专题03 对数函数，指数函数、对数函数与幂函数增长的比较（高效培优讲义）高一数学北师大版2019必修第一册

专题03对数函数，指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 教学目标 1. 理解对数函数定义，掌握其与指数函数的反函数关系。 2. 会画对数函数图象，能通过图象归纳其性质（定义域、值域、定点、单调性等）。 3. 能运用性质解决比较大小、解不等式及复合函数定义域、值域问题。 4. 理解指数、幂、对数函数的增长差异，能结合图象比较三者增长速度，解决实际问题。 教学重难点 1.重点：(1)对数函数概念、图象与性质（过定点、单调性等），及性质应用（比较大小、解不等式）。 (2)三类函数增长快慢的特征及图象差异。 2.难点:(1)理解与指数函数的反函数关系，底数对图象性质的影响，复合函数问题。 (2)理解“指数爆炸”“对数平缓”的本质，及不同区间内函数大小的比较。 知识点01 对数函数的概念（重点） 1.对数函数的定义 函数叫做对数函数．其中是自变量，函数的定义域是，值域为． 2.两种特殊的对数函数【特别说明】 判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1； （2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量． （1）常用对数函数：以10为底的对数函数. （2）自然对数函数：以无理数e为底的对数函数. 【即学即练】 1.（25-26高一上·全国·课后作业）给出下列函数：①；②；③；④．其中是对数函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据对数函数的定义，即可判断. 【详解】①不是对数函数，因为的底数是自变量，不是常数； ②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量； ③不是对数函数，因为对数的底数不是常数； ④是对数函数． 故选：A 2.(多选)下列函数表达式中，是对数函数的有(　　) A．y＝logex　　　　 B．y＝logx C．y＝log4x2 D．y＝log2(x＋1) 【答案】AB 【解析】选AB.A中y＝logex是对数函数； B中y＝logx是对数函数； C中y＝log4x2不是对数函数； D中y＝log2(x＋1)不是对数函数． 知识点02 反函数（重点） 定义 一般地，指数函数y=(a>0且a≠1)与对数函数y=(a>0且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换 性质 函数y=f(x)的定义域、值域分别为它的反函数y=的值域、定义域 互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称 【即学即练】 1.（24-25高一上·全国·课前预习）函数的反函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算函数的值域，可求出原函数的反函数的定义域. 【详解】由对数函数的性质可得：函数的值域为， 则反函数的定义域为. 故选：D. 2.（24-25高一上·山西大同·期末）已知函数，若函数是的反函数，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先根据对数的反函数为指数函数可求，然后代入求值即可. 【详解】是的反函数，，． 故选：D 3.（24-25高一上·广东广州·期末）已知函数，与互为反函数，则（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】利用指数函数和对数函数互为反函数求解即可. 【详解】因为与互为反函数， 所以， 所以 故选：B. 知识点03 对数函数的图象与性质（重、难点） 对数函数的图象与性质列表如下： y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称 注意：掌握对数函数的图象和性质，其关键是理解图象的特征，利用几何直观掌握函数的性质. 【即学即练】 1.（24-25高一上·上海·课堂例题）画出下列函数的图象： (1)； (2)； (3)． 【分析】（1）利用描点法作出函数图象. （2）（3）利用变换法作出函数图象. 【详解】（1）函数的定义域为，列表如下： x 1 3 y 0 1 描点、连线，作出图象：    （2）作出函数的图象，把函数的图象向右平移1个单位长度得的图象，如图：    （3）作出函数的图象，把函数的图象在x轴下方部分沿x轴向上翻折得的图象，如图：    知识点04 底数a对对数函数图象的影响（拓展） 1.底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”. 当a>1时，对数函数的图象“上升”; 当0<a<1时,对数函数的图象“下降”. 2.函数y=与y= (a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称. 3.底数的大小决定了图象相对位置的高低： 无论是a>1还是0<a<1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大. ①上下比较：在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴;0<a<1时,a越小,图象越靠近x轴; ②左右比较：比较图象与直线y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大. 提示：在第一象限内，底数从小到大，图象从左往右． 【即学即练】 1.（24-25高三上·云南·阶段练习）函数，，的图象如图所示，则，，的图象所对应的编号依次为（    ） A．①②③ B．③①② C．③②① D．①③② 【分析】利用特殊值确定正确答案. 【详解】令，解得； 令，解得； 令，解得， 即当时，对应的底数越大，图象越靠近x轴 故，，的图象所对应的编号依次为③②①. 故选：C. 知识点05 三种函数的性质及增长速度比较（重点）【知识剖析】 对数函数图象的识别及应用 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 指数函数 对数函数 一次函数 解析式 y＝ax y＝logax y＝kx 单调性 在是增函数 图象 (随x的增大) 趋向于和x轴垂直 趋向于和x轴平行 呈直线上升 增长速度(随x的增大) y的增长速度越来越快 y的增长速度越来越慢 y的增长速度不变 归纳 总结 总会存在一个x0，当x>x0时，ax>kx>logax 【即学即练】 1.有一组实验数据如下表所示： t 3.0 6.0 9.0 12.0 15.0 v 1.5 2.5 2.9 3.6 4.0 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由表格中的数据，作出数据的散点图，如图所示， 数据散点图和对数函数的图象类似，所以选项D最能反映之间的函数关系. 故选：D. 题型01　 对数函数的判断 【典例1】（24-25高一上·全国·课前预习）下列函数是对数函数的是（    ） A．（且） B． C． D．（且） 【答案】B 【分析】利用对数函数的定义求解． 【详解】根据对数函数的定义且, 分析A,B,C,D函数形式， 函数为对数函数. 故选：B. 【变式1-1】（24-25高一上·全国·课堂例题）下列函数中是对数函数的为（    ）判断一个函数是否为对数函数的方法 判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件： (1)系数为1. (2)底数为大于0且不等于1的常数． (3)对数的真数仅有自变量x. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用对数函数概念可判断. 【详解】根据对数函数概念，形如且的函数是对数函数.结合选项知道为对数函数. 故选：D. 【变式1-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）下列函数是对数函数的有 ． ①；②；③；④． 【答案】② 【分析】根据对数函数的定义进行判断即可． 【详解】由对数函数的定义：形如（且）的形式，则函数为对数函数，只有②符合. 故答案为：②. 【变式1-3】（2023高一上·上海·专题练习）下列函数中，哪些是对数函数？ (1)； (2) (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)不是对数函数 (2)不是对数函数 (3)不是对数函数 (4)不是对数函数 (5)是对数函数 【分析】利用对数函数的定义判断. 【详解】（1）该函数解析式中真数不是自变量，不是对数函数． （2）该函数解析式中对数式后加2，所以不是对数函数． （3）该函数解析式中真数为，不是，系数不为1，故不是对数函数． （4）该函数解析式中底数是自变量，并非常数，所以不是对数函数． （5）该函数解析式中底数是6，真数为，符合对数函数的定义，故是对数函数． 题型02　求对数函数解析式 【典例2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设对数函数解析式求参即可. 【详解】设对数函数为, 代入可得, 所以, 则对数函数的解析式为. 故选：C. 【变式2-1】（24-25高一上·广西桂林·阶段练习）若点在函数的图象上，点在的反函数图象上，则 . 【答案】 【分析】根据对数运算，结合反函数的概念，建立方程，可得答案. 【详解】由点在函数的图象上，则，即，解得， 由的反函数为，则，解得. 故答案为：. 【变式2-2】（24-25高一下·山东潍坊·开学考试）已知，则 . 【答案】 【分析】利用换元法即可得到函数解析式. 【详解】令，因为，则， ，，， 则. 故答案为：. 【变式2-3】（24-25高一上·全国·课前预习）若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】设出函数解析式，再结合图象所过点求出参数即可. 【详解】设函数解析式为，且， 由函数的图象过点，得，即，解得， 所以该对数函数的解析式为为. 故答案为： 【变式2-4】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知函数，若图象过点，则的值为（    ） A．－2 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】首先代入点求函数的解析式，再求函数值. 【详解】由条件可知，，得， 所以. 故选：B 题型03　反函数的理解与简单应用 【典例3-1】 求下列函数的反函数. (1)y＝10x； (2)y＝x； (3)y＝logx； (4)y＝log2x。 【详解】 (1)由y＝10x，得x＝lg y，∴其反函数为y＝lg x； (2)由y＝x，得x＝logy，∴其反函数为y＝logx； (3)由y＝logx，得x＝y，∴其反函数为y＝x； (4)由y＝log2x，得x＝2y，∴其反函数为y＝2x。 【典例3-2】（2025高三·全国·专题练习）求函数的反函数. 【分析】由反函数的定义求解即可. 【详解】由题意令，解得. 【变式3-1】（24-25高二下·山西吕梁·期末）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的值为（    ）反函数的求法： （1）由y＝ax或y＝logax，解得x＝logay或x＝ay； （2）将x＝logay或x＝ay中的x与y互换位置，得y＝logax或y＝ax； （3）由y＝ax或y＝logax的值域，写出y＝logax或y＝ax的定义域。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用反函数的定义求得，可求的值. 【详解】已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，所以，所以． 故选：B． 【变式3-2】（2025·浙江绍兴·三模）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】抓住关于直线对称的点为即可求解. 【详解】因为关于直线对称的点为，则的对称点为， 又在函数的图象上，故，解得， 故选：. 【变式3-3】（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）函数的反函数为， 则（     ） A．2 B．3 C．8 D．9 【答案】D 【分析】先求出函数的反函数，再将代入反函数计算. 【详解】因为原函数为，根据反函数的定义，对数函数与指数函数互为反函数， 所以其反函数为，所以. 故选：D. 题型04 　对数型函数定义域问题 【典例4-1】（2025高二下·湖南·学业考试）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的真数大于零列不等式即可求解. 【详解】由，解得. 故选：B. 【典例4-2】（24-25高二下·浙江·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数解析式，建立不等式组，可得答案. 【详解】由题意可得，解得. 故选：A. 【易错警示】 解与对数有关的问题，首先要保证在定义域范围内解题，即真数大于零，底数大于零且不等于1，函数定义域的结果一定要写成集合或区间的形式。 【变式4-1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知集合，，则（   ）求对数型函数的定义域时应遵循的原则 (1)分母不能为0. (2)根指数为偶数时，被开方数非负． (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解分式不等式、对数函数的性质求定义域得到集合，再由交运算求结果. 【详解】由，则， 根据对数函数的性质知，则. 故选：D 【变式4-2】（2025·湖南·二模）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的定义域及分式函数的定义域求解集合A，解一元二次不等式求解集合B，然后利用并集概念求解即可. 【详解】对于集合A：由题意，得， 所以， 对于集合B，，则， 所以， 因此. 故选：A 【变式4-3】 函数f(x)＝lg(2－3x)的定义域是________。 【详解】 由2－3x>0，得x<， 所以，f(x)的定义域是. 【变式4-4】（2025·北京朝阳·一模）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，即可解得函数的定义域. 【详解】对于函数，有，解得， 故函数的定义域为. 故答案为：. 【变式4-5】（24-25高一下·贵州毕节·期末）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据具体函数定义域的求法直接可得解. 【详解】由已知，则， 解得或， 即函数的定义域为， 故答案为：. 题型05　对数型函数图象过定点问题 【典例5】（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）已知函数的图象恒过定点，且点又在函数的图象上，则（    ） A．3 B．5 C．8 D．11 【答案】D 【分析】由已知求出定点的坐标，根据待定系数法求出，从而可得结果. 【详解】函数的图象恒过定点， 又点在的图象上， ，即， 故选：D. 【变式5-1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数（，且）的图象过点，则函数的解析式为 ．关于定点问题 求函数y＝m＋logaf(x)(a>0，且a≠1)的图象过定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m). 【分析】由题意建立方程求解即可． 【解答】解：因为函数y＝loga（4﹣x）（a＞0，且a≠1）的图象过点（0，2）， 所以2＝loga4，解得a＝2， 所以函数的解析式为：y＝log2（4﹣x）． 故答案为：y＝log2（4﹣x）． 【变式5-2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知对数函数（，且）的图象过点． (1)求； (2)若函数，求的定义域． 【分析】（1）根据待定系数法求出解析式，再求值即可； （2）求出表达式，根据对数函数的性质得到真数为正，构造不等式组计算即可． 【详解】（1）由题意可得，可得，故，故； （2）， 其中，解得， 此时函数的定义域为． 题型06　对数型函数单调性问题 【典例6】求函数y＝log0.3(3－2x)的单调区间。 【详解】由3－2x>0，解得x<，设t＝3－2x，x∈， ∵函数y＝log0.3t是减函数，且函数t＝3－2x是减函数， ∴函数y＝log0.3(3－2x)在上是增函数， 即函数y＝log0.3(3－2x)的单调递增区间是，没有单调递减区间. 【变式6-1】函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)求复合函数单调性的具体步骤 (1)求定义域； (2)拆分函数； (3)分别求y＝f(u)，u＝φ(x)的单调性； (4)按“同增异减”得出复合函数的单调性． A.(－∞，－2) B.(－∞，1) C.(1，＋∞) D.(4，＋∞) 【答案】D 【详解】要使函数有意义，则：x2－2x－8>0，解得：x<－2或x>4， 结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则， 可得函数的单调增区间为(4，＋∞)， 故选D. 【变式6-2】函数y＝log2(x2－1)的递增区间是________. 【详解】由x2－1>0，得x>1，或x<－1． 令u＝x2－1，则u在(－∞，－1)上递减，在(1，＋∞)上递增，又y＝log2a是增函数， 则y＝log2(x2－1)的递增区间是(1，＋∞). 题型07 利用对数型函数单调性求参 【典例7】（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数单调性确定内层函数与外层函数的单调性，结合函数的定义域列不等式组即可得的取值范围. 【详解】由函数在上单调递增， 可得在上单调递增， 且在上恒成立，故需满足，解得. 故选：B. 【变式7-1】（24-25高一下·广东深圳·期末）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）　与对数相关的复合函数单调性 (1)首先求出函数的定义域，再利用复合函数单调性的复合法则“同增异减”求单调区间； (2)若已知函数在某个区间上的单调性，则该区间为函数相应单调区间的子区间，从而求参数的范围． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据对数函数的单调性确定函数的单调区间，结合对数函数定义域可求出答案. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增，且在区间上恒成立. 所以，解得. 故选：A. 【变式7-2】（2025·河北·模拟预测）已知函数在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的性质可得不等式在上恒成立，利用分离参数法和基本不等式可得.再结合复合函数的单调性及二次函数的性质即可求解实数的取值范围. 【详解】由题意可知，在上恒成立， 所以在上恒成立， 即在上恒成立. 又由基本不等式可得，当且仅当时，取得等号， 所以. 因为函数在上单调， 所以在上单调， 由复合函数单调性可知在上单调， 所以结合二次函数的性质可得：或，解得或. 综上所述，实数的取值范围为. 故选：A. 题型08 　比较大小问题 【典例8】利用对数函数比较大小 (1)log0.31.8，log0.32.7； (2)log67，log76； (3)log3π，log20.8； (4)log712，log812. 【分析】(1)底数相同，可利用单调性比较；(2)与1比较；(3)与0比较；(4)可结合图象比较大小。 【详解】(1)考查对数函数y＝log0.3x， ∵0<0.3<1， ∴它在(0，＋∞)上是减函数， ∴log0.31.8>log0.32.7； (2)∵log67>log66＝1，log76<log77＝1， ∴log67>log76； (3)∵log3π>log31＝0，log20.8<log21＝0， ∴log3π>log20.8； (4)法一：在同一坐标系中作出函数y＝log7x与y＝log8x的图象，由底数变化对图象位置的影响知： log712>log812. 法二：∵log712－log812＝－＝>0， ∴log712>log812. 比较对数值大小时常用的四种方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性． (2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化． (3)底数和真数都不同，找中间量． (4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论． 【变式8-1】（24-25高一下·河南濮阳·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】初步可确定，，利用对数的运算性质可得，得到，即. 【详解】由单调递减，则， ， 又，则， 所以. 故选：A. 【变式8-2】（21-22高三上·安徽·阶段练习）已知，，，则a、b、c的大小顺序为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用对数运算法则进行化简，再用函数单调性比较大小. 【详解】， 又， 因为，单调递增， 所以. 故选：C 【变式8-3】（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取中间值1比较，再用换底公式变形，结合作差法比较即可. 【详解】因为，其中， 所以，所以， 故选：D. 【变式8-4】（24-25高一上·全国·课前预习）比较下列各组数的大小． (1)与； (2)与； (3)，与． 【分析】（1）根据的单调性比较出大小； （2）利用对数函数单调性和中间值比较出； （3）利用指数函数和对数函数单调性和中间值比较出大小 【详解】（1）因为函数在上是增函数，又，所以． （2）由于，所以． （3）因为，， 所以． 题型09 解对数不等式 【典例9-1】（2025高三·全国·专题练习）求不等式的解集． 【分析】利用对数函数单调性和一元二次不等式的解法求解不等式. 【详解】因为在定义域上是减函数， 所以，原不等式等价于， 解之得：或， 所以，原不等式的解集为． 【典例9-2】（24-25高二下·海南海口·期末）已知，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数单调性进行判断. 【详解】， ①；②. 所以实数a的取值范围为. 故选：A 【变式9-1】（2025高三·全国·专题练习）已知集合，则（    ）两类对数不等式的解法 (1)形如logaf(x)<logag(x)的不等式. ①当0<a<1时，可转化为f(x)>g(x)>0；②当a>1时，可转化为0<f(x)<g(x). (2)形如logaf(x)<b的不等式可变形为logaf(x)<b＝logaab. ①当0<a<1时，可转化为f(x)>ab；②当a>1时，可转化为0<f(x)<ab. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出集合A，再根据交集概念计算. 【详解】由，得，则， 而为整数集合，所以． 故选：C. 【变式9-2】已知log0.3(3x)<log0.3(x＋1)，则x的取值范围为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【详解】 因为函数y＝log0.3x是(0，＋∞)上的减函数， 所以原不等式等价于解得x>. 故选：A. 【变式9-3】 不等式log0.5(2x＋3)<log0.5(5x－6)的解集为(　　) A.(－∞，3) B. C. D. 【答案】D 【详解】由题意可得解得<x<3. 故选：D. 题型10 　对数型函数图象问题 【典例10-1】如图所示,曲线是对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象,已知a取,则曲线C1,C2,C3,C4对应的a的值依次为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【详解】 作直线y=1与四条曲线分别交于四点, 由y=logax=1,得x=a(即交点的横坐标等于底数), 所以横坐标小的底数小, 所以C1,C2,C3,C4对应的a值分别为. 故选：A. 【典例10-2】作出函数y＝|log2(x＋1)|的图象． 【详解】第一步：作出函数y＝log2x的图象(如图①)； 第二步：将y＝log2x的图象向左平移1个单位长度，得函数y＝log2(x＋1)的图象(如图②)； 第三步：将函数y＝log2(x＋1)的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，得y＝|log2(x＋1)|的图象(如图③)． 对数函数底数对图象的影响 其中a，b，c，d是图象对应的对数函数的底数，根据图象，其大小关系为0<c<d<1<a<b. 【变式10-1】(多选)如图是三个对数函数的图象，则(　 　) A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由对数函数图象得， 令，，由已知图象得， ； 而是增函数， . 故选：ABC. 【变式10-2】函数y=log2|x|的图象大致是(　 　) 【答案】A 【详解】函数y=log2|x|为偶函数,且x>0时,y=log2x, 故选A. 题型11　利用对数函数的单调性求值域 【典例11】（24-25高一上·广西河池·阶段练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出指数函数、对数函数值域，再利用交集的定义求解. 【详解】依题意，， 所以. 故选：B 【变式11-1】（24-25高三下·四川成都·阶段练习）已知集合，，则（    ）关于利用对数函数的单调性求值域 首先确定对数函数的单调性，再利用单调性确定取得最值时的自变量的值，分别代入后求出最值，进而得到值域． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，求出其值域，化简集合 ，利用并集运算即可求解. 【详解】因为指数函数是上的增函数， 所以由,得,则, 因为对数函数是上的减函数， 所以由, 得,则 故. 故选：C 【变式11-2】（2025·湖北·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，将集合化简，再由交集的运算，即可得到结果. 【详解】因为对数函数是上的减函数， 所以由，得，则； 因为指数函数是上的增函数， 所以由，得，则， 由此，. 故选：B. 题型12　对数型复合函数的值域 【典例12】（22-23高一上·陕西商洛·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数性质以及复合函数单调性判断出的单调区间，代入计算即可求得结果. 【详解】依题意可知，解得； 易知函数的定义域为； 又是由函数和复合而成的， 由对数函数单调性可知在定义域内单调递减， 而二次函数开口向上，关于对称， 因此在上单调递增，在上单调递减； 由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增； 因此在处取得最大值，即， 可得的值域为. 故选：C 　 关于值域问题 1.与对数函数有关的复合函数值域： 一方面，要抓住对数函数的值域；另一方面，要抓住中间变量的取值范围，利用对数函数的单调性来求其值域(多采用换元法)． 2． 对于形如y＝loga f(x)(a>0，且a≠1)的复合函数的值域的求法的步骤： ①分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；②求f(x)的定义域；③求u的取值范围；④利用y＝logau的单调性求解． 【变式12-1】 函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为(　 　) A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(1，＋∞) D．[1，＋∞) 【答案】A 【详解】∵3x＋1>1，且f(x)在(1，＋∞)上单调递增， ∴log2(3x＋1)>log21＝0，故该函数的值域为(0，＋∞)． 故选：A. 【变式12-2】（24-25高一上·重庆·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式求的范围，结合对数的性质求复合函数定义域，判断端点值是否可取，进而确定值域. 【详解】由，当且仅当时等号成立， 所以，故值域为. 故选：D 【变式12-3】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，，由换元法可得，利用二次函数的单调性即可求解. 【详解】令，因为，所以， 因为 ， 所以，， 函数在区间上单调递增， 所以，， 所以函数，的值域为. 故选：. 【变式12-4】（2025高二下·湖南株洲·学业考试）函数的值域是 . 【答案】 【分析】先得到二次函数的值域，再结合对数函数的单调性，即可得到结果. 【详解】对于，对称轴为， 所以， 又在上单调递增，其中， 所以当时，取得最小值，即， 所以，即函数的值域为. 故答案为： 【变式12-5】（24-25高一上·湖南岳阳·期末）已知函数，，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】由原函数和所求函数求得其定义域，化简所求函数解析式，利用换元，得到一元二次函数，结合其图象性质即可求得函数值域. 【详解】因，，， 则由，解得：， 即函数的定义域为， 设，则，且在上单调递增， 故当时，即时，；当，即时，， 因，故函数的值域为. 故答案为：. 题型13　利用对数型复合函数单调性求参 【典例13-1】（24-25高一下·广西·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用对数型复合函数单调性，结合定义域列式求解. 【详解】函数在上单调递减，而函数在上单调递减， 则函数在上单调递增，且恒有， 因此且，解得， 所以的取值范围为. 故选：D 【典例13-2】（2025·吉林·三模）若函数（且）在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对数的底数大于0，可得内函数为增函数，结合复合函数的单调性可得，再由对于恒成立，可得的取值范围，再求交集即可. 【详解】是由，复合而成， 由题意知：，在区间上单调递增， 若函数（其中且）在区间上单调递减， 所以单调递减，可得： , 又对于恒成立， 所以，解得：， 综上所述：. 故选：A 【变式13-1】（2025·广东·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ）利用对数型复合函数单调性求参数范围 (1)本质还是复合函数单调性问题，需要注意帧数大于0，转化成内函数的单调性问题. (2)若底数中含有字母，需要对字母分大于1，小于1大于0两种情况讨论． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复合函数的单调性得到在上单调递增，列出不等式组，解之即得参数范围. 【详解】因为在上单调递增，由函数在上单调递增， 可得在上单调递增且恒成立， ，解得， 即实数的取值范围是. 故选：C. 【变式13-1】（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）已知函数在内单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同增异减可得的增减性，故可求实数的取值范围. 【详解】设，因为为上的增函数， 而在内单调递增， 故为内的增函数，且在内恒成立， 故，故， 故选：D. 题型14　对数函数模型的实际应用 【典例14】（24-25高一上·全国·课后作业）人们早就发现了放射性物质的衰减现象．在考古工作中，常用的含量来确定有机物的年代．已知放射性物质的衰减服从指数规律：，其中t表示衰减的时间，表示放射性物质的原始质量，表示经衰减了t年后剩余的质量．为计算衰减的年代，通常给出该物质质量衰减一半的时间，称其为该物质的半衰期．的半衰期大约是5730年．人们又知道，放射性物质的衰减速度与其质量成正比．1950年，在伊拉克发现一根古巴比伦王国时期刻有汉谟拉比王朝字样的木炭，当时测定，其的衰减速度为4.09个/（），而新砍伐树木烧成的木炭中的衰减速度为6.68个/（）．请估算出汉谟拉比王朝所在年代．（参考数据：） 【分析】首先由衰减规律得，从而，进一步由题意得，即，解指数方程即可进一步求解. 【详解】因为的半衰期大约是5730年，所以由衰减规律，得． 解得．因此的衰减规律服从指数型函数． 设发现汉谟拉比王朝字样的木炭时（1950年），该木炭已衰减了年． 因为放射性物质的衰减速度与其质量成正比，所以， 于是． 两边取以2为底的对数，得． 解得． 所以该木炭已衰减了约4055年，即汉谟拉比王朝大约存在于公元前2100年． 对数函数模型在实际问题中的应用解题步骤： (1)列出指数关系式x＝ay，并根据实际问题确定变量的范围； (2)利用指对互化转化为对数函数y＝logax； (3)代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算． 【变式14】（2025·北京海淀·三模）历史上，在5月27日曾有多次地震记录．例如：2006年5月27日，印尼爪哇发生里氏6.3级地震，2024年5月27日，四川木里县发生里氏5.0级地震，经过科学家的研究发现，地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．印尼爪哇地震所释放出来的能量约是四川木里地震的（    ）倍．（精确到1．参考数据：） A．87 B．88 C．89 D．90 【答案】C 【分析】设印尼地震的能量 ，震级，四川地震的能量 ，震级，利用对数计算 的值，根据参考数据，利用对数函数的单调性估计得到答案. 【详解】设印尼地震的能量 ，震级，四川地震的能量 ，震级. 因为地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为， 所以， 且， 所以， 根据精确度要求精确到1，所以， 故选：C. 题型15　　对数函数性质的综合应用 【典例15-1】（24-25高一下·湖南·阶段练习）已知命题的值域为，命题的定义域为，则是的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】对于命题，要使能取到所有大于的数，需分和两种情况讨论，时根据二次函数图象性质确定的取值范围； 对于命题，要使在上恒成立，同样分和两种情况，时根据二次函数图象性质确定的取值范围. 最后根据充分不必要条件的定义判断与的关系. 【详解】对于命题可以取到所有大于0的数显然成立； 时，，解得，所以. 对于命题在上恒成立.时显然成立； 时，，解得，所以. 所以是的充分不必要条件， 故选：B. 【典例15-2】（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数（且）的图象过点． (1)求a的值； (2)若 （i）求的定义域并判断其奇偶性； （ii）求的单调递减区间． 【分析】（1）将点的坐标代入函数式即可求得； （2）（i）求出的表达式，根据真数大于零可求得定义域，根据与之间的关系得到奇偶性；（ii）复合函数根据“同增异减”原则可得到单调递减区间. 【详解】（1）因为函数（且）的图象过点， 所以，所以； （2）（i）根据（1）可得， 所以，， 则， ，解得， 所以的定义域为，显然定义域关于原点对称， 又， 所以为偶函数； （ii）因，的定义域为， 令，则， 函数在定义域上单调递增，而函数在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，可得的单调递减区间为. 【变式15-1】（24-25高一上·广东揭阳·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ）解决综合性问题的关注点 (1)增强定义域意识：无论是求单调区间、证奇偶性、解不等式都要先求定义域，符合定义域是满足性质的前提； (2)增强性质的应用意识：解对数不等式的关键是转化为常见的不等式，转化工具就是对数函数的单调性． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得在上的值域与在上的值域的并集为R，据此可得答案. 【详解】在上单调递增，则在上的值域为. 若时，函数在上单调递减， 值域为，与并集不是R，故不满足题意； 若时，函数在上单调递增， 值域为，要使与并集为R，则， 即满足题意. 故选：B 【变式15-2】（24-25高一上·天津南开·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求解的值域，结合的值域为，分析的单调性、值域即可得解. 【详解】因为函数在上单调递增，故， 又因为的值域为， 则的值域包含， 所以，解得. 故选：D. 【变式15-3】（2025·河北·模拟预测）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数性质分析可知的值域为，结合题意可得，结合对数函数性质列式求解即可. 【详解】设的值域分别为， 当时，则，可得； 因为的值域为，可知， 则，且，可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 【变式15-4】（24-25高一上·河南周口·期末）已知函数且. (1)若的图象经过点，求不等式的解集； (2)若存在x，使得，求a的取值范围. 【分析】（1）将代入解析式，得到，根据对数函数定义域和单调性得到不等式，求出不等式解集； （2）先求出，变形得到在上有解，求出，从而得到，求出a的取值范围. 【详解】（1）将代入得，，解得， 故，其在上单调递增， ，故，解得， 故不等式的解集为； （2）， ，解得， 且，故在上有解， 即在上有解， 其中在上单调递增，且， 当时，，故， 所以， 又且，解得. 题型16 　三种函数的性质及增长速度比较 【典例16-1】(多选题)设，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是 （    ） A．的增长速度最快， 的增长速度最慢 B．的增长速度最快， 的增长速度最慢 C．的增长速度最快， 的增长速度最慢 D．的增长速度最快， 的增长速度最慢 【答案】ACD 【详解】画出函数的图象，如图所示， 结合图象，可得三个函数中， 当时，函数增长速度最快，增长速度最慢. 所以选项B正确；选项ACD不正确. 故选：ACD. 【典例16-2】在2 h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减.下面能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（    ）常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变． (2)指数函数模型：指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”． (3)对数函数模型：对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓． (4)幂函数模型：幂函数y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在在2 h内，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为线段，且为增函数，排除A，D， 停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，排除C． 能反映血液中药物含量随时间变化的图象是B． 故选：B． 【变式16-1】下列函数增长速度最快的是（    ）由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法 根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数为单调递增的指数函数，函数为二次函数，为递增的对数函数，为递增的一次函数， 根据一次函数、指数函数与对数函数、二次函数的图象与性质，可得指数函数增长速度最快． 故选：A. 【变式16-2】四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是：①，②，③，④.如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是 .（只要填序号） 【答案】④ 【详解】由函数的性质可知，指数函数的增长速度是先慢后快，最终跑在最前面的是指数函数，所以最终跑在最前面的人具有的函数关系是④， 故答案为：④ 【典例16-3】4.函数和的图象如图所示．设两函数的图象交于点，且.请指出图中曲线分别对应的函数.    【答案】 【详解】由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知：对应的函数为，对应的函数为. 练基础 1．（24-25高二下·江西·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用中间值比较法，结合对数函数单调性即可得出. 【详解】因函数在上是减函数，故． 故选：D． 2．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数单调性比较出大小，求出答案. 【详解】在上单调递增，又， 故. 故选：A 3．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求函数的定义域，再求函数在定义域上的增区间即可. 【详解】解：由已知得，解得或，函数的定义域为， 因为总为增函数，要求函数的单调递增区间， 由同增异减可得即求函数在上的增区间 由二次函数的性质可得在上的增区间为， 故函数的单调递增区间是. 故选：A. 4．(多选)（24-25高三上·北京·开学考试）下列函数中，值域为且区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】对于A，可以说明它在上不是单调递增，从而即可判断；对于BC，可以说明它们的值域并不是，从而判断；对于D，由对数函数性质即可判断. 【详解】对于A，若，由，则，所以在上单调递减，故A错误； 对于B，二次函数的最小值为，值域并不是，故B错误； 对于C，的值域为R,且在R上递增，故C正确； 对于D，当时，，由对数函数性质可知在上单调递增，且值域为，故D正确. 故选：D. 5．（24-25高一上·安徽亳州·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复合函数单调性可得，再解不等式组即可. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增，且大于零恒成立， 则，解得. 故选：B. 6．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取中间值2，结合对数函数单调性可比较，将化为，结合对数函数单调性可比较. 【详解】． 故选：D 7．（23-24高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据幂函数及对数函数的单调性，结合充分条件、必要条件的概念求解. 【详解】取时，满足，但无意义，故不成立； 若，根据对数函数的单调性可知，再由幂函数的单调性可得； 故“”是“”的必要充分条件. 故选：B 8.（2025高三上·全国·专题练习）已知函数为常数，其中的图象如图，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象可根据函数的单调性以及经过的点求解. 【详解】由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，所以； 因为图象与轴的交点在轴上方，所以，所以. 故选：D. 9．（24-25高二下·北京平谷·期末）函数的定义域是 ． 【分析】应用对数函数定义及分式分母不为0计算定义域即可. 【详解】因为函数，所以且不是2， 所以函数定义域为. 故答案为：. 10．（22-23高一下·湖北武汉·开学考试）函数的值域为 . 【分析】根据指数函数和对数函数的值域求解. 【详解】因为， 所以， 所以函数的值域为. 故答案为： 11．（24-25高一上·全国·周测）已知函数，若，则实数的取值范围是 . 【分析】由对数型复合函数的单调性构造不等式求解即可. 【详解】因为函数的定义域且单调递增， 若， 则， 解得或. 故答案为：{或}. 12．（24-25高一·全国·专题练习）指出下列函数中，哪些是对数函数？ ①； ②； ③； ④； ⑤． 【答案】④ 【分析】由对数函数定义可得. 【详解】对数函数定义：函数叫做对数函数. ①是指数函数，不是对数函数； ②的系数为，所以不是对数函数； ③真数为，所以不是对数函数； ④满足定义，是对数函数； ⑤真数是，所以不是对数函数. 故④是对数函数. 13．（2025高三·全国·专题练习）求不等式的解集． 【分析】利用对数函数单调性和一元二次不等式的解法求解不等式. 【详解】因为在定义域上是减函数， 所以，原不等式等价于， 解之得：或， 所以，原不等式的解集为． 14．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，且点在函数的图象上. (1)求函数的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数的图象； (2)求不等式的解集. 【分析】（1）根据所过点求解析式，结合对数函数性质，再画出分段函数的图象即可； （2）由题设有或，求解集即可. 【详解】（1）点在函数的图象上， ，则. ，则函数的图象如图所示. （2）不等式等价于或，解得或， 所以原不等式的解集为. 练提升 15．（多选）（2025高一上·全国·专题练习）（多选）关于函数，下列选项中正确的有（   ） A．定义域为 B．增区间为 C．最小值为1 D．图象恒在x轴上方 【答案】BCD 【分析】本题已知函数，得到它的定义域、单调区间、最值和图象性质. 【详解】由题，令,解得,故A错误；函数在上单调递增，在单调递增，所以函数的增区间是,故B正确；由选项B的分析可得，当时，函数取到最小值，,故C正确；因为,所以恒成立，即函数图象恒在轴上方.故D正确. 故选：BCD. 16．（24-25高三下·河南·开学考试）已知函数的最大值为1，则实数（    ） A．1 B．2或 C．4 D．4或 【答案】D 【分析】分析可知的最大值为4，结合二次函数最值运算求解即可. 【详解】令 因为在定义域内为增函数，且最大值为1， 可知的最大值为4，则，解得， 经验证均满足题意. 故选：D. 17．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知常数且，若函数的定义域和值域都是，则 ． 【详解】若，则在上单调递增， 则，解得； 若，则在上单调递减， 又当时，所以函数在上的值域不可能为，故舍去； 综上可得. 故答案为： 18．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数． (1)当时，求函数的值域； (2)若的定义域为，求实数的取值范围； (3)若在上单调递增，求实数的取值范围. 【分析】（1）代入，由，利用对数型复合函数单调性求值域； （2）将条件转化为在上恒成立，利用计算即可； （3）根据对数型复合函数的单调性进行判断计算. 【详解】（1）当时，， 令，则, 对数函数在上单调递增，所以， 所以函数的值域为. （2）若的定义域为，则在上恒成立， 所以. 所以实数的取值范围是. （3）二次函数开口向上，对称轴为， 对数函数在上单调递增， 若在上单调递增， 则. 所以实数的取值范围是. 练创新 19．（12-13高二上·浙江台州·阶段练习）已知函数，，则函数的值域为 ． 【分析】先求出函数的定义域，由对数函数和二次函数的性质即可求解． 【详解】，， 的定义域为，解得， 所以函数的定义域为， ， 又 ，又， ，即函数的值域为. 故答案为：. 20.（24-25高一上·广东揭阳·阶段练习）已知函数（且）． (1)求函数的定义域； (2)若函数图象过点，求的值； (3)若时，函数的最大值为6，求值． 【分析】（1）根据对数的真数大于0，可求函数的定义域. （2）根据已知条件列方程可求的值. （3）利用函数的单调性分类讨论求解. 【详解】（1）由， 所以函数的定义域为：. （2）由. （3）若，则函数在上单调递增， 所以； 若，则函数在上单调递减， 所以.但，故舍去. 综上： 21. （24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知函数，． (1)若，解不等式； (2)函数的图象过点． （i）函数的图象与直线没有公共点，求实数的取值范围； （ii）若函数的定义域为，且．当恒成立时，实数的最大值满足．试比较与的大小． 【分析】（1）根据对数型函数的单调性解不等式即可； （2）（i）由题意转化为方程无解，分离参数后，根据指数、对数函数的单调性求值域及可得参数取值范围（ii）分离参数后，由对数函数的性质及基本不等式求出的最大值为，再由推出函数的周期即可得，据此结合单调性即可比较大小. 【详解】（1）当时，，由， 得，所以， 解得， 所以不等式的解集为． （2）（i）的图象过点，，解得， 所以． 又函数的图象与直线没有公共点， 所以方程无实数解，即方程无实数解． 令，，则， ，，则，， 即函数的值域为，所以实数的取值范围为． （ii）若恒成立，则恒成立， 又， 由，得，当且仅当时取等号， 所以，则，故实数的最大值为． 由已知，得，所以，即． 所以． 又在上单调递增，， 所以，故． 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03对数函数，指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 教学目标 1. 理解对数函数定义，掌握其与指数函数的反函数关系。 2. 会画对数函数图象，能通过图象归纳其性质（定义域、值域、定点、单调性等）。 3. 能运用性质解决比较大小、解不等式及复合函数定义域、值域问题。 4. 理解指数、幂、对数函数的增长差异，能结合图象比较三者增长速度，解决实际问题。 教学重难点 1.重点：(1)对数函数概念、图象与性质（过定点、单调性等），及性质应用（比较大小、解不等式）。 (2)三类函数增长快慢的特征及图象差异。 2.难点:(1)理解与指数函数的反函数关系，底数对图象性质的影响，复合函数问题。 (2)理解“指数爆炸”“对数平缓”的本质，及不同区间内函数大小的比较。 知识点01 对数函数的概念（重点） 1.对数函数的定义 函数 叫做对数函数．其中是自变量，函数的定义域是 ，值域为 ．【特别说明】 判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1； （2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量． 2.两种特殊的对数函数 （1）常用对数函数：以10为底的对数函数. （2）自然对数函数：以无理数e为底的对数函数. 【即学即练】 1.（25-26高一上·全国·课后作业）给出下列函数：①；②；③；④．其中是对数函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.(多选)下列函数表达式中，是对数函数的有(　　) A．y＝logex　　　　 B．y＝logx C．y＝log4x2 D．y＝log2(x＋1) 知识点02 反函数（重点） 定义 一般地，指数函数y=(a>0且a≠1)与对数函数y=(a>0且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好 性质 函数y=f(x)的定义域、值域分别为它的反函数y=的 互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称 【即学即练】 1.（24-25高一上·全国·课前预习）函数的反函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高一上·山西大同·期末）已知函数，若函数是的反函数，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.（24-25高一上·广东广州·期末）已知函数，与互为反函数，则（   ） A． B．1 C．2 D．4 知识点03 对数函数的图象与性质（重、难点） 对数函数的图象与性质列表如下： y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图象过定点 ，即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0,1)时，y∈ ； x∈[1，＋∞)时，y∈ x∈(0,1)时，y∈ ； x∈[1，＋∞)时，y∈ 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称 注意：掌握对数函数的图象和性质，其关键是理解图象的特征，利用几何直观掌握函数的性质. 【即学即练】 1.（24-25高一上·上海·课堂例题）画出下列函数的图象： (1)； (2)； (3)． 知识点04 底数a对对数函数图象的影响（拓展） 1.底数a与1的 决定了对数函数图象的“升降”. 当a>1时，对数函数的图象“ ”; 当0<a<1时,对数函数的图象“ ”. 2.函数y=与y= (a>0,且a≠1)的图象关于x轴 . 3.底数的大小决定了图象相对位置的 ： 无论是a>1还是0<a<1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大. ①上下比较：在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴;0<a<1时,a越小,图象越靠近x轴; ②左右比较：比较图象与直线y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大. 提示：在第一象限内，底数从小到大，图象从左往右． 【即学即练】 1.（24-25高三上·云南·阶段练习）函数，，的图象如图所示，则，，的图象所对应的编号依次为（    ） A．①②③ B．③①② C．③②① D．①③② 知识点05 三种函数的性质及增长速度比较（重点）【知识剖析】 对数函数图象的识别及应用 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 指数函数 对数函数 一次函数 解析式 y＝ax y＝logax y＝kx 单调性 在是增函数 图象 (随x的增大) 趋向于和x轴垂直 趋向于和x轴平行 呈直线上升 增长速度(随x的增大) y的增长速度越来越快 y的增长速度越来越慢 y的增长速度不变 归纳 总结 总会存在一个x0，当x>x0时，ax>kx>logax 【即学即练】 1.有一组实验数据如下表所示： t 3.0 6.0 9.0 12.0 15.0 v 1.5 2.5 2.9 3.6 4.0 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（    ） A． B． C． D． 题型01　 对数函数的判断 【典例1】（24-25高一上·全国·课前预习）下列函数是对数函数的是（    ） A．（且） B． C． D．（且） 【变式1-1】（24-25高一上·全国·课堂例题）下列函数中是对数函数的为（    ）判断一个函数是否为对数函数的方法 判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件： (1)系数为1. (2)底数为大于0且不等于1的常数． (3)对数的真数仅有自变量x. A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）下列函数是对数函数的有 ． ①；②；③；④． 【变式1-3】（2023高一上·上海·专题练习）下列函数中，哪些是对数函数？ (1)； (2) (3)； (4)； (5)． 题型02　求对数函数解析式 【典例2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一上·广西桂林·阶段练习）若点在函数的图象上，点在的反函数图象上，则 . 【变式2-2】（24-25高一下·山东潍坊·开学考试）已知，则 . 【变式2-3】（24-25高一上·全国·课前预习）若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为 ． 【变式2-4】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知函数，若图象过点，则的值为（    ） A．－2 B．2 C． D． 题型03　反函数的理解与简单应用 【典例3-1】 求下列函数的反函数。 (1)y＝10x； (2)y＝x； (3)y＝logx； (4)y＝log2x。 【典例3-2】（2025高三·全国·专题练习）求函数的反函数. 【变式3-1】（24-25高二下·山西吕梁·期末）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的值为（    ）反函数的求法： （1）由y＝ax或y＝logax，解得x＝logay或x＝ay； （2）将x＝logay或x＝ay中的x与y互换位置，得y＝logax或y＝ax； （3）由y＝ax或y＝logax的值域，写出y＝logax或y＝ax的定义域。 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-2】（2025·浙江绍兴·三模）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）函数的反函数为， 则（     ） A．2 B．3 C．8 D．9 题型04 　对数型函数定义域问题 【典例4-1】（2025高二下·湖南·学业考试）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（24-25高二下·浙江·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知集合，，则（   ）求对数型函数的定义域时应遵循的原则 (1)分母不能为0. (2)根指数为偶数时，被开方数非负． (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1. A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·湖南·二模）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】 函数f(x)＝lg(2－3x)的定义域是________。 【变式4-4】（2025·北京朝阳·一模）函数的定义域为 ． 【变式4-5】（24-25高一下·贵州毕节·期末）函数的定义域为 . 题型05　对数型函数过定点问题 【典例5】（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）已知函数的图象恒过定点，且点又在函数的图像上，则（    ） A．3 B．5 C．8 D．11 【变式5-1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数（，且）的图象过点，则函数的解析式为 ．关于定点问题 求函数y＝m＋logaf(x)(a>0，且a≠1)的图象过定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m). 【变式5-2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知对数函数（，且）的图象过点． (1)求； (2)若函数，求的定义域． 题型06　对数型函数单调性问题 【典例6】求函数y＝log0.3(3－2x)的单调区间。 【变式6-1】函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)求复合函数单调性的具体步骤 (1)求定义域； (2)拆分函数； (3)分别求y＝f(u)，u＝φ(x)的单调性； (4)按“同增异减”得出复合函数的单调性． A.(－∞，－2) B.(－∞，1) C.(1，＋∞) D.(4，＋∞) 【变式6-2】函数y＝log2(x2－1)的递增区间是________. 题型07 利用对数型函数单调性求参数范围 【典例7】（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高一下·广东深圳·期末）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）　与对数相关的复合函数单调性 (1)首先求出函数的定义域，再利用复合函数单调性的复合法则“同增异减”求单调区间； (2)若已知函数在某个区间上的单调性，则该区间为函数相应单调区间的子区间，从而求参数的范围． A． B． C． D． 【变式7-2】（2025·河北·模拟预测）已知函数在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型08 　比较大小问题 【典例8】利用对数函数比较大小 (1)log0.31.8，log0.32.7； (2)log67，log76； (3)log3π，log20.8； (4)log712，log812. 【变式8-1】（24-25高一下·河南濮阳·期末）已知，则（   ）比较对数值大小时常用的四种方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性． (2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化． (3)底数和真数都不同，找中间量． (4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论． A． B． C． D． 【变式8-2】（21-22高三上·安徽·阶段练习）已知，，，则a、b、c的大小顺序为（ ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）设，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-4】（24-25高一上·全国·课前预习）比较下列各组数的大小． (1)与； (2)与； (3)，与． 题型09 解对数不等式 【典例9-1】（2025高三·全国·专题练习）求不等式的解集． 【典例9-2】（24-25高二下·海南海口·期末）已知，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2025高三·全国·专题练习）已知集合，则（    ）两类对数不等式的解法 (1)形如logaf(x)<logag(x)的不等式. ①当0<a<1时，可转化为f(x)>g(x)>0；②当a>1时，可转化为0<f(x)<g(x). (2)形如logaf(x)<b的不等式可变形为logaf(x)<b＝logaab. ①当0<a<1时，可转化为f(x)>ab；②当a>1时，可转化为0<f(x)<ab. A． B． C． D． 【变式9-2】已知log0.3(3x)<log0.3(x＋1)，则x的取值范围为(　　) A. B. C. D. 【变式9-3】 不等式log0.5(2x＋3)<log0.5(5x－6)的解集为(　　) A.(－∞，3) B. C. D. 题型10 　对数型函数图像问题 【典例10-1】如图所示,曲线是对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象,已知a取,则曲线C1,C2,C3,C4对应的a的值依次为(　　) A. B. C. D. 【典例10-2】作出函数y＝|log2(x＋1)|的图象． 对数函数底数对图象的影响 其中a，b，c，d是图象对应的对数函数的底数，根据图象，其大小关系为0<c<d<1<a<b. 【变式10-1】(多选)如图是三个对数函数的图象，则(　 　) A． B． C． D． 【变式10-2】函数y=log2|x|的图象大致是(　 　) 题型11　利用对数函数的单调性求值域 【典例11】（24-25高一上·广西河池·阶段练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25高三下·四川成都·阶段练习）已知集合，，则（    ）关于利用对数函数的单调性求值域 首先确定对数函数的单调性，再利用单调性确定取得最值时的自变量的值，分别代入后求出最值，进而得到值域． A． B． C． D． 【变式11-2】（2025·湖北·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 题型12　对数型复合函数的值域 【典例12】（22-23高一上·陕西商洛·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 　 关于值域问题 1.与对数函数有关的复合函数值域： 一方面，要抓住对数函数的值域；另一方面，要抓住中间变量的取值范围，利用对数函数的单调性来求其值域(多采用换元法)． 2． 对于形如y＝loga f(x)(a>0，且a≠1)的复合函数的值域的求法的步骤： ①分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；②求f(x)的定义域；③求u的取值范围；④利用y＝logau的单调性求解． 【变式12-1】 函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为(　 　) A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(1，＋∞) D．[1，＋∞) 【变式12-2】（24-25高一上·重庆·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式12-3】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 【变式12-4】（2025高二下·湖南株洲·学业考试）函数的值域是 . 【变式12-5】（24-25高一上·湖南岳阳·期末）已知函数，，则函数的值域为 ． 题型13　利用对数型复合函数单调性求参数范围 【典例13-1】（24-25高一下·广西·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例13-2】（2025·吉林·三模）若函数（且）在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式13-1】（2025·广东·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ）利用对数型复合函数单调性求参数范围 (1)本质还是复合函数单调性问题，需要注意帧数大于0，转化成内函数的单调性问题. (2)若底数中含有字母，需要对字母分大于1，小于1大于0两种情况讨论． A． B． C． D． 【变式13-1】（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）已知函数在内单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型14　对数函数模型在实际问题中的应用 【典例14】（24-25高一上·全国·课后作业）人们早就发现了放射性物质的衰减现象．在考古工作中，常用的含量来确定有机物的年代．已知放射性物质的衰减服从指数规律：，其中t表示衰减的时间，表示放射性物质的原始质量，表示经衰减了t年后剩余的质量．为计算衰减的年代，通常给出该物质质量衰减一半的时间，称其为该物质的半衰期．的半衰期大约是5730年．人们又知道，放射性物质的衰减速度与其质量成正比．1950年，在伊拉克发现一根古巴比伦王国时期刻有汉谟拉比王朝字样的木炭，当时测定，其的衰减速度为4.09个/（），而新砍伐树木烧成的木炭中的衰减速度为6.68个/（）．请估算出汉谟拉比王朝所在年代．（参考数据：） 对数函数模型在实际问题中的应用解题步骤： (1)列出指数关系式x＝ay，并根据实际问题确定变量的范围； (2)利用指对互化转化为对数函数y＝logax； (3)代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算． 【变式14】（2025·北京海淀·三模）历史上，在5月27日曾有多次地震记录．例如：2006年5月27日，印尼爪哇发生里氏6.3级地震，2024年5月27日，四川木里县发生里氏5.0级地震，经过科学家的研究发现，地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．印尼爪哇地震所释放出来的能量约是四川木里地震的（    ）倍．（精确到1．参考数据：） A．87 B．88 C．89 D．90 题型15　　对数函数性质的综合应用 【典例15-1】（24-25高一下·湖南·阶段练习）已知命题的值域为，命题的定义域为，则是的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例15-2】（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数（且）的图象过点． (1)求a的值； (2)若 （i）求的定义域并判断其奇偶性； （ii）求的单调递减区间． 【变式15-1】（24-25高一上·广东揭阳·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ）解决综合性问题的关注点 (1)增强定义域意识：无论是求单调区间、证奇偶性、解不等式都要先求定义域，符合定义域是满足性质的前提； (2)增强性质的应用意识：解对数不等式的关键是转化为常见的不等式，转化工具就是对数函数的单调性． A． B． C． D． 【变式15-2】（24-25高一上·天津南开·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式15-3】（2025·河北·模拟预测）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式15-4】（24-25高一上·河南周口·期末）已知函数且. (1)若的图象经过点，求不等式的解集； (2)若存在x，使得，求a的取值范围. 题型16 　三种函数的性质及增长速度比较 【典例16-1】(多选题)设，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是 （    ） A．的增长速度最快， 的增长速度最慢 B．的增长速度最快， 的增长速度最慢 C．的增长速度最快， 的增长速度最慢 D．的增长速度最快， 的增长速度最慢 【典例16-2】在2 h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减.下面能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（    ）常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变． (2)指数函数模型：指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”． (3)对数函数模型：对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓． (4)幂函数模型：幂函数y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间． A． B． C． D． 【变式16-1】下列函数增长速度最快的是（    ）由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法 根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数． A． B． C． D． 【变式16-2】四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是：①，②，③，④.如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是 .（只要填序号） 【典例16-3】4.函数和的图象如图所示．设两函数的图象交于点，且.请指出图中曲线分别对应的函数.    练基础 1．（24-25高二下·江西·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 4．(多选)（24-25高三上·北京·开学考试）下列函数中，值域为且区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·安徽亳州·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）设，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8.（2025高三上·全国·专题练习）已知函数为常数，其中的图象如图，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·北京平谷·期末）函数的定义域是 ． 10．（22-23高一下·湖北武汉·开学考试）函数的值域为 . 11．（24-25高一上·全国·周测）已知函数，若，则实数的取值范围是 . 12．（24-25高一·全国·专题练习）指出下列函数中，哪些是对数函数？ ①； ②； ③； ④； ⑤． 13．（2025高三·全国·专题练习）求不等式的解集． 14．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，且点在函数的图象上. (1)求函数的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数的图象； (2)求不等式的解集. 练提升 15．（多选）（2025高一上·全国·专题练习）（多选）关于函数，下列选项中正确的有（   ） A．定义域为 B．增区间为 C．最小值为1 D．图象恒在x轴上方 16．（24-25高三下·河南·开学考试）已知函数的最大值为1，则实数（    ） A．1 B．2或 C．4 D．4或 17．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知常数且，若函数的定义域和值域都是，则 ． 18．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数． (1)当时，求函数的值域； (2)若的定义域为，求实数的取值范围； (3)若在上单调递增，求实数的取值范围. 练创新 19．（12-13高二上·浙江台州·阶段练习）已知函数，，则函数的值域为 ． 20.（24-25高一上·广东揭阳·阶段练习）已知函数（且）． (1)求函数的定义域； (2)若函数图象过点，求的值； (3)若时，函数的最大值为6，求值． 21. （24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知函数，． (1)若，解不等式； (2)函数的图象过点． （i）函数的图象与直线没有公共点，求实数的取值范围； （ii）若函数的定义域为，且．当恒成立时，实数的最大值满足．试比较与的大小． 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$