专题2.4.2 简单幂函数的图像和性质（高效培优讲义）数学北师大版高一必修第一册

本讲义聚焦高中数学幂函数核心内容，系统梳理幂函数的定义及与指数函数的区分，通过思维导图呈现五个常见幂函数的图像、定义域、值域、奇偶性和单调性，构建从概念辨析到性质应用的学习支架。 资料设计“即学即练”与“典例+变式”模块，以具体题目训练数学思维，通过“正增负减”等口诀培养几何直观，多样题型覆盖比较大小、解不等式等应用，课中辅助教学深化理解，课后助力学生查漏补缺，提升应用意识。

专题2.4.2简单幂函数的图像和性质 教学目标 理解幂函数的概念，会辨别幂函数，区分幂函数与指数函数。 掌握 5 个常见幂函数的图象与基本性质。 掌握幂函数在第一象限的图象变化规律。 能够利用幂函数性质比较大小、求定义域值域、解简单不等式。 教学重难点 1.重点 幂函数的概念，识别幂函数。 五个常见幂函数的图象与性质。 幂函数在第一象限的图象变化规律。 2.难点 区分幂函数与指数函数。 指数取不同值时，幂函数单调性、定义域的变化。 综合利用幂函数单调性、奇偶性比较大小、解不等式。 知识点 1：幂函数的定义 一般地，形如（为常数）的函数叫做幂函数。 关键点辨析： 底数是自变量x，指数是常数； 前面的系数必须为，后面不能额外加常数。 对比指数函数：指数函数，底数为常数，指数是自变量。 【即学即练】 下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 知识点 2：五个常见幂函数的图像与性质 表格 函数 y=x 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 上递增 递减， 递增 上递增 $ 共性：所有幂函数都过定点。 知识点 3：幂函数在第一象限的图象规律 当时： ① 图象过(0,0)、(1,1)； ② 在上单调递增； ③ 越大，在x>1部分图象位置越高。 当时： ① 图象过(1,1)，不过原点； ② 在上单调递减； ③越小，在x>1部分图象位置越低； ④ 图象向坐标轴无限靠近，但不与坐标轴相交。 口诀：正增负减，都过(1,1)；正过原点，负不过原点。 【即学即练】 图中为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（    ） A． B． C． D． 知识点 4：幂函数奇偶性拓展 为奇数：一般为奇函数； 偶数：一般为偶函数； 分数指数注意定义域 【即学即练】 若幂函数为偶函数且在单调递增，则实数的可能值为（   ） A． B． C． D． 知识点 5：幂函数比较大小思路 同指数不同底数：利用幂函数在对应区间单调性； 同底数不同指数：利用指数函数单调性； 既不同底也不同指数：找中间量\(0,1\)做桥梁。 【即学即练】 已知幂函数为偶函数，且，，，则（　 　） A． B． C． D． 题型 01幂函数概念辨析 【典例1】下列函数是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列函数中幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列哪些函数是幂函数（    ） A． B． C． D． 【变式3】下列选项中哪些是幂函数（    ）． A． B． C． D． 题型 02求幂函数的定义域、值域 【典例1】下列函数中，定义域为的是（    ）. A． B． C． D． 【变式1】已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2】若函数是偶函数，且值域为，则可以是（   ） A． B． C． D． 【变式3】若函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型 03：幂函数求之问题 【典例1】已知幂函数的图象经过点，则的值是______. 【变式1】若是幂函数，则的值为__________. 【变式2】已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C．4 D．8 题型 04：幂函数性质应用 —— 求不等式解集 【典例1】已知幂函数，则（    ） A． B．的定义域为 C．为非奇非偶函数 D．不等式的解集为 【变式1】已知幂函数过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式2】  已知函数． (1)求在上的值域； (2)解不等式； (3)若关于的方程在上有解，求的取值范围． 【变式3】 题型 05：幂函数奇偶性、单调性综合 【典例1】下列函数中，是奇函数且在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知幂函数在上单调递减，则__________． 【变式2】  已知幂函数过点，若不等式成立，则满足不等式的实数m的解集是_________. 【变式3】已知，若幂函数是偶函数，则______________． 题型 06：幂函数过定点问题 【典例1】函数的图象过定点______. 【变式1】函数的图像恒过点________________． 【变式2】  函数（，且）的图像恒过定点________. 【变式3】函数（其中，且）图象上的定点A的坐标为______，若幂函数的图像经过点A，则_____． 题型 07：幂函数的解析式求解 【典例1】已知幂函数的图象过点，则__________． 【变式1】若幂函数的图像经过点，则实数______. 【变式2】若幂函数满足，则实数m的值为________． 【变式3】若幂函数的图象经过点，则实数的值为___________． 题型 08：幂函数图像识别 【典例1】函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式1】函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【变式2】  函数的大致图像如图，则其解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知是整数，幂函数在上单调递增． (1)求的解析式； (2)若，画出函数的大致图象； (3)根据图象写出的单调区间. 1．函数的图象可以由的图象（   ）得到. A．向左平移一个单位 B．向右平移一个单位 C．向上平移一个单位 D．向下平移一个单位 2．已知函数，则函数的图象（    ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于点对称 D．关于点对称 3．已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 4．已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（     ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 5．已知幂函数的图象与x轴无交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．若函数为幂函数，则函数在定义域内为（     ） A．增函数 B．减函数 C．偶函数 D．奇函数 7．幂函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 8．幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 9．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 10．图中，，分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（    ） A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3 11．若幂函数与在第一象限的图象如图所示，则与的取值情况为 A． B． C． D． 12．下列函数是减函数的为（     ） A． B． C． D． 13．下列函数中，是奇函数且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 14．如果一个函数的图象通过平移后可以得到函数的图象，那么这个函数可以是（   ） A． B． C． D． 15．下列关于幂函数的说法正确的有（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C．函数为偶函数 D．不等式的解集为 1．已知函数的图象为曲线，曲线关于点中心对称. (1)求点的坐标； (2)求不等式的解集. 2．已知函数（，常数） (1)讨论的奇偶性，并说明理由； (2)若，将的图像向左平移一个单位，再向上平移两个单位得到的图像，求的解析式. 3．已知幂函数在上单调递增， (1)求函数的解析式； (2)求关于的不等式的解集（其中）. 4．已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并证明. 5．求下列幂函数的定义域． (1)； (2)； (3)． 6．已知函数． (1)求的解析式； (2)若对任意，，不等式恒成立，求的取值范围． 7．已知幂函数的图象关于轴对称． (1)求的值； (2)设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围． 8．已知幂函数在上单调递增. （1）求的值； （2）当时，记的值域为集合，若集合，且，求实数的取值范围. 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4.2简单幂函数的图像和性质 教学目标 理解幂函数的概念，会辨别幂函数，区分幂函数与指数函数。 掌握 5 个常见幂函数的图象与基本性质。 掌握幂函数在第一象限的图象变化规律。 能够利用幂函数性质比较大小、求定义域值域、解简单不等式。 教学重难点 1.重点 幂函数的概念，识别幂函数。 五个常见幂函数的图象与性质。 幂函数在第一象限的图象变化规律。 2.难点 区分幂函数与指数函数。 指数取不同值时，幂函数单调性、定义域的变化。 综合利用幂函数单调性、奇偶性比较大小、解不等式。 知识点 1：幂函数的定义 一般地，形如（为常数）的函数叫做幂函数。 关键点辨析： 底数是自变量x，指数是常数； 前面的系数必须为，后面不能额外加常数。 对比指数函数：指数函数，底数为常数，指数是自变量。 【即学即练】 下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A选项不满足底数为单独的x的特征，所以不是幂函数； B选项不满足系数为1的特征，所以不是幂函数； C选项不符合y＝xα的单一形式，所以不是幂函数； D选项是幂函数. 知识点 2：五个常见幂函数的图像与性质 表格 函数 y=x 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 上递增 递减， 递增 上递增 $ 共性：所有幂函数都过定点。 知识点 3：幂函数在第一象限的图象规律 当时： ① 图象过(0,0)、(1,1)； ② 在上单调递增； ③ 越大，在x>1部分图象位置越高。 当时： ① 图象过(1,1)，不过原点； ② 在上单调递减； ③越小，在x>1部分图象位置越低； ④ 图象向坐标轴无限靠近，但不与坐标轴相交。 口诀：正增负减，都过(1,1)；正过原点，负不过原点。 【即学即练】 图中为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定的图象，结合幂函数的性质判断即得. 【详解】令图象为的幂函数分别为， 观察图象知，曲线在第一象限内从左到右下降，对应函数在上单调递减，则； 曲线在第一象限内从左到右都上升，对应函数在上都单调递增， 而在时，曲线在直线上方，曲线在直线下方，则， 因此. 故选：D 知识点 4：幂函数奇偶性拓展 为奇数：一般为奇函数； 偶数：一般为偶函数； 分数指数注意定义域 【即学即练】 若幂函数为偶函数且在单调递增，则实数的可能值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】幂函数在单调递增的充要条件是，故A，B选项错误， 由偶函数的性质验证C，D选项 选项C：，对应函数，定义域为，且满足，是偶函数，C选项正确， 选项D：，对应函数，定义域是，定义域不关于原点对称，既不是奇函数又不是偶函数，D选项错误. 知识点 5：幂函数比较大小思路 同指数不同底数：利用幂函数在对应区间单调性； 同底数不同指数：利用指数函数单调性； 既不同底也不同指数：找中间量0,1做桥梁。 【即学即练】 已知幂函数为偶函数，且，，，则（　 　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】为幂函数，所以，即， 因式分解得：，解得：或， 为偶函数，所以，， 因为，所以在单调递增，所以，，即得. 题型 01幂函数概念辨析 【典例1】下列函数是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义即可得解. 【详解】根据幂函数的定义，A、B、C均不是幂函数，只有D选项，形如（为常数），是幂函数，所以D正确 故选：D. 【变式1】下列函数中幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义直接得出结果. 【详解】A：函数为一次函数，故A不符合题意； B：函数为二次函数，故B不符合题意； C：函数为二次函数，故C不符合题意； D：函数为幂函数，故D符合题意. 故选：D 【变式2】下列哪些函数是幂函数（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由幂函数的定义对比选项即可求解. 【详解】由幂函数的标准形式，对比选项可知，与符合题意. 故选：BD. 【变式3】下列选项中哪些是幂函数（    ）． A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由幂函数的定义依次判断各项即可. 【详解】因为幂函数定义：一般地，函数叫做幂函数，其中x是自变量，是常数， 又，所以A项、C项正确. 故选：AC. 题型 02求幂函数的定义域、值域 【典例1】下列函数中，定义域为的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将选项中的幂函数分别化成根式，即可求得函数的定义域逐一判断即可. 【详解】对于A，因，则该函数的定义域为，故A不合题意； 对于B，因，该函数的定义域为，故B不合题意； 对于C，因，则该函数的定义域为，故C符合题意； 对于D，因，则该函数的定义域为，故D不合题意. 故选：C. 【变式1】已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据题意设出解析式，求出解析式后求解具体函数定义域即可. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故，则， 故，解得 故选：B 【变式2】若函数是偶函数，且值域为，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的性质逐一分析每个选项. 【详解】A选项，，需满足，即定义域为， 定义域不关于原点对称，不是偶函数，A选项错误； C选项，，值域为，值域不符合题意，C选项错误； D选项，，需满足，即定义域为， 定义域不关于原点对称，不是偶函数，D选项错误； B选项，，定义域为，定义域关于原点对称， 且，是偶函数，且值域也满足，B选项正确. 故选：B 【变式3】若函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，根据复合函数的值域得函数的最小值要小于等于，进而结合二次函数性质求解即可． 【详解】解：由题意：函数是一个复合函数，要使值域为， 则函数的值域要包括，即最小值要小于等于． 当时，显然不成立， 所以，当时，则有，解得， 所以的取值范围是. 故选：B． 题型 03：幂函数求之问题 【典例1】已知幂函数的图象经过点，则的值是______. 【答案】 【分析】根据条件得，即可求解. 【详解】由题知，所以，则，所以 故答案为：. 【变式1】若是幂函数，则的值为__________. 【答案】 【分析】根据幂函数的定义即可求得函数解析式，进而求解函数值. 【详解】因为是幂函数， 所以，即， 所以. 故答案为： 【变式2】已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【详解】由题意得，解得，故， 所以. 题型 04：幂函数性质应用 —— 求不等式解集 【典例1】已知幂函数，则（    ） A． B．的定义域为 C．为非奇非偶函数 D．不等式的解集为 【答案】AB 【分析】根据幂函数得，进而确定其定义域、奇偶性、区间单调性，并应用单调性解不等式判断各项正误. 【详解】对于A：由题意，解得，正确； 对于B：的定义域为，正确； 对于C：，所以函数为偶函数，错误； 对于D：为偶函数且在单调递增， 由得，解得或，错误； 故选：AB 【变式1】已知幂函数过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设幂函数解析式，再应用过点求参数得出，最后应用单调性列式计算求解. 【详解】设幂函数，代入点得，解得，故， 因为函数为偶函数，所以等价于， 因为函数在上单调递增，所以等价于， 平方化简得，解得解集为； 【变式2】  已知函数． (1)求在上的值域； (2)解不等式； (3)若关于的方程在上有解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）换元后，利用二次函数的单调性即可得解； （2）令则原不等式化为，求出的范围再求的范围； （3）换元后求出的值域即为的范围. 【详解】（1）令,则，所以，，在区间上单调递增，所以， 所以在上的值域为； （2）令则化为，化简得， 解得，即，解得，所以原不等式的解集为. （3）令因为，所以，则， 令，在单调递减，在单调递增，所以时取得最小值， 又时，，时，，所以时取得最大值， 所以 ，所以的取值范围是. 【变式3】 题型 05：幂函数奇偶性、单调性综合 【典例1】下列函数中，是奇函数且在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】选项A：的定义域为，关于原点对称，且，是奇函数； 根据幂函数性质，幂指数，在上单调递减，故A符合要求； 选项B：的定义域为，关于原点对称，，是奇函数； 且在上单调递减，故B符合要求； 选项C：是二次函数，满足，是偶函数，不符合； 选项D：是奇函数，但幂指数，在上单调递增，不符合. 【变式1】已知幂函数在上单调递减，则__________． 【答案】 【详解】由题意可知， 所以，解得. 所以， 所以. 【变式2】  已知幂函数过点，若不等式成立，则满足不等式的实数m的解集是_________. 【答案】 【详解】由题可设幂函数，则，即， 所以， 所以，即， 所以该函数定义域为，且该函数在上单调递减， 所以若不等式成立， 则，解得 【变式3】已知，若幂函数是偶函数，则______________． 【答案】2 【分析】根据幂函数的定义求参数的值，然后依次检验是否为偶函数即可 【详解】因为为幂函数，所以，解得或. 当时, ,该函数定义域为，定义域不关于原点对称，故不是偶函数. 当时,,因为,故该函数为偶函数. 综上,. 题型 06：幂函数过定点问题 【典例1】函数的图象过定点______. 【答案】 【详解】由，解得，代入函数，可得， 所以函数图象恒过定点. 【变式1】函数的图像恒过点________________． 【答案】 【详解】令得，此时，所以的图象恒过. 【变式2】  函数（，且）的图像恒过定点________. 【答案】 【分析】根据指数函数过定点,结合函数图像平移变换,即可得过的定点. 【详解】因为指数函数（,且）过定点 是将向左平移2个单位,向上平移3个单位得到 所以过定点 【点睛】本题考查了指数函数的图像与性质,函数图像的平移变换,属于基础题. 【变式3】函数（其中，且）图象上的定点A的坐标为______，若幂函数的图像经过点A，则_____． 【答案】 【解析】由指数函数的性质，令即可得点A的坐标，代入幂函数的解析式即可得解. 【详解】由题意，恒成立，所以点A的坐标为； 设幂函数，所以，解得， 所以. 故答案为：；. 题型 07：幂函数的解析式求解 【典例1】已知幂函数的图象过点，则__________． 【答案】 【详解】因为函数为幂函数，所以设， 函数过点，所以， 所以. 【变式1】若幂函数的图像经过点，则实数______. 【答案】3 【详解】代入，即，解得. 【变式2】若幂函数满足，则实数m的值为________． 【答案】 【详解】幂函数， 所以，解得或， 当时，，此时，当时，，此时， 又因为，所以满足要求， 即. 【变式3】若幂函数的图象经过点，则实数的值为___________． 【答案】/0.25 【分析】将已知点坐标代入幂函数解析式，即可求解参数. 【详解】由题意， 在中，图象经过点， ∴， 解得：. 题型 08：幂函数图像识别 【典例1】函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断函数的定义域和值域，再根据幂函数的性质判断即可. 【详解】函数的定义域为，值域为，排除B，D选项， 又函数函数图像为曲线非直线，故C错误， A选项图像大致符合函数图像. 故选：A 【变式1】函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的图象及偶函数的性质即可求解． 【详解】因为幂函数的指数，所以在单调递减， 又因为定义域为，， 所以为偶函数，则在单调递增， 故选：B． 【变式2】  函数的大致图像如图，则其解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】要解决这个问题，我们需要根据函数图像的特征，逐一分析每个选项中的函数，看是否符合图像特点. 【详解】由已知函数的图象知：函数的定义域为，且函数值恒大于等于零， 对于A选项，的图象是两条射线， 与已知图象不符，故不正确. 对于B选项,的定义域为，与已知图象不符，故不正确. 对于C选项,当时,是一个单调递增的曲线，当时,是一个单调递减的曲线，整体图象关于对称，且在处平滑连接,与已知图象相符，故正确. 对于D选项,当时，，增长速度较快，当时，，下降速度也较快，与已知图象不符，故不正确. 故选：C 【变式3】已知是整数，幂函数在上单调递增． (1)求的解析式； (2)若，画出函数的大致图象； (3)根据图象写出的单调区间. 【答案】(1) (2)作图： (3)单调减区间为，，单调增区间为， 【分析】（1）根据幂函数的性质可得，求出的取值范围，再根据是整数，求出的值，再代入即可； （2）由（1）可得，即可画出函数图象； （3）结合（2）中函数图象得到函数的单调区间. 【详解】（1）由题意可知，，即， 因为是整数，所以，或， 当时，，当时，， 综上可知，的解析式为. （2）由（1）知，则， 函数的图象如图所示， （3）由（2）可知，的单调减区间为，，单调增区间为，. 1．函数的图象可以由的图象（   ）得到. A．向左平移一个单位 B．向右平移一个单位 C．向上平移一个单位 D．向下平移一个单位 【答案】A 【分析】根据平移的性质即可求解. 【详解】将的图象向左平移一个单位可得， 故选：A 2．已知函数，则函数的图象（    ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于点对称 D．关于点对称 【答案】A 【分析】先求的对称中心，结合图象变换可得答案. 【详解】因为，所以，即的图象关于原点对称， 函数的图象可由的图象，先向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到， 所以函数的图象关于点对称. 故选：A. 3．已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由幂函数图象所过的点求出幂函数解析式，再由复合函数同增异减的原则可求其单调递增区间． 【详解】设 将点 代入，得 ，解得 ， 则， 令 ．由 ，得在   或 时有定义． 设，则外层函数 在 时单调递增； 内层函数 在 时单调递减，在 时单调递增． 因此， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ． 4．已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（     ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义和性质直接解题即可. 【详解】由题可知，解得或1.所以实数的值为0或1. 5．已知幂函数的图象与x轴无交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用幂函数性质列式计算求解. 【详解】因为幂函数的图象与x轴无交点， 所以， 所以，即得 6．若函数为幂函数，则函数在定义域内为（     ） A．增函数 B．减函数 C．偶函数 D．奇函数 【答案】D 【分析】先求出的值，再根据幂函数的性质进行判断即可. 【详解】因为函数为幂函数， 所以，解得， 所以， 所以函数在和上单调递减，且为奇函数. 7．幂函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义直接求出定义域. 【详解】函数的定义域为. 故选：B 8．幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出幂函数，代入点坐标得到函数解析式，确定函数定义域，得到，解得答案. 【详解】设幂函数为，则，故，， 则的定义域为， 故满足，解得. 故选：A 9．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于实数的不等式组，由此可解得函数的定义域. 【详解】因为， 则有，解得且，因此的定义域是． 故选：B. 10．图中，，分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（    ） A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3 【答案】D 【分析】根据幂函数的图象，结合幂函数的性质判断参数的大小关系，即可得答案. 【详解】由题图知：，，， 所以，，依次可以是，，3． 故选：D 11．若幂函数与在第一象限的图象如图所示，则与的取值情况为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 在第一象限作出幂函数 的图象，在 内取同一值 ， 作直线 ，与各图象有交点，则由“指大图高”，可知 如图， 故选D． 12．下列函数是减函数的为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依次求出4个函数的单调性即可. 【详解】对于A，为减函数，正确； 对于B，，为增函数； 对于C，开口向下，在上单调递增，在上单调递减，C错误； 对于D，为增函数，D错误. 13．下列函数中，是奇函数且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用函数奇偶性定义结合幂函数的单调性判断即可. 【详解】对于A：定义域为，，所以为偶函数，不符合题意； 对于B：定义域为，，所以为偶函数，不符合题意； 对于C：定义域为，，所以为奇函数，但是在区间上单调递减，不符合题意； 对于D：定义域为，，所以为奇函数，是在区间上单调递增，符合题意； 14．如果一个函数的图象通过平移后可以得到函数的图象，那么这个函数可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据函数图象平移的规则进行判断即可. 【详解】对于A，因为函数的图象无法通过平移后得到函数的图象，故A错误； 对于B，因为将函数的图象向右平移一个单位， 可得函数的图象，故B正确； 对于C，因为将函数的图象向上平移一个单位， 可得函数的图象，故C正确； 对于D，因为， 所以将函数的图象向左平移一个单位，可得函数的图象， 再将函数的图象向上平移一个单位，可得函数的图象，故D正确. 故选：BCD. 15．下列关于幂函数的说法正确的有（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C．函数为偶函数 D．不等式的解集为 【答案】BC 【分析】AB选项，根据幂函数的指数特征求出定义域和值域；C选项，利用函数奇偶性定义进行判断；D选项，解不等式，得到不等式解集. 【详解】A选项，的定义域为，A错误； B选项，，故值域为，B正确； C选项，定义域为，关于原点对称，又， 故为偶函数，C正确； D选项，不等式，故，解得或，D错误. 故选：BC 1．已知函数的图象为曲线，曲线关于点中心对称. (1)求点的坐标； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）变形函数的解析式，求出函数的唯一对称中心，再利用平移变换求出点的坐标. （2）由（1）的信息解利用因式分解法解不等式即可. 【详解】（1）函数， 显然曲线是函数的图象沿轴向左平移1个单位，再向下平移个单位而得， 由，得函数是奇函数，其图象关于点对称， 而都是R上的增函数，函数是R上的增函数， 又函数的图象不是直线，因此点是函数的图象的唯一对称中心， 则曲线关于点成中心对称，且点是曲线的唯一对称中心， 所以点的坐标为. （2）由（1）知，不等式， 则，解得，所以不等式的解集为. 2．已知函数（，常数） (1)讨论的奇偶性，并说明理由； (2)若，将的图像向左平移一个单位，再向上平移两个单位得到的图像，求的解析式. 【答案】(1) 的定义域为 当时，，所以为偶函数； 当时，，且，所以既不是奇函数也不是偶函数. (2) 【分析】（1）先求出定义域，分和两种情况并依据奇函数和偶函数的定义判断即可； （1）根据图象平移变换知，代入的解析式即可. 【详解】（1）略 （2）∵，∴， 则， 即. 3．已知幂函数在上单调递增， (1)求函数的解析式； (2)求关于的不等式的解集（其中）. 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 【分析】（1）根据幂函数的定义及性质计算可得； （2）先将不等式转化为，再分类讨论可得不等式的解集. 【详解】（1）因为函数为幂函数，所以， 即，解得或， 又因为在上单调递增，所以， 所以，因此. （2）由（1）知，所以， 所以不等式转化为，即. 当时，解得或，即不等式的解集为； 当时，解得，即不等式的解集为； 当时，解得或，即不等式的解集为. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 4．已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并证明. 【答案】(1) (2)在上单调递增， 证明如下：因为， 设， 则， 因为，所以，， 则， 所以在上单调递增 【分析】（1）根据 是幂函数得 ，再根据 是偶函数，且在 上单调递增得 为正偶数，从而求解出 解析式. （2）求出 解析式后根据单调性定义证明函数 的单调性. 【详解】（1）∵幂函数（k∈Z）是偶函数，且在上单调递增， ，且为正偶数，则，故. （2）略. 5．求下列幂函数的定义域． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用幂指数为分数的意义即为根式，来求定义域. 【详解】（1）由幂函数，可知定义域为； （2）由幂函数，可知定义域为； （3）由幂函数，可知定义域为. 6．已知函数． (1)求的解析式； (2)若对任意，，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，则，进而根据换元法求解即可； （2）结合函数的单调性得，进而将问题转化为对任意，不等式恒成立，再求解恒成立问题即可. 【详解】（1）解：令，则， 则， 故． （2）解：由（1）可得． 因为函数和函数均在上单调递增， 所以在上单调递增． 故． 对任意，，不等式恒成立， 即对任意，不等式恒成立， 则解得或． 故的取值范围是． 7．已知幂函数的图象关于轴对称． (1)求的值； (2)设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用幂函数的定义及性质计算即可； （2）将问题化为的值域为函数的值域的子集，利用集合间的基本关系计算参数即可. 【详解】（1）由幂函数定义，知，解得或， 当时，的图象不关于轴对称，舍去， 当时，的图象关于轴对称，符合题意，因此． （2）由上易知， 由于对任意的，总存在，使成立， 设函数在上的值域为集合，函数在的值域为集合， 所以， 易知当时，的值域，则集合， 当时，的值域为，则集合， 又，得，解得. 8．已知幂函数在上单调递增. （1）求的值； （2）当时，记的值域为集合，若集合，且，求实数的取值范围. 【答案】（1）0；（2） 【分析】（1）根据幂函数的定义列方程，求得的可能取值，再根据在上的单调性求得的准确值. （2）首先求得的值域，然后根据得到，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围. 【详解】（1）∵为幂函数，∴，∴或2. 当时，在上单调递增，满足题意. 当时，在上单调递减，不满足题意，舍去. ∴. （2）由（1）知，. ∵在上单调递增，∴. ∵，，∴，∴解得. 故实数的取值范围为. 【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查幂函数的单调性和值域，考查根据集合运算结果求参数的取值范围，属于基础题. 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $