专题2.3 函数的单调性和最值重难点题型讲义（2个知识点+7大题型+1大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版必修第一册）

专题2.3 函数的单调性和最值重难点题型专训 （2个知识点+7大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 定义法判断或证明函数的单调性 题型二 求函数的单调区间 题型三 根据函数的单调性求参数值 题型四 根据图像判断函数单调性 题型五 复合函数的单调性 题型六 利用函数单调性求最值或值域 题型七 根据函数的最值求参数 拓展训练一 函数单调性综合 知识点一：函数单调性 1 函数单调性的概念 (1)增函数和减函数 一般地，设函数的定义域为，区间: 如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递增(左图).特别地，当函数在它定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递减(右图).特别地，当函数在它定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. 注 ① 在上单调递减，但它不是减函数. ② 的三个特征一定要予以重视．函数单调性定义中的有三个特征：一是任意性，即任意取，“任意”二字绝对不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定；三是同属一个单调区间，三者缺一不可． (2) 单调性 如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性．区间叫做函数的单调区间． 注 ① 这个区间可以是整个定义域也可以是定义域的一部分. ② 有的函数无单调性．如函数，它的定义域是，但无单调性可言． 2 单调性概念的拓展 ① 若递增，，则. ② 若递增，，则. 递减，有类似结论！ 3 判断函数单调性的方法 ① 定义法 解题步骤 (1) 任取，且； (2) 作差； (3) 变形(通常是因式分解和配方)； (4) 定号(即判断差的正负)； (5) 下结论(指出函数在给定的区间上的单调性)． ② 数形结合 ③ 性质法 增函数+增函数增函数，减函数+减函数减函数； 但增函数增函数不一定是增函数，比如，均是增函数，而不是. 【即时训练】 1．（24-25高一下·北京·开学考试）定义在上的函数是增函数，则系数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·浙江杭州·阶段练习）若定义在上的函数的图像如图所示，则其单调递减区间是 .    知识点二：函数的最值 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： (1) ，都有；(2)，使得； 那么，我们称是函数的最大值.(最小值类似定义) 简单来说，最大值和最小值分别是函数图像中最高点和最低点的函数值. 【即时训练】 1．（24-25高一上·湖南·阶段练习）若函数的最小值是8，则实数m的值为（   ） A．6或10 B．6或10 C．6或10 D．6或10 2．（22-23高一上·贵州铜仁·期中）函数值域是，则实数的取值范围是 ； 【经典例题一 定义法判断或证明函数的单调性】 【例1】（24-25高一上·全国·课后作业）若函数在上是减函数，且，则下列选项错误的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·全国·课前预习）求证：函数在上是减函数，在上是增函数 1．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知定义在区间上，值域为的函数满足：①当时，；②对于定义域内任意的实数a、b均满足：．则（    ） A． B． C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上单调递增 2．（多选题）（24-25高一上·辽宁·期末）已知函数的定义域为，，且当时，，则（   ） A． B． C． D．是增函数 3．（24-25高一下·上海·阶段练习）定义在上的函数满足，且当时，，则 ． 4．（2025高一·全国·专题练习）已知函数，试用定义探求的单调区间． 【经典例题二 求函数的单调区间】 【例1】（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列函数的图像（包括端点），分别指出这两个函数的单调区间，以及在每一个单调区间上函数的单调性． 1．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，则函数（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 2．（23-24高二上·云南玉溪·期末）如果函数在区间上是增函数，且函数在区间上是减函数，那么称函数是区间上的“缓增函数”，区间叫做“缓增区间”.若函数是区间上的“缓增函数”，则“缓增区间”为（      ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东茂名·期中）函数的单调递减区间为 . 4．（22-23高一上·重庆万州·期中）设函数，． (1)当时，用函数单调性定义求的单调递减区间； (2)直接写出时的单调减区间. 【经典例题三 根据函数的单调性求参数值】 【例1】（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024高一·全国·专题练习）已知函数在上是增函数，求的取值范围. 1．（2025高一·全国·专题练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高一上·山东枣庄·阶段练习）若为定义在上的函数，满足对于任意的实数m，方程至多有两个解，且对任意，都有，则的值可能为（ ） A． B． C． D． 3．（2025高一·全国·专题练习）若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为 ． 4．（2025高一·全国·专题练习）已知函数在上单调递增，求的取值范围． 【经典例题四 根据图像判断函数单调性】 【例1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）函数的图象如图所示，则该函数的定义域和单调区间分别是    A．和 B．和 C．和 D．和 【例2】（24-25高一上·上海·课堂例题）下图是定义在闭区间上的函数的图像，根据图像写出的单调区间，以及在每个单调区间上，是增函数还是减函数． 1．（23-24高一上·山东泰安·期中）设函数，则（    ） A．的最大值为 B．在上单调递增，在上单调递减 C．的最小值为 D．在上单调递增，在上单调递减 2．（23-24高一上·上海静安·期中）已知函数，若，则（    ） A．在上是增函数 B．在上是减函数 C．在上是增函数 D．在上是减函数 3．（23-24高一上·北京·阶段练习）函数的单调递减区间为 . 4．（23-24高一·全国·假期作业）求下列函数的单调区间． （1）f（x）＝3|x|； （2）f（x）＝|x2＋2x－3|． 【经典例题五 复合函数的单调性】 【例1】（23-24高一上·安徽合肥·阶段练习）函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数的单调区间． 1．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数在上单调递增，则的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高一上·广东揭阳·阶段练习）下列四个函数中，在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·辽宁·期中）若函数在上单调递减，则的取值范围是 ． 4．（24-25高一上·全国·单元测试）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，，求的取值范围． 【经典例题六 利用函数单调性求最值或值域】 【例1】（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C．2 D．3 【例2】（2025高一·全国·专题练习）已知，若的最小值为，写出的表达式． 1．（2025高二下·湖南·学业考试）已知函数，若当时，的值域也是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）下列函数中，值域为的是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（2025高二·全国·专题练习）函数满足，若在区间内的最大值为5，则最小值为 ． 4．（2025高一·全国·专题练习）求函数的值域. 【经典例题七 根据函数的最值求参数】 【例1】（24-25高二下·宁夏石嘴山·阶段练习）若函数在区间上的最大值为3，则实数（   ） A． B．1 C．3 D． 【例2】（23-24高一上·上海静安·阶段练习）已知函数的值域为，求实数的值. 1．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）若函数在上的最大值为，则（   ） A． B．1 C． D． 2．（多选题）（23-24高一上·广东·阶段练习）已知函数（是常数）在上的最大值是5，则的值可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（24-25高一上·上海·期末）已知函数 的最小值为，则 4．（23-24高一上·四川雅安·期中）已知函数. (1)当时，用定义法证明是上的增函数； (2)若的最小值为2，求的值. 【拓展训练一 函数单调性综合】 【例1】（24-25高一上·北京·期末）若，则（    ） A．最大值为6 B．最小值为 C．最大值为 D．最小值为2 【例2】（23-24高一上·广东佛山·期中）已知函数，． (1)若，证明：在上单调递增； (2)若在上是单调的，求的取值范围． 1．（23-24高一上·浙江·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高一上·山西太原·期中）已知函数对于一切实数，都有，当时，，，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．是增函数 D． 3．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）函数，若对于任意，当时，都有，则实数a的取值范围是 . 4．（22-23高一上·河北保定·期中）求解下列问题： (1)求函数的单调区间； (2)判断函数在上的单调性，并证明． 1．（2023·全国·三模）已知对于每一对正实数，，函数满足：，若，则满足的的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24高一上·湖南湘西·期末）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝ax（a为常数）并且f（﹣1）＝﹣1，则f（x）的单调增区间是（  　　） A．（﹣∞，2]和[2，+∞） B．（﹣∞，﹣1]和[1，+∞） C．[﹣2，2] D．[﹣1，1] 3．（2025高一·全国·专题练习）已知函数满足随增大而减小，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数在上单调递减，那么实数的取值的范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·福建泉州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）（24-25高一上·广东佛山·期中）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，的定义域为，且，下列选项可判断为单调函数的是（   ） A． B． C． D． 7．（多选题）（23-24高一上·山东·期中）已知函数，若任意且都有，则实数的值可以是（    ） A． B． C．0 D． 8．（多选题）（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）已知连续函数满足：①，都有；②当时，恒有；③.则以下说法正确的是（    ） A． B． C．函数在区间上的最大值为10 D．不等式的解集为 9．（多选题）（2024高一·全国·专题练习）已知函数在上的最大值比最小值大，则的值可以是（ ） A．4 B．12 C． D． 10．（多选题）（23-24高一上·江西吉安·期中）形如的函数，我们称之为“对勾函数”.“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在上的最大值比最小值大，则的值可以是（    ） A．4 B．12 C． D． 11．（24-25高一上·福建·期中）定义在上的函数满足：①；②；③当时，.则 ， . 12．（23-24高一上·天津宝坻·阶段练习）已知函数，则的单调递增区间为 . 13．（2025高一·全国·专题练习）设实数，若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为 ． 14．（24-25高一上·全国·单元测试）函数的单调递减区间为 ． 15．（2025高一·全国·专题练习）函数的最小值为 ． 16．（2025高一·全国·专题练习）设函数和的定义域为，且单调递增，，，若对任意的，不等式恒成立，试讨论，的单调性． 17．（23-24高一上·浙江·课后作业）已知函数，其中是非零实数，.求的单调区间. 18．（2025高一·全国·专题练习）设函数，求的取值范围，使函数在区间上是单调函数． 19．（23-24高一上·江苏·期中）已知函数. (1)求函数f(x)的单调区间和值域（直接写出结果，不需写出过程）； (2)若函数f(x)在区间[k，k+1]上最大值为，求实数k的值 20．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知 (1)判断并用定义法证明在上的单调性； (2)若在上的值域为，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 函数的单调性和最值重难点题型专训 （2个知识点+7大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 定义法判断或证明函数的单调性 题型二 求函数的单调区间 题型三 根据函数的单调性求参数值 题型四 根据图像判断函数单调性 题型五 复合函数的单调性 题型六 利用函数单调性求最值或值域 题型七 根据函数的最值求参数 拓展训练一 函数单调性综合 知识点一：函数单调性 1 函数单调性的概念 (1)增函数和减函数 一般地，设函数的定义域为，区间: 如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递增(左图).特别地，当函数在它定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递减(右图).特别地，当函数在它定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. 注 ① 在上单调递减，但它不是减函数. ② 的三个特征一定要予以重视．函数单调性定义中的有三个特征：一是任意性，即任意取，“任意”二字绝对不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定；三是同属一个单调区间，三者缺一不可． (2) 单调性 如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性．区间叫做函数的单调区间． 注 ① 这个区间可以是整个定义域也可以是定义域的一部分. ② 有的函数无单调性．如函数，它的定义域是，但无单调性可言． 2 单调性概念的拓展 ① 若递增，，则. ② 若递增，，则. 递减，有类似结论！ 3 判断函数单调性的方法 ① 定义法 解题步骤 (1) 任取，且； (2) 作差； (3) 变形(通常是因式分解和配方)； (4) 定号(即判断差的正负)； (5) 下结论(指出函数在给定的区间上的单调性)． ② 数形结合 ③ 性质法 增函数+增函数增函数，减函数+减函数减函数； 但增函数增函数不一定是增函数，比如，均是增函数，而不是. 【即时训练】 1．（24-25高一下·北京·开学考试）定义在上的函数是增函数，则系数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的单调性，结合函数定义域，列出不等关系，即可求得的范围. 【详解】二次函数的对称轴为，考虑到其定义域为，故. 故选：A. 2．（23-24高一上·浙江杭州·阶段练习）若定义在上的函数的图像如图所示，则其单调递减区间是 .    【答案】和 【分析】根据题意，结合图像，即可得到结果. 【详解】由图像可知，在和上单调递减， 则其单调递减区间是和. 故答案为：和 知识点二：函数的最值 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： (1) ，都有；(2)，使得； 那么，我们称是函数的最大值.(最小值类似定义) 简单来说，最大值和最小值分别是函数图像中最高点和最低点的函数值. 【即时训练】 1．（24-25高一上·湖南·阶段练习）若函数的最小值是8，则实数m的值为（   ） A．6或10 B．6或10 C．6或10 D．6或10 【答案】A 【分析】根据绝对值的几何意义求出最小值即可得解. 【详解】因为， 所以，解得或， 故选：A 2．（22-23高一上·贵州铜仁·期中）函数值域是，则实数的取值范围是 ； 【答案】 【分析】根据二次函数的值域，以及其单调性，结合已知条件，即可求得结果. 【详解】因为的对称轴为，故在单调递减，在单调递增， 又，，故. 故答案为：. 【经典例题一 定义法判断或证明函数的单调性】 【例1】（24-25高一上·全国·课后作业）若函数在上是减函数，且，则下列选项错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在上是减函数，，所以，A正确；又，所以，，B，C正确，D错误． 【例2】（24-25高一上·全国·课前预习）求证：函数在上是减函数，在上是增函数 【答案】证明见解析 【分析】根据函数单调性的定义，利用作差法，即可证明 【详解】对于任意的，且， . ， ，，. ，即. 函数在上是增函数. 对于任意的，且，有. ， ，，. ，即. 函数在上是减函数. 1．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知定义在区间上，值域为的函数满足：①当时，；②对于定义域内任意的实数a、b均满足：．则（    ） A． B． C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上单调递增 【答案】D 【分析】赋值：令代入可得，令代入可得函数为奇函数，再根据函数单调性定义可以证明函数在的单调性. 【详解】对A，令，则， ，即， 故，所以A不正确； 对B，取代入：， 即，即在上为奇函数， 设， 所以，且， 故： 即：，故B错误； 对C，由B知函数在上单调递增，故C错误； 对D，由C结合函数为奇函数且， 所以在上单调递增，故D正确. 故选：D. 2．（多选题）（24-25高一上·辽宁·期末）已知函数的定义域为，，且当时，，则（   ） A． B． C． D．是增函数 【答案】ABD 【分析】令可判断A；令得，通过迭代可判断B；举反例可判断C；令，结合条件可判断D. 【详解】对A，令，得，A正确． 对B，令，得， 所以， 据此类推可得，所以，B正确． 对C，令，则， 且定义域为，当时，，满足题意，C错误． 对D，令，则． 当时，．因为当时，，所以， 即，，所以是增函数，D正确． 故选：ABD 3．（24-25高一下·上海·阶段练习）定义在上的函数满足，且当时，，则 ． 【答案】 【分析】利用赋值法可得，，进而根据条件当时，得均有，即可赋值求解. 【详解】由，令，得， 令，得，所以， 由，令，得， 又当时，，又因为， 所以均有， 注意到，因此， 于是 . 故答案为：. 4．（2025高一·全国·专题练习）已知函数，试用定义探求的单调区间． 【答案】单调递增区间为和，单调递减区间为. 【分析】由可判断区间分界值为满足， 且的值，然后分别讨论. 【详解】设任取，且， ， （1）当时，， 所以，又， 所以，即， 所以在单调递增； （2）当时，，， 所以，又， 所以，即， 所以在单调递减； （3）当时，， 所以，又， 所以，即， 所以在单调递增； 所以单调递增区间是和，单调递减区间是. 【经典例题二 求函数的单调区间】 【例1】（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分段函数以及二次函数的单调性求解. 【详解】当时，， 则在单调递减，单调递增， 当时， 则在单调递增， 所以的减区间为， 故选：B. 【例2】（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列函数的图像（包括端点），分别指出这两个函数的单调区间，以及在每一个单调区间上函数的单调性． 【答案】答案见详解 【分析】根据图象结合单调性的定义分析求解. 【详解】对于图（1）可知：的单调区间为， 其中单调递减区间为，单调递增区间为； 对于图（2）可知：的单调区间为， 其中单调递增区间为，单调递减区间为. 1．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，则函数（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】D 【分析】先将分离常数得，再根据反比例函数的性质进行求解即可. 【详解】， 所以函数的图象可由反比例函数的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到. 因为在和上单调递减， 所以在和上单调递减. 故选：D 2．（23-24高二上·云南玉溪·期末）如果函数在区间上是增函数，且函数在区间上是减函数，那么称函数是区间上的“缓增函数”，区间叫做“缓增区间”.若函数是区间上的“缓增函数”，则“缓增区间”为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意求的增区间，再求的减函数，从而求缓增区间. 【详解】由二次函数的性质可得的增区间为， ∵， ∴， 令，得或，（或用对勾函数的单调性得单调区间） 即函数的减区间为和， 综上可得:函数的“缓增区间”为， 故选:B. 【点睛】本题主要考查了函数的性质应用，充分理解新定义是解题的关键，属于中档题. 3．（24-25高一上·广东茂名·期中）函数的单调递减区间为 . 【答案】、 【分析】作出函数的图象，可得出该函数的单调递减区间. 【详解】因为， 由此画出函数的图象如图所示， 由图可知，函数的单调递减区间为、.    故答案为：、. 4．（22-23高一上·重庆万州·期中）设函数，． (1)当时，用函数单调性定义求的单调递减区间； (2)直接写出时的单调减区间. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用定义取值作差后分类讨论定号，即可得递减区间； （2）直接写出单调减区间即可 【详解】（1）当时，， 设任意，则 当时， 则，， 所以，进而，所以， 所以，即， 所以在单调递减； 当时， 则，， 所以，进而，所以， 所以，即， 所以在上单调递增； 所以的递减区间是； （2）当时，， 所以的递减区间是， 【经典例题三 根据函数的单调性求参数值】 【例1】（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由变形得，构造函数,进而根据二次函数的单调性求参数. 【详解】由，得，则， 设函数，则对都有成立， 所以函数在区间上单调递增， 所以，解得，则. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将变形为，从而构造函数. 【例2】（2024高一·全国·专题练习）已知函数在上是增函数，求的取值范围. 【答案】 【分析】根据、、进行分类讨论：和时可直接判断，时根据对勾函数的单调性分析求解. 【详解】当时，是上的增函数，符合题意； 当时，，均为上的增函数，符合题意； 当时，在上是减函数，在上是增函数， 要使函数在上单调递增，则有，∴. 综上所述，的取值范围是. 1．（2025高一·全国·专题练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分，和讨论函数在上的单调性，即可得出答案. 【详解】当时，在上单调递增，满足题意， 当时，，满足题意， 当时，，由对勾函数的性质知， 若满足题意则，解得． 综上，. 故选：B． 2．（多选题）（23-24高一上·山东枣庄·阶段练习）若为定义在上的函数，满足对于任意的实数m，方程至多有两个解，且对任意，都有，则的值可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】设，可得，由已知条件可得，从而，求出的值，可得到函数的解析式，代值计算可得出的值. 【详解】由题意，为常数， 于是，且， 故，解得或， 当时，，则； 当时，，则. 故选：CD. 3．（2025高一·全国·专题练习）若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用定义法判断单调性，转化为不等式恒成立问题求解即可． 【详解】， 则 又在区间上是减函数， 所以在上恒成立，又，， 所以，即， 又，所以, 则 故答案为：． 4．（2025高一·全国·专题练习）已知函数在上单调递增，求的取值范围． 【答案】 【分析】根据单调性的定义可得，对等式进行因式分解，因为得到关于，的不等式，并将分离，求得的最小值即可. 【详解】设，因为在单调递增，根据单调性的定义可得， 所以，， 所以恒成立，则恒成立， 而，所以的取值范围为, 故恒成立即． 【经典例题四 根据图像判断函数单调性】 【例1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）函数的图象如图所示，则该函数的定义域和单调区间分别是    A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】根据函数定义域和单调区间的定义，即可由图象判断. 【详解】定义域是函数自变量的取值范围，为， 函数的单调递增区间有2个，不能用并集，并且单调区间是定义域的子集，即. 故选：D 【例2】（24-25高一上·上海·课堂例题）下图是定义在闭区间上的函数的图像，根据图像写出的单调区间，以及在每个单调区间上，是增函数还是减函数． 【答案】单调区间分别为，，，且在区间，上是减函数，在区间，上是增函数 【分析】观察图像得到单调区间即可，判断函数增减性即可. 【详解】由题中图像可以看出的单调区间分别为，，，， 且在区间，上是减函数，在区间，上是增函数． 1．（23-24高一上·山东泰安·期中）设函数，则（    ） A．的最大值为 B．在上单调递增，在上单调递减 C．的最小值为 D．在上单调递增，在上单调递减 【答案】B 【分析】作出函数的图象，逐项判断. 【详解】函数的定义域为，其图象如下图所示： 由图象知： A. 无最大值，故错误； B. 在上单调递增，在上单调递减，故正确； C. 无最小值，故错误； D. 在上单调递减，在上单调递增，故错误； 故选：B 2．（23-24高一上·上海静安·期中）已知函数，若，则（    ） A．在上是增函数 B．在上是减函数 C．在上是增函数 D．在上是减函数 【答案】C 【分析】求出，进而求出，即可求解. 【详解】，值域为， 令， ， 单调递增区间为. 故选:C. 【点睛】本题考查反函数以及复合函数的单调性，要注意函数定义域，属于中档题. 3．（23-24高一上·北京·阶段练习）函数的单调递减区间为 . 【答案】和/和 【分析】首先化简函数的解析式，然后结合函数的图像即可确定函数的单调减区间. 【详解】函数的解析式即：， 绘制函数图像如图所示， 观察函数图像可得函数的单调递减区间为和. 故答案为：和 【点睛】本题主要考查函数的单调区间的求解，函数图像的绘制，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 4．（23-24高一·全国·假期作业）求下列函数的单调区间． （1）f（x）＝3|x|； （2）f（x）＝|x2＋2x－3|． 【答案】（1）减区间为(－∞，0]，增区间为[0，＋∞)；（2）增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；减区间是(－∞，－3]，[－1，1]． 【分析】（1）化简函数为，作出函数的图象，即可求解； （2）作出的图象，进而得到函数的图象，即可求解． 【详解】（1）由题意，函数，图象如图所示， 所以函数f（x）的单调递减区间为(－∞，0]，单调递增区间为[0，＋∞)． （2）令， 作出的图象，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图象翻到x轴上方， 即可得到函数的图象，如图所示． 由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)； 函数的递减区间是(－∞，－3]，[－1，1]． 【经典例题五 复合函数的单调性】 【例1】（23-24高一上·安徽合肥·阶段练习）函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，求得函数的定义域，本题即求在定义域内的单调减区间，利用二次函数的性质可得在定义域 内的单调减区间． 【详解】令，求得，故函数的定义域为， 本题即求在内的减区间． 利用二次函数的性质开口向下，对称轴，可得在内的减区间为， 即函数的单调减区间为， 故选:B． 【例2】（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数的单调区间． 【答案】单调减区间为，单调增区间为 【分析】首先求函数的定义域，再结合复合函数的单调性，判断函数的单调性. 【详解】令，则函数． ∵，即，得， 即函数的定义域为． ∵的对称轴为直线， ∴当时，为增函数，∴函数为减函数， ∴函数的单调减区间为； 当时，为减函数，∴函数为增函数， ∴函数的单调增区间为． 1．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数在上单调递增，则的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数在上单调递增，则在上单调递增，根据复合函数的单调性“同增异减”求出函数在定义域内的递减区间即可． 【详解】因为函数在上单调递增，所以在上单调递增， 设， 由，解得或， 所以在上单调递减， 所以的单调减区间为. 故选：B. 2．（多选题）（23-24高一上·广东揭阳·阶段练习）下列四个函数中，在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】A. 由复合函数单调性原理判断；B.函数在上是先减后增；C. 时，是增函数；D.在上是减函数. 【详解】解：A. 由复合函数单调性原理得在上为增函数,符合题意； B. 的图象对称轴为，所以函数在上是先减后增，所以该选项不符合题意； C. 时，是增函数，所以该选项符合题意； D. 在上是减函数，所以该选项不符合题意. 故选：AC 3．（24-25高一上·辽宁·期中）若函数在上单调递减，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由对称轴，且当时，恒成立，可求的取值范围. 【详解】由题可得函数在上单调递减，所以对称轴， 又当时，恒成立，所以，解得. 综上：. 故答案为： 4．（24-25高一上·全国·单元测试）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，，求的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为和 (2) 【分析】（1）换元法设，则，根据复合函数单调性求解单调区间； （2）先判断函数奇偶性，结合（1）得函数的单调性得到不等式组解得参数取值范围. 【详解】（1）函数，设，则， 在区间和上单调递增，在区间和上单调递减， 又在上单调递减， 由复合函数单调性可得的单调递增区间为和，单调递减区间为和. （2）当时，函数的定义域关于原点对称，且，故为偶函数． 由（1）得在区间上单调递减，在区间上单调递增， 由可得解得， 即的取值范围为． 【经典例题六 利用函数单调性求最值或值域】 【例1】（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】求解函数的定义域，并对进行平方，进而判断其单调性，得到最值． 【详解】由题意得函数的定义域满足，且， 解得，则函数的定义域为． 由得， 则在区间内的最大值为，最小值为． 易知函数在区间内单调递增，在区间内单调递减， 所以函数在区间内单调递增，在区间内单调递减， 则函数在处取得最大值，即， 又， 所以函数的最小值为6，即． 所以． 故选：A 【例2】（2025高一·全国·专题练习）已知，若的最小值为，写出的表达式． 【答案】 【分析】讨论函数的对称轴和区间的位置关系，即可得最值． 【详解】由题意可知，函数的图象的对称轴为直线． ①当，即时，如图1所示，函数在区间上单调递减， 所以最小值，即． ②当，即时，如图2所示，最小值． ③当时，如图3所示，函数在区间上单调递增，所以最小值． 综上，． 1．（2025高二下·湖南·学业考试）已知函数，若当时，的值域也是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的单调性建立方程，再利用对勾函数单调性求解. 【详解】函数在上单调递增，依题意，，而， 因此在上有两个不等的实根，即有两个不等的正根， 函数在上单调递减，函数值集合为； 在上单调递增，函数值集合为，由方程有两个不等的正根， 得直线与函数在上的图象有两个交点，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 2．（多选题）（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）下列函数中，值域为的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【分析】由函数的单调性逐项分析即可； 【详解】A，为递增函数，所以，故A正确； B，在上为开口向下的递减函数，所以，故B错误； C，为在定义域上为递增函数，所以，故C正确； D，在为减函数，所以，故D正确； 故选：ACD. 3．（2025高二·全国·专题练习）函数满足，若在区间内的最大值为5，则最小值为 ． 【答案】0 【分析】根据求出的解析式，结合函数的单调性即可求解. 【详解】因为， 所以，在上单调递增. 因为在区间内的最大值为5， 则， 所以，. 故答案为： 4．（2025高一·全国·专题练习）求函数的值域. 【答案】 【分析】当时，得，当时，得，令，通过换元进行求解． 【详解】当时，得， 当时，得， 令，得， 因为且，所以函数在和上单调递增， 得或， 则或， 综上知，函数的值域为： 【经典例题七 根据函数的最值求参数】 【例1】（24-25高二下·宁夏石嘴山·阶段练习）若函数在区间上的最大值为3，则实数（   ） A． B．1 C．3 D． 【答案】C 【分析】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类研究即可. 【详解】函数， 当时，在上单调递减，最大值为； 当时，在上单调递增，最大值为，解得，不合题意， 所以实数. 故选：C 【例2】（23-24高一上·上海静安·阶段练习）已知函数的值域为，求实数的值. 【答案】 【分析】根据区间和对称轴的位置进行分类讨论，结合函数的单调性和已知，求出实数的值. 【详解】，它的对称轴为：. 当时，函数在时，是单调递减函数，由题意可知： 方程无实数解； 当时，函数在时，是单调递增函数，由题意可知： 是方程的两根，因为，所以； 当时，函数的最小值为：，由题意可知：，这与相矛盾，故不存在这种情况，综上所述：. 【点睛】本题考查了已知函数的定义域和值域求参数问题，考查了分类讨论思想，考查了二次函数的单调性的应用，考查了数学运算能力. 1．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）若函数在上的最大值为，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】分、和三种情况讨论，研究其单调性，根据最大值建立方程求解即可. 【详解】因为，所以当时，在上单调递减， 则，解得，与矛盾，不符合题意； 当时，根据对勾函数单调性可知， 函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，函数在上单调递增，则在上单调递减， 所以，解得，符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得，与矛盾，不符合题意； 综上所述，. 故选：D 2．（多选题）（23-24高一上·广东·阶段练习）已知函数（是常数）在上的最大值是5，则的值可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】AB 【分析】先化简解析式，再对参数进行分类讨论，即可求解. 【详解】令（是常数）， 因为，所以. 若，的最大值为5，符合题意； 当时，的最大值为与中较大的数，由， 即，解得， 显然当时，的最大值为5，当时，的最大值不为定值. 综上，当时，在上的最大值是5，结合选项可知，的值可能是0或1， 故选AB. 3．（24-25高一上·上海·期末）已知函数 的最小值为，则 【答案】或3 【分析】根据给定条件，按分类讨论求出最小值即可得解. 【详解】当时，在上单调递增， 当时，，解得，因此； 当时，，，解得或，无解； 当时，在上单调递减， 当时，，解得，因此， 所以或. 故答案为：或3 4．（23-24高一上·四川雅安·期中）已知函数. (1)当时，用定义法证明是上的增函数； (2)若的最小值为2，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）利用单调性的定义证明即可； （2）先利用单调性的定义判断单调性，然后利用单调性求解最值，利用最值建立方程求解即可. 【详解】（1）设，则 ， 因为，所以，所以，， 则，所以， 故是上的增函数. （2）当时，由得的定义域为， 设，则 ， 因为，所以，所以，， 则，所以，故是上的增函数. 所以，即，满足条件； 当时，由得的定义域为， 设，则 ， 因为，所以，所以，， 则，所以，故是上的增函数. 所以，即，满足条件；综上，或. 【拓展训练一 函数单调性综合】 【例1】（24-25高一上·北京·期末）若，则（    ） A．最大值为6 B．最小值为 C．最大值为 D．最小值为2 【答案】C 【分析】利用函数的单调性求解. 【详解】任取， 则， 因为，所以，，故， 所以即， 所以在单调递增；同理可证在单调递减， 所以. 故选：C. 【例2】（23-24高一上·广东佛山·期中）已知函数，． (1)若，证明：在上单调递增； (2)若在上是单调的，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用定义法可证得结论； （2）分别讨论、和，结合二次函数单调性可求得结果. 【详解】（1）当时，， 设，则， ，，， 在上单调递增. （2）当，即时，在上单调递增，满足题意； 当，即时，是开口方向向上，对称轴为的抛物线， 若在上单调，则，解得：； 当，即时，是开口方向向下，对称轴为的抛物线， 若在上单调，则，解得：（舍）； 综上所述：实数的取值范围为. 1．（23-24高一上·浙江·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先求解出函数的定义域，然后根据二次函数的单调性以及复合函数单调性的判断方法求解出函数的单调递增区间. 【详解】因为，所以或，所以定义域为， 又的对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故选：A. 【点睛】思路点睛：复合函数的单调性的判断方法： （1）先分析函数定义域，然后判断外层函数的单调性，再判断内层函数的单调性； （2）当内外层函数单调性相同时，则函数为递增函数； （3）当内外层函数单调性相反时，则函数为递减函数. 2．（多选题）（24-25高一上·山西太原·期中）已知函数对于一切实数，都有，当时，，，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．是增函数 D． 【答案】AD 【分析】令，，结合可求得，可判断A；令，可判断B；令，由可判断C. 令，由可判断D； 【详解】对于A，令，，则； 由时，得：，，A正确； 对于B，令，得，B错误， 对于D，令，则； 当时，，，， 对于任意，，D正确； 对于C，设， ； ，，即，又， ，在上单调递减，C错误. 故选：AD 3．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）函数，若对于任意，当时，都有，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】由，可得，构造新函数，易知在上单调增加，根据单调性即可得到实数a的取值范围. 【详解】不妨设，因为对于任意， 当时，都有，即， 所以在上恒成立. 令，则当时，恒有， 即在上单调递增， 当，即时，显然符合题意， 当时，由对勾函数性质可知，在上单调递增， 由题意可得，解得或. 综上，. 故答案为：. 4．（22-23高一上·河北保定·期中）求解下列问题： (1)求函数的单调区间； (2)判断函数在上的单调性，并证明． 【答案】(1)增区间为，减区间为 (2)在上单调递减，证明详见解析. 【分析】（1）先求得函数的定义域，然后根据复合函数的单调性同增异减求得函数的单调区间. （2）利用函数单调性的定义证得的单调性. 【详解】（1）由得， 解得，函数的图象开口向下，对称轴为， 根据复合函数的单调性同增异减可知， 函数的增区间为，减区间为. （2）在上单调递减，证明如下： 任取， ， 其中， 所以， 所以在区间上单调递减. 1．（2023·全国·三模）已知对于每一对正实数，，函数满足：，若，则满足的的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】利用递推式判断在上的符号及单调性，并得到，即可判断的个数. 【详解】令且均属于，则，又， 所以， 所以当， ， 所以，满足仅有，即仅有1个. 故选：A 2．（23-24高一上·湖南湘西·期末）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝ax（a为常数）并且f（﹣1）＝﹣1，则f（x）的单调增区间是（  　　） A．（﹣∞，2]和[2，+∞） B．（﹣∞，﹣1]和[1，+∞） C．[﹣2，2] D．[﹣1，1] 【答案】D 【分析】根据f（﹣1）＝﹣1得到计算，计算函数表达式为 ，，根据复合函数单调性得到函数单调区间，再利用奇函数性质得到答案. 【详解】f（x）是定义在R上的奇函数，f（﹣1）＝﹣1，则即 设则，， 即 当， 根据复合函数单调性得到函数在上单调递增 函数为奇函数，故函数在上单调递增 故选： 【点睛】本题考查了函数的单调区间，意在考查学生对于函数性质的综合应用. 3．（2025高一·全国·专题练习）已知函数满足随增大而减小，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过，，三种情况讨论即可. 【详解】当，，显然符合， 当时，函数图象为开口向下的抛物线，在单调递增，不符合， 当时，函数图象为开口向上的抛物线，在单调递减，此时需满足 ， 即， 综上实数的取值范围是， 故选：C 4．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数在上单调递减，那么实数的取值的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别讨论、、和情况下，单调性及的正负，综合分析，即可得答案. 【详解】当时，在上单调递增，且， 所以在上单调递减，符合题意， 当时，无单调性，不符合题意， 当时，在上单调递减，且，不符合题意， 当时，在上单调递减，，符合题意， 还需，解得， 综上实数的取值的范围是. 故选：A 5．（24-25高一上·福建泉州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数单调性可得函数的值域. 【详解】由得且. ∵在上为减函数，在上为增函数， ∴在上均单调递减. 当且时，，当时，， ∴函数的值域为. 故选：D. 6．（多选题）（24-25高一上·广东佛山·期中）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，的定义域为，且，下列选项可判断为单调函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据函数单调性的定义即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，当时，，故为减函数，A正确． 对于B，由，得， 因为，所以，即，所以为增函数，B正确． 对于C，由可得，故，所以为增函数，C正确． 对于D，易得或不是单调函数，D错误． 故选：ABC 7．（多选题）（23-24高一上·山东·期中）已知函数，若任意且都有，则实数的值可以是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】ABC 【分析】根据函数单调性的定义，整理不等式，构造函数，根据一次函数与二次函数的性质，可得答案. 【详解】不妨令，因为，所以，即， 令，则，因为，所以在上单调递减， 当时，符合题意；当时，则，解得：， 综上所述：实数的取值范围是，显然. 故选：ABC. 8．（多选题）（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）已知连续函数满足：①，都有；②当时，恒有；③.则以下说法正确的是（    ） A． B． C．函数在区间上的最大值为10 D．不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】根据赋值法，函数的单调性，针对各个选项分别求解即可. 【详解】对于A，，都有， 令，可得，故A选项正确； 对于B，再令，可得， 再令，可得， 同理可得， ，故B选项正确； 对于C，设，则， ， 在R上单调递减， 在区间上的最大值为， 对中， 令，可得， ，又，， 在区间上的最大值为，故C选项错误； 对于D， ， ， ，又在R上单调递减， ，解得故D选项正确； 故选：ABD. 9．（多选题）（2024高一·全国·专题练习）已知函数在上的最大值比最小值大，则的值可以是（ ） A．4 B．12 C． D． 【答案】AD 【分析】根据对勾函数的单调性，对进行分类讨论，从而得到的可能取值. 【详解】依题意可得在上单调递减，在上单调递增， 当，即时在上单调递增，所以， ， 所以，解得； 当，即时，在上单调递减，所以， ， 所以，解得，不符合题意，故舍去； 当，即时在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 若且，即，， 所以，解得或，两个解均舍去； 若且，即，， 所以，解得或（舍去）； 综上可得或. 故选：AD 10．（多选题）（23-24高一上·江西吉安·期中）形如的函数，我们称之为“对勾函数”.“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在上的最大值比最小值大，则的值可以是（    ） A．4 B．12 C． D． 【答案】AD 【分析】依题意得到函数的单调性，再分、、三种情况讨论，分别求出函数的最值，即可得到方程，解得即可. 【详解】依题意可得在上单调递减，在上单调递增， 若，即时在上单调递增，所以， ， 所以，解得； 若，即时在上单调递减，所以， ， 所以，解得（舍去）； 当，即时在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 若且，即，， 所以，解得或（舍去）； 若且，即，， 所以，解得或（舍去）； 综上可得或. 故选：AD 11．（24-25高一上·福建·期中）定义在上的函数满足：①；②；③当时，.则 ， . 【答案】 1 / 【分析】利用赋值法可求得,，再由函数单调性可知在上是不减函数，代入计算可得结果. 【详解】在②中令得，在①中令得， 在①中令得，在②中令得， 又知是不减函数，所以，. 故. 故答案为：1， 12．（23-24高一上·天津宝坻·阶段练习）已知函数，则的单调递增区间为 . 【答案】， 【分析】根据绝对值的符号分类讨论，利用二次函数的单调性判断即可. 【详解】当时，， 函数图像对称轴方程为，开口向下，此时的单调递增区间为； 当时，， 函数图像对称轴方程为，开口向下，此时的单调递增区间为. 综上，的单调递增区间为，. 故答案为：， 13．（2025高一·全国·专题练习）设实数，若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】令，分、两种情况讨论，可知对任意成立，分析函数在上的单调性，可得出关于实数的不等式组，综合可求得实数的取值范围. 【详解】令，分以下两种情况讨论： （ⅰ）当时，对任意成立， 由于函数在区间上是减函数，则在区间上是增函数， 所以实数应满足，即； （ⅱ）当时，对任意成立， 由于函数在区间上是减函数，则在区间上是减函数， 所以实数应满足解得，所以． 综上所述，实数的取值范围为． 故答案为：． 14．（24-25高一上·全国·单元测试）函数的单调递减区间为 ． 【答案】 【分析】根据复合函数的定义域和单调性求解即可. 【详解】由，解得， 所以的定义域为， 令，， 因为在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为， 故答案为： 15．（2025高一·全国·专题练习）函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】先确定定义域，再分别分析定义域内不同区间函数的单调性，进而求出最小值． 【详解】函数的定义域为． ①当时，因为与在上均是增函数， 所以在上是增函数，故； ②当时，， 因为与在上均是增函数， 所以在上是增函数，且最大值为， 故在上是减函数， 所以在上是减函数， 故． 综上，函数的最小值为． 故答案为：． 16．（2025高一·全国·专题练习）设函数和的定义域为，且单调递增，，，若对任意的，不等式恒成立，试讨论，的单调性． 【答案】，均为增函数． 【分析】设，由函数单调性的定义，根据单调递增，得，由得，再利用函数单调性的定义判断，的单调性． 【详解】设，由于单调递增，则， 由，得，即， 所以，即 则由①得， 由②． 故，均为增函数． 17．（23-24高一上·浙江·课后作业）已知函数，其中是非零实数，.求的单调区间. 【答案】当时，在，上递增，在，递减；当时，在，上单调递减. 【分析】求定义域，对分和讨论，当时，为对勾函数，得到单调区间，当和可根据单调性的性质得到单调区间. 【详解】函数的定义域为， 当时，为对勾函数.在单调递增， 在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增. 当时，，在，上单调递减. 故当时，在，上递增， 在，递减； 当时，在，上单调递减. 【点睛】本题考查了函数的单调性，单调性的性质，对勾函数的单调区间，还考查了分类讨论思想，属于中档题. 18．（2025高一·全国·专题练习）设函数，求的取值范围，使函数在区间上是单调函数． 【答案】 【分析】设，由题意可得或在上恒成立，即或在上恒成立，求出的取值范围即可得答案. 【详解】解：设， 则 ， 因为，即， 要使函数在区间上是单调函数， 则或在上恒成立， 即或在上恒成立， 即或在上恒成立， 又因为，，， 所以， 所以当，或时，单调． 故a的取值范围为． 19．（23-24高一上·江苏·期中）已知函数. (1)求函数f(x)的单调区间和值域（直接写出结果，不需写出过程）； (2)若函数f(x)在区间[k，k+1]上最大值为，求实数k的值 【答案】(1)答案见解析 (2)或 【分析】（1）根据解析式画出函数图象即可求出； （2）分别讨论三种情况，根据函数的单调性建立关系可求出. 【详解】（1）的定义域为， 当时，即时，， 当时，即或时，， 画出函数图象如下： 由图可知，的单调递增区间为，，单调递减区间为， 的值域为； （2）当，即时，在单调递增， 则，则，解得； 当时，因为，所以在单调递减，在单调递增，则， 又，所以，即，解得； 当时，在单调递增，所以， 因为恒成立，所以此时无解. 综上，或. 20．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知 (1)判断并用定义法证明在上的单调性； (2)若在上的值域为，求的取值范围． 【答案】(1)单调递减，证明见解析 (2) 【分析】（1）借助对勾函数判断函数单调性，并根据函数单调性的定义证明函数的单调性； （2）由（1）结论，确定，的取值范围，借助的解可求出的取值范围. 【详解】（1）当时，（当且仅当时取得最大值） 函数在单调递增，在上单调递减，理由如下： ，且，则 ． 当时，，， 又，， 所以即， 所以在上单调递增， 当时，， 又，， 所以即， 所以在上单调递减， （2）因为在上的值域为， 所以由（1）知， 令，即，解得或， 当时，，则有， 当时，，则有， 综上所述，的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $