第二章 4.2 简单幂函数的图象和性质-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

4.2　简单幂函数的图象和性质 学习目标 1.了解幂函数的概念，培养数学抽象的核心素养.　2.通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，培养直观想象的核心素养. 任务一　幂函数的概念 问题1.下面几个实例，观察它们得出的函数解析式，有什么共同特征？ (1)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数； (2)如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长c＝，这里c是S的函数； (3)如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v＝ km/s，这里v是t的函数. 提示：这些解析式都是幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，幂的指数为常数. 幂函数的概念 一般地，形如y＝xα (α为常数)的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数. [微思考]　如何判断一个函数是幂函数？ 提示：①xα的系数为1.②xα的底数x是自变量.③xα的指数α为常数. (1)(多选题)下列函数中是幂函数的是(　　) A.y＝ B.y＝2x2 C.y＝2x＋1 D.y＝ (2)(多选题)若函数y＝(k2－k－5)x2是幂函数，则实数k的值可能是(　　) A.k＝3 B.k＝－3 C.k＝－2 D.k＝2 答案：(1)AD　(2)AC 解析：(1)幂函数是形如y＝xα(α为常数)的函数，A是α＝－1的情形，D是α＝－的情形，所以A，D都是幂函数；B中x2的系数是2，不是幂函数；易知C不是幂函数.故选AD. (2)因为函数y＝(k2－k－5)x2是幂函数，所以k2－k－5＝1，解得k＝－2，或k＝3.故选AC. 判断一个函数是否为幂函数的方法 该函数是y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需要满足：①指数为常数；②底数为自变量；③系数为1. 对点练1.(1)已知f(x)＝xm是幂函数，则f(2)＝(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 (2)若幂函数f(x)＝xα的图象经过点，则函数y＝f(x)的定义域为　　　　. 答案：(1)D　(2) 解析：(1)因为f(x)＝xm是幂函数，所以m－2＝1，解得m＝3，则f(x)＝x3，所以f(2)＝23＝8.故选D. (2)幂函数f(x)＝xα的图象经过点，则＝3α，所以α＝，故f(x)＝，故y＝f(x)的定义域为. 学生用书⬇第77页 任务二　幂函数的图象和性质 问题2.(1)你能在同一坐标系中画出y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3这5个函数的图象吗？ (2)通过对这5个函数图象的观察，哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？ 提示：(1)能画出.如下图： (2)第一象限一定有幂函数的图象，第四象限一定没有幂函数的图象. 问题3.结合问题2中的5个函数图象，回答：当x∈(0，＋∞)时，它们的图象有什么特征？ 提示：幂函数均过(1，1)点；幂函数在第一象限一定有图象，在第四象限一定没有图象.对幂函数y＝xα，当α＞0，其一定在(0，＋∞)是单调增函数；当α＜0，在(0，＋∞)是单调减函数. 常见的五种幂函数的图象和性质 y＝x y＝ y＝x2 y＝ y＝x3 图象 定义域 R {x｜x≠0} R [0，＋∞) R 值域 R {y｜y≠0} [0，＋∞) [0，＋∞) R 奇偶性 奇 奇 偶 非奇非偶 奇 单调性 增函数 在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递减 在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减 增函数 增函数 [微提醒]　对于幂函数y＝xα(α为常数)有以下结论：(1)当α＞0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增.(2)当α＜0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减.(3)幂函数都过点(1，1)，在第一象限内指数的变化规律：在直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的幂指数由大变小. 下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是(　　) A.①y＝x3，②y＝x2，③y＝，④y＝ B.①y＝x3，②y＝x2，③y＝，④y＝ C.①y＝x2，②y＝x3，③y＝，④y＝ D.①y＝x3，②y＝，④y＝x2，④y＝ 答案：A 解析：幂函数y＝x3的定义域为R，且为奇函数，在(－∞，＋∞)上单调递增，对应图象①；幂函数y＝x2的定义域为R，且为偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，对应图象②；幂函数y＝的定义域为[0，＋∞)，为非奇非偶函数，在[0，＋∞)上单调递增，对应图象③；幂函数y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且为奇函数，在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递减，对应图象④.故选A. 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 1.依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高). 2.依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝或y＝或y＝x3)来判断. 对点练2.(1)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是(　　) A.d＞c＞b＞a B.a＞b＞c＞d C.d＞c＞a＞b D.a＞b＞d＞c (2)若幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则(　　) A.－1＜n＜0＜m＜1 B.－1＜n＜0，m＞1 C.n＜－1，0＜m＜1 D.n＜－1，m＞1 答案： (1)B　(2)C 解析：(1)在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a＞b＞c＞d.故选B. (2)由图象知，y＝xm在(0，＋∞)上单调递增，所以m＞0，由于y＝xm的图象增长的越来越慢，所以m＜1，故0＜m＜1，y＝xn在(0，＋∞)上单调递减，所以n＜0，又当x＞1时，y＝xn的图象在y＝x－1的下方，所以n＜－1.故选C. 学生用书⬇第78页 任务三　利用幂函数的性质比较大小 比较下列各组中两个数的大小： (1)与； (2)与； (3)与. 解：(1)因为幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是增函数，又＞， 所以＞. (2)因为幂函数y＝在(－∞，0)上是减函数， 又－＜－， 所以＞. (3)因为函数y1＝在(0，＋∞)上是增函数， 又＞1， 所以＞＝1. 又因为函数y2＝在(0，＋∞)上是增函数，且＜1，所以＜＝1，所以＞. 比较幂值大小的三种基本方法 对点练3.比较下列各组中两个数的大小： (1)－3.143与－π3； (2)3－3.5与0.53.5； (3)4.与3.. 解：(1)因为幂函数y＝x3在R上是增函数，且3.14＜π，所以3.143＜π3，所以－3.143＞－π3. (2)因为0.53.5＝2－3.5，幂函数y＝x－3.5在(0，＋∞)上是减函数，又3＞2，则3－3.5＜2－3.5，即3－3.5＜0.53.5. (3)因为幂函数y1＝在(0，＋∞)上是增函数，又4.1＞1，所以4.＞＝1，又因为函数y＝在(0，＋∞)上是减函数，且3.8＞1，所以3.＜＝1，所以4.＞3.. 任务四　利用幂函数的性质解不等式 已知幂函数f(x)＝(m2－2m－2)xm是(0，＋∞)上的增函数. (1)求实数m的值； (2)解不等式(2＋x＜(1－x. 解：(1)由题意可知解得m＝3. (2)由(1)得(2＋x＜(1－x，因为y＝的定义域为[0，＋∞)，且函数在[0，＋∞)上单调递增， 所以解得－2≤x＜－，故原不等式的解集为. 利用幂函数的性质解不等式的步骤 第一步：确定可以利用的幂函数； 第二步：借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系； 第三步：解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用. 对点练4.已知幂函数f(x)＝的图象关于y轴对称，且f(x)在(0，＋∞)上单调递增. (1)求m的值及函数f(x)的解析式； (2)若f＜f，求实数a的取值范围. 解：(1)由幂函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增知，＞0，解得0＜m＜4， 又m∈Z，则m＝1，2，3. 当m＝1或m＝3时，f(x)＝，不符合f(x)的图象关于y轴对称，故舍去. 当m＝2时，f(x)＝x2，图象关于y轴对称，符合题意. 综上所述，f(x)＝x2. (2)由(1)得f(x)＝x2，为偶函数，且在上单调递增， 因为f＜f， 所以＜， 两边平方，得a2－4a＋4＜4a2＋4a＋1， 化简得3a2＋8a－3＞0，解得a＜－3或a＞， 故实数a的取值范围为∪. 学生用书⬇第79页 [教材拓展6]　对勾函数与飘带函数(源于教材P64例5与P73B组T5) 常用结论： 一、对勾函数 解析式 y＝ax＋ (a＞0，b＞0) y＝ax＋ (a＜0，b＜0) 图象 定义域 (－∞，0)∪(0，＋∞) 值域 ∪ 奇偶性 奇函数 单调性 在(－∞，－)，(，＋∞)上是增函数，在(－，0)，(0，)上是减函数 在(－，0)，(0，)上是增函数，在(－∞，－)，(，＋∞)上是减函数 二、飘带函数 解析式 y＝ax－ (a＞0，b＞0) y＝ax－ (a＜0，b＜0) 图象 定义域 (－∞，0)∪(0，＋∞) 值域 R 奇偶性 奇函数 单调性 在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数 在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数 (1)函数f(x)＝｜x｜－(x∈R)的图象不可能是(　　) (2)(多选题)已知函数f(x)＝x＋，下面有关结论正确的有(　　) A.定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞) B.值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞) C.在(－2，0)∪(0，2)上单调递减 D.图象关于原点对称 答案：(1)C　(2)ABD 解析：(1)当m＝0时，f(x)＝｜x｜(x≠0)，选项A有可能；当m＝1时，f(x)＝易得f(x)在(0，＋∞)上单调递增，根据对勾函数图象易得在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，0)上单调递增，选项D有可能；当m＝－1时，f(x)＝易得f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，选项B有可能，所以选项C不可能.故选C. (2)对于A，函数f(x)＝x＋有意义，则满足x≠0，所以函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故A正确；对于B，当x＞0时，可得x＋≥2＝4，当且仅当x＝时，即x＝2时，等号成立，所以f(x)≥4；当x＜0时，可得x＋＝－［(－x)＋］≤－2＝－4，当且仅当－x＝－时，即x＝－2时，等号成立，所以f(x)≤－4，所以函数f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)，故B正确；对于C，函数f(x)＝x＋在(－2，0)，(0，2)上单调递减，故C不正确；对于D，函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且满足f(－x)＝－x－＝－(x＋)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，函数的图象关于原点对称，所以D正确.故选ABD. 任务 再现 1.幂函数的概念.2.几种常见幂函数的图象以及幂函数的性质 方法 提炼 待定系数法、数形结合法以及分类讨论法 易错 警示 对幂函数形式的判断易出错，只有形如y＝xα(α为常数)的函数为幂函数 1.已知幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(2)等于(　　) A. B.2 C. D. 答案：A 解析：幂函数y＝f(x)的图象经过点，设幂函数y＝xα，将点代入解析式得到4α＝，解得α＝－1.故f(x)＝x－1.故f(2)＝.故选A. 2.已知幂函数f(x)＝x4－m(m∈N＋)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，则m等于(　　) A.1 B.2 C.1或3 D.3 答案：C 解析：因为f(x)＝x4－m在(0，＋∞)上单调递增，所以4－m＞0，即m＜4.又因为m∈N＋，所以m＝1，2，3.又因为f(x)＝x4－m是奇函数，所以4－m是奇数，因此m＝1或m＝3.故选C. 学生用书⬇第80页 3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是(　　) A.y＝ B.y＝－x2 C.y＝x D.y＝－x3 答案：D 解析：对于A，y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，但是在定义域上不单调，故A错误；对于B，由幂函数性质可知，y＝－x2为偶函数，故B错误；对于C，由幂函数性质可知，y＝x为增函数，故C错误；对于D，令y＝f(x)＝－x3，因为f(－x)＝－(－x)3＝x3＝－f(x)，所以y＝－x3为奇函数，由幂函数性质可知，y＝－x3在定义域上单调递减，故D正确.故选D. 4.函数f(x)＝x3，比较两个函数值的大小：f　　　　f. 答案：＞ 解析：由函数f(x)＝x3在R上单调递增，且－＞－，所以f＞ f. 课时分层评价22　简单幂函数的图象和性质 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9题，每小题5分，共45分) 1.下列函数既是幂函数，又在(－∞，0)上单调递减的是(　　) A.y＝－x B.y＝x－2 C.y＝ D.y＝x2 答案：D 解析：因为形如y＝xα的函数为幂函数，显然A，C不符合定义，B，D符合幂函数定义；又y＝x2在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故D正确；y＝x－2在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，故B错误.故选D. 2.幂函数f(x)＝的图象大致为(　　) 答案：B 解析：由函数f(x)＝＝，可得函数的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝＝＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称，又由幂函数的性质得，当x≥0时，函数f(x)单调递增，结合选项，选项B符合题意.故选B. 3.已知幂函数f(x)＝(m＋2)xn的图象经过点(4，2)，则m－n＝(　　) A.－3 B.－ C.－2 D.－ 答案：D 解析：依题意可得m＋2＝1，所以m＝－1，又f(x)＝xn的图象经过点，所以4n＝2，解得n＝，所以m－n＝－1－＝－.故选D. 4.函数f(x)＝(a－b)＋b－3是幂函数，则下列结论正确的是(　　) A.f(a)＞f(b) B.f(a)＜f(b) C.f(a)＝f(b) D.以上都不对 答案：A 解析：因为f(x)为幂函数，所以所以f(x)＝，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(a)＞f(b).故选A. 5.(多选题)下列有关幂函数y＝xα(α为常数)的说法正确的是(　　) A.当α＝2k，k∈N时，此时幂函数y＝xα(α为常数)为偶函数 B.当α＝2k＋1，k∈N时，此时幂函数y＝xα(α为常数)为奇函数 C.幂函数y＝xα(α为常数)的图象始终经过点(1，1) D.幂函数y＝xα(α为常数)的定义域始终包含[0，＋∞) 答案：ABC 解析：对于A，当α＝2k，k∈N时，此时幂函数y＝xα(α为常数)为偶函数，故A正确；对于B，当α＝2k＋1，k∈N时，此时幂函数y＝xα(α为常数)为奇函数，故B正确；对于C，当x＝1时，xα＝1，故幂函数y＝xα(α为常数)的图象始终经过点(1，1)，故C正确；对于D，当α＝－1时，幂函数y＝xα(α为常数)的定义域不包含0，故D错误.故选ABC. 6.(多选题)下列关于幂函数f(x)＝的说法正确的有(　　) A.f(x)的定义域为R B.f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞) C.f(x)为偶函数 D.不等式f(x)＞1的解集为(0，1) 答案：BD 解析：f(x)＝＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故A错误；f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故B正确；f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又f(－x)＝(－x＝－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故C错误；不等式f(x)＞1，则＞1，解得0＜x＜1，故D正确.故选BD. 7.(新情境)幂函数为什么叫“幂函数”呢？幂，本义为方布.三国时的刘徽为《九章算术·方田》作注：“田幂，凡广(即长)从(即宽)相乘谓之乘.”幂字之义由长方形的布引申成长方形的面积；明代徐光启翻译《几何原本》时，自注曰：“自乘之数曰幂”.幂字之义由长方形的面积再引申成相同的数相乘，即xn，函数f(x)＝(2a2－a)xa＋a2－1为幂函数，则a＝　　　　. 答案：1 解析：因为函数f(x)＝(2a2－a)xa＋a2－1为幂函数，所以解得a＝1. 8.(开放题)形如y＝xα的函数称为幂函数，写出一个满足条件“函数的图象关于原点对称且与坐标轴没有交点”的幂函数：f(x)＝　　　　. 答案：x－1(答案不唯一) 解析：由幂函数的图象关于原点对称，得幂函数f(x)为奇函数，又幂函数f(x)的图象与坐标轴没有交点，则f(x)＝xα的幂指数α为负数，例如α＝－1，所以f(x)＝x－1(答案不唯一). 9.已知幂函数f(x)＝xm－2在(0，＋∞)上单调递减，则不等式f(2－x)＞1的解集是　　　　. 答案：(1，2) 解析：因为f(x)＝xm－2是幂函数，所以m2－4m＋4＝1，解得m＝1或m＝3.又因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以m－2＜0，解得m＝1，则f(x)＝.由f(2－x)＝＞1，解得1＜x＜2，所以不等式f(2－x)＞1的解集是(1，2). 10.(10分)已知幂函数f(x)＝(2a2＋a)xa满足f(2)＞f(1). (1)求a的值； (2)若关于x的方程f(x2－2x＋m)＝2有唯一解，求m的值. 解：(1)因为f(x)＝(2a2＋a)xa是幂函数， 所以2a2＋a＝1，解得a＝－1，或a＝， 当a＝－1时，f(x)＝x－1，不满足f(2)＞ f(1)； 当a＝时，f(x)＝，满足f(2)＞ f(1). 综上，a＝. (2)由(1)得f(x)＝，则方程f(x2－2x＋m)＝2，即为＝2， 因为方程f(x2－2x＋m)＝2有唯一解， 所以方程x2－2x＋m＝4有唯一解， 所以Δ＝4－4(m－4)＝0，解得m＝5. (11—13题，每小题5分，共15分) 11.若0＜x＜1，则x2，x，，这四个数中(　　) A.x最大，x2最小 B.x2最大，最小 C.x最大，最小 D.最大，x2最小 答案：D 解析：当0＜x＜1，结合幂函数图象，可得x2＜x＜＜，所以最大，x2最小.故选D. 12.已知f(x)为幂函数，m为常数，且m＞1，则函数g(x)＝f(x)＋的图象经过的定点坐标为(　　) A.(1，1) B.(1，2) C.(－1，1) D.(－1，2) 答案：B 解析：因为幂函数的图象过定点(1，1)，即有f(1)＝1，所以g(1)＝f(1)＋＝1＋1＝2，即g(x)的图象经过定点(1，2).故选B. 13.(多选题)下列关于幂函数f(x)＝的说法正确的有(　　) A.函数f(x)的定义域为R B.函数f(x)的值域为(0，＋∞) C.函数f(x)为偶函数 D.不等式f(x)＜1的解集为(－1，1) 答案：BC 解析：对于A，f(x)＝＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故A错误；对于B，f(x)＝＝＞0，故值域为(0，＋∞)，故B正确；对于C，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又f(－x)＝(－x＝＝f(x)，故f(x)为偶函数，故C正确；对于D，不等式f(x)＝＝＜1，故＞1，解得x＞1或x＜－1，故D错误.故选BC. 14.(10分)已知幂函数f(x)＝(3m2－m＋1)x9m－2的图象不经过原点. (1)求m的值； (2)若a≠0，试比较f(a)与f(a2＋1)的大小. 解：(1)因为f(x)是幂函数，所以3m2－m＋1＝1，解得m＝0，或m＝. 当m＝0时，f(x)＝x－2的图象不经过原点，符合题意， 当m＝时，f(x)＝x的图象经过原点，不符合题意，所以m＝0. (2)由(1)得f(x)＝x－2，易得f(x)在(0，＋∞)上单调递减. 当a＞0时，由a2＋1－a＝＋＞0，可得a2＋1＞a＞0. 因为f(x)在(0，＋∞)上为减函数，所以f(a2＋1)＜f(a). 当a＜0时，－a＞0，由a2＋1－(－a)＝＋＞0，可得a2＋1＞－a＞0. 因为f(－a)＝(－a)－2＝a－2＝f(a)，且f(x)在(0，＋∞)上为减函数， 所以f(a2＋1)＜f(－a)＝f(a). 综上，f(a2＋1)＜f(a). 15.(5分)(多选题)已知幂函数f(x)的图象经过点，下列结论正确的有(　　) A.f(0)＝0 B.f(x)是偶函数 C.f(－3)＜f(2) D.若f＞f(x＋1)，则x∈∪ 答案：BCD 解析：设幂函数f(x)＝xα，代入点＝8α，解得α＝－；所以f(x)＝＝，因此函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(0)不存在，故A错误；易知f(－x)＝(－x＝＝＝f(x)，因此f(x)是偶函数，故B正确；由幂函数性质可得f(x)在(0，＋∞)上单调递减，又f(x)是偶函数，则f(－3)＜f(2)，故C正确；所以不等式f＞f(x＋1)转化为＜，且3－2x≠0，x＋1≠0；整理可得＜x＜4且x≠，x≠－1；故不等式f＞f(x＋1)的解集为∪，故D正确.故选BCD. 16.(15分)已知幂函数经过点. (1)当x＝时，求函数的值； (2)是否存在实数m，n，使得该函数在区间上的最小值为6m－8，最大值为6n－8，若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由. 解：(1)设幂函数为y＝xa，所以4＝2a，所以a＝2， 所以y＝x2，所以当x＝时，y＝＝. (2)存在. 理由：由(1)得y＝x2≥0， 所以6m－8≥0，所以m≥. 因为函数在(0，＋∞)上是严格增函数，所以函数在上是严格增函数， 所以当x＝m时，函数取最小值y＝m2＝6m－8， 当x＝n时，函数取最大值y＝n2＝6n－8， 解得m＝2，n＝4. 故存在m＝2，n＝4满足题意. 学科网（北京）股份有限公司 $