专题2.2.2 函数的表示法（高效培优讲义）数学北师大版高一必修第一册

本讲义聚焦函数的表示法这一核心知识点，系统梳理函数的解析法、列表法、图象法三种表示方法及其优缺点，详解求解析式的直接代入、待定系数、配凑、换元等常用方法，深入剖析分段函数的概念、求值及图象绘制，并关联实际问题的函数模型建立，形成从基础表示到方法应用再到实际建模的递进式学习支架。 该资料通过表格对比三种表示法的特点，结合“即学即练”和典例变式设计，引导学生用数学眼光观察现实问题（如矩形周长与边长关系），用数学思维进行逻辑推理（如分段函数分类讨论求自变量），用数学语言构建模型（如实际问题中确定定义域）。课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过练习题强化，有效查漏补缺。

专题2.2.2函数的表示法 教学目标 掌握函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法，理解三种表示法各自优缺点； 掌握求函数解析式的常用方法：直接代入法、配凑法、换元法、待定系数法； 理解分段函数的概念，会写分段函数解析式、会画分段函数图象，会求分段函数函数值； 能根据实际问题建立函数模型，写出实际问题的函数（注意实际定义域）。 教学重难点 1.重点 函数三种表示方法辨析； 求函数解析式（待定系数、换元、配凑）； 分段函数概念，分段函数求值、画分段函数图像。 2.难点 换元法、配凑法求抽象函数解析式； 分段函数理解：分段函数是一个函数，不是多个函数； 分段函数已知函数值求自变量（分类讨论，检验解是否属于对应区间）； 实际应用问题中，建立函数同时确定实际定义域。 知识点 1：函数的三种表示方法 表格 表示法 定义 优点 缺点 解析法 用等式（解析式）表示两个变量之间对应关系 简明全面，可以计算任意自变量对应的函数值 部分函数难以写出解析式 列表法 表格列出自变量与对应函数值 直接读取对应函数值，不用计算 只能表示有限个自变量，不能反映整体规律 图象法 用平面直角坐标系中图形表示函数 直观形象，观察函数变化趋势 很难精确求出函数值 注意：同一个函数，可以用多种方式表示。 【即学即练】 一个矩形的周长是10，则矩形的长关于宽的函数解析式为（  ）（默认） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的周长可列出之间的关系式，求出x的范围，即得答案. 【详解】由题意可得，则， 其中，则，则， 故矩形的长关于宽的函数解析式为. 故选：A 知识点 2：求函数解析式常用方法 直接代入法：已知f(x)，求f(g(x))，把g(x)整体替换f(x)中的x。 待定系数法：已知函数类型（一次、二次等），设解析式，代入条件求系数。 配凑法：已知f[g(x)]表达式，把右侧配凑成关于g(x)的式子，整体替换得到f(x)。 换元法：令t=g(x)，解出x，代入原式，得到f(t)，再改写为f(x)；必须注意新元t的取值范围，即f(x)定义域。 ⚠易错：换元之后一定要写新变量的范围，否则定义域出错。 【即学即练】 已知为二次函数，且，，求函数解析式； 【答案】 【分析】由题意，设二次函数，利用待定系数法求解即可. 【详解】由题意知，设二次函数解析式为， 由，得， 由，得， 即，所以，解得， 所以函数的解析式为. 知识点 3：分段函数 定义：在定义域不同部分，有不同对应法则的函数，叫做分段函数。 关键：分段函数是一个函数，不是几个函数，定义域是各段自变量取值的并集。 分段函数求值：先判断自变量属于哪一段区间，再代入该段解析式计算。 已知分段函数函数值求自变量：分段分类解方程，求出解之后必须检验解是否落在本段的自变量范围，舍去不在区间的解。 分段函数图像：每一段分别画，注意区间端点空心、实心点。 【即学即练】 函数 ，则 ；若，则= ． 【答案】 【详解】试题分析：，所以；若，转化为，或，解得，或，所以． 考点：分段函数 知识点 4：实际问题的函数表示 根据题意找到变量，建立函数解析式； 除解析式约束，自变量必须满足现实实际意义，写出实际定义域。 【即学即练】 如图，为直角梯形，，，，，记梯形位于直线左侧的图形的面积为，则函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，当时，，则， 当时，， 所以，显然只有C满足. 题型 01：函数三种表示法的辨析 【典例1】周末某同学到漯湾古镇游玩，他骑行共享单车匀速由学校前往，前进，疲惫不堪，休息半小时后，沿原路返回，归途中又觉得不能半途而废，便调转车头继续向漯湾古镇方向前进，则该同学离起点 (学校) 的距离 与时间 的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据该同学在行进过程中的前进方式的不同，直接确定对应函数图象即可. 【详解】第一段时间，该同学骑行共享单车由学校往漯湾古镇方向匀速骑行，前进了，则该同学离起点(学校)的距离与时间的函数图象应是一段上升的线段； 第二段时间休息了半小时，随时间变化，该同学离起点的距离并没有发生变化，因此该同学离起点(学校)的距离与时间的函数图象应是一条平行于x轴的线段； 第三段时间，原路返回，其距离起点应越来越近，因此该同学离起点(学校)的距离与时间的函数图象应是一段下降的线段； 第四段时间，调转车头继续向漯湾古镇方向前进，该部分对应的图象应和第一段时间的相似； 因此只有C选项符合. 故选：C. 【变式1】已知函数，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】，，则． 【变式2】如图，是某个函数的图象，则该函数的解析式__________； 【答案】 【分析】根据分段函数图象，用待定系数法求解即可. 【详解】当时，设函数为，当时，解得； 当时，设函数为， 当时，时，解得，. 所以. 故答案为： 【点睛】本题考查利用函数图象求解析式，考查待定系数法，是基础题. 【变式3】已知函数，分别由下表给出：则方程的解可以表示为（    ） 1 2 3 4 3 4 1 2 4 3 2 3 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BD 【分析】根据表格中的对应关系，由外及内即可. 【详解】∵，∴， ∴或4. 故选：BD 题型 02 分段函数含参 【典例1】已知函数若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，. 若，即，，解得. 若，即，，解得. 综上所述，. 【变式1】已知实数，函数若，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时,1-a>1,1+a<1,所以=,=,因为，所以,即,解得,所以a的取值范围是,故选B. 点睛:本题考查分段函数的解析式以及性质问题,属于中档题目.若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同,这种形式的函数叫分段函数.由题意可知自变量和的所属区间,代入解析式可求得与的函数表达式,将原不等式转化为关于a的一元二次不等式,求出解集即可. 题型 3：待定系数法求解析式 【典例1】已知为二次函数，且，，求函数解析式； 【答案】 【分析】由题意，设二次函数，利用待定系数法求解即可. 【详解】由题意知，设二次函数解析式为， 由，得， 由，得， 即，所以，解得， 所以函数的解析式为. 【变式1】已知二次函数满足，且对任意，总有，求． 【答案】. 【分析】设，根据，可解出c的值，根据解析式，可求得的解析式，代入方程，即可得结果. 【详解】设， ∵， ∴，即 ∴f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋(2a＋b)x＋a＋b， f(x)＋x＋1＝ax2＋bx＋x＋1＝ax2＋(b＋1)x＋1. ∴　解得 ∴. 【点睛】本题考查待定系数法求函数的解析式，考查分析计算的能力，属基础题. 【变式2】  已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式. 【答案】 【分析】设，由可求得；由可构造方程组求得，由此可得. 【详解】由题意可设：， 由得：； 由得：， 整理可得：， ，解得：， 【变式3】（1）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式； （2）已知，求的解析式． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）设出函数解析式，利用待定系数法求解即得. （2）根据给定条件，利用方程法求解即得. 【详解】（1）由是二次函数，设， 由，得，由，得， 化简并整理得，因此，解得， 所以. （2）用替换中的x，得， 由，解得， 所以. 题型 4：配凑法、换元法求f(x) 【典例1】已知，则函数的解析式为（ ） A． B． C．（） D．（） 【答案】D 【详解】令,则, 已知, 所以, 所以. 【变式1】已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知，令，则，因为，则， 则， 所以. 【变式2】 若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据换元法求解即可. 【详解】令，，则， . . 【变式3】已知函数，则的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法求解函数的解析式逐一判断即可. 【详解】令，则， 由，得. 所以. 题型 5：分段函数求函数值 【典例1】已知函数，则____________． 【答案】 【分析】利用分段函数时的递推关系，将转化为区间内的，再代入对应解析式计算； 【详解】由题意可得：. 【变式1】已知函数，则_________． 【答案】 【解析】利用函数的解析式由内到外逐层计算可得的值. 【详解】，，因此，. 故答案为：. 【变式2】设函数，则___________. 【答案】6 【分析】根据给定的分段函数，依次判断代入计算作答. 【详解】函数，则， 所以. 故答案为：6 【变式3】设函数，则______． 【答案】6 【分析】根据分段函数先求出，再求出即可. 【详解】解:由题知，， 所以 ， 所以. 故答案为:6 1．已知函数，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】，，则． 2．设，则，且__________. 【答案】0 【分析】由函数解析式，直接代入运算得解. 【详解】. 故答案为：0. 3．设函数则__________. 【答案】1 【分析】分段函数求值，根据自变量的取值范围代入相应的对应关系. 【详解】当时，， 则. 故答案为：1 4．已知函数则______. 【答案】5 【分析】根据分段函数解析式，先求，再求即得. 【详解】因，则， 又，故. 故答案为：5. 5．函数的值域是___________． 【答案】 【分析】分别求出和的值域，进而求解. 【详解】当时，．当时，． 故函数的值域是． 故答案为：. 6．已知函数f(x)=，则函数的定义域为________，值域为________. 【答案】 R [0，1] 【分析】根据分段函数各段的定义域求并集可得分段函数的定义域，各段的值域求并集可得分段函数的值域， 【详解】由已知得，f(x)的定义域为[-1，1]∪(1，+∞)∪(-∞，-1)=R， 又x∈[-1，1]时，x2∈[0，1]，故函数的值域为[0，1]. 故答案为：R；[0，1]. 【点睛】本题考查了分段函数的定义域，考查了分段函数的值域，属于基础题. 7．已知两个函数，． (1)当时，求的解析式； (2)当时，求的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】根据复合函数的定义写出解析式． 【详解】（1）当时，，故； （2）当时，，故． 8．已知函数 (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）根据，分，和三种情况讨论即可得出答案； （2）分，和三种情况讨论，解不等式即可. 【详解】（1）解：①当时，， 解得，不合题意，舍去； ②当时，，即， 解得或， 因为，，所以符合题意； ③当时，， 解得，符合题意； 综合①②③知，当时，或； （2）解：由， 得或或， 解得或， 故所求m的取值范围是. 9．已知函数，求使得的自变量的取值范围． 【答案】 【分析】分别讨论和两种情况，代入不同的解析式，求得各自解集，综合即可得答案. 【详解】当时，，解得或（舍），所以， 当时，，解得，所以， 综上：自变量的取值范围为 10．已知函数是增函数． (1)求实数的取值范围； (2)解不等式 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由分段函数的单调性求解 （2）根据函数的单调性转化不等式后求解 【详解】（1）因为在上是增函数，所以在都单调递增． 当即时，在单调递增； 当时，在单调递增； 在处，，解得． 综上所述，的取值范围为． （2）因为在上是增函数，所以等价于， 化简为，解得或． 所以不等式的解集为． 1．已知函数，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分段讨论函数的单调性，综合可得函数在上为减函数，若，则有，解可得的范围，即可得答案． 【详解】解：根据题意，函数， 当时，，则函数在上单调递减函数，有， 当时，，则函数在上单调递减函数，有， 综合可得函数在上为减函数， 若，则有， 解可得， 即实数的取值范围为； 故选：． 【点睛】 本题考查分段函数的应用，关键是分析分段函数的单调性，属于中档题． 2．已知函数，则的解集为　　 A． B． C．， D． 【答案】A 【分析】讨论或，由分段函数可得x的不等式组，解不等式即可得到所求解集． 【详解】当，即，即有，解得； 当，即，即有，解得， 综上可得的解集为． 故选A． 【点睛】本题考查分段函数的应用：解不等式，考查分类讨论思想方法和运算能力，属于基础题． 3．已知函数,若，则的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定函数单调性，再根据单调性化简不等式，最后解一元一次不等式得结果. 【详解】由题意知f(x)在R上是减函数，∴2－x＜x，∴x＞1,故选C. 【点睛】本题考查分段函数的单调性以及利用函数的单调性解不等式问题，考查分析判断与求解能力. 4．设函数；若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出函数图象，判断函数单调性，结合解一元二次不等式，即得答案. 【详解】作出函数的图象，如图：    可知函数在R上为单调递增函数， 故由可得，即， 解得或， 即实数a的取值范围是, 故选：A 5．若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】将代入函数解析式计算得解. 【详解】将代入， 得到，解得. 故选：B. 6．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法，令，，代入化简即可求解. 【详解】令，则，因为，所以， 由，可得， 所以． 7．已知定义在上的函数满足对于任意实数x，y均有，且，则（    ） A．677 B．1354 C．2027 D．4054 【答案】D 【分析】由x、y任意性得到，进而推出是常函数且设，再结合可得即可求. 【详解】由、xyx、y任意性可得， 当，时，，故是常函数， 所以当时，，其中c为常数， 由，得，解得，所以， 所以. 8．已知函数的定义域为，对任意的实数，都满足，则下列选项一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令求出，由题中所给等式通过取特殊值可分别求出、，相加即可. 【详解】令，得，解得， 令，得，所以， 由题意知，所以， 所以. 9．若，，则（    ） A．50 B．55 C．99 D．101 【答案】D 【分析】解法一：通过多次对赋特殊值，依次求出后，结合赋值推导；解法二：先令得到相邻自变量的函数值差的递推式，通过累加法建立与的关系求解；解法三：先根据函数方程和初始条件确定符合题意的具体函数解析式，直接代入计算结果. 【详解】解法一：（赋值）令得，所以； 令得，所以； 令得，所以； 令得，所以； 令，得，所以； 令，得，所以． 解法二：（赋值递推）令得，所以， 所以，累加得， 所以． 解法三：（抽象函数具体化）观察发现满足题意且， 所以． 10．已知函数对任意实数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，可得， 因为，所以， 则. 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2.2函数的表示法 教学目标 掌握函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法，理解三种表示法各自优缺点； 掌握求函数解析式的常用方法：直接代入法、配凑法、换元法、待定系数法； 理解分段函数的概念，会写分段函数解析式、会画分段函数图象，会求分段函数函数值； 能根据实际问题建立函数模型，写出实际问题的函数（注意实际定义域）。 教学重难点 1.重点 函数三种表示方法辨析； 求函数解析式（待定系数、换元、配凑）； 分段函数概念，分段函数求值、画分段函数图像。 2.难点 换元法、配凑法求抽象函数解析式； 分段函数理解：分段函数是一个函数，不是多个函数； 分段函数已知函数值求自变量（分类讨论，检验解是否属于对应区间）； 实际应用问题中，建立函数同时确定实际定义域。 知识点 1：函数的三种表示方法 表格 表示法 定义 优点 缺点 解析法 用等式（解析式）表示两个变量之间对应关系 简明全面，可以计算任意自变量对应的函数值 部分函数难以写出解析式 列表法 表格列出自变量与对应函数值 直接读取对应函数值，不用计算 只能表示有限个自变量，不能反映整体规律 图象法 用平面直角坐标系中图形表示函数 直观形象，观察函数变化趋势 很难精确求出函数值 注意：同一个函数，可以用多种方式表示。 【即学即练】 一个矩形的周长是10，则矩形的长关于宽的函数解析式为（  ）（默认） A． B． C． D． 知识点 2：求函数解析式常用方法 直接代入法：已知f(x)，求f(g(x))，把g(x)整体替换f(x)中的x。 待定系数法：已知函数类型（一次、二次等），设解析式，代入条件求系数。 配凑法：已知f[g(x)]表达式，把右侧配凑成关于g(x)的式子，整体替换得到f(x)。 换元法：令t=g(x)，解出x，代入原式，得到f(t)，再改写为f(x)；必须注意新元t的取值范围，即f(x)定义域。 ⚠易错：换元之后一定要写新变量的范围，否则定义域出错。 【即学即练】 已知为二次函数，且，，求函数解析式； 知识点 3：分段函数 定义：在定义域不同部分，有不同对应法则的函数，叫做分段函数。 关键：分段函数是一个函数，不是几个函数，定义域是各段自变量取值的并集。 分段函数求值：先判断自变量属于哪一段区间，再代入该段解析式计算。 已知分段函数函数值求自变量：分段分类解方程，求出解之后必须检验解是否落在本段的自变量范围，舍去不在区间的解。 分段函数图像：每一段分别画，注意区间端点空心、实心点。 【即学即练】 函数 ，则 ；若，则= ． 知识点 4：实际问题的函数表示 根据题意找到变量，建立函数解析式； 除解析式约束，自变量必须满足现实实际意义，写出实际定义域。 【即学即练】 如图，为直角梯形，，，，，记梯形位于直线左侧的图形的面积为，则函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 题型 01：函数三种表示法的辨析 【典例1】周末某同学到漯湾古镇游玩，他骑行共享单车匀速由学校前往，前进，疲惫不堪，休息半小时后，沿原路返回，归途中又觉得不能半途而废，便调转车头继续向漯湾古镇方向前进，则该同学离起点 (学校) 的距离 与时间 的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】如图，是某个函数的图象，则该函数的解析式__________； 【变式3】已知函数，分别由下表给出：则方程的解可以表示为（    ） 1 2 3 4 3 4 1 2 4 3 2 3 A．1 B．2 C．3 D．4 题型 02 分段函数含参 【典例1】已知函数若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知实数，函数若，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 题型 3：待定系数法求解析式 【典例1】已知为二次函数，且，，求函数解析式； 【变式1】已知二次函数满足，且对任意，总有，求． 【变式2】  已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式. 【变式3】（1）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式； （2）已知，求的解析式． 题型 4：配凑法、换元法求f(x) 【典例1】已知，则函数的解析式为（ ） A． B． C．（） D．（） 【变式1】已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】 若函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数，则的解析式为（     ） A． B． C． D． 题型 5：分段函数求函数值 【典例1】已知函数，则____________． 【变式1】已知函数，则_________． 【变式2】设函数，则___________. 【变式3】设函数，则______． 1．已知函数，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．设，则，且__________. 3．设函数则__________. 4．已知函数则______. 5．函数的值域是___________． 6．已知函数f(x)=，则函数的定义域为________，值域为________. 7．已知两个函数，． (1)当时，求的解析式； (2)当时，求的解析式． 8．已知函数 (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数m的取值范围． 9．已知函数，求使得的自变量的取值范围． 10．已知函数是增函数． (1)求实数的取值范围； (2)解不等式 1．已知函数，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则的解集为　　 A． B． C．， D． 3．已知函数,若，则的取值范围是(　　) A． B． C． D． 4．设函数；若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 7．已知定义在上的函数满足对于任意实数x，y均有，且，则（    ） A．677 B．1354 C．2027 D．4054 8．已知函数的定义域为，对任意的实数，都满足，则下列选项一定成立的是（    ） A． B． C． D． 9．若，，则（    ） A．50 B．55 C．99 D．101 10．已知函数对任意实数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $