当，即时，，由，得，解得， 综上，，即的取值范围为. 1．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可. 【详解】由，解得或， 所以函数的定义域为， 因为在上单调递减，在上单调递增， 又因为为单调递增函数， 所以函数的单调递增区间是. 故选：D. 2．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数单调性的性质，结合二次函数的单调性进行求解即可. 【详解】由， 所以函数的定义域为， 因为二次函数对称轴为， 所以函数单调递减区间为， 故选：B 3．函数的单调递增区间是（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性判断即可. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为， 又在上单调递减，在上单调递增， 由反比例函数性质得在，上单调递减， 所以的单调递增区间为，. 故选：B 4．若函数在上的最大值为6，则（    ） A．或1 B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用二次函数的单调性，讨论端点处函数值，再进行检验即可. 【详解】∵二次函数开口向上，对称轴为， ∴在上的最大值会在区间的端点或处取到， 又，，若，则， 此时对称轴，且，符合条件； 若，则，此时对称轴，且，符合条件， 综上所述，或1. 5．若函数，是定义在上的减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】函数是定义在上的减函数，除了两段函数均为单调递减，还要考虑点要在点上方或两点重合. 【详解】若函数，是定义在上的减函数， 则解得 ， 所以的取值范围为. 6．函数，若对任意，（），都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用已知结合单调性定义得出单调递减，再应用分段函数单调性列式计算求解. 【详解】设，因为对任意，都有成立， 所以对任意，都有成立， 即对任意，都有成立． 因为， 所以函数，在上单调递减， 所以， 解得，即实数的取值范围是． 7．若函数在其定义域上单调递增，则函数（　　） A．在其定义域上单调递增 B．在其定义域上单调递减 C．在其定义域上单调递增 D．在其定义域上单调递减 【答案】B 【分析】根据抽象函数的定义域可判断函数的定义域，根据复合函数的单调性可判断函数单调性. 【详解】因为函数的定义域为，所以，即函数的定义域为； 对于函数，由可得，即函数的定义域为，故CD错误； 对于函数在上单调递增，由于其内层函数为单调增函数，所以可得在上单调递增； 对于函数，由于其内层函数为单调减函数，所以可得在上单调递减. 故选：B 8．关于函数，下列判断正确的是（ ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】AC 【分析】通过分离常数+反比例函数平移的方法，结合初中已学的反比例函数单调性规律来分析. 【详解】将整理得： ， 该函数的定义域为， 其图象是由反比例函数的图象向左平移1个单位、再向下平移1个单位得到的. 当时，随增大而递增且恒为正，随增大而递减， 因此在上单调递减，A正确、B错误. 当时，随增大而递增且恒为负，随增大而递减， 因此在上单调递减，C正确、D错误. 9．如图是函数的图象，则函数在下列区间单调递增的是(    ) A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据单调性的定义即可由图知道f(x)的增区间﹒ 【详解】图像从左往右上升的区间有：(－6，－4)，(－1，2)，(5，8)，∴f(x)在(－6，－4)，(－1，2)，(5，8)上单调递增﹒ 故选：BC﹒ 10．已知函数在定义域上是单调函数，，则______． 【答案】 【分析】分析可知，存在唯一的，使得，结合函数的单调性得出，即，再由可求出的值，可得出函数的解析式，进而可得出的值. 【详解】因为函数在定义域上是单调函数，且， 则存在唯一的常数，使得， ，也即， 于是，由，解得，故， 所以. 1．若函数，在满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分段函数的特点进行求解. 【详解】对任意实数，都有成立， 所以在上单调递增， 当时，若使单调递增，则需满足； 当时，若使单调递增，需满足二次函数的对称轴，即：， 若在上单调递增，则需满足，即：， 所以实数的取值范围为. 2．已知函数. (1)判断函数的单调性，并利用定义证明； (2)求在上的最值. 【答案】(1) 在上单调递减，证明如下： 任取， 则， 因为，所以， 所以，即， 故在上单调递减. (2)最小值为，最大值为 【分析】（1）根据条件，利用单调性的定义即可证明结果； （2）利用单调性求最值. 【详解】（1）略 （2）在上单调递减，所以 当时，取得最小值， 当时，取得最大值. 3．已知一次函数在上单调递减，且满足，． (1)求的解析式； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用待定系数法设一次函数，复合展开后对比系数列方程，再用单调性筛根. （2）整理不等式，再分类讨论，时，直接验证，时，用基本不等式求分离后函数的最小值，得到参数范围. 【详解】（1）设，， 由可得， 即，所以， 解得或， 又在上单调递减，所以， 因此． （2）由（1）得， 则题干可转化为不等式在时恒成立． 当时，，为任意值时都满足题意. 当时，不等式可化为在时恒成立， ，当且仅当，即时，等号成立， 因此，     所以，即实数的取值范围为． 4．已知函数. （1）若，求不等式的解集； （2）若时，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）或；（2）. 【详解】试题分析：（1）先对不等式移项并因式分解得，再根据不等号方向得不等式解集，（2）先化简不等式，并分离，转化为求对应函数最值：，其中，再根据基本不等式求最值，即得的取值范围. 试题解析：（1）若 即 所以原不等式的解集为或 （2）即在时恒成立， 令，等价于在时恒成立， 又，当且仅当即等号成立，所以. 故所求的取值范围是. 5．设函数. (1)解关于x的不等式； (2)当时，不等式恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1) 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. (2) 【分析】（1）对a分类讨论：当时；当时；当时.分别求出对应的解集； （2）利用分离参数法得到，再利用基本不等式求出的最小值，即可求出a的取值范围. 【详解】（1） 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. （2） 因为，所以由可化为：， 因为（当且仅当，即时等号成立）， 所以.所以a的取值范围为. 6．已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若对任意实数都成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）解不含参的一元二次不等式的解集即可； （2）根据题意，不等式恒成立化为，，结合二次函数的图象与性质求出解集即可． 【详解】（1）当时，即，变形整理得：， 所以，则，或 ∴不等式的解集为. （2）“对任意实数都成立”即， 关于的二次函数开口向下，且对称轴， 当时，则， 当a=0时，f(x)≤0恒成立，不合要求， 当时，则， 综上，实数的取值范围为. 7．已知函数，. （Ⅰ）当时，求满足的的取值范围； （Ⅱ）解关于的不等式； （Ⅲ）若对于任意的，均成立，求的取值范围． 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析Ⅲ 【分析】（I）当时，解一元二次不等式求得的取值范围.（II）化简为一元二次不等式的形式并因式分解，对分成三类，求得不等式的解集.（III）将不等式分离常数，变为，根据的取值范围，求得的取值范围. 【详解】（Ⅰ）当时，，所以，即 解得. 所以的解集为. （Ⅱ） 由，得 ， 所以 ， 当时，解集为；当 时，解集为空集；当时，解集为. （Ⅲ），即 ，所以 . 因为对于任意的，均成立. 所以对于任意的，均成立. 所以 . 即的取值范围是. 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查含有参数的一元二次不等式分类讨论，考查恒成立问题的解法.属于中档题. 8．已知函数． (1)若，求不等式的解集 (2)若关于的不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)． 【分析】（1）解不含参数的一元二次不等式即可. （2）分和，结合一元二次不等式解集的形式列式求值. 【详解】（1）当时，. 或. 不等式的解集为或 （2）当时，恒成立，满足题意； 当时，由题意得，解得. 综上所述，实数的取值范围是． 9．已知函数. （1）当时，求不等式的解集 （2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）解一元二次不等式得结果，（2）先根据二次函数性质得最小值，根据条件列不等式，即可解得结果. 【详解】（1） 即不等式的解集为， （2）时取最小值， 因此 【点睛】本题考查解一元二次不等式以及不等式恒成立问题，考查基本分析求解能力，属中档题. 10．已知关于的函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合给定条件，解不含参数的一元二次不等式即可. （2）结合给定条件利用一元二次不等式的性质求解参数即可. 【详解】（1）当时，， 所以原不等式为， 对于方程，有， 所以对于方程有两个不相等的实数根， 令，故得， 解得，故两个根为，因为开口向上， 所以原不等式的解集为. （2）因为对任意的恒成立，且开口向上， 所以，解得， 故实数的取值范围为. 11．已知函数 . （Ⅰ）若，解不等式； （Ⅱ）若对于任意实数，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（I）；（II）. 【分析】（Ⅰ）直接解不等式可得所求解集；（Ⅱ）由题意得不等式对于任意实数恒成立，根据判别式的符号求解即可． 【详解】（Ⅰ）当时，不等式为， 即， 解得， ∴不等式的解集为． （Ⅱ）由题意得不等式对于任意实数恒成立， ∴， 即， ∴， ∴实数的取值范围为． 【点睛】解一元二次不等式时需要结合对应的二次方程和二次函数的图象求解，体现数形结合的应用．对于二次不等式在实数集R上的恒成立问题，可结合二次函数图象即抛物线的开口方向和判别式的符号求解即可． 32 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3函数的和最值 教学目标 理解函数增函数、减函数的定义，掌握单调性的代数定义，能从图像直观判断函数增减； 掌握用定义法证明函数单调性的步骤； 理解单调区间概念，区分 “单调递增、单调递减”； 理解函数最大值、最小值概念，会求简单函数的最值； 能利用单调性比较函数值大小、解抽象函数不等式。 教学重难点 1.重点 增函数、减函数、单调区间的概念； 定义法证明函数单调性； 函数最大值、最小值的理解，求简单函数的最值； 单调性简单应用：比较大小。 2.难点 对单调性定义中 “任意两个自变量” 的理解； 定义证明中作差、变形（因式分解、通分、配方）、判符号； 单调区间书写（多个区间不能用连接，用逗号隔开）； 利用单调性解抽象函数不等式。 知识点 1增函数与减函数（单调性定义） 设函数y=f(x)的定义域为I，区间。 增函数： 如果对，当时，都有，就说f(x)在区间D上是增函数。 图像特征：从左向右上升。 减函数： 如果对，当时，都有，就说f(x)在区间D上是减函数。 图像特征：从左向右下降。 重要提醒： 必须是区间 D 内任意，不能取两个特殊值就判定单调性； 单调性是局部性质：函数可以在定义域一部分递增，另一部分递减。 【即学即练】 已知函数对任意的，总满足以下不等关系：，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 知识点 2单调区间 如果函数在区间D上是增函数或减函数，就称函数在D上具有单调性，区间D叫做函数的单调区间。 易错点：若函数在分别递减，不能写成在递减，只能写成。不能用并集符号连接多个单调区间。 【即学即练】 函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 知识点 3定义法证明函数单调性（五步） 取值：任取，设； 作差：计算； 变形：因式分解、通分、配方，化成乘积 / 商形式（便于判断正负）； 判号：判断的正负； 下结论：若，则，函数为增函数；若，则为减函数。 【即学即练】 已知函数. (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义给出证明； (2)若，求函数的最大值和最小值. 知识点 4函数的最大值、最小值 设函数y=f(x)的定义域是I。 最大值：若存在M，满足①；②，使得。M就是函数的最大值。 几何：图像最高点纵坐标。 最小值：若存在M，满足①；②，使得。M就是函数的最小值。 几何：图像最低点纵坐标。 注意：最值必须能取到，区间是开区间时端点取不到，则端点处不是最值。 【即学即练】 函数在区间上的最大值为4，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 知识点 5单调性简单性质 f(x)与f(x)+C（C常数）单调性相同； k>0时，f(x)与kf(x)单调性相同；k<0时，f(x)与kf(x)单调性相反； 若f(x),g(x)都在区间D上递增，则f(x)+g(x)在D上递增；都递减，则f(x)+g(x)递减。 知识点 6单调性应用逻辑 在同一单调区间上： 增函数： 减函数： 可以实现自变量大小与函数值大小互相转化。 【即学即练】 若函数在上单调递减，则下列一定成立的是（ ） A． B． C． D． 题型 01由图像判断单调区间、增减性 【典例1】函数的单调递增区间是________. 【变式1】设，则的单调递减区间为 _____  ． 【变式2】如图是函数的图象，则函数在下列区间单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图是定义在区间上的函数，则下列关于函数的说法正确的是（    ） A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递增 C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上不是单调函数 【变式4】如图是函数的图象，则函数的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 题型 02 定义法证明函数单调性 【典例1】已知函数满足：对任意实数，，，，且当时，． (1)求的值； (2)证明：是上的单调递减函数； (3)若对，，求实数的取值范围． 【变式1】已知函数． (1)判断在区间上的单调性，并用定义进行证明； (2)求在区间上的最大值与最小值． 【变式2】 已知. (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间上的最大值与最小值. 【变式3】已知函数 （1）用定义法证明在区间上是增函数； （2）求函数在区间上的最值，并说明取最值时的值. 题型 3：利用单调性比较函数值大小 【典例1】已知定义域为的函数满足，且对任意，，当时，都有，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数在R上严格单调递增，且，则（   ） A． B． C． D． 题型 4：求函数单调区间 【典例1】函数f（x）＝的单调递减区间是（   ） A． B． C．[1,4] D．[－2,1] 【变式1】已知函数在上单调递减，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【变式2】函数的单调递增区间是______． 【变式3】函数的单调减区间为______. 题型 5：求函数的最值（值域） 【典例1】已知不等式对任意的都成立，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数，若在上的值域为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】设函数． （1）用定义证明函数在区间上是单调减函数； （2）求函数在区间得最大值和最小值． 【变式3】设函数. （1）用函数单调性定义证明：函数在区间上是单调递减函数； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 题型 6：已知单调性求参数范围 【典例1】已知函数 (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【变式1】已知． (1)若a＝2，求的解集A； (2)若的解集A是集合的真子集，求实数a的取值范围； (3)若对一切x＞2的实数，均有恒成立，求实数a的取值范围． 【变式2】已知函数 若在上存在最小值，求实数的取值范围. 【变式3】设，恒成立，求实数m的取值范围. 题型 7：利用单调性解抽象不等式 【典例1】已知函数则的解集为（） A． B． C． D． 【变式1】已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知是定义在上的函数，满足，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数若，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 2．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 3．函数的单调递增区间是（   ） A． B．， C．， D．， 4．若函数在上的最大值为6，则（    ） A．或1 B． C． D．1 5．若函数，是定义在上的减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．函数，若对任意，（），都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．若函数在其定义域上单调递增，则函数（　　） A．在其定义域上单调递增 B．在其定义域上单调递减 C．在其定义域上单调递增 D．在其定义域上单调递减 8．关于函数，下列判断正确的是（ ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 9．如图是函数的图象，则函数在下列区间单调递增的是(    ) A． B． C． D． 10．已知函数在定义域上是单调函数，，则______． 1．若函数，在满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数. (1)判断函数的单调性，并利用定义证明； (2)求在上的最值. 3．已知一次函数在上单调递减，且满足，． (1)求的解析式； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 4．已知函数. （1）若，求不等式的解集； （2）若时，恒成立，求的取值范围. 5．设函数. (1)解关于x的不等式； (2)当时，不等式恒成立，求a的取值范围. 6．已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若对任意实数都成立，求实数的取值范围. 7．已知函数，. （Ⅰ）当时，求满足的的取值范围； （Ⅱ）解关于的不等式； （Ⅲ）若对于任意的，均成立，求的取值范围． 8．已知函数． (1)若，求不等式的解集 (2)若关于的不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 9．已知函数. （1）当时，求不等式的解集 （2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围. 10．已知关于的函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 11．已知函数 . （Ⅰ）若，解不等式； （Ⅱ）若对于任意实数，恒成立，求实数的取值范围. 23 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $