4.3对数函数讲义-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

授课主题 对数函数 年 级 高一 知 识 梳 理 一．对数函数的概念 1.概念：一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞). 2.概念理解(1)因为对数函数是指数函数变化而来的，对数函数的自变量恰好是指数函数的函数值，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)，对数函数的底数a>0，且a≠1. (2)形式上的严格性：在对数函数的定义表达式y＝logax(a>0，且a≠1)中，logax前边的系数必须是1，自变量x在真数的位置上，否则就不是对数函数.　　　 注：求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论。 二．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性 质 定义域 (0，＋∞) 值域 R 过定点 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 函数值 的变化 当0<x<1时，y<0， 当x>1时，y>0 当0<x<1时，y>0， 当x>1时，y<0 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 注：关于对数式logaN的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错， 可以1为分界点，当a，N同侧时，logaN>0；当a，N异侧时，logaN<0. 三.对数函数图像 两个单调性相同的对数函数，它们的图象在位于直线x＝1右侧的部分是“底大图低”，如图. 　　　 四.反函数 1．反函数的定义 设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为． 由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域． 要点诠释： 并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如．一般说来，单调函数有反函数． 2．反函数的性质 （1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称． （2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上． 例题讲解 知识点一、 对数函数的概念 例1、(多选)下列函数中为对数函数的是(    ) A． B． C． D．(是常数) 例2、若函数是对数函数，则a的值是(    ) A．1或2 B．1 C．2 D．且 例3.下列函数中，哪些是对数函数？ （1）；（2）（3）； （4）；（5）． 练习： 1．下列函数是对数函数的是(    ) A． B． C． D． 2.在中，实数a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 3． (多选)函数中，实数的取值可能是(　　) A． B．3 C．4 D．5 知识点二 对数函数的定义域 例1、函数的定义域为(　　) A． B． C． D． 例2、已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 例3、若函数f(x)＝lg(x2﹣mx+1)的定义域为R，则实数m的取值范围是 ． 例4、求下列函数的定义域： (1)； (2). 练习： 1．函数 的定义域是(    ) A． B．或 C． D．或 2．函数的定义域为(    ) A． B． C． D． 3．函数的定义域为(    ) A． B． C． D． 4．求下列函数的定义域. (1) y= (2) （且）. 5．函数的定义域为[-1，2]，求的定义域. 知识点三 对数函数图像的辨析 例1、函数与(其中)的图象只可能是(    ) A．  B．  C．  D．   例2、若，则函数的图象不经过(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例3、若函数且的图象恒过定点，则实数 ， ． 练习： 1．如图(1)(2)(3)(4)中，不属于函数，，的一个是(    ) A．(1) B．(2) C．(3) D．(4) 2．若函数的图象不过第四象限，则实数a的取值范围为 ． 3． (多选)已知，且，则函数与的图象可能是(    ) A．  B．  C．  D．   4．函数(，且)的图象恒过点 ． 知识点四 比较对数值的大小 例1、比较下列各组中两个值的大小． 1 .②.③.④且. 例2、三个实数的大小关系为(    ) A． B． C． D． 练习： 1．若，，，则(    ) A． B． C． D． 2．已知，，则(    ) A． B． C． D． 3．设，，，则(    ) A． B． C． D． 4．函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，，则(    ) A． B． C． D． 知识点五 对数型函数的单调性及应用 例1、函数的递减区间为 . 例2、设函数在上单调递增，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 例3、比较下列各组数中的两个值大小： (1)； (2)； (3)与； (4) 与． (5)（）． 例4、比较其中0<a<1<b且a·b>1的大小. 例5、已知定义在R上的函数是偶函数，且x≥0时，）， （1）当x＜0时，求f（x）解析式； （2）写出f（x）的单调递增区间． 练习： 1.求函数单调(1－，1)减区间 . 2.已知函数在区间(－∞，)上是增函数，求实数a的取值范围 . 3．设函数在区间上单调递减，则的取值范围是 4.已知则（ ） A． B． C． D． 5.比较的大小． 6.求函数的值域和单调区间． 7.求函数的单调区间 知识点六 解对数不等式 例1、已知函数，则使得成立的x的取值范围是(    ) A． B． C． D． 例2、不等式的解集为 ． 例3、已知函数是定义在上的偶函数，当时，单调递减，则不等式的解集为 . 练习： 1．不等式的解集是 . 2．解下列关于x的不等式． (1)； (2)； (3)． 知识点七 对数型函数的值域(最值) 例1、函数在区间上的值域是(　　) A． B． C． D． 例2、求函数的值域. 例3、已知函数，在上的值域为(    ) A． B． C． D． 例4、已知函数既没有最大值，也没有最小值，则a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 练习： 1．函数的值域为(    ) A． B． C． D． 2．函数的值域是 ． 3．已知，设，则函数的值域为 ． 4．函数的最小值为 ． 5．设且，若函数的值域是，则的取值范围是 知识点八 对数函数性质的综合运用 例1、已知函数，． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)讨论函数的值域． 例2、（1）已知函数的定义域为，求实数的取值范围； （2）已知函数的值域为，求实数的取值范围； （3）的定义域为，求实数的取值范围． 例3、已知函数（常数）． （1）求的定义域； （2）在函数的图象上是否存在不同的两点，使过此两点的直线平行于轴； （3）当，满足什么关系时，在上恒取正值． 练习： 1．设函数，且． (1)求的值； (2)若令，求实数t的取值范围； (3)将表示成以为自变量的函数，并由此求函数的最大值与最小值及与之对应的x的值． 2.已知函数(，且). (1)求的定义域. (2)是否存在实数，使函数在区间上单调递减，并且最大值为2？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 3．已知是定义在R上的奇函数，其中． (1)求的值； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若对于任意的都有成立，求实数的取值范围． 4. 已知函数. (1)若函数的定义域为R，求实数的取值范围；(2)若函数的值域为R，求实数的取值范围. 5.已知，是否存在实数、，使同时满足下列两个条件：①在上是减函数，上是增函数；②的最小值是1．若存在，求出、的值，若不存在，说明理由． 知识点九 反函数 例1、已知点（2，99）在函数f（x）=lg（x+b）的反函数的图象上． （1）求实数b的值； （2）若0＜f（1―2x）―f（x）＜1，求x的取值范围． 练习： 1.若函数是函数且a≠1)的反函数，且，则（ ） (A) (B) (C) (D)2 举一反三 1．下列函数，其中为对数函数的是(    ) A． B． C． D． 2．多选)若函数，且满足对任意的实数，都有成立，则实数a的值可以是(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 3．(多选)若，则的可能取值是(    ) A． B． C． D． 4．已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 5.已知函数且，若函数值域是，则实数的取值范围是(　) A． B． C． D． 6.函数的图象大致为(    ) A．   B．   C．   D．   7．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 8．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，设，，，则，，的大小关系(    ) A． B． C． D． 9．设函数，则使得 的的取值范围是(    ) A． B． C． D． 10．已知函数在定义域内单调递减，若，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 11．函数是对数函数，则实数a＝ . 12．对数函数的图象过点，则对数函数的解析式为 . 13．已知函数是对数函数，则 ． 14.已知函数的定义域为，则函数的值域是 ． 15．已知函数，则的值域是 . 16．已知函数，设，则函数的值域为 ． 17．已知函数的定义域为，值域为，则满足要求的一个的值为 . 18．已知函数的值域为，则的取值范围是 ． 19．函数的图象恒过定点，若定点在直线上，其中，则的最小值为 . 20．如图所示的曲线分别是对数函数，，，的图象，则，，，，1，0的大小关系为 (用“＞”号连接)．    21．设，，，则的大小关系为 . 22．已知函数，则不等式的解集为 23．若函数的定义域为，则a的取值范围为 ；若函数的值域为，则a的取值范围为 . 课 堂 小 结 1． 对数函数的判断 1.系数：对数符号前面的系数为1 2.底数：对数的底数大于0且不等于1 3.真数：对数的真数仅有自变量x 二．定义域 1.分母不能为0； 2.根指数为偶数时，被开方数非负； 3.对数的真数大于0，底数大于0且不为1. 三．比较对数值大小 1.同底数的利用对数函数的单调性. 2.同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化. 3.底数和真数都不同，找中间量. 4.若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论. 四.y＝logaf(x)型函数性质 1.定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域. 2.值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域. 3.单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据同增异减法则判定.(或运用单调性定义判定) 4.奇偶性：根据奇偶函数的定义判定. 5.最值：在f(x)>0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值. 6.logaf(x)<logag(x)型不等式的解法 (1)讨论a与1的关系，确定单调性； (2)转化为f(x)与g(x)的不等关系求解，且注意真数大于零. 7.两类对数不等式的解法 (1)形如logaf(x)<logag(x)的不等式. ①当0<a<1时，可转化为f(x)>g(x)>0； ②当a>1时，可转化为0<f(x)<g(x). (2)形如logaf(x)<b的不等式可变形为logaf(x)<b＝logaab. ①当0<a<1时，可转化为f(x)>ab； ②当a>1时，可转化为0<f(x)<ab. 课 后 作 业 1. (多选)设函数，若实数a，b，c满足，且.则下列结论恒成立的是(    ) A． B． C． D． 2．若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为(    ) A． B． C． D． 3．若函数的值域为，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 4．已知函数(且)． (1)若函数为奇函数，求实数的值； (2)对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 5．已知函数的表达式为，且， (1)求函数的解析式； (2)若在区间上有解，求实数的取值范围； (3)已知，若方程的解分别为､. ①当时，求的值; ②方程的解分别为､，求的最大值. 6．已知函数 (1)若时，求该函数的值域； (2)若对恒成立，求的取值范围. 7．如图所示，过函数的图像上的两点A，B作x轴的垂线，垂足分别为，，线段BN与函数的图像交于点C，且AC与x轴平行. (1)当时，求实数m的值； (2)当时，求的最小值. 8．已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的取值范围; 9．已知的图像关于坐标原点对称. (1)求的值； (2)若函数在内存在零点，求实数的取值范围； (3)设，若不等式在上恒成立，求满足条件的最小整数的值. 10．已知，函数. (1)若关于的方程的解集中恰有两个元素，求的取值范围； (2)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的和不大于，求的取值范围. 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 授课主题 对数函数 年 级 高一 知 识 梳 理 一．对数函数的概念 1.概念：一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞). 2.概念理解(1)因为对数函数是指数函数变化而来的，对数函数的自变量恰好是指数函数的函数值，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)，对数函数的底数a>0，且a≠1. (2)形式上的严格性：在对数函数的定义表达式y＝logax(a>0，且a≠1)中，logax前边的系数必须是1，自变量x在真数的位置上，否则就不是对数函数.　　　 注：求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论。 二．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性 质 定义域 (0，＋∞) 值域 R 过定点 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 函数值 的变化 当0<x<1时，y<0， 当x>1时，y>0 当0<x<1时，y>0， 当x>1时，y<0 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 注：关于对数式logaN的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错， 可以1为分界点，当a，N同侧时，logaN>0；当a，N异侧时，logaN<0. 三.对数函数图像 两个单调性相同的对数函数，它们的图象在位于直线x＝1右侧的部分是“底大图低”，如图. 　　　 四.反函数 1．反函数的定义 设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为． 由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域． 要点诠释： 并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如．一般说来，单调函数有反函数． 2．反函数的性质 （1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称． （2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上． 例题讲解 知识点一、 对数函数的概念 例1、(多选)下列函数中为对数函数的是(    ) A． B． C． D．(是常数) 【解析】对于A，真数是，故A不是对数函数； 对于B，，真数是，不是，故B不是对数函数； 对于C，的系数为1，真数是，故C是对数函数； 对于D，底数，真数是，故D是对数函数．故选：CD 例2、若函数是对数函数，则a的值是(    ) A．1或2 B．1 C．2 D．且 【解析】∵函数是对数函数，∴，且， 解得或，∴，故选：C． 例3.下列函数中，哪些是对数函数？ （1）；（2）（3）； （4）；（5）． 【解析】（1）中真数不是自变量，不是对数函数． （2）中对数式后加2，所以不是对数函数． （3）中真数为，不是，系数不为1，故不是对数函数． （4）中底数是自变量，二非常数，所以不是对数函数． （5）中底数是6，真数为，符合对数函数的定义，故是对数函数． 练习： 1．下列函数是对数函数的是(    ) A． B． C． D． 【解析】形如的函数叫作对数函数，它的定义域是， 对于A，满足，故A正确； 对于B，C，D，形式均不正确，均错误. 故选：A 2.在中，实数a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【解析】要使式子有意义，则，解得或.故A，C，D错误. 3． (多选)函数中，实数的取值可能是(　　) A． B．3 C．4 D．5 【解析】因为，所以根据对数函数的定义得：，即：，所以或， 知识点二 对数函数的定义域 例1、函数的定义域为(　　) A． B． C． D． 【解析】由题意得： ，解得，定义域为.故选：A. 例2、已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【解析】已知函数的定义域为，所以，，所以函数的定义域为， 又，且，解得，且，所以定义域为.故答案为：. 例3、若函数f(x)＝lg(x2﹣mx+1)的定义域为R，则实数m的取值范围是 ． 【解析】由题意得在R上恒成立，所以，解得.故答案为：. 例4、求下列函数的定义域： (1)； (2). 【解析】由对数函数的定义知：，，解出不等式就可求出定义域. (1)因为，即，所以函数； (2)因为，即，所以函数. 练习： 1．函数 的定义域是(    ) A． B．或 C． D．或 【解析】由题意得，∴或，故定义域为或，故选：D. 2．函数的定义域为(    ) A． B． C． D． 【解析】由题意得，解得.故选：D 3．函数的定义域为(    ) A． B． C． D． 【解析】因为，所以，解得且， 所以的定义域为.故选：D. 4．求下列函数的定义域. (1) y= (2) （且）. 【解析】(1)因为， 所以，所以函数的定义域为(1，)(，2]. （2）因为 ， 所以.①当时，定义域为； ②当时，(i)若，则函数定义域为(，+∞)； (ii)若，且，则函数定义域为(-∞，)； (iii)若，则当时，函数定义域为；当时，此时不能构成函数，否则定义域为. 5．函数的定义域为[-1，2]，求的定义域. 【解析】由，可得的定义域为[，4]，再由得的定义域为[，16]. 知识点三 对数函数图像的辨析 例1、函数与(其中)的图象只可能是(    ) A．  B．  C．  D．   【解析】对于A，因为，故为R上的减函数，其图象应下降，A错误； 对于B，时，为R上的减函数，为上增函数，图象符合题意； 对于C，时，为上增函数，图象错误； 对于D，时，为上增函数，图象错误；故选：B 例2、若，则函数的图象不经过(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解析】，在上单调递减，且过第一，第四象限， 图像向左平移个单位，得到， 故函数的图象不经过第一象限，故选：． 例3、若函数且的图象恒过定点，则实数 ， ． 【解析】】∵函数的图象恒过定点，∴将代入，得． 又当，且时，恒成立，，．故答案为：； 练习： 1．如图(1)(2)(3)(4)中，不属于函数，，的一个是(    ) A．(1) B．(2) C．(3) D．(4) 【解析】因为，(3)是，(4)是，又与关于轴对称，(1)是．故选：B． 2．若函数的图象不过第四象限，则实数a的取值范围为 ． 【解析】函数的图象关于对称，其定义域为， 作出函数的大致图象如图所示， 由图可得，要使函数的图象不过第四象限，则，即，解得， 所以实数a的取值范围为.故答案为：. 3． (多选)已知，且，则函数与的图象可能是(    ) A．  B．  C．  D．   【解析】若，则函数的图象单调递减且过点， 函数的图象单调递减且过点； 若，则函数的图象单调递增且过点， 而函数的图象单调递增且过点， 只有A,C的图象符合．故选：AC 4．函数(，且)的图象恒过点 ． 【解析】令，解得，此时， 故(，且)的图象恒过点.故答案为： 知识点四 比较对数值的大小 例1、比较下列各组中两个值的大小． ①.②.③.④且. 【解析】①因为在上是增函数，且，则，所以 ②作出和的图象如下图．    由图象知. ③因为， ,所以. ④当时，函数在定义域上是增函数，则有； 当时，函数在定义域上是减函数，则有. 综上所述，当时，；当时，. 例2、三个实数的大小关系为(    ) A． B． C． D． 【解析】由于，， 故，故选：B 练习： 1．若，，，则(    ) A． B． C． D． 【解析】因为，，所以．故选：D 2．已知，，则(    ) A． B． C． D． 【解析】由在上单调递减可知，，即； 由对数函数在上单调递增可知，，即； 又可知，即；所以可得.故选：A 3．设，，，则(    ) A． B． C． D． 【解析】，，， 因为在定义域上是增函数，且，故.故选：C. 4．函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，，则(    ) A． B． C． D． 【解析】】因为函数是定义在上的偶函数， 可得，， 由对数的运算性质，可得，， 又由，所以， 又因为在上单调递增，所以，即.故选：D. 知识点五 对数型函数的单调性及应用 例1、函数的递减区间为 . 【解析】因为在上单调递减， 由复合函数的单调性可知，的递减区间为的单调递增区间， 且要满足，解得或， 其中在上单调递增， 故的递减区间为.故答案为： 例2、设函数在上单调递增，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【解析】由函数，得，即函数的定义域为，令， 由函数的对称轴为：，开口向下，所以在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增，所以当函数在上单调递增时， 所以根据复合函数的单调性可知：，解得，故选：D. 例3、比较下列各组数中的两个值大小： (1)； (2)； (3)与； (4) 与． (5)（）． 【解析】(1)解法1：画出对数函数的图象，横坐标为3.6的点在横坐标为8.9的点的下方，所以，； 解法2：由函数在R+上是单调增函数，且3.6<8.9，所以； (2)与第(1)小题类似，在R+上是单调减函数，且1.9<3.5，所以； (3)函数和的图象如图所示．当时，的图象在的图象上方，这里，． (4) (5) 注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小. 解法1：当时，在(0，+∞)上是增函数，且5.1<5.9，所以， 当时，y=logax在(0，+∞)上是减函数，且4.2<4.8，所以， 解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小， 令，则，令，则 当时，在R上是增函数，且4.2<4.8，所以，b1<b2，即 当时，在R上是减函数，且4.2<4.8所以，b1>b2，即. 例4、比较其中0<a<1<b且a·b>1的大小. 【解析】由0<a<1<b且a·b>1，得，， ，即 例5、已知定义在R上的函数是偶函数，且x≥0时，）， （1）当x＜0时，求f（x）解析式； （2）写出f（x）的单调递增区间． 【解析】（1）x＜0时，－x＞0∵x≥0时∴ ∵y=f（x）是偶函数，∴f（－x）=f（x），x＜0时， （2）由（1）知x＜0时，，根据复合函数的单调性可得函数的单调增区间（－1，0） x≥0时，根据复合函数的单调性可得函数的单调增区间（1，+∞） 所以函数的单调增区间为：（－1，0），（1，+∞） 练习： 1.求函数单调(1－，1)减区间 . 【解析】函数的定义域为－x2＋2x＋1>0，由二次函数的图象知1－<x<1＋. ∴t＝－x2＋2x＋1在(1－，1)上是增加的，而在(1，1＋)上是减少的，而y＝为减函数. ∴函数的减区间为(1－，1). 2.已知函数在区间(－∞，)上是增函数，求实数a的取值范围 . 【解析】令g(x)＝x2－ax＋a，g(x)在上是减函数，∵0<<1，∴y＝是减函数，而已知复合函数在区间(－∞，)上是增函数， ∴只要g(x)在(－∞，)上是减少的，且g(x)>0在x∈(－∞，)恒成立，即 ∴2≤a≤2(＋1)，故所求a的取值范围是[2，2(＋1)]. 3．设函数在区间上单调递减，则的取值范围是 【解析】在单调递增，故在单调递减，则， 又∵在恒成立，则，故，∴， 4.已知则（ ） A． B． C． D． 【解析】另，，，在同一坐标系下作出三个函数图像，由图像可得 又∵为单调递增函数，∴ 故选C. 5.比较的大小． 【解析】 6.求函数的值域和单调区间． 【解析】设，则，∵ y=t为增函数， 的值域为．再由：的定义域为 在上是递增而在上递减，而y=t为增函数 ∴ 函数y=的减区间为，增区间为. 7.求函数的单调区间 【解析】①若则递增，且递减，而，即， 在上递减． ② 若，则递减，且递增，而，即， 在上递减． 综上所述，函数的单调递减区间是：和． 知识点六 解对数不等式 例1、已知函数，则使得成立的x的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【解析】由题设，即， 因为函数在上单调递增，所以，解得.故选：B 例2、不等式的解集为 ． 【解析】因为，可得对数函数为单调递增函数， 则原不等式等价于，解得，即原不等式的解集为.故答案为：. 例3、已知函数是定义在上的偶函数，当时，单调递减，则不等式的解集为 . 【解析】因为函数是定义在上的偶函数，当时，单调递减，所以在上递增， 因为是定义在上的偶函数，所以由，得， 所以，所以或，所以或， 解得或，所以不等式的解集为或.故答案为：或. 练习： 1．不等式的解集是 . 【解析】易知， 由可得； 又函数在为单调递减，所以可得，解得.故答案为： 2．解下列关于x的不等式． (1)； (2)； (3)． 【解析】(1)由题意可得解得，所以原不等式的解集为． (2)当时，原不等式等价于，解得， 当时，原不等式等价于解得 综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为. (3)当时，由，可得，此时无解；当时，由，可得． 综上，原不等式的解集为. 知识点七 对数型函数的值域(最值) 例1、函数在区间上的值域是(　　) A． B． C． D． 【解析】在上是减函数，，即值域为.故选：A. 例2、求函数的值域. 【解析】因为函数的定义域为：， 而方程的，所以对恒成立， 令： 在上是减函数， 所以，即原函数的值域为故答案为： 例3、已知函数，在上的值域为(    ) A． B． C． D． 【解析】因为函数，，令，则. 所以原函数转化为,又对称轴为， 所以当时，函数取得最小值，当或时，函数取得最大值为， 所以所求函数的值域为，   故选：A． 例4、已知函数既没有最大值，也没有最小值，则a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【解析】由，a不等于0时，, 当得，二次函数没有最大值，有最小值， 没有最大值，有最小值，不合题意. 当得，，二次函数没有最大值，有最小值， ,没有最大值，没有最小值， 当得，二次函数有最大值，没有最小值， ,有最大值，没有最小值，不合题意. 当无解.当,既没有最大值，也没有最小值，没有最大值，没有最小值，.故选：D. 练习： 1．函数的值域为(    ) A． B． C． D． 【解析】由知，，值域是．故选：C 2．函数的值域是 ． 【解析】令，则，因为，所以的值域为， 因为在是减函数，所以，所以的值域为， 3．已知，设，则函数的值域为 ． 【解析】由题意得，则，即的定义域为， 故， 令，则，函数在上单调递增，故， 故函数的值域为，故答案为： 4．函数的最小值为 ． 【解析】显然，∴ ，    令，∵x∈，∴t∈[－1，2]，则， 当且仅当t＝－即x＝时，有.故答案为： 5．设且，若函数的值域是，则的取值范围是 【解析】由于函数且的值域是，故当时，满足. 若在它的定义域上单调递增，当时，由，. 若在它的定义域上单调递减， ，不满足的值域是.综上可得，. 知识点八 对数函数性质的综合运用 例1、已知函数，． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)讨论函数的值域． 【解析】(1)且，得，即定义域为. (2)因为定义域关于原点对称，且，所以函数为偶函数. (3)，令，由，得，则，，当时，，所以原函数的值域为；当时，，所以原函数的值域为. 例2、（1）已知函数的定义域为，求实数的取值范围； （2）已知函数的值域为，求实数的取值范围； （3）的定义域为，求实数的取值范围． 【解析】（1）的定义域为R，恒成立，，． （2）的值域为R，取遍一切正数，，． （3）由题意，问题可等价转化为不等式的解集为，记作图形，如图所示，只需过点，，即满足，且即可，解得．所以由图象可以看出若，则，即，得：，所以。 例3、已知函数（常数）． （1）求的定义域； （2）在函数的图象上是否存在不同的两点，使过此两点的直线平行于轴； （3）当，满足什么关系时，在上恒取正值． 【解析】（1）由，得，由，得，故，即函数的定义域为． （2）设， 故即， 在上为增函数． 假设函数的图象上存在不同的两点，，使直线AB平行于轴，即，这与是增函数矛盾． 故函数的图象上不存在不同的两点，使过这两点的直线平行于轴． （3）由（2）知在上是增函数在上也是增函数 当时，只需，即 当时，在上恒取正值． 练习： 1．设函数，且． (1)求的值； (2)若令，求实数t的取值范围； (3)将表示成以为自变量的函数，并由此求函数的最大值与最小值及与之对应的x的值． 【解析】(1)； (2)，又，，，所以t的取值范围为； (3)由， 令，， 当时，，即，解得， 所以，此时； 当时，，即，，此时． 2.已知函数(，且). (1)求的定义域. (2)是否存在实数，使函数在区间上单调递减，并且最大值为2？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解析】(1)根据对数型函数定义的求法简单计算即可. (1)由题意可得，即，因为，所以解得.故的定义域为. (2)假设存在实数，使函数在区间上单调递减，并且最大值为2. 设函数，由，得，所以在区间上为减函数且恒成立， 因为在区间上单调递减，所以且，即. 又因为在区间上的最大值为2，所以， 整理得，解得.因为，所以， 所以存在实数，使函数在区间上单调递减，并且最大值为2. 3．已知是定义在R上的奇函数，其中． (1)求的值； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若对于任意的都有成立，求实数的取值范围． 【解析】(1) ， 得，，； (2)，设，设， ， 单调递增，根据复合函数的单调性可知单调递增； (3)， ，由(1)(2)可知函数是奇函数，并且在单调递增，所以函数在上单调递增， ，当时，恒成立，即， 因为，则，当时，恒成立，即，因为 ，则，当时，，综上可知，对恒成立，即. 4. 已知函数. (1)若函数的定义域为R，求实数的取值范围；(2)若函数的值域为R，求实数的取值范围. 【解析】(1) 的定义域为R，即：关于x的不等式的解集为R， 当a=0时，此不等式变为2x+1>0，其解集不是R； 当a≠0时，有 a>1.∴ a的取值范围为a>1. (2)f(x)的值域为R，即u=ax2+2x+1能取遍一切正数 a=0或0≤a≤1， ∴ a的取值范围为0≤a≤1. 5.已知，是否存在实数、，使同时满足下列两个条件：①在上是减函数，上是增函数；②的最小值是1．若存在，求出、的值，若不存在，说明理由． 【解析】设存在满足条件的、在上是减函数，上是增函数， 当时，最小，从而 设，则，恒成立， 即恒成立，又因此恒成立，从而． 设，则恒成立，化简得恒成立， 又所以恒成立，故．综上，． 知识点九 反函数 例1、已知点（2，99）在函数f（x）=lg（x+b）的反函数的图象上． （1）求实数b的值； （2）若0＜f（1―2x）―f（x）＜1，求x的取值范围． 【解析】（1）∵点（2，99）在函数f（x）=lg（x+b）的反函数的图象上，∴点（99，2）在函数f（x）=log（x+b）的图象上，即lg（99+b）=2，即99+b=100，解得：b=1； （2）由（1）得f（x）=lg（x+1），x＞－1，则0＜f（1―2x）―f（x）＜1可化为：， 即，解得：，即x的取值范围为 练习： 1.若函数是函数且a≠1)的反函数，且，则（ ） (A) (B) (C) (D)2 【解析】解法1：函数是函数且a≠1)的反函数，又 ，， 故选A． 解法2：函数是函数且a≠1)的反函数，且 点（1，2）在函数的图象上， 举一反三 1．下列函数，其中为对数函数的是(    ) A． B． C． D． 【解析】函数，的真数不是自变量，它们不是对数函数，AB不是； 函数是对数函数，C是；函数的底数含有参数，而的值不能保证是不等于1的正数，D不是.故选：C 2．多选)若函数，且满足对任意的实数，都有成立，则实数a的值可以是(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 【解析】函数满足对任意的实数都有， 所以函数是R上的增函数， 则由对数函数与一次函数单调性可知应满足，解得，故选：BC. 3．(多选)若，则的可能取值是(    ) A． B． C． D． 【解析】依题意且，，所以， 由于，所以，解得，所以BCD选项符合，A选项不符合.故选：BCD 4．已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【解析】在上单调递减，故在上单调递增，且在成立，故要满足且，解得.故选：C 5.已知函数且，若函数值域是，则实数的取值范围是(　) A． B． C． D． 【解析】当时，，函数在上单调递增， 在上单调递减，所以，即； 若函数的值域是，则需当时，． 当时，在上单调递增， 此时，不合题意； 当时，在上单调递减， 此时，即，则， 所以，显然，解得，又，所以． 综上所述，实数的取值范围是．故选：B 6.函数的图象大致为(    ) A．   B．   C．   D．   【解析】由已知得函数的定义域为， ∵   ，∴为奇函数， 令，则，其中   ， 故，排除,令，， 其中，故，排除,故选：. 7．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【解析】因为函数在区间上有意义，所以，解得， 此时二次函数图象开口向上，对称轴， 在上单调递增，又为增函数， 所以由复合函数单调性法则知，在区间上单调递增，符合题意， 所以的取值范围为.故选：D 8．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，设，，，则，，的大小关系(    ) A． B． C． D． 【解析】函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，所以在上单调递减. ，， ，所以.故选：B 9．设函数，则使得 的的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【解析】函数的定义域为，且 所以函数为偶函数，又因为当时，函数，单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增，因为偶函数有， 所以由可得，所以，即，整理得：， 解得：，所以的取值范围为.故选：C. 10．已知函数在定义域内单调递减，若，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【解析】依题意，函数的定义域为，即函数在上单调递减， 因此，不等式化为：，解得， 所以实数的取值范围是.故选：B 11．函数是对数函数，则实数a＝ . 【解析】由题意得，解得或1，又且，所以故答案为：1 12．对数函数的图象过点，则对数函数的解析式为 . 【解析】设对数函数的解析式为 (且)，由已知可得，即， 解得，即函数解析式为，故答案为： 13．已知函数是对数函数，则 ． 【解析】因为函数是对数函数，则，解得．故答案为：1. 14.已知函数的定义域为，则函数的值域是 ． 【解析】∵，∴，即，即，则函数的值域为. 15．已知函数，则的值域是 . 【解析】, 单调递增，，则的值域是。故答案为： 16．已知函数，设，则函数的值域为 ． 【解析】由得：，即的定义域为， ， 令，则，令， 则，，，即的值域为. 17．已知函数的定义域为，值域为，则满足要求的一个的值为 . 【解析】当时，，因为函数的定义域为，值域为，所以，解得.取.故答案为：. 18．已知函数的值域为，则的取值范围是 ． 【解析】对任意的，，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因为函数的值域为，则， 所以，，解得.因此，实数的取值范围是. 19．函数的图象恒过定点，若定点在直线上，其中，则的最小值为 . 【解析】由题意可得定点．又点在直线上，∴， 则， 当且仅当时取等号．所以的最小值为2. 20．如图所示的曲线分别是对数函数，，，的图象，则，，，，1，0的大小关系为 (用“＞”号连接)．    【解析】由题图可知，，，． 直线与四个函数图象交点的横坐标从左向右依次为，，，，故答案为： 21．设，，，则的大小关系为 . 【解析】根据对数函数单调性可知，即可得；而，即； 由指数函数单调性及值域可得，即可得；所以可得. 22．已知函数，则不等式的解集为 【解析】函数的定义域为，且， 故为偶函数，当时，又与在上单调递增， 所以在上单调递增，则在上单调递减， 不等式，等价于，即，解得，所以不等式的解集为. 23．若函数的定义域为，则a的取值范围为 ；若函数的值域为，则a的取值范围为 . 【解析】函数的定义域为，则对于恒成立， 故，解得，即； 若函数的值域为，即能取到所有正数， 故，解得或，即， 故答案为：； 课 堂 小 结 1． 对数函数的判断 1.系数：对数符号前面的系数为1 2.底数：对数的底数大于0且不等于1 3.真数：对数的真数仅有自变量x 二．定义域 1.分母不能为0； 2.根指数为偶数时，被开方数非负； 3.对数的真数大于0，底数大于0且不为1. 三．比较对数值大小 1.同底数的利用对数函数的单调性. 2.同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化. 3.底数和真数都不同，找中间量. 4.若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论. 四.y＝logaf(x)型函数性质 1.定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域. 2.值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域. 3.单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据同增异减法则判定.(或运用单调性定义判定) 4.奇偶性：根据奇偶函数的定义判定. 5.最值：在f(x)>0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值. 6.logaf(x)<logag(x)型不等式的解法 (1)讨论a与1的关系，确定单调性； (2)转化为f(x)与g(x)的不等关系求解，且注意真数大于零. 7.两类对数不等式的解法 (1)形如logaf(x)<logag(x)的不等式. ①当0<a<1时，可转化为f(x)>g(x)>0； ②当a>1时，可转化为0<f(x)<g(x). (2)形如logaf(x)<b的不等式可变形为logaf(x)<b＝logaab. ①当0<a<1时，可转化为f(x)>ab； ②当a>1时，可转化为0<f(x)<ab. 课 后 作 业 1. (多选)设函数，若实数a，b，c满足，且.则下列结论恒成立的是(    ) A． B． C． D． 【解析】画出函数图象，如图，    因为，且，.所以.且即. 对A，因为，所以，故A正确； 对B，因为，所以，由对勾函数的性质知函数在上为单调减函数，则，故B正确；     对C，因为，所以，又，则，令解得，即时，, 因为函数在上单调递减，则当时，有，故C不正确； 对D，因为，所以，由对勾函数的性质知在上递减，则. 因为函数在上单调递减，所以，故D正确.故选：ABD 2．若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【解析】变形为：，即在上恒成立， 若，此时在上单调递减，，而当时，，显然不合题意； 当时，画出两个函数的图像，    要想满足在上恒成立，只需，即， 解得：，综上：实数a的取值范围是.故选：C 3．若函数的值域为，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【解析】若时，当时，单调递增，此时； 当时，，在上单调递增，在上单调递减，此时， 若函数值域为，则需，解得；若时，当时，单调递减，此时；当时，，在上单调递增，在上单调递减，此时，所以，不满足函数值域为，不符合题意，舍去， 若时，当时，；当时，，在上单调递增，在上单调递减，此时，所以，不满足函数值域为，不符合题意，舍去， 综上的取值范围为，故选：B. 4．已知函数(且)． (1)若函数为奇函数，求实数的值； (2)对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【解析】(1)因为函数为奇函数，所以对定义域内每一个元素恒成立． 即， 则，即． 又因为，所以，故． (2)因为，所以． 由，得到， 又，故只需要，即对任意恒成立． 因为，所以，故对任意的恒成立． 因为在为减函数，所以，故．综上所述，． 5．已知函数的表达式为，且， (1)求函数的解析式； (2)若在区间上有解，求实数的取值范围； (3)已知，若方程的解分别为､. ①当时，求的值; ②方程的解分别为､，求的最大值. 【解析】(1)解：由，所以；所以； (2)因为在区间上有解，即在区间上有解 即在区间上有解，设，由，则 所以在区间上有解，当时，，所以； (3)①当时，方程，即为方程，解得 或 ，又， 所以 ； ②由，得或，因为方程的解分别为､， 所以，，所以， 由，得或， 因为方程的解分别为､，所以或，则， 所以， 因为函数在上单调递减，当 时，有最大值 . 所以，则，所以的最大值为. 6．已知函数 (1)若时，求该函数的值域； (2)若对恒成立，求的取值范围. 【解析】(1)由题知，，，令， ，，， 所以该函数的值域为. (2)同(1)令，，即恒成立， ， ，易知其在上单调递增，， ，的取值范围为. 7．如图所示，过函数的图像上的两点A，B作x轴的垂线，垂足分别为，，线段BN与函数的图像交于点C，且AC与x轴平行. (1)当时，求实数m的值； (2)当时，求的最小值. 【解析】(1)由题意得，，． 因为AC与x轴平行，所以，所以． (2)由题意得，，． 因为AC与x轴平行，所以，因为，所以， 所以，所以当时，取得最小值． 8．已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的取值范围; 【解析】(1)因为，令，因为，所以， 此时，．，∵∴所以函数的值域为； (2)对于对于x∈[4，16]恒成立，令， 即2t2﹣3t+1≥mt对t∈[1，2]恒成立，∴对恒成立． 由对勾函数的单调性可知，在上单调递增，∴g(t)min＝g(1)＝0，∴m≤0． 9．已知的图像关于坐标原点对称. (1)求的值； (2)若函数在内存在零点，求实数的取值范围； (3)设，若不等式在上恒成立，求满足条件的最小整数的值. 【解析】(1)由题意知是上的奇函数，∴，得． (2)， 由题设知在内有解，即方程在内有解． ∴在内单调递增，∴； 故当时，函数在内存在零点． (3)由，得，， 显然时，，即． 设，由于，； 于是，； 故满足条件的最小整数的值是． 10．已知，函数. (1)若关于的方程的解集中恰有两个元素，求的取值范围； (2)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的和不大于，求的取值范围. 【解析】(1)，，，， ，令，则，或，(时，等号成立)，要使与在区间有两个交点， 结合二次函数的性质可知. (2)因为函数在上递减，所以函数在定义域内递减. 所以在区间上的最大值为，最小值为， ， 所以对恒成立，令， 对恒成立，在上递增， 所以，解得， 由于，所以，所以的取值范围是. 30 学科网（北京）股份有限公司 $$