专题2.4.1 函数的奇偶性（高效培优讲义）数学北师大版高一必修第一册

本讲义聚焦函数奇偶性核心知识点，系统梳理奇函数、偶函数的定义（含定义域对称前提）、图象特征（y轴对称与原点对称）、判断步骤（定义域→f(-x)→关系比较）及运算性质，构建从概念到综合应用（求函数值、参数、解析式及单调性结合）的学习支架。 资料通过“即学即练”与“典例变式”强化理解，如从图象对称抽象代数关系培养抽象能力（数学眼光），定义法判断步骤培养推理意识（数学思维），综合题型提升模型应用（数学语言）。课中助力教师系统授课，课后辅助学生查漏补缺。

专题2.4.1函数的奇偶性 教学目标 理解奇函数、偶函数的定义，掌握奇偶函数的代数特征与图象几何特征。 掌握判断函数奇偶性的基本方法，能利用定义判断、证明函数奇偶性。 会利用奇偶性求函数值、参数、解析式；掌握奇偶性与单调性综合应用。 教学重难点 1.重点 奇函数、偶函数的概念，奇偶函数的定义。 判断函数奇偶性的方法与步骤。 奇偶性的图象几何意义。 2.难点 由图象对称抽象出f(-x)=f(x)、f(-x)=-f(x)代数关系式。 定义域关于原点对称这一前提条件的理解与应用。 奇偶性综合应用：求参数、求解析式、奇偶性 + 单调性综合问题。 知识点 1：奇函数、偶函数的定义 前提：对于函数y=f(x)，定义域为D，奇偶函数的定义域必须关于原点对称，即若，必有；定义域不关于原点对称函数既不是奇函数也不是偶函数。 偶函数 设函数\(f(x)\)定义域为D，，都有，且，则f(x)叫做偶函数。 等价变形：。 奇函数 设函数f(x)定义域为D，，都有，且，则f(x)叫做奇函数。 等价变形：。 补充：若函数既是奇函数又是偶函数，则f(x)=0，定义域关于原点对称。 【即学即练】 若函数是上的偶函数，则的值为______． 知识点 2：奇偶函数的图象特征 偶函数图象关于y轴对称； 奇函数图象关于原点中心对称； 奇函数重要性质：若奇函数在x=0处有定义，则（常用求参数）。 【即学即练】 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，画出函数的图像，并求出的解析式． 知识点 3：判断函数奇偶性的步骤（定义法） ① 看定义域：判断定义域是否关于原点对称；不对称非奇非偶； ② 若对称，计算f(-x)； ③ 比较f(-x)与f(x)关系： 偶函数； 奇函数； 且非奇非偶。 补充：图象法：看图象是否关于y轴、原点对称，适合草图。 【即学即练】 函数是奇函数．若函数，则___________． 知识点 4：奇偶函数的运算性质（定义域均关于原点对称） 设f(x)、g(x)定义域交集关于原点对称： 表格 运算 奇函数 ± 奇函数 偶函数 ± 偶函数 奇函数 × 奇函数 偶函数 × 偶函数 奇函数 × 偶函数 结果 奇函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 奇偶性与单调性综合 奇函数：在关于原点对称区间上，单调性相同； 偶函数：在关于原点对称区间上，单调性相反。 利用奇偶性求解析式 已知函数在一侧区间解析式，利用奇偶性求对称区间解析式。 【即学即练】 已知定义在上的偶函数，其部分图象如图所示，则的解集为（    ） A． B． C． D． 题型 01利用奇偶性求函数值 【典例1】已知是定义在的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D．16 【变式1】已知是定义在上的奇函数，是偶函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知奇函数满足，且当时，（）．则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】设 是定义在上的奇函数，则______ 题型 02：利用奇偶性求参数 【典例1】已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则（    ） A．2或-6 B．2 C．-2或6 D．6 【变式1】已知函数为偶函数，且满足，当时，．若，则（    ） A．9 B．3 C．6 D． 【变式2】已知函数为奇函数，则（     ） A． B． C．的图象关于原点对称 D．在区间上单调递减 题型 03：利用奇偶性求函数解析式 【典例1】已知定义域为的函数是偶函数，定义域为的函数是奇函数，且，求和的解析式. 【变式1】已知函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式：． 【变式2】 已知函数是定义在上的奇函数，且它的图象关于直线对称． (1)求证：是周期为4的周期函数； (2)若，求时，函数的解析式． 题型 04：奇偶性 + 单调性综合问题（高频难点） 【典例1】已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C．[0，2] D． 【变式1】已知为上的奇函数，，若对，当时，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2】  设是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型 05：抽象函数的奇偶性 【典例1】已知函数（，且）对任意不等于0的实数，都有，则为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既为奇函数也为偶函数 【变式1】已知函数的定义域为，且,，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】  已知函数的定义域为，且对于任意实数，，都有，若函数在定义域内的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】设是定义域为的单调函数，对，则（ ） A． B．是减函数 C．是奇函数 D．当时， 【变式4】已知函数的定义域为，，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 1．已知奇函数的定义域为，且当时，，则（    ） A． B． C．2 D．1 2．已知函数为偶函数，且满足，且当时，，则（     ） A． B． C． D． 3．已知函数为偶函数，且，则的解集为（    ） A． B．或 C．或 D． 4．已知定义在上的函数满足，，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 5．已知是定义域为的奇函数，且单调递增，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 6．设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（     ） A． B． C． D． 7．已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数是定义域为的偶函数，且，若在上是减函数，那么在上是（     ） A．增函数 B．减函数           C．先增后减的函数 D．先减后增的函数 9．设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 10．若为上的奇函数，为上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 11．已知，下列关于的说法正确的是（    ） A．的值域为 B．的定义域为 C．函数是偶函数 D．任意一个非零有理数，对任意恒成立 12．若是定义在上的函数，当时，，且对任意恒成立，则下列说法正确的是（   ） A． B．是奇函数 C．的图象关于对称 D．若，则恒成立 13．设函数的定义域为，定义，．若为奇函数，为偶函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．的解析式为 C．在区间上单调递增 D．的最大值为 1．下列关于函数的说法中，正确的有（   ） A．的定义域为 B．是偶函数 C．在区间上单调递增 D．的值域为 2．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．为偶函数 C．当时，在区间上单调递增 D．当时， 3．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则_______． 4．已知函数是定义在上的偶函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围. 5．已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，． (1)求实数，的值； (2)求函数的解析式； (3)若，求实数的取值范围． 6．已知函数是定义在上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式： . 7．已知函数，． (1)求证：在上单调递增； (2)判断的奇偶性并证明； (3)若，求实数的取值范围． 8．已知函数，（a为正数），且函数与的图象在y轴上的截距相等． (1)求a的值； (2)求函数的单调递增区间． 9．已知函数是定义域为的奇函数，满足． (1)求实数，的值； (2)求关于的不等式的解集． 10．已知函数，． (1)当时，求证：函数是奇函数； (2)当时，求的最小值． 6 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4.1函数的奇偶性 教学目标 理解奇函数、偶函数的定义，掌握奇偶函数的代数特征与图象几何特征。 掌握判断函数奇偶性的基本方法，能利用定义判断、证明函数奇偶性。 会利用奇偶性求函数值、参数、解析式；掌握奇偶性与单调性综合应用。 教学重难点 1.重点 奇函数、偶函数的概念，奇偶函数的定义。 判断函数奇偶性的方法与步骤。 奇偶性的图象几何意义。 2.难点 由图象对称抽象出f(-x)=f(x)、f(-x)=-f(x)代数关系式。 定义域关于原点对称这一前提条件的理解与应用。 奇偶性综合应用：求参数、求解析式、奇偶性 + 单调性综合问题。 知识点 1：奇函数、偶函数的定义 前提：对于函数y=f(x)，定义域为D，奇偶函数的定义域必须关于原点对称，即若，必有；定义域不关于原点对称函数既不是奇函数也不是偶函数。 偶函数 设函数\(f(x)\)定义域为D，，都有，且，则f(x)叫做偶函数。 等价变形：。 奇函数 设函数f(x)定义域为D，，都有，且，则f(x)叫做奇函数。 等价变形：。 补充：若函数既是奇函数又是偶函数，则f(x)=0，定义域关于原点对称。 【即学即练】 若函数是上的偶函数，则的值为______． 【答案】 【详解】函数是定义在上的偶函数， ，即． ， ， ， ． 知识点 2：奇偶函数的图象特征 偶函数图象关于y轴对称； 奇函数图象关于原点中心对称； 奇函数重要性质：若奇函数在x=0处有定义，则（常用求参数）。 【即学即练】 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，画出函数的图像，并求出的解析式． 【答案】， 【分析】先利用奇函数的图像关于原点对称画出函数图像，再利用奇函数的定义求出解析式． 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以图像关于原点对称且，图像如图所示： 当时，， 所以当时，，则， 整理有， 所以的解析式为． 知识点 3：判断函数奇偶性的步骤（定义法） ① 看定义域：判断定义域是否关于原点对称；不对称非奇非偶； ② 若对称，计算f(-x)； ③ 比较f(-x)与f(x)关系： 偶函数； 奇函数； 且非奇非偶。 补充：图象法：看图象是否关于y轴、原点对称，适合草图。 【即学即练】 函数是奇函数．若函数，则___________． 【答案】28 【分析】由函数奇偶性建立等式，代入，求得，代入，求得. 【详解】由题意可知，所以. 因为，且，所以， 所以. 知识点 4：奇偶函数的运算性质（定义域均关于原点对称） 设f(x)、g(x)定义域交集关于原点对称： 表格 运算 奇函数 ± 奇函数 偶函数 ± 偶函数 奇函数 × 奇函数 偶函数 × 偶函数 奇函数 × 偶函数 结果 奇函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 奇偶性与单调性综合 奇函数：在关于原点对称区间上，单调性相同； 偶函数：在关于原点对称区间上，单调性相反。 利用奇偶性求解析式 已知函数在一侧区间解析式，利用奇偶性求对称区间解析式。 【即学即练】 已知定义在上的偶函数，其部分图象如图所示，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】补全函数的图象，分、、三种情况解不等式，结合图象可得出关于的不等式，即可得出原不等式的解集. 【详解】因为是定义在区间上的偶函数，补充函数的图象如下图所示： 对于不等式， 若，则，可得或或，解得或或， 此时； 若，则，可得，解得，此时. 显然满足不等式. 综上所述，不等式的解集为. 题型 01利用奇偶性求函数值 【典例1】已知是定义在的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D．16 【答案】C 【详解】由是奇函数，则， 所以， 所以的图象关于对称，则， . 【变式1】已知是定义在上的奇函数，是偶函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到，结合，即可求解. 【详解】由函数是定义在上的奇函数，可得， 又由函数是偶函数，其图象关于轴对称，可得的图象关于对称， 即，所以，即， 因为，可得. 【变式2】已知奇函数满足，且当时，（）．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用奇函数性质求出参数，再推导函数周期，将转化为区间内的函数值计算即可． 【详解】因为是定义域包含的奇函数，故，即， 由，可得， 所以是周期为4的周期函数， 因为，所以， 又，令得， 所以． 【变式3】设 是定义在上的奇函数，则______ 【答案】2 【分析】由题设得，进而求出a，再检验即可. 【详解】因为 是定义在上的奇函数， 所以，即， 故， 此时 ，所以， 满足 是定义在上的奇函数， 所以. 题型 02：利用奇偶性求参数 【典例1】已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则（    ） A．2或-6 B．2 C．-2或6 D．6 【答案】B 【分析】利用定义域为的奇函数性质求出参数，借助奇函数对称性算出，代入等式求得，结合时的函数解析式解方程并舍去负根得到. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，解得， 则. 因为是增函数，且当时，， 则当时，， 由，得， 所以，由，解得或（舍去）. 【变式1】已知函数为偶函数，且满足，当时，．若，则（    ） A．9 B．3 C．6 D． 【答案】B 【详解】因为函数为偶函数，所以， 所以函数关于对称； 因为，所以，即， 且，所以函数关于中心对称； 所以，， 当时，， 所以，，所以， 所以，， 解得，所以. 【变式2】已知函数为奇函数，则（     ） A． B． C．的图象关于原点对称 D．在区间上单调递减 【答案】ACD 【详解】对于A，函数的定义域为， 因为函数为奇函数，所以定义域关于原点对称， 所以，此时，，是奇函数，A正确； 对于B，，当时，， 因为函数为奇函数，所以当时，， 所以或，B错误； 对于C，奇函数图像关于原点对称，故C正确； 对于D，任取，则， 所以, 所以在区间上单调递减，故D正确. 题型 03：利用奇偶性求函数解析式 【典例1】已知定义域为的函数是偶函数，定义域为的函数是奇函数，且，求和的解析式. 【答案】 【分析】利用奇偶性及方程组法求函数解析式. 【详解】因为函数是上的偶函数，函数是上的奇函数， 所以，， 由①，则，即②， ①＋②得：，则， ①－②得：，则， 所以. 【变式1】已知函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式：． 【答案】(1)，； (2)函数在R上单调递增，理由如下：                                       任取，，且，                                                     则，   由，得， ，                                   则，即， 所以函数在R上单调递增. (3)． 【分析】（1）根据给定条件，利用奇函数定义求出解析式. （2）确定函数的单调性，再利用单调函数的定义推理得证. （3）利用奇函数的性质及单调性求出不等式的解集. 【详解】（1）由是定义在R上的奇函数，得，                         当时，，则                           所以函数在R上的解析式为，.   （2）略 （3）由是奇函数，得，   又在R上单调递增，则，解得，                         所以原不等式的解集为． 【变式2】 已知函数是定义在上的奇函数，且它的图象关于直线对称． (1)求证：是周期为4的周期函数； (2)若，求时，函数的解析式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)利用函数对称以及奇函数的性质证明. (2)通过函数的周期性以及奇函数性质求解. 【详解】（1）证：因为关于直线对称，所以，进而. 因为是定义在上的奇函数，，所以. 因此. 即是周期为4的周期函数. （2）由函数是定义在上的奇函数，有． 当时，，，符合式子， 故时，． 时，，． 从而，时，函数. 题型 04：奇偶性 + 单调性综合问题（高频难点） 【典例1】已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C．[0，2] D． 【答案】C 【分析】由偶函数定义可得，再通过偶函数的性质，对称区间上单调性相反，可得到函数在定义域上的单调性情况，通过单调性求解不等式即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且，所以． 又函数在上单调递减，所以函数在上单调递增． 所以等价于,即，解得． 【变式1】已知为上的奇函数，，若对，当时，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件确定的单调性和奇偶性，进而可求解. 【详解】由，得， 因为，所以，即， 设，则在上单调递减， 而，则，解得； 因为为上的奇函数，所以， 则为上的偶函数，故在上单调递增， 而，则，解得； 当时，，故该点不在解集内. 综上，原不等式的解集为. 【变式2】  设是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，且是定义在上的偶函数，所以， 又因为在上单调递减，所以， 所以或，解得或， 所以不等式的解集为. 【变式3】已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单调性及奇偶性解不等式即可. 【详解】因为是偶函数，即关于轴对称，在上单调递减， 又，即， 所以， ，解得， 所以不等式的解集为. 题型 05：抽象函数的奇偶性 【典例1】已知函数（，且）对任意不等于0的实数，都有，则为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既为奇函数也为偶函数 【答案】B 【分析】先利用赋值法求出特殊点的函数值，再通过将变量替换为其相反数，结合已知的函数方程推导出函数图像关于轴对称的性质，从而判断出函数的奇偶性. 【详解】函数定义域为，关于原点对称. 令得，即， 令得，即， 令，得，即， 所以是偶函数， 故选：B． 【变式1】已知函数的定义域为，且,，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过赋值得，再赋值得函数为偶函数，再令得，进而可得，得函数的一个周期为，再通过赋值可得，，，，结合周期性可得. 【详解】由函数的定义域为，且, 令，得，即， 因为，所以得. 再，得，， 即，所以函数为偶函数. 再令，得， 因为为偶函数，所以， 因此，且，所以. 又令，得，所以， 因为函数为偶函数，所以，因此. 令，得，得. 令，得，即， 用代替得， 再用代替得， 即，所以函数的一个周期为. 因为，所以. 因此， 所以 . 因此. 【变式2】  已知函数的定义域为，且对于任意实数，，都有，若函数在定义域内的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得为奇函数，为奇函数，然后由奇函数性质可得答案. 【详解】因对于任意实数，，都有， 令，可得， 再令，则，从而为奇函数. 注意到， 结合为R上奇函数，为R上偶函数， 可得为R上奇函数， 由题可得存在，且为，存在，且为. 又由奇函数性质可得， 从而. 【变式3】设是定义域为的单调函数，对，则（ ） A． B．是减函数 C．是奇函数 D．当时， 【答案】ACD 【分析】令可得判断A，令可得，再令得判断C，结合单调性结合特例判断B，根据函数单调递增即可比较大小判断D. 【详解】在等式中， 对于A，令，可得，则，故A正确； 对于C，令可得，则， 因为函数的定义域为， 令可得，则， 故函数为奇函数，故C正确； 对于B，是定义域为的单调函数，因为， 所以是上的增函数，故B错误； 对于D，由上分析可知是上的增函数， 当时，，即， 因此，故D正确. 【变式4】已知函数的定义域为，，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】BC 【分析】根据给定条件，利用赋值法，结合奇偶函数的定义性质逐项判断即得. 【详解】对于A，令，则，解得或，A错误； 对于B，令，得，则， 令，得，则，因此，B正确； 对于C，依题意，， 则，对，取， 得，又，则，即，为偶函数，C正确； 对于D，由或，得，因此不为奇函数，D错误. 1．已知奇函数的定义域为，且当时，，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】由题意，,求出,再利用奇函数性质代值计算即可. 【详解】因是定义在上的奇函数，则, 即,解得, 则当时，， 故. 2．已知函数为偶函数，且满足，且当时，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先研究函数的周期性，再根据函数的周期性和奇偶性求的值，进而可得的值. 【详解】因为，所以， 用代替可得：， 所以，所以函数是以4为周期的周期函数. 所以. 令，由得，； 又因为函数为偶函数，所以， 所以. 因为，所以，解得. 所以. 所以. 3．已知函数为偶函数，且，则的解集为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】由奇偶性结合单调性求得函数解析式，然后解不等式. 【详解】因为是偶函数， 所以，即，所以， 因为，，所以，因此在上是减函数， 所以， 由，得，所以， 所以时，，解得， 即的解集为. 4．已知定义在上的函数满足，，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 【答案】B 【分析】对进行赋值即可根据奇偶性的定义进行函数奇偶性的判断. 【详解】已知的定义域关于原点对称， 因为，， 故令时，则， 令时，， 令，时，， 所以，即 ，所以是偶函数， 又当时，，即不恒为零，故只能为偶函数，不能为奇函数，故B正确. 5．已知是定义域为的奇函数，且单调递增，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇函数性质转化不等式，结合函数单调性去掉函数符号，求解一元一次不等式得到解集. 【详解】 是定义域为的奇函数，，且由题可知在上单调递增， 对原不等式变形：等价于， 根据奇函数性质可得，因此不等式化为， 在上单调递增， ，移项解得，即不等式解集为 6．设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数为偶函数，所以. 又因为函数周期，因此， ，且， 则 因此. 7．已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将原不等式转化为，再结合单调性即可得解. 【详解】因为是定义在R上的偶函数，故可转化为， 又因为在上单调递增，故，解得或，即解集为. 8．已知函数是定义域为的偶函数，且，若在上是减函数，那么在上是（     ） A．增函数 B．减函数           C．先增后减的函数 D．先减后增的函数 【答案】A 【分析】先由题设求出函数的周期，接着由函数对称性和单调性即可分析求解. 【详解】由题可得， 所以是周期为2的函数，又函数是定义域为的偶函数， 所以函数图象关于y轴对称，则由周期为2可得函数关于直线对称， 因为在上是减函数，则在上是增函数， 所以由函数周期为2可得在上的单调性与在上的单调性相同，则在上是增函数. 故选：A 9．设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A：，而，显然，不为奇函数， B：，而，显然，不为奇函数， C：，而，显然，不为奇函数， D：，，显然且定义域为，即为奇函数. 10．若为上的奇函数，为上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据奇偶性的定义结合赋值法求解. 【详解】选项AB，为上的奇函数，则，，，所以，A错；B正确； 选项C，由B，得，又为上的偶函数，则，，所以，，C正确； 选项D，由为上的偶函数，得，所以，D错. 11．已知，下列关于的说法正确的是（    ） A．的值域为 B．的定义域为 C．函数是偶函数 D．任意一个非零有理数，对任意恒成立 【答案】BCD 【详解】因为函数，所以的定义域为，值域为， 故选项B正确，选项A不正确； 若自变量是有理数，则也是有理数，，所以， 若自变量是无理数，则也是无理数，，所以， 所以是偶函数，选项C正确； 对于任意一个非零有理数，若是有理数，则是有理数；若是无理数，则是无理数， 根据函数的解析式，任取一个不为零的有理数T，都有对任意恒成立，故选项D正确. 12．若是定义在上的函数，当时，，且对任意恒成立，则下列说法正确的是（   ） A． B．是奇函数 C．的图象关于对称 D．若，则恒成立 【答案】ABC 【分析】利用赋值计算即可判断AB，根据的奇偶性，即可判断C，利用即可判断D. 【详解】对于A，在中，令， 可得，故，即，故A正确； 对于B，令，则，结合，得， 当时，有，即不恒为0，故必有，即是奇函数，故B正确， 对于C，由于是奇函数，故，令， 则， 因此的图象关于对称，即的图象关于对称，故C正确， 对于D，当且时，此时，显然，故D错误. 13．设函数的定义域为，定义，．若为奇函数，为偶函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．的解析式为 C．在区间上单调递增 D．的最大值为 【答案】BD 【分析】结合已知条件利用函数的奇偶性求出函数的解析式，再根据二次函数的性质分析各项即可求解. 【详解】因为 为奇函数， 为偶函数， 所以 ①， ② ， 联立①②可得 ，选项 B 正确； 则 ，选项 A 错误； 结合二次函数性质可得 在上单调递增，在上单调递减， 故在区间在上不单调，选项C错误； 结合二次函数性质可得，当时，函数取得最大值 ，选项 D 正确． 1．下列关于函数的说法中，正确的有（   ） A．的定义域为 B．是偶函数 C．在区间上单调递增 D．的值域为 【答案】AD 【分析】根据函数的奇偶性得出函数为奇函数，再利用单调性的定义，得到函数在上单调递增，结合基本不等式和对称性，即可求解. 【详解】因为函数， 可知，所以函数的定义域为，故A正确； 且，所以为奇函数，故B错误； 任取，且， 则， 因为，则且，可得， 所以在上单调递减，故C错误； 当时，，当且仅当时，等号成立， 又由结合为奇函数，可得的值域为，故D正确. 2．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．为偶函数 C．当时，在区间上单调递增 D．当时， 【答案】AB 【详解】A：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故A正确. B：函数定义域为，关于原点对称， 若，则，， 若，则，， ∴对任意，均有，即为偶函数，故B正确. C：令，在上，， 当时，，不满足单调递增的定义，故C错误. D：取，满足， ∵， ∴， ∵， ∴， 此时，故D错误. 3．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则_______． 【答案】0 【分析】根据题中函数奇偶性，得出函数的周期为4且，可求出结果. 【详解】根据题意知为偶函数，为奇函数， 所以， ， ， 可得， 所以，则是以4为周期的函数， 又因为奇函数，令，可得， 所以. 4．已知函数是定义在上的偶函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)函数在上单调递增， 证明如下： 任取，且， 因为， 则 由， 则 即， 故函数在上单调递增. (3) 【详解】（1）函数是定义在上的偶函数，则，即，整理可得对任意的恒成立，故， 所以， 因为， 则，解得， 故. （2）略 （3）因为函数为上的偶函数，且该函数在上单调递增， 根据偶函数的对称性可知，在上单调递减， 由可得，得， 即，即， 可得或，解得或或. 因此，不等式的解集为. 5．已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，． (1)求实数，的值； (2)求函数的解析式； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据条件可得，，解方程组即可； （2）先由（1）求得时的解析式，再利用是奇函数，有即可得的解析式； （3）先判断的单调性，再结合的定义域，列出关于的不等式组，求解不等式组即可. 【详解】（1）由题意得，解得，． （2）由（1）可知，当时，． 当时，，所以． 因为是定义在上的奇函数， 所以当时，． 所以 （3）因为当时，， 反比例函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增． 因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增． 由题意，得不等式即， 所以． 解得，即实数的取值范围是． 6．已知函数是定义在上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式： . 【答案】(1) (2)在上单调递增.              证明如下：任取且， ， ，且，，， 所以，即，   所以在上单调递增. (3) 【分析】（1）利用奇函数的性质即可求出函数的解析式； （2）利用函数单调性的定义证明即可； （3）结合函数的单调性以及奇函数的性质将问题转化为，解不等式即可求解. 【详解】（1）是定义在上的奇函数， ，则，                           又，则.                         . （2）略 （3）在上是奇函数且单调递增， 由得  ，          ，解得：  ，         不等式的解集为. 7．已知函数，． (1)求证：在上单调递增； (2)判断的奇偶性并证明； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明：令，则 ， 因为，，，所以， 所以，即, 则在上单调递增. (2)是奇函数，证明：的定义域为，关于原点对称，且， 所以是奇函数. (3) 【详解】（1）略. （2）略. （3）由是奇函数，得， 因为在上单调递增， 所以解得. 故实数的取值范围是. 8．已知函数，（a为正数），且函数与的图象在y轴上的截距相等． (1)求a的值； (2)求函数的单调递增区间． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由求解可得； （2）由绝对值定义分类讨论去掉绝对值符号后，分段得出单调增区间，然后合并即可得. 【详解】（1）由题意，，则，又，所以； （2）由题得：， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递增， 综上，的单调递增区间是． 9．已知函数是定义域为的奇函数，满足． (1)求实数，的值； (2)求关于的不等式的解集． 【答案】(1)，． (2) 【详解】（1）因为，则， 由函数为奇函数得，即，解得． 又，则， 即，． （2）由（1）知． ，且， ． 因为，所以，，． 又，，所以，即， 所以在区间上是增函数． 所以，即， 则有解得， 即不等式的解集为． 10．已知函数，． (1)当时，求证：函数是奇函数； (2)当时，求的最小值． 【答案】(1)当时，，定义域为， 因为，即， 所以函数是奇函数 (2) 【分析】（1）根据奇函数的定义进行证明. （2）利用基本不等式求和的最小值. 【详解】（1）略 （2）由函数解析式可得 ， ， 得，由，得， 根据基本不等式，， 当且仅当，即时，取到最小值． 29 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $