2.4 第1课时 函数的奇偶性与简单幂函数（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

§4　函数的奇偶性与简单的幂函数 4．1　函数的奇偶性 4．2　简单幂函数的图象和性质 课程内容标准 学科素养凝练 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2．学会利用图象理解和研究函数的性质． 3．掌握判断函数奇偶性的方法． 4．通过具体实例，结合y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数． 1.通过函数奇偶性概念的学习，形成数学抽象、数形结合、逻辑推理的核心素养． 2．通过对幂函数图象与性质的学习与应用，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养． 第一课时　函数的奇偶性与简单幂函数 1．一般地，设函数f(x)的定义域是D，如果对任意的x∈D，有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么称函数f(x)为奇函数．奇函数的图象关于原点对称，反之亦然． 2．一般地，设函数f(x)的定义域是D，如果对任意的x∈D，有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么称函数f(x)为偶函数．偶函数的图象关于y轴对称，反之亦然． 3．当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称f(x)具有奇偶性．奇函数和偶函数的定义域关于原点对称． 幂函数 y＝xα(α为常数) α>0 α<0 性质 图象过点(0，0)和点(1，1) 图象都过点(1，1) 在第一象限内，函数值随x的增大而增大，即在(0，＋∞)上是增函数 在第一象限内，函数值随x的增大而减小，即在(0，＋∞)内是减函数 在第一象限内，当α>1时，图象下凸；当0<α<1时，图象上凸 在第一象限内，图象都下凸 α是奇数时，幂函数为奇函数；α是偶数时，幂函数是偶函数 幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内，必出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．(　×　) (2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．(　×　) (3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数．(　×　) (4)幂函数的图象必过点(0，0)和(1，1)．(　×　) (5)幂函数的图象可以出现在平面直角坐标系中的任意一个象限．(　×　) 2．下列函数是偶函数的为(　　) A．y＝x　　　　　 B．y＝3x2 C．y＝x－1　　　　　　　 D．y＝|x|(x∈[0，1]) B　[选项A，C中的函数是奇函数，选项B中的函数是偶函数，选项D中的函数既不是奇函数，也不是偶函数．] 3．函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于(　　) A．－1　　　　　　　 B．0 C．1　　　　　　　 D．无法确定 C　[∵奇函数的定义域关于原点对称， ∴a＝－(－1)＝1.] 4．若f(x)为R上的偶函数，且f(2)＝3，则f(－2)＝______． 3　[∵f(x)为R上的偶函数， ∴f(－2)＝f(2)＝3.] 5．若f(x)＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α的取值范围是__(0，＋∞)__． [知能解读]　 1．奇、偶函数定义域的特点 由于f(x)和f(－x)都有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称． 2．奇、偶函数的对应关系的特点 (1)奇函数有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1(f(x)≠0). (2)偶函数有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1(f(x)≠0). 3．函数奇偶性的三个关注点 (1)若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数． (2)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空集合． (3)函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数． 4．还可以用如下性质判断函数的奇偶性 (1)偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数； (2)奇函数的和、差仍为奇函数； (3)奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数； (4)一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数． 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝； (2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|； (3)f(x)＝. 解　 (1)f(x)的定义域是R，关于原点对称． 又f(－x)＝＝－＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数． (2)f(x)的定义域是R，关于原点对称． 又f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函数． (3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数． [训练1]　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝； (2