专题1.4.3 一元二次不等式及其应用（高效培优讲义）数学北师大版高一必修第一册

本讲义聚焦一元二次不等式及其应用，以“三个二次”关系为基础，衔接分式不等式解法、实数集与区间上恒成立问题、存在性问题及实际应用，构建从概念到转化再到应用的递进式学习支架。 资料设计“即学即练”与“典例变式”，通过数形结合深化“三个二次”联系培养几何直观（数学眼光），分式不等式等价转化训练逻辑推理（数学思维），实际应用题引导建模提升数学表达能力（数学语言），课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺。

专题1.4.3 一元二次不等式及其应用 教学目标 深化理解二次函数、一元二次方程、一元二次不等式（三个二次）之间的内在联系，熟练运用数形结合思想解题。 掌握分式不等式等价转化为整式不等式的解法，牢记分母不能为 0 的限制条件。 区分两类恒成立问题：全体实数集上恒成立、给定区间上恒成立，掌握常规解题思路。 理解 “恒成立” 与 “有解（存在性）” 的区别，能求解区间上不等式有解类参数问题。 能够建立一元二次不等式模型，解决几何问题、生活实际应用问题。 教学重难点 1.重点 分式不等式的解法； R 上一元二次不等式恒成立问题； 区间上恒成立、区间上有解问题的基本解法； 利用一元二次不等式解决实际问题、几何问题。 2.难点 区分区间上恒成立与区间上有解，避免条件混淆； 区间上恒成立 / 有解问题多种解法（最值法、分离参数法）； 分式不等式移项通分，防止直接去分母产生错误； 实际问题、几何问题中自变量取值范围限制。 知识点 1 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系（三个二次） 以二次函数为载体； 三种情况下， 、 、 三者对应关系； 核心思想：利用抛物线图像直接读取不等式解集，实现三者互相转化。 【即学即练】 不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 知识点 2 分式不等式 1.等价转化法则（关键：不能随意去分母） 2. 若不等式右侧不为 0，必须先移项通分，化成左边单一分式。 【即学即练】 “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点 3 一元二次不等式在实数集上恒成立 设 对恒成立 2.对恒成立 补充讨论：退化为一次不等式的情形。 【即学即练】 已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 知识点 4 一元二次不等式在某区间上恒成立 常用两种思路： 最值法：在区间恒成立；在区间恒成立； 分离参数法，转化为函数最值问题； 需要结合对称轴与区间位置分类讨论。 【即学即练】 若存在，使不等式成立，则a的取值范围是______． 知识点 5 一元二次不等式在某区间上有解（存在性问题） 在区间上有解 ； 在区间上有解 ； ⚠易混对比： 恒成立：全部 x 满足；有解：至少存在一个 x 满足。 【即学即练】 若命题“”是假命题，则实数的取值范围是_______. 知识点06 实际应用题 根据几何图形约束条件（周长、面积、边长、距离范围等），列出不等关系，构建一元二次不等式求解；注意边长、长度等变量>0。 应用题建模步骤： ①设变量；②根据题意列出不等关系；③解不等式；④结合实际意义取舍解集（正数、整数限制等）； 常见模型：利润问题、造价、行程、面积规划。 【即学即练】 某企业原有200名科技人员，年人均工资a万元（）．现加大对某芯片研发力度，该企业把原有200名科技人员调整成技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且）．调整后，研发人员的年人均工资比调整前增加了，技术人员的年人均工资为万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员年总工资的1.5倍，求调整后的技术人员最少有多少人？ (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件： ①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资； ②技术人员的年人均工资始终不低于调整前200名科技人员的年人均工资． 请问是否存在这样的实数m？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由． 题型 01 利用 “三个二次” 关系综合解题 【典例1】关于的不等式的解集有下列说法，其中正确的是（   ） A．不等式的解集可以是 B．不等式的解集可以是 C．不等式的解集可以是 D．不等式的解集可以是 【变式1】已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】不等式解集为，下列结论正确的有（    ） A． B． C．不等式的解集是 D．不等式的解集是 【变式3】已知关于的一元二次不等式的解集为，则（   ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为或 题型 02 分式不等式求解 【典例1】不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【变式1】不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【变式2】设集合，，那么“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型 03 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【典例1】已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【变式1】不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】若，的否定为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3】对于所有实数，使得不等式恒成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 题型 04 一元二次不等式在指定区间上恒成立 【典例1】若“，”为假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】“，恒成立”的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 【变式3】不等式对任意恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 题型 05 一元二次不等式在某区间上有解（存在性） 【典例1】命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知存在是不等式一个解．若，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】若关于的不等式有解，则实数的最大值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式3】存在，使不等式成立.则实数的取值范围是____________． 题型 06 一元二次不等式的应用 【典例1】某工厂生产一种产品，其成本函数为（元），其中为产品数量（单位：件）.若每件产品的售价为元，求： (1)工厂至少生产多少件产品时，才能使平均成本不超过售价？ (2)若工厂希望利润不低于元，那么至少需要生产多少件产品？ 【变式1】某人购买了一辆新能源汽车从事滴滴客运业务，根据市场分析，该汽车的运营利润（万元）与运营年数的关系为 (1)该新能源汽车运营到哪年时，运营利润超过万元？ (2)该新能源汽车运营到哪年时，年平均利润最大？ 【变式2】某公司为进一步增强市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知该产品年利润（单位：万元）与年产量（单位：台）的函数关系为.假设生产的产品当年能全部销售完，且每年最大产量为100台． (1)当年产量为20台时，求公司所获年利润； (2)当年产量不超过40台时，为实现年盈利，该产品的年产量至少为多少台？ (3)当该产品的年产量为多少台时，公司所获年利润最大？ 【变式3】某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上追加投入万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加的利润（单位:万元）与之间的函数关系式. (2)若要追加的总成本不超过3万元，求的取值范围. (3)当为多少时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？ 1．已知关于的不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 2．已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．已知不等式的解集是，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知命题 命题 若和都是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 5．若命题“，使得”为真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 6．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少1盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得500元以上（不含500元）的销售收入，则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 8．已知关于的一元二次不等式的解集为，则（   ） A． B． C． D． 9．当时，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 1．已知，若不等式能成立，则实数的最小值是（   ） A．0 B．1 C．3 D．4 2．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：m）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．在一个限速40的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12，乙车的刹车距离略超过10．又知甲､乙两种车型的刹车距离S与车速之间分别有如下关系：两车是否超速下列判断正确的是（    ） A．甲车超速 B．乙车超速 C．甲车无法判断 D．乙车无法判断 4．社区中心有一块三角形闲置空地，为打造居民休闲花园，计划在空地内规划种植区.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：）可以取（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 5．若不等式解集为，则不等式的解集为______． 6．若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是____________. 7．若命题“”为假命题，则实数的取值范围是___________. 8．对任意满足的正实数，一元二次不等式在上恒成立，则实数的取值范围为___________． 9．若不等式 对一切实数恒成立，则的取值范围__________． 10．若关于的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为_______． 11．若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是______． 12．已知二次函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是________． 13．若存在实数使得对于任意的恒成立，则最小值为____________． 14．已知函数，若在区间上恒大于0，则实数的取值范围为______. 15．已知是不等式的一个解．若，则实数的取值范围是_____________． 16．已知命题p：对任意的；命题q：存在；若命题p，q均为假命题，则实数a的取值范围为______ 17．已知关于方程 (1)若方程有两个根且都大于，求实数的取值范围 (2)若方程至少有一个正根，求实数的取值范围 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4.3 一元二次不等式及其应用 教学目标 深化理解二次函数、一元二次方程、一元二次不等式（三个二次）之间的内在联系，熟练运用数形结合思想解题。 掌握分式不等式等价转化为整式不等式的解法，牢记分母不能为 0 的限制条件。 区分两类恒成立问题：全体实数集上恒成立、给定区间上恒成立，掌握常规解题思路。 理解 “恒成立” 与 “有解（存在性）” 的区别，能求解区间上不等式有解类参数问题。 能够建立一元二次不等式模型，解决几何问题、生活实际应用问题。 教学重难点 1.重点 分式不等式的解法； R 上一元二次不等式恒成立问题； 区间上恒成立、区间上有解问题的基本解法； 利用一元二次不等式解决实际问题、几何问题。 2.难点 区分区间上恒成立与区间上有解，避免条件混淆； 区间上恒成立 / 有解问题多种解法（最值法、分离参数法）； 分式不等式移项通分，防止直接去分母产生错误； 实际问题、几何问题中自变量取值范围限制。 知识点 1 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系（三个二次） 以二次函数为载体； 三种情况下，方程的根、函数图像、不等式解集三者对应关系； 核心思想：利用抛物线图像直接读取不等式解集，实现三者互相转化。 【即学即练】 不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的解集得到，为的两个根，由韦达定理得到，从而根据二次函数的对称轴，开口方向及与轴交点纵坐标的正负得到答案. 【详解】由题意得，为的两个根， 故，即， 开口向下，AC选项错误， 对称轴为，D选项错误. 所以B选项正确. 故选：B 知识点 2 分式不等式 1.等价转化法则（关键：不能随意去分母） 2. 若不等式右侧不为 0，必须先移项通分，化成左边单一分式。 【即学即练】 “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求解出不等式的解集，结合充分条件、必要条件判断即可. 【详解】解不等式，得；解不等式，得， 而集合真包含于集合， 所以“”是“”的必要不充分条件． 知识点 3 一元二次不等式在实数集上恒成立 设 对恒成立 2.对恒成立 补充讨论：退化为一次不等式的情形。 【即学即练】 已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过对进行分类讨论来求解不等式恒成立问题. 【详解】首先，若，明显不恒成立. 若，恒成立. 若，可知当时最大， 所以即可， 解得. 所以综上所述，. 知识点 4 一元二次不等式在某区间上恒成立 常用两种思路： 最值法：在区间恒成立；在区间恒成立； 分离参数法，转化为函数最值问题； 需要结合对称轴与区间位置分类讨论。 【即学即练】 若存在，使不等式成立，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】使用分离参数的方法，将不等式转化为的形式，只需即可. 【详解】因为，所以. 又因为，所以，所以， 设，其中，则. 设，则转化为，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以存在，使不等式成立时，只需， 故的取值范围是， 故答案为：. 知识点 5 一元二次不等式在某区间上有解（存在性问题） 在区间上有解 ；在区间上有解 ； ⚠易混对比： 恒成立：全部 x 满足；有解：至少存在一个 x 满足。 【即学即练】 若命题“”是假命题，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【详解】该全称命题“”为假命题， 则其否定“”为真命题，即方程在上有解， 的取值范围就是函数在上的值域. ，这是开口向上，对称轴为的二次函数，. 则最小值在处取得：；最大值在端点处取得：. 因此的值域为，即. 知识点06 实际应用题 根据几何图形约束条件（周长、面积、边长、距离范围等），列出不等关系，构建一元二次不等式求解；注意边长、长度等变量>0。 应用题建模步骤： ①设变量；②根据题意列出不等关系；③解不等式；④结合实际意义取舍解集（正数、整数限制等）； 常见模型：利润问题、造价、行程、面积规划。 【即学即练】 某企业原有200名科技人员，年人均工资a万元（）．现加大对某芯片研发力度，该企业把原有200名科技人员调整成技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且）．调整后，研发人员的年人均工资比调整前增加了，技术人员的年人均工资为万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员年总工资的1.5倍，求调整后的技术人员最少有多少人？ (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件： ①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资； ②技术人员的年人均工资始终不低于调整前200名科技人员的年人均工资． 请问是否存在这样的实数m？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1)50 (2)存在， 【分析】（1）根据题意得到不等式，求出答案； （2）由两个条件得到不等式，结合基本不等式求出答案 【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均工资为万元， 则，（），化简得， 解得， 因为且，所以， 所以调整后的技术人员的人数最少为50人； （2）假设存在实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件， 由条件①得，整理得； 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以， 由条件②得，解得； 又因为，所以． 所以． 题型 01 利用 “三个二次” 关系综合解题 【典例1】关于的不等式的解集有下列说法，其中正确的是（   ） A．不等式的解集可以是 B．不等式的解集可以是 C．不等式的解集可以是 D．不等式的解集可以是 【答案】ABD 【分析】根据一元二次不等式解集的性质，结合二次函数的性质即可判断． 【详解】对于A，若，解集为，故A正确； 对于B，当时，，解集为，故B正确； 对于C，若不等式的解集为，则， 显然该不等式组无解，假设不成立，故C错误； 对于D，若不等式的解集是， 则且方程的两根为， 所以，解得， 所以当时，不等式的解集是，故D正确． 【变式1】已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据一元二次方程与一元二次函数的关系，结合韦达定理逐项判断即可． 【详解】由不等式的解集为， 所以，，故A错误； 方程的两个根为， ，则，故B正确，C错误； ，故D正确． 【变式2】不等式解集为，下列结论正确的有（    ） A． B． C．不等式的解集是 D．不等式的解集是 【答案】ABD 【分析】利用 “三个二次”（二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的关系，通过已知解集推出系数 的符号和关系，再求解新的不等式逐项分析即可. 【详解】因为 解集为 ， 所以，解得， 因为 ，所以 ，，故选项A、B正确； 选项C：不等式 可化为 ， 即 ， 解得 ， 不等式解集是 ， 选项C错误； 选项D：不等式 可化为 ， 即 ， 解得 或 ， 不等式的解集为 ， 选项D正确. 故选： ABD. 【变式3】已知关于的一元二次不等式的解集为，则（   ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为或 【答案】ACD 【分析】A选项，转化为为一元二次方程的两个根，且，由韦达定理得到答案；B选项，根据得到B不正确；C选项，在A基础上不等式变形为，解出解集；D选项，不等式变形为，求出解集. 【详解】A选项，由题意得为一元二次方程的两个根，且， 故，即，A正确； B选项，，B不正确； C选项，由A选项可知，，解得，C正确； D选项，， 又，故，解得或，D正确. 故选：ACD 题型 02 分式不等式求解 【典例1】不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得， 即，解得， 【变式1】不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式不等式求解方法进行求解即可． 【详解】由不等式，即， 则，解得，即， 所以不等式的解集为． 【变式2】设集合，，那么“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】解不等式可得，所以， 又，显然⫋，即是的真子集, 因此，“”能推出“”，但反过来不成立，故“”是“”的充分不必要条件． 题型 03 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【典例1】已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】条件可转化为命题“，”是真命题，结合二次函数性质可得结论. 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以命题“，”是真命题， 由题意可得，解得， 【变式1】不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论，时直接验证不等式成立，时利用一元二次不等式恒成立的条件求解，最终合并得到的取值范围. 【详解】分两种情况进行讨论： 当时，原不等式化为，该式对任意实数恒成立，符合题意； 当时，原不等式为关于的一元二次不等式，若要对一切实数恒成立，需同时满足： （1）二次项系数小于0，即，解得； （2）判别式，代入系数得，解不等式得； 综上所述，的取值范围为. 【变式2】若，的否定为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将命题转化为有解问题，分情况讨论的值，时，不等式为一次不等式有解；时为一元二次不等式，根据二次函数的性质确定不等式有解. 【详解】，的否定为真命题， 即命题“”为真命题， 当时，不等式化为，即，符合题意； ，命题“”为真命题， 当时，对于抛物线，开口向下， 显然在有解，符合题意； 当时，对于抛物线，开口向上， 只需，解得或， 又，所以或， 综上实数的取值范围是或， 即． 【变式3】对于所有实数，使得不等式恒成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】若不等式对于所有实数恒成立，则，即， 的充分不必要条件可以是的子集，故A、C正确. 题型 04 一元二次不等式在指定区间上恒成立 【典例1】若“，”为假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将不等式问题转化为函数不等式恒成立问题，进而通过端点值满足对应条件，即可求解. 【详解】由题意可得“，”为真命题， 设，因此上述不等式恒成立即转化为，恒成立， 则， 解得. 故实数的取值范围是. 【变式1】不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分离参数，利用基本不等式求出最值. 【详解】不等式对任意恒成立， 即对任意恒成立， 设，，则， ，当且仅当时等号成立，， ，所以. 的最小值为. 【变式2】“，恒成立”的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出原命题恒成立时的取值范围，再寻找该范围的真子集，即为充分不必要条件． 【详解】若，恒成立，则，故， 解得． 要求充分不必要条件，即求的真子集， 观察选项可知，C选项满足题意． 故选：C． 【变式3】不等式对任意恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】转化问题为对任意恒成立，再结合基本不等式求最值即可求解. 【详解】根据题意可得对任意恒成立， 而，当且仅当时等号成立， 则，所以，则的最小值为． 题型 05 一元二次不等式在某区间上有解（存在性） 【典例1】命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原命题“”为假命题，等价于它的否定“”为真命题， 即对于，成立. 设，开口向上，对称轴为，故在上单调递减， 最小值为，因此原命题为假等价于，即原命题为假对应集合为. 充分不必要条件对应集合是的真子集，选项中仅有，满足条件， 因此命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是. 【变式1】已知存在是不等式一个解．若，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对参数进行分类讨论，利用二次函数的性质计算即可求解. 【详解】当 时，抛物线 开口向下，对称轴为 ， 在区间 上函数单调递减，且当 时，， 由连续性知，必存在 使得 ，故 满足条件； 当 时，不等式化简为 ，解得 ，故 满足条件； 当 时，抛物线开口向上，需满足以下条件： 判别式 ，即 ，所以对称轴 ； 所以最小值 ，此时抛物线在对称轴处取得最小值且位于 区间 内， 故存在 使得 ，即 满足条件. 综上， 的取值范围为 . 故选：B. 【变式2】若关于的不等式有解，则实数的最大值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【详解】由关于的不等式有解， 得，解得， 所以实数的最大值为2． 【变式3】存在，使不等式成立.则实数的取值范围是____________． 【答案】 【分析】应用存在性条件结合一元二次不等式计算求解. 【详解】存在，使不等式成立， 则实数，即得， 所以，所以的取值范围是 题型 06 一元二次不等式的应用 【典例1】某工厂生产一种产品，其成本函数为（元），其中为产品数量（单位：件）.若每件产品的售价为元，求： (1)工厂至少生产多少件产品时，才能使平均成本不超过售价？ (2)若工厂希望利润不低于元，那么至少需要生产多少件产品？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可知平均成本； 要使平均成本不超过售价50元则有； ∵，所以两边同乘以得； 化简得，解得； ∵， ∴至少生产2件产品. （2）∵利润=售价×数量-成本,所以利润， 即， 要使利润不低于100元，则有； 解得不等式的解集为， ∴至少需要生产件产品. 【变式1】某人购买了一辆新能源汽车从事滴滴客运业务，根据市场分析，该汽车的运营利润（万元）与运营年数的关系为 (1)该新能源汽车运营到哪年时，运营利润超过万元？ (2)该新能源汽车运营到哪年时，年平均利润最大？ 【答案】(1)第年 (2)第年 【分析】（1）解不等式，结合，得出的值，可得结论； （2）利用基本不等式求出的最大值，利用等号成立的条件可得出的值，即可得出结论. 【详解】（1）令，整理可得，解得， 因为，故，故该新能源汽车运营到第年时，运营利润超过万元. （2）该新能源汽车的年平均利润为， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故该新能源汽车运营到第年时，年平均利润最大. 【变式2】某公司为进一步增强市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知该产品年利润（单位：万元）与年产量（单位：台）的函数关系为.假设生产的产品当年能全部销售完，且每年最大产量为100台． (1)当年产量为20台时，求公司所获年利润； (2)当年产量不超过40台时，为实现年盈利，该产品的年产量至少为多少台？ (3)当该产品的年产量为多少台时，公司所获年利润最大？ 【答案】(1)万元； (2)台； (3)台. 【分析】（1）根据分段函数求值即可； （2）解一元二次不等式，即可得解； （3）利用二次函数性质和基本不等式分别求出各段最大值，比较即可作出判断. 【详解】（1）当年产量为20台时，（万元）， 所以当年产量为20台时，公司所获年利润为万元； （2）当年产量不超过40台时，为实现年盈利，即， 解得，又因为，所以， 即为实现年盈利，该产品的年产量至少为台； （3）当时，， 此时当时，在此区间内公司所获年利润最大值为万元， 当时，， 当且仅当时，在此区间内公司所获年利润取得最大值为万元， 综上可得：当该产品的年产量为台时，公司所获年利润最大值为万元. 【变式3】某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上追加投入万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加的利润（单位:万元）与之间的函数关系式. (2)若要追加的总成本不超过3万元，求的取值范围. (3)当为多少时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？ 【答案】(1)； (2)的取值范围为； (3)当为5万元时，该公司在本季度增加的利润最大,最大万元. 【分析】（1）由题意知，增加的利润增加的产量售价追加投入投入的其他成本；（2）由题意知，追加的总成本追加投入投入的其他成本，列出不等式求解即可；（3）将函数解析式进行化简，利用换元法再结合基本不等式求解. 【详解】（1）由题知， 又，解得， 所以. （2）由题知追加的总成本， 整理得，解得， 又，所以的取值范围为. （3）由知，令，则， 代入函数解析式得， 当且仅当时，等号成立， 此时，. 故当为5万元时，该公司在本季度增加的利润最大，最大万元. 1．已知关于的不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为的解集为，所以，方程的两个根分别为， 所以，，即，， 所以不等式为， 因为，得，解得． 2．已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件结合韦达定理得到参数关系，即可将问题转化为，结合进而，求解即可. 【详解】由不等式的解集为可知， 且，，所以， 所以不等式可化为， 又，则，解得或． 3．已知不等式的解集是，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得和是关于的方程的两个实数根， 所以，解得， 所以， 由得， 当时，， 所以，则的取值范围是，故A正确. 4．已知命题 命题 若和都是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】命题为真：，，则，即. 命题为真：方程有实根， 化简得得，解得或. 均为真，取交集得或. 5．若命题“，使得”为真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据题意，关于的不等式有解，则对应二次函数的判别式，解关于的不等式即可. 【详解】因为“，使得”为真命题， 则，即， 解之得{或}，即C正确. 故选：C 6．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少1盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得500元以上（不含500元）的销售收入，则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，然后通过计算及，即可得出结果. 【详解】设这批台灯的销售单价为x元， 由题意得，即，解得， 因为，所以，这批台灯的销售单价的取值范围是. 故选：C 7．已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】由不等式的解集的特征可得A；利用解集可得、、间关系，即可得B；利用、、间关系，计算可得C、D. 【详解】对A：由关于的不等式的解集为，可得，故A正确； 对B：由题意可得， 故，，则，故B错误； 对C：，由，故，即，故C正确； 对D：， 由，则该不等式解集为，故D正确. 8．已知关于的一元二次不等式的解集为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由一元二次不等式的解法可判断A；由根与系数的关系可判断B、C、D. 【详解】由不等式的解集为可知，A正确； 方程有两个根和2， 所以，， 所以，， 则，，B，C错误； ，D正确. 故选：AD. 9．当时，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】当时，，即在时恒成立，故A正确； 当时，，即存在，使，故B错误； 当时，，所以当时，恒成立，故C正确； 当，，即当时，恒成立，故D正确． 1．已知，若不等式能成立，则实数的最小值是（   ） A．0 B．1 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用计算的取值范围，能成立，即转化为. 【详解】，， 所以，所以， ，所以能成立， 令，所以， 所以当时，有最小值0， 所以，在上有最小值0， 能成立，即， 所以实数的最小值是0. 2．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：m）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形相似列出方程，将矩形的另一边用表示，再根据矩形的面积不小于300m2列出不等式，即可求出结果. 【详解】设矩形的另一边长为m，则由三角形相似知，， 所以，因为，所以， 即，解得. 故选:C 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的应用，关键是建立数学模型，解一元二次不等式，属于基础题. 3．在一个限速40的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12，乙车的刹车距离略超过10．又知甲､乙两种车型的刹车距离S与车速之间分别有如下关系：两车是否超速下列判断正确的是（    ） A．甲车超速 B．乙车超速 C．甲车无法判断 D．乙车无法判断 【答案】BC 【分析】设甲的速度为,解不等式得到甲的速度范围；设乙的速度为，解不等式得到乙的速度范围，即得解. 【详解】设甲的速度为 由题得，解得或； 设乙的速度为， 由题得，解得或. 由于，从而得，. 经比较知乙车超过限速，但无法判断甲车是否超过限速. 4．社区中心有一块三角形闲置空地，为打造居民休闲花园，计划在空地内规划种植区.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：）可以取（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】ABC 【分析】设矩形的另一边长为，由三角形相似得出的关系，再根据矩形的面积公式建立不等式即可求解. 【详解】设矩形的另一边长为，如图： 由与相似得且， 所以，又矩形的面积， 所以即，解得， 故边长可以取10，20，30，即ABC符合题意，D不符合题意. 故选：ABC 5．若不等式解集为，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】先由不等式的解集可得，进而可将所求不等式化为，从而可得不等式解集. 【详解】由二次不等式 的解集为. 所以方程的两个根为，且，因此， 即，代入所求不等式 ， 得，因为，所以不等式化为， 即，解得 或 . 因此所求不等式的解集为. 6．若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是____________. 【答案】 【详解】因为不等式的解集为， 所以和是方程的解，且， 所以，所以， 所以等价于，等价于， 解得或，所以不等式的解集为. 7．若命题“”为假命题，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【详解】由为假命题，得为真命题， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 8．对任意满足的正实数，一元二次不等式在上恒成立，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】利用基本不等式得到，再利用一元二次不等式在上恒成立得，从而可得实数的取值范围. 【详解】已知正实数满足，所以，当且仅当时，取得最大值9. 因为一元二次不等式在上恒成立， 所以，即，解得. 所以. 9．若不等式 对一切实数恒成立，则的取值范围__________． 【答案】 【分析】分二次项系数和两种情况讨论，当时结合一元二次不等式恒成立的条件求解参数范围. 【详解】若不等式对一切实数恒成立的问题，需分和两种情况讨论： 当时： 此时不等式变为：， 该式对所有实数恒成立，故符合条件； 当时： 此时不等式为二次不等式，需满足：， ， 令，即：， 结合，解得：， 综上，的取值范围是. 10．若关于的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为_______． 【答案】 【分析】对参数分和两类讨论，求解范围后合并即可. 【详解】①当时，不等式化为，对任意恒成立，符合题意； ②当时，一元二次不等式对恒成立， 则有 ， 解得. 即实数a的取值范围为. 11．若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】对任意，不等式都成立， 所以，即， 解得，即k的取值范围是. 12．已知二次函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据的范围分类讨论，结合对于任意，都有成立，解不等式即可求解． 【详解】因为是一个区间，所以， 二次函数的对称轴为直线， ①当时，即，函数在上单调递增， 所以， 要使对于任意，都有成立，则， 所以，解得； ②当时，即时， 函数在处取得最小值，， 则，不等式无解； ③当时，即，函数在上单调递减， 所以， 则，不等式无解； 综上所述，的取值范围是． 13．若存在实数使得对于任意的恒成立，则最小值为____________． 【答案】 【分析】解法一：多点控制，先利用区间端点 代入不等式，得到关于 的约束条件，再通过三角不等式进行放缩，直接求出 的下界； 解法二：数形结合，利用将不等式 转化为两个函数图像的位置关系，即 的图像始终在 的图像下方解答即可； 解法三：平口单峰，利用将原不等式变形为 ，问题转化为求函数 在区间 上的最大值的最小值即可. 【详解】解法一：多点控制：由题意知当，代入得： 则， 所以，即， 结合，所以， 所以，即， 当且仅当时取等号，故 的最小值为 . 解法二：数形结合：当 时，函数 关于 轴对称， 原不等式等价于 的图像始终在 的图像下方， 画出及的图象， 可得右端点值，顶点值（函数图象在处交点），即． 解法三：平口单峰：由题意得对任意的恒成立， 根据平口单峰函数可得，令，易得，所以， 所以函数 在区间 上的最大值为 ，这就是满足条件的最小 ， 所以 . 14．已知函数，若在区间上恒大于0，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】由题意知，当时，，根据基本不等式求出的最小值，即可求出答案. 【详解】由题意知，当时，，即， 所以， 因为，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为4， 所以，即， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 15．已知是不等式的一个解．若，则实数的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】对进行分类讨论，结合二次函数图象性质可得答案 【详解】令， 当时，抛物线开口向下，对称轴为， 在上单调递减，且当趋向于时，趋向于， 由函数连续性可知，必存在，使得，故满足要求； 当时，不等式可化为，解得， 故存在使得不等式成立，满足要求； 当时，抛物线开口向上，需满足以下条件，，解得， 此时对称轴为， 所以在上，函数最小值为，满足要求， 即当时，存在，使得， 综上，实数的取值范围为. 16．已知命题p：对任意的；命题q：存在；若命题p，q均为假命题，则实数a的取值范围为______ 【答案】 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题为真命题进行判断，进而可得为假命题的条件. 【详解】若命题p为真命题，则，即在上恒成立， 而在上单调递减，所以，得. 所以命题p为假命题，则. 若命题q为真命题，则在上能成立， 而在上单调递减，所以，即. 所以命题q为假命题，则. 所以命题p，q均为假命题，则. 故答案为：. 17．已知关于方程 (1)若方程有两个根且都大于，求实数的取值范围 (2)若方程至少有一个正根，求实数的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】1）根据三个二次的关系并结合二次函数图象可得不等式组，解不等式组可得； （2）先求方程无正根的情况，即方程无实根或所有实根非正，再用补集的思想方法可得. 【详解】（1）设二次函数，开口向上且对称轴. 则， 由方程有两个实根且都大于，所以， ，解得. 因此，实数的取值范围为. （2）若方程至少有一个正根，用补集法：即方程没有正根，也等价于方程无实根或所有实根非正. 若方程无根，则，解得； 若方程所有实根非正，则，，解得. 综上，方程无根或方程所有实根非正，则或，即. 因此，根据补集思想，方程至少有一个正根，则. 所以方程至少有一个正根，实数的取值范围 29 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $