专题1.4.1 一元二次函数（高效培优讲义）数学北师大版高一必修第一册

本讲义聚焦一元二次函数核心知识，系统梳理定义、三种解析式（一般式、顶点式、零点式）、图象性质（开口、对称轴、顶点、单调性、最值）、平移变换、闭区间最值及与方程、不等式的联系，构建从基础概念到综合应用的学习支架。 资料含思维导图辅助知识梳理，通过“即学即练”与分层题型（如含参分类讨论、恒成立问题、实际应用），培养数学思维（推理意识）与数学语言（模型意识）。课中助力教师高效授课，课后学生可通过典型例题查漏补缺，提升解决复杂问题能力。

专题1.4.1 一元二次函数 教学目标 掌握一元二次函数定义、三类解析式； 熟练抛物线开口、对称轴、顶点、单调性、最值； 掌握图象平移变换；理解与图象的对应关系； 建立二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者联系； 会处理区间最值、含参、恒成立、无解（空集）问题。 能配方法转化顶点式；待定系数法求解析式； 区间定轴 / 动轴 / 定区间动轴分类讨论求最值； 教学重难点 1.重点 ① 三种解析式互化、配方法； ② 抛物线开口、对称轴、顶点、单调性、最值； ③ 闭区间上二次函数最值（定轴定区间、动轴定区间、定轴动区间）； ④ 二次函数零点与一元二次不等式解集的对应关系。 2.难点 ① 含参数二次函数分类讨论（\(a=0\)退化为一次函数、对称轴位置、判别式）； ② 动轴 / 动区间最值分类讨论； ③ 恒成立、存在性、无解（解集为空集）参数范围求解； ④ 图象平移 “左加右减、上加下减” 易错变形； ⑤ 数形结合综合判断代数式符号。 知识点 1 一元二次函数的定义 形如的函数称为一元二次函数。 核心条件：自变量最高次数为 ，二次项系数； 辨析： 时退化为一次函数；化简后无 项不是二次函数。 知识点 2 一元二次函数三种表达式（解析式） 一般式： 适合已知任意三点； 顶点式： 顶点(h,k)，对称轴x=h，由配方法得到； 零点式： 为函数零点，仅可用。 核心技能：一般式与顶点式互相转化（配方法）。 【即学即练】 抛物线的顶点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 知识点 3 二次函数图象与基本性质 函数，抛物线： 开口方向：向 ，向 ；越大，图象越 ； 对称轴： 顶点坐标 单调性：以对称轴分界，左右单调相反； 最值：顶点处取得唯一最值；只有最小值，只有最大值。 【即学即练】 函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 知识点 4 系数与图象的关系 ：决定开口方向、开口宽窄； ：共同决定对称轴位置（左同右异）； c：抛物线与y轴交点纵坐标(0,c)； ：判断抛物线与x轴 ： 个交点； 个交点； 交点。 知识点 5 图象平移变换 基础函数 口诀：左加右减自变量，上加下减常数项 ⚠易错：平移只针对单独x，不能直接在括号外对x加减。 【即学即练】 把抛物线向左平移__________个单位，得到抛物线的解析式为. 知识点 6 闭区间上二次函数的值域与最值 核心规律：最值只能出现在区间端点或顶点（对称轴处） 两类经典模型： ① 定轴定区间；② 动轴定区间 / 定轴动区间（分类讨论对称轴位置）。 【即学即练】 函数在上的值域是___________． 知识点 7 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的联系 ：方程的根 ⇔ 函数 ； ：解集对应抛物线在x轴 / 的x范围； 数形结合思想基础，为下一节一元二次不等式铺垫。 【即学即练】 若方程的解集为，则________． 题型 01一元二次方程根与系数 【典例1】已知一元二次方程的两根分别为和，则（   ） A． B． C．5 D．3 【变式1】若是方程的两个根，且，则m的值为（       ） A．或2 B．1或 C． D．1 【变式2】设两个实数根为、，则=_______，=_______. 【变式3】已知方程的两根分别为，求的值_____________. 题型 02 二次函数图象分析与符号判断 【典例1】设，二次函数的图象为下列之一，则的值为（   ） A．1 B．-1 C． D．0 【变式1】已知二次函数（为常数，且）的部分图像如图所示，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集为 【变式2】二次函数与的图象可能是下图中的（　　） A．   B．     C．   D．   【变式3】已知不等式的解集是，设，则函数的大致图象不可能为（    ） A． B． C． D． 题型 03 配方、对称轴、顶点、单调区间计算 【典例1】对于二次函数，下列说法不正确的是（ ） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的对称轴是直线 C．函数图象的顶点坐标为 D．当时，y有最大值 【变式1】已知函数的图象开口向上，且过点，对称轴为，则（　　） A．是函数的最小值 B． C．在上单调递减 D． 【变式2】若函数在区间上具有单调性，则实数的取值范围是_____. 题型 04 二次函数图象平移问题 【典例1】函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数解析式是_________． 【变式1】将抛物线先向右平移1个单位，再向下平移1个单位，平移后得抛物线的表达式是________． 【变式2】把抛物线向右平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式为___________ 【变式3】在直角坐标系中将二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，则所得抛物线的顶点坐标为__________. 题型 05 无参二次函数区间最值、值域 【典例1】已知二次函数且满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数的定义域为，作出函数图象并求其值域． 【变式1】设函数的两个零点分别是和． (1)求函数； (2)当函数的定义域是时，求函数的值域． 【变式2】已知二次函数满足，， (1)求表达式； (2)当，求最大值和最小值； (3)在上的最小值为，求实数的值. 题型 06 含参二次函数区间最值（动轴 / 动区间讨论） 【典例1】已知函数. (1)求该函数的单调性； (2)求该函数在区间上的最值（用表示）. 【变式1】已知函数 . (1)若， 求的最大值； (2)若的最小值为， 求的解析式. 题型 07 二次函数恒成立与存在性（求参数） 【典例1】若命题p：“”为假命题，则实数的取值范围为__________. 【变式1】若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知命题．若命题为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型 08 利用二次函数定义求参数 【典例1】若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型 09 二次函数零点个数与零点分布 【典例1】已知关于的一元二次方程，条件，条件：方程有一个正根一个负根．则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】若方程的两实根均在区间内，求的取值范围____________． 【变式2】对于函数，若存在定义域内某个区间，使得在上的值域也是，则称函数在定义域上封闭．若函数在上封闭，则的取值范围为______． 题型 10 二次函数实际应用 【典例1】某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资万元时，两类产品的收益分别为万元和万元. (1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系. (2)该家庭现有万元资金，全部用于理财投资，怎样分配资金才能获得最大收益？其收益最大为多少万元？ 【变式1】为了给消费者带来放心的蔬菜，某地计划投入资金200万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入资金40万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜.根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P（单位：万元），种黄瓜的年收入Q（单位：万元）与各自的投入资金（单位：万元）满足，，设甲大棚的投入资金为x（单位：万元），两个大棚的总收入为（单位：万元），则的最大值为（　　） A．282 B．228 C．283 D．229 【变式2】某小区要建造一个直径为16m的圆形喷水池，并在池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头使喷出的水柱在离池中心点3m的地方达到最高高度4m，各方向喷来的水柱在池中心上方点汇合（如下图）．      过水池的中心任取一个竖直截面，如图所示．根据力学的原理，喷出的水柱轨迹应为一条抛物线，此抛物线上任何一个点距池中心的水平距离与其所处的高度之间是对应的．建立如右下图所示的直角坐标系．则池中心与汇合点之间的距离______m． 1．关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．或0 2．已知点在函数的图象上，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则的值为（   ） A．2 B．0 C．1 D．2或0 4．如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 5．已知函数的值域为，则函数的最大值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．已知二次函数的最大值为，则（ ） A． B． C． D． 7．已知函数，的最值情况为 （   ） A．有最小值 ，有最大值 B．有最小值，有最大值 C．有最小值，有最大值 D．有最小值，无最大值 8．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线.下列结论：①；②；③.其中结论正确的为（   ） A．② B．①② C．①③ D．②③ 9．图中所示为的圆像，其中及都是常数．下列何者正确？（　　） A．及 B．及 C．及 D．及 10．二次函数的部分图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D． 12．已知方程的两个根为、，则_______． 1.已知关于的方程，则下列结论中正确的是（   ） A．方程有一个正根一个负根的充要条件是 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的必要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 2.已知函数图象的顶点为，与轴交于和，若是等边三角形，则的值为_____________． 3．已知一元二次方程的两个根分别为、，则__________. 4．已知函数. (1)若有两个不相等的正数解，求实数的取值范围； (2)若在上的最大值为4，求实数的值. 5．已知集合 (1)若命题是真命题，求实数的值； (2)若“”是“”的必要条件，求的取值范围. 6．已知函数. (1)若关于的方程一个根大于0，一个根小于0，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有两个大于的不等实根，求实数的取值范围. 7．已知关于x的方程． (1)求证：不论m取何值，方程都有实数根； (2)若方程有两个整数根，求整数m的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4.1 一元二次函数 教学目标 掌握一元二次函数定义、三类解析式； 熟练抛物线开口、对称轴、顶点、单调性、最值； 掌握图象平移变换；理解与图象的对应关系； 建立二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者联系； 会处理区间最值、含参、恒成立、无解（空集）问题。 能配方法转化顶点式；待定系数法求解析式； 区间定轴 / 动轴 / 定区间动轴分类讨论求最值； 教学重难点 1.重点 ① 三种解析式互化、配方法； ② 抛物线开口、对称轴、顶点、单调性、最值； ③ 闭区间上二次函数最值（定轴定区间、动轴定区间、定轴动区间）； ④ 二次函数零点与一元二次不等式解集的对应关系。 2.难点 ① 含参数二次函数分类讨论（\(a=0\)退化为一次函数、对称轴位置、判别式）； ② 动轴 / 动区间最值分类讨论； ③ 恒成立、存在性、无解（解集为空集）参数范围求解； ④ 图象平移 “左加右减、上加下减” 易错变形； ⑤ 数形结合综合判断代数式符号。 知识点 1 一元二次函数的定义 形如的函数称为一元二次函数。 核心条件：自变量最高次数为 2，二次项系数； 辨析： 时退化为一次函数；化简后无 项不是二次函数。 知识点 2 一元二次函数三种表达式（解析式） 一般式：，适合已知任意三点； 顶点式：，顶点(h,k)，对称轴x=h，由配方法得到； 零点式：，为函数零点，仅可用。 核心技能：一般式与顶点式互相转化（配方法）。 【即学即练】 抛物线的顶点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据抛物线求得其顶点坐标判断. 【详解】因为抛物线的顶点坐标为， 所以抛物线的顶点在第三象限， 故选：C 知识点 3 二次函数图象与基本性质 函数，抛物线： 开口方向：向上，向下；越大，图象越窄； 对称轴：；顶点坐标 ； 单调性：以对称轴分界，左右单调相反； 最值：顶点处取得唯一最值；只有最小值，只有最大值。 【即学即练】 函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析函数性质，结合二次函数图象特征判断即可. 【详解】当时，，其图象是抛物线在轴及右侧部分，排除BC； 当时，，则恒成立，其图象在轴下方，排除D，选项A符合题意. 故选：A 知识点 4 系数与图象的关系 ：决定开口方向、开口宽窄； ：共同决定对称轴位置（左同右异）； c：抛物线与y轴交点纵坐标(0,c)； ：判断抛物线与x轴交点个数：两个交点；一个交点；无交点。 知识点 5 图象平移变换 基础函数 口诀：左加右减自变量，上加下减常数项 ⚠易错：平移只针对单独x，不能直接在括号外对x加减。 【即学即练】 把抛物线向左平移__________个单位，得到抛物线的解析式为. 【答案】/0.5 【分析】注意到，结合题意可得答案. 【详解】注意到， 与相比较可得向左平移 个单位可满足题意. 故答案为： 知识点 6 闭区间上二次函数的值域与最值 核心规律：最值只能出现在区间端点或顶点（对称轴处） 两类经典模型： ① 定轴定区间；② 动轴定区间 / 定轴动区间（分类讨论对称轴位置）。 【即学即练】 函数在上的值域是___________． 【答案】 【分析】利用二次函数性质即可求解. 【详解】由题函数为二次函数且开口向上，对称轴为， 所以当时，有最小值， 当，单调递减，此时， 当，单调递增，此时， 综上：在上的值域为. 故答案为：. 知识点 7 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的联系 ：方程的根 ⇔ 函数零点； ：解集对应抛物线在x轴上方 / 下方的x范围； 数形结合思想基础，为下一节一元二次不等式铺垫。 【即学即练】 若方程的解集为，则________． 【答案】 【详解】可化为， 因为方程的解集为，所以方程的两根为，2， 由，解得，检验符合． 题型 01一元二次方程根与系数 【典例1】已知一元二次方程的两根分别为和，则（   ） A． B． C．5 D．3 【答案】A 【分析】直接利用根与系数的公式，再由求解即可. 【详解】由题意可得，，，由韦达定理可得，，， 所以，所以. 故选：A. 【变式1】若是方程的两个根，且，则m的值为（       ） A．或2 B．1或 C． D．1 【答案】D 【分析】利用根与系数的关系得，结合已知列方程求参数值即可. 【详解】由题设，而， 所以，可得或， 由，故. 故选：D 【变式2】设两个实数根为、，则=_______，=_______. 【答案】 【详解】因为两个实数根为、， 所以， 所以，. 【变式3】已知方程的两根分别为，求的值_____________. 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）先求出和的值，再对进行通分变形后计算即可. 【详解】已知方程的两根分别为， 由韦达定理可得，. 所以. 故答案为： 题型 02 二次函数图象分析与符号判断 【典例1】设，二次函数的图象为下列之一，则的值为（   ） A．1 B．-1 C． D．0 【答案】A 【分析】首先根据排除图1图2，然后由图3图4可得，利用二次函数的性质逐一验证即可得出答案. 【详解】因为，所以函数的对称轴不可能为轴，所以函数的图像不可能是图1和图2， 由图3和图4可知函数必过原点，所以，解得， 当时，，图像开口向上，另一个零点为，图4符合， 当时，，图像开口向下，另一个零点为，图3，4均不符合. 综上所述，符合题意的的值为1. 故选：A 【变式1】已知二次函数（为常数，且）的部分图像如图所示，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集为 【答案】D 【分析】根据函数的图像，结合函数性质和韦达定理得出的符号及相互关系，再利用的符号及相互关系逐一分析判断各选项． 【详解】由函数图像可知二次函数开口向上，对称轴为正值，函数的两个零点为和2， ， 选项A：，，又，，故A错误； 选项B：，，故B错误； 选项C：，，故C错误； 选项D：， ， ，原不等式等价于，解得， 不等式的解集为，故D正确． 故选：D． 【变式2】二次函数与的图象可能是下图中的（　　） A．   B．     C．   D．   【答案】D 【分析】根据二次函数的图象与性质分类讨论判定排除即可. 【详解】对于A项，由图象可知两个二次函数均开口向上，故， 则两函数的对称轴，均在纵轴左侧，与选项矛盾，故A错误； 对于B项，同A项，有，对称轴，均在纵轴左侧，也与选项矛盾，故B错误； 对于C、D项，由图象可知，故两函数的对称轴，均在纵轴右侧，显然D项正确；C项错误. 故选：D. 【变式3】已知不等式的解集是，设，则函数的大致图象不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的解集求得，由此对进行分类讨论，从而确定正确答案. 【详解】由题知是的两个实数根，可得， 解得，所以. 当时，，故A符合题意； 当时，二次函数的图象开口向上， 由，解得或， 所以，的零点为0和，且，故B符合题意，而C不符合； 当时，二次函数的图象开口向下， 的零点为0和，且，故D符合题意. 故选：C. 题型 03 配方、对称轴、顶点、单调区间计算 【典例1】对于二次函数，下列说法不正确的是（ ） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的对称轴是直线 C．函数图象的顶点坐标为 D．当时，y有最大值 【答案】B 【分析】利用二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标及最值逐一分析选项。 【详解】对于A：∵ ，∴抛物线开口向下，选项正确，不符合题意； 对于B：函数图象的对称轴是直线，选项错误，符合题意； 对于C：∵顶点式直接得出顶点为，选项正确，不符合题意； 对于D：∵开口向下，∴当时，y有最大值，选项正确，不符合题意； 故选：B 【变式1】已知函数的图象开口向上，且过点，对称轴为，则（　　） A．是函数的最小值 B． C．在上单调递减 D． 【答案】ABC 【分析】由题意可得，根据二次函数的性质逐一判断即可. 【详解】因为过点，对称轴为， 所以，即， 所以， 所以是函数的最小值，故A正确； 因为函数的对称轴为， 所以，故B正确； 又因为函数的开口向上， 所以函数在上单调递减，故C正确； 因为， 所以，故D错误. 故选：ABC. 【变式2】若函数在区间上具有单调性，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】对函数在区间上的单调性进行分类讨论，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 若函数在区间上单调递增，则，解得； 若函数在区间上单调递减，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 题型 04 二次函数图象平移问题 【典例1】函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数解析式是_________． 【答案】 【分析】本题可根据函数的图象变换得出结果. 【详解】函数的图象向左平移1个单位长度，得到， 再向下平移2个单位长度，得到， 故答案为：. 【变式1】将抛物线先向右平移1个单位，再向下平移1个单位，平移后得抛物线的表达式是________． 【答案】 【分析】由平移变换左加右减，上加下减可得. 【详解】抛物线先向右平移1个单位， 得， 再向下平移1个单位，得. 故答案为： 【变式2】把抛物线向右平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式为___________ 【答案】 【分析】根据二次函数的图象平移规律可得答案. 【详解】把抛物线向右平移1个单位，然后向上平移3个单位， 则平移后抛物线的解析式为：. 故答案为：. 【变式3】在直角坐标系中将二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，则所得抛物线的顶点坐标为__________. 【答案】 【分析】根据图象的平移得出函数解析式，据此求解即可. 【详解】平移后，所得函数为， 所以抛物线的顶点坐标为. 故答案为： 题型 05 无参二次函数区间最值、值域 【典例1】已知二次函数且满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数的定义域为，作出函数图象并求其值域． 【答案】(1) (2)作图见解析， 【分析】（1）由，列方程求出，进而求出函数的解析式； （2）由二次函数的图象的特征，作出函数图象，再根据图象求值域． 【详解】（1）二次函数满足， ，解得， ． （2）函数的定义域为，， 函数图象如图所示： 由函数图象可知，， 函数在上的值域为． 【变式1】设函数的两个零点分别是和． (1)求函数； (2)当函数的定义域是时，求函数的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的零点，代入求出参数值即可. （2）根据二次函数性质，求出在给定区间上的值域即可. 【详解】（1）由题意得，设函数解析式为，不为，即， 得，解得， 可得. （2）由（1）可知，函数开口向下，对称轴为， 根据二次函数对称性可知，时，在处取得最大值，在处取得最小值， ，所以函数在上的值域为. 【变式2】已知二次函数满足，， (1)求表达式； (2)当，求最大值和最小值； (3)在上的最小值为，求实数的值. 【答案】(1) (2)最大值7，最小值 (3)，或. 【分析】（1）利用待定系数法计算即可求解； （2）根据二次函数的图象与性质计算即可求解； （3）由题意可得，对称轴为，分类讨论对称轴与区间的位置关系，列出最小值，即可求解. 【详解】（1）设（）， 因为，所以，则. 又， 得， 展开得， 所以，解得，， 故. （2）由（1）知， 是一条开口向上的抛物线，对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 且， 所以在上的最大值3，最小值. （3）， 是一条开口向上的抛物线，对称轴为， 当时，在上单调递减， 此时，解得，符合题意； 当时，在上单调递增， 此时，解得，符合题意； 当时， 在上单调递减，在上单调递增， 此时， 整理得，解得，不符合题意. 综上，或. 题型 06 含参二次函数区间最值（动轴 / 动区间讨论） 【典例1】已知函数. (1)求该函数的单调性； (2)求该函数在区间上的最值（用表示）. 【答案】(1)减区间是，增区间 (2)最大值是，最小值是 【分析】（1）根据二次函数的单调性求解即可； （2）根据二次函数的对称轴求函数在区间上的最值即可. 【详解】（1）， 所以函数是开口向上的抛物线，对称轴是， 所以减区间是，增区间. （2）因为函数是开口向上的抛物线且对称轴， 所以该函数在区间的最小值是， 又因为，所以， 所以函数在区间的最大值是， 综上，函数在区间的最大值是，最小值是. 【变式1】已知函数 . (1)若， 求的最大值； (2)若的最小值为， 求的解析式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的开口方向及对称轴方程，结合自变量取值范围求最大值即可； （2）讨论三种情况，当时，当时， 当，分别根据二次函数的单调性求出最小值即可. 【详解】（1）当时，，对称轴为， 因为抛物线开口向上，, 所以当时，. （2）当，即时，在上递增，； 当，即时，在上递减，； 当，即时，在上递减，在上递增，； 综上， 的最小值. 题型 07 二次函数恒成立与存在性（求参数） 【典例1】若命题p：“”为假命题，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】由题意转化为命题的否定为真，再由二次方程无解利用判别式列不等式求解. 【详解】因为命题p：“”为假命题， 则：“”为真命题， 所以，解得， 故答案为： 【变式1】若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】原全称命题“”为假命题， 则其否定“”为真命题，即方程在上有解， 的取值范围就是函数在上的值域. ，这是开口向上，对称轴为的二次函数，. 则最小值在处取得：；最大值在端点处取得：. 因此的值域为，即. 【变式2】已知命题．若命题为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得为真命题，令函数，讨论函数的对称轴，即可求得函数的最小值，建立不等式即可求得实数的取值范围. 【详解】由题意得命题的否定为真命题， 令函数，则函数对称轴， 当，即，函数最小值为， 由题意得，即.∴ 当，即，函数最小值为， 由题意得，即或，∴. ∴， 故选：A. 题型 08 利用二次函数定义求参数 【典例1】若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】讨论的取值，可知符合题意，当时，结合二次函数的性质可得不等式组，求得的范围，综合可得答案. 【详解】当时，函数在上单调递增， 所以在上单调递增，则符合题意； 当 时，函数是二次函数，又在上单调递增， 由二次函数的性质知， ，解得， 综上，实数a的取值范围是. 故选：B 题型 09 二次函数零点个数与零点分布 【典例1】已知关于的一元二次方程，条件，条件：方程有一个正根一个负根．则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据题意，由韦达定理及判别式代入计算，结合充分条件以及必要条件的定义，即可得到结果. 【详解】若关于的一元二次方程有一个正根一个负根， 得，则； 反之，若，则，，， 此时方程有一个正根一个负根， 所以是的充要条件. 故选：C 【变式1】若方程的两实根均在区间内，求的取值范围____________． 【答案】 【分析】令 ，由二次函数的图象和性质建立不等式组即可求解. 【详解】令 ，该函数的图象对称轴为，由题意得 ，解得:． 故答案为:． 【变式2】对于函数，若存在定义域内某个区间，使得在上的值域也是，则称函数在定义域上封闭．若函数在上封闭，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据函数的最值和二次函数的性质结合题意可求得结果. 【详解】要使函数在上存在某个区间，使得在上的值域也是， 即函数或在区间上有两相异实数根， 而，若区间上有两相异实数根， 则必有，而，故此时不符合题意； 故函数在区间上有两相异实数根 即函数在单调递增， 而二次函数图象的对称轴为直线， 所以，解得， 设函数在上存在某个区间，使得在上的值域也是， 则，， 即是方程的两个根，且，，解得 综上，的取值范围为． 故答案为：. 题型 10 二次函数实际应用 【典例1】某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资万元时，两类产品的收益分别为万元和万元. (1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系. (2)该家庭现有万元资金，全部用于理财投资，怎样分配资金才能获得最大收益？其收益最大为多少万元？ 【答案】(1)投资债券等稳健型产品的收益与投资额的函数关系为， 投资股票等风险型产品的收益与投资额的函数关系为. (2)投资债券等稳健型产品万元，投资股票等风险型产品万元时，收益最大，为万元. 【分析】（1）由题意设出函数解析式，待定系数法可求解. （2）将所求转化为求两个函数和的最大值问题，进行求解. 【详解】（1）设投资万元时，投资债券等稳健型产品的收益为万元，投资股票等风险型产品 的收益为万元，由题可知，，所以， 投资债券等稳健型产品的收益与投资额的函数关系为， 投资股票等风险型产品的收益与投资额的函数关系为. （2）设投资债券等稳健型产品万元，投资股票等风险型产品万元，由题得，投资收益 .令，则， ，则原问题即为求的最大值. 所以当二次函数取对称轴时，，此时即. 故投资债券等稳健型产品16万元，投资股票等风险型产品4万元时，收益最大，为3万元 【变式1】为了给消费者带来放心的蔬菜，某地计划投入资金200万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入资金40万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜.根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P（单位：万元），种黄瓜的年收入Q（单位：万元）与各自的投入资金（单位：万元）满足，，设甲大棚的投入资金为x（单位：万元），两个大棚的总收入为（单位：万元），则的最大值为（　　） A．282 B．228 C．283 D．229 【答案】A 【分析】使用换元法将问题转化为一元二次函数的最值问题求解即可. 【详解】当甲大棚的投入资金为时，乙大棚的投入资金为， 所以， 由，可得，令，则， 得到， 因为，所以当， 即时，最大，最大值为282，故A正确. 【变式2】某小区要建造一个直径为16m的圆形喷水池，并在池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头使喷出的水柱在离池中心点3m的地方达到最高高度4m，各方向喷来的水柱在池中心上方点汇合（如下图）．      过水池的中心任取一个竖直截面，如图所示．根据力学的原理，喷出的水柱轨迹应为一条抛物线，此抛物线上任何一个点距池中心的水平距离与其所处的高度之间是对应的．建立如右下图所示的直角坐标系．则池中心与汇合点之间的距离______m． 【答案】 【分析】由题意设出二次函数的顶点式，代入即可求解. 【详解】由题意得轴右侧图象为二次函数的一部分，顶点为， 可设二次函数顶点式， 且，解得，则， 则. 1．关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．或0 【答案】A 【详解】设一元二次方程的两个实数根为，， 因为，互为相反数， 所以根据韦达定理可得， 解得或， 当时，方程为无解，舍去； 当时，方程为，两根为符合题意， 的值为，故选项A正确. 2．已知点在函数的图象上，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】点在函数的图象上，，得. . ，当时，取得最大值. 3．关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则的值为（   ） A．2 B．0 C．1 D．2或0 【答案】B 【分析】通过韦达定理求解，并验证即可解题. 【详解】设一元二次方程的两个实数根为， 由题意， 解得或， 当时，方程为无解，舍去， 当时，方程为，两根为符合题意. 故则的值为0. 4．如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据图象结合一元二次函数的性质逐项判断即可. 【详解】由图象可知，二次函数图象开口向下，则，图象与轴交点为，所以，顶点在第一象限，对称轴， 又，所以，所以，①说法正确； 因为图象经过、两个点，所以， 解得，因为，，所以，②说法正确； 由得，即，③说法正确； 因为图象顶点在第一象限，且经过，由二次函数的对称性可知与轴另一个交点的横坐标在上， 所以当时，，又，，， 所以，即，④说法正确. 5．已知函数的值域为，则函数的最大值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质和单调性求出结果即可. 【详解】函数， 由于函数的值域为，即， 而在上单调递减， 当时，取最大值为3. 故选：A. 6．已知二次函数的最大值为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的对称性和单调性即可得到答案. 【详解】因为二次函数的最大值为， 所以，且的图象关于直线对称， 所以，且在上是减函数， 故. 故选：A． 7．已知函数，的最值情况为 （   ） A．有最小值 ，有最大值 B．有最小值，有最大值 C．有最小值，有最大值 D．有最小值，无最大值 【答案】B 【分析】分析二次函数在区间上的单调性，可求其最大值和最小值. 【详解】由题意可知，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又因为，，故. 故选：B. 8．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线.下列结论：①；②；③.其中结论正确的为（   ） A．② B．①② C．①③ D．②③ 【答案】D 【分析】由二次函数图象开口、对称轴、特殊点及与坐标轴的交点个数，即可判断. 【详解】由图象得：图象的开口向上，所以， 图象的对称轴在轴的右侧，所以， 又图象与轴的交点在负半轴，所以， 所以，故①错误； 从图象观察得，当时，，所以， 又，所以，代入得， 所以成立，故②正确； 当时，，所以，即， 又，所以，故③正确； 综上得结论正确的是②③， 故选：D. 9．图中所示为的圆像，其中及都是常数．下列何者正确？（　　） A．及 B．及 C．及 D．及 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象特征，即可判断. 【详解】由图象可知，开口向上，所以， 且，即. 故选：C 10．二次函数的部分图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】，根据函数图象得到不等式解集. 【详解】等价于， 根据函数的图象可得的解集为或. 故选：B. 11．已知，求的最大值为________． 【答案】4 【分析】由二次函数的性质求解即可. 【详解】，对称轴为，开口向下， 因为，所以当时取得最大值为4. 故答案为：4. 12．已知方程的两个根为、，则_______． 【答案】4 【分析】应用根与系数关系及，即可求值. 【详解】由题设，，则. 故答案为：4 1.已知关于的方程，则下列结论中正确的是（   ） A．方程有一个正根一个负根的充要条件是 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的必要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 【答案】AB 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可判断各选项. 【详解】因为，可得或， 所以方程有两个根的充要条件是或， 则方程有一个正根一个负根的充要条件是，故A正确； 方程有两个正根的充要条件是，故B正确； 方程无实根的充要条件是，所以必要条件不可能是，故C错误； 当时，方程无实数根，故D错误； 故选：AB. 2.已知函数图象的顶点为，与轴交于和，若是等边三角形，则的值为_____________． 【答案】 【分析】先求二次函数图象与轴的交点坐标、顶点坐标，结合等边三角形高与边长的关系列出方程，结合条件即可求解的值. 【详解】设，令，则， 所以等边三角形的边长； 又，所以，所以等边三角形的高为； 由等边三角形性质，得，即，解得，或，又，所以. 3．已知一元二次方程的两个根分别为、，则__________. 【答案】 【分析】根据一元二次方程的韦达定理即可求得结果. 【详解】因为是一元二次方程的两个根， 所以根据韦达定理得. 所以. 故答案为：. 4．已知函数. (1)若有两个不相等的正数解，求实数的取值范围； (2)若在上的最大值为4，求实数的值. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）根据题意，转化为方程有两个不相等的正数解，结合根与系数的关系，列出不等式组，即可求解； （2）根据题意，利用二次函数的性质，分和，两种情况讨论，即可求解. 【详解】（1）由有两个不相等的正数解，即有两个不相等的正数解， 即方程有两个不相等的正数解， 设方程有两个不相等的正数解分别为和， 则满足 ，解得，所以实数的取值范围为. （2）因为的图象开口向上，且对称轴为， 又因为在上的最大值为， ①当时，即时，，解得，符合题意； ②当时，即时，，解得，符合题意， 综上可得，或，即实数的值为或. 5．已知集合 (1)若命题是真命题，求实数的值； (2)若“”是“”的必要条件，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）解方程确定集合，再根据命题为真求得； （2）根据”是“”的必要条件，得到，由此可求得值． 【详解】（1）解方程得，或， 所以， 因为是真命题， 所以， 对于方程，因为， 所以该方程一定有解； 当时，方程的解为，此时，满足条件； 当时，方程的解为或， 所以，故， 所以的值为或； （2）因为”是“”的必要条件，所以， 若，则，解得， 若，当，解得，此时或，均不符合题意； 当时，设方程的两根为， 又，所以， 所以， 所以的取值范围为 6．已知函数. (1)若关于的方程一个根大于0，一个根小于0，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有两个大于的不等实根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得函数图象与轴交点的纵坐标即可. （2）直接根据二次函数根的分布进行求解即可. 【详解】（1）因为方程一个根大于0，一个根小于0， 所以， 所以， 故 （2）因为方程有两个大于的不等实根， 所以， 解得：. 7．已知关于x的方程． (1)求证：不论m取何值，方程都有实数根； (2)若方程有两个整数根，求整数m的值． 【答案】(1)当时，方程为，有实数根； 当时，方程为一元二次方程，， 此时方程有解． 综上，不论m取何值，方程都有实数根． (2)或 【分析】（1）先讨论m是否为0，再利用一元二次方程根的判别式判断即可. （2）因式分解求解二次方程，再判断根为整数的情况即可． 【详解】（1）略 （2）方程有两个整数根，则且为整数，化简有， 解得，则为整数， 所以或. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $