（第二章）2.4函数奇偶性及幂函数 讲义-2026-2027学年高一上学期 数学 北师大版 必修第一册

2.4 函数奇偶性及幂函数BS 目录 考法一 奇偶性的判断 3 考法二 利用奇偶性求值、求参数 7 考法三 利用奇偶性求解析式 10 考法四 单调性与奇偶性的综合运用 13 考法五 幂函数判断及简单应用 18 考法六 幂函数图像与性质 20 考法七 幂函数的奇偶性 23 知识点 函数奇偶性的概念 奇偶性 偶函数 奇函数 条件 设函数f(x)的定义域为，如果∀x∈I，都有－x∈I 结论 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) 图象特点 关于y轴对称 关于原点对称 注意：判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： 1.定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； 2.判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(-x)＝0(奇函数)或f(x)-f(-x)＝0(偶函数)是否成立． 3.若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： ①f(x)为奇函数⇔f(-x)＝-f(x)⇔f(-x)＋f(x)＝0⇔＝-1. ②f(x)为偶函数⇔f(-x)＝f(x)⇔f(-x)-f(x)＝0⇔＝1. 考法一 奇偶性的判断 【例1-1】指出下列函数的奇偶性． （1）；（2）；（3）；（4） 思考：由上题，可以得出什么结论呢？ 【例1-2】判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝2x＋；　　　　　　(2)f(x)＝2－|x|； (3)f(x)＝＋； (4)f(x)＝. 【例1-3】（多选）已知函数是定义在上的奇函数，则下列函数中为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 典例： 1、判断下列函数的奇偶性 （1） ； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）。 2．如果函数和的定义域相同,且为偶函数,为奇函数,判断下列函数的奇偶性,并说明理由: (1); (2). 3．设函数,则（    ） A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减 变式训练： 1.判断下列函数的奇偶性: (1);(2);(3);(4). 2．判断下列函数的奇偶性： (1)．(2)．(3)． 3．（多选） 下列函数是奇函数的是（    ） A．，（） B． C． D． 4、判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4)． 5、已知函数． (1)试证明函数是偶函数； (2)画出的大致图象． 6、函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   7．（多选） 若函数为定义在上的奇函数，且，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．的图象关于轴对称 D．为偶函数 8．（多选） 设函数，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．是增函数 C． D．若，则 9．已知函数． (1)判断并证明的奇偶性； (2)证明在上是增函数； (3)求在上的最大值及最小值． 考法二 利用奇偶性求值、求参数 【例1】已知函数是定义城为的奇函数，当时，，则的值为（    ）. A． B． C． D． 【例2】(1)函数y＝f(x)在区间[2a－3，a]上具有奇偶性，则a＝________. (2)若函数f(x)＝ax2+(2a2﹣a﹣1)x+1为偶函数，则实数a的值为 。 (3)若函数f(x)=(a∈R)是奇函数，则a的值为(　　) A．1 B．0 C．－1 D．±1 （4）若函数，若，则 典例： 1、设函数为奇函数，则 2．若函数在上是奇函数，则的解析式为______． *3．已知函数，对任意，都有恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式训练： 1、已知定义在R上的偶函数满足当时，则_______． 2、设函数是定义在R上的奇函数，当时，，则时函数值为________． 3、已知函数是定义域为的奇函数，若，则 4、已知函数是奇函数，且，则_________. 5．如果定义在区间上的函数为奇函数，则 ___． 6．已知函数为偶函数，则的值为__________. 7．判断函数f(x)＝x＋ (a为常数)的奇偶性，并证明你的结论． 8．已知，，则（    ） A．3 B．1 C．-1 D．-5 9、设，若，则 ______． 10、若函数，，则________ 11．已知是奇函数，则（    ） A． B． C．0 D．1 12．已知函数是定义在上的奇函数，则 ． 13．已知是奇函数，且其定义域为，则的值为 . 14．设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________. 15．若定义域为的函数是偶函数，则______，______. 16、已知函数，则等于（    ） A．5 B．0 C．10 D．14 17、已知函数为偶函数，则 ． 18、设是定义在上的偶函数，则的值是 ； ． 19、已知实数，而函数，是偶函数．求实数a、b的值． 考法三 利用奇偶性求解析式 【例1】(1)已知是上的奇函数，且当时，，则当时， 。 (2)已知函数在R上为偶函数，且当时，，则当时，的解析式是______． 例2、定义在R上的函数是偶函数，是奇函数，且． (1)求函数与的解析式； (2)求函数在区间上的最小值． 典例： 1、已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（ ） 变式训练： 1．已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.则f(x)在R上的表达式为________． 2．奇函数在上的解析式是，则函数在上的解析式是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数为上的偶函数，当时，，则时， ． 4．已知奇函数的定义域为，当时，．求函数的解析式 5．已知偶函数在时的解析式为，则时，的解式为_______. 6．函数在上为奇函数，且当时，，则当时，________． 7．已知是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，______． 8．已知定义在R上的奇函数,当时, ,那么当时, 的解析式为( ). A． B． C． D． 9．已知函数是定义在上的奇函数，且当时， ． (1)求出当时，的解析式； (2)如图，请补出函数的完整图象，根据图象直接写出函数的单调增区间； (3)结合函数图象，求当时，函数的值域． 10．已知是定义在上的奇函数,且. (1)求的解析式；(2)判断在上的单调性,并用定义加以证明. 11． 是奇函数，是偶函数，且，求，的解析式． 12、已知函数为偶函数，为奇函数，且.求及的表达式. 考法四 单调性与奇偶性的综合运用 【例1】若函数的定义域为，且为增函数，，则的取值范围又是什么？ 【例2.1】定义在上的奇函数，已知在上单调递减，若，求 的取值范围。 【例2.2】定义在上的偶函数，已知在上单调递减，若，求 的取值范围。 例3、定义在上的奇函数满足，当时，，当时，. 不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 例4、已知函数是定义在上的偶函数，又，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 典例： 1．定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数是定义在上的偶函数，对任意，且，有，若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．已知定义在上的函数在上单调递减，且为偶函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 变式训练： 1．设奇函数的定义域为，当时，函数的图象如图所示，则使函数值的的取值集合为（　　）    A． B． C． D． 2．已知函数f(x)的图象关于y轴对称，且f(x)在(－∞，0]上单调递减，则满足的实数x的取值范围是( ) A． B． C． D． 3．已知函数为偶函数，当时，，则的解集是( ) A． B． C． D． 4．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B．C． D． 5、已知定义在R上的奇函数，且当时，单调递增，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 6．（多选） 定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围有（   ）. A． B． C． D． 7．已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．已知定义在上的偶函数在上是减函数，若，则实数的取值范围是 . 9、已知函数是定义域为的奇函数，且.若对任意的、且，都有成立，则不等式的解集是__________. 10、已知函数，若，则的取值范围为________． 11、若函数的定义域是，且对任意的，都有成立． (1)试判断的奇偶性； (2)若当时，，求的解析式，并画出函数图象； (3)在条件（2）前提下，解不等式． 12、已知函数，且其定义域为． (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递减； (3)解不等式． 13、已知是奇函数，且在区间上单调递增，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 14、已知是定义在上的偶函数，对任意的，且，都有，则（    ）． A． B． C． D． 15、若函数是奇函数，且，则 ______ ．（填“>”或“<”） 16、已知函数的图象关于y轴对称，且对于，当，时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17、已知函数，且，则（    ） A． B． C． D． 考法五 幂函数判断及简单应用 知识点 幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 【例5-1】在函数，，，中，幂函数的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 【例5-2】已知幂函数的图象过点，则______. 典例： 1．已知幂函数的图象过点和，则实数m的值为（ ） A． B． C． D． 2．若幂函数在上单调递增，则（    ） A．3 B．1或3 C．4 D．4或6 3．如果幂函数的图象不过原点，则m的值是______. 变式训练： 1．下列函数中哪个是幂函数( ) A． B． C． D． 2、下列函数中幂函数的是（    ） A． B． C． D． 3、在函数，，，中，幂函数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．下列函数是幂函数的是 ( ) A． B． C． D． 5、若幂函数图像过点，则此函数的解析式是________. 6．已知幂函数的图象过点，则______． 7．若点，均在幂函数的图象上，则实数_____． 8．下列函数既是幂函数又是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 9．下列函数既是幂函数又是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 10、（多选）下列函数既是幂函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 11、若幂函数的图象过点，则表达式为__________． 12、幂函数的图像经过点，此幂函数的解析式是_________. 13、已知幂函数 为偶函数. (1)求函数的解析式； (2)若，求实数m的值. 考法六 幂函数图像与性质 【例1】已知幂函数()在上是减函数，则n的值为( ) A． B．1 C． D．1和 【例2】已知幂函数在第一象限内的图象如图所示．若则与曲线，，，对应的的值依次为( ) A． B． C． D． 【例3】函数恒过一个定点，这个定点坐标是　　; 典例： 1．（多选）现有4个幂函数的部分图象如图所示，则下列选项可能成立的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．函数的图象是（ ） A．       B．   C．   D．   变式训练： 1．幂函数（是常数）的图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 2．当时，函数的图象恒过定点A，则点A的坐标为 ． 3．已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是____ 4．已知幂函数在上单调递增，则m值为_____. 5．已知幂函数的图象经过点，则函数____，若，则实数的取值范围是____． 6．如图所示的曲线是幂函数在第一象限内的图象.已知分别取，l，，2四个值，则与曲线、、、相应的依次为( ) A．2，1，， B．2，，1， C．，1，2， D．，1，2， 7．函数的大致图象是　　 A． B． C． D． 8．若，函数的图象恒过定点，则点的坐标为______． 9、下列幂函数中，其图象关于y轴对称且过点、的是（    ） A． B． C． D． 10、已知函数，的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中m，，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 考法七 幂函数的奇偶性 例1、函数在上是（   ） A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数 C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数 典例： 1．已知．若幂函数为奇函数，且在上单调递减，则_______． 2．（多选）已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的是（    ） A．为偶函数 B．的值域是 C．若，则 D．是上的增函数 3．（多选）已知是幂函数图像上的任意两点，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）已知幂函数的图象经过点，则以下说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 变式训练： 1、（多选）关于幂函数，下列结论正确的是（    ） A．的图象经过原点 B．为偶函数 C．的值域为 D．在区间上单调递增 2．（多选）已知幂函数的图象过点，下列说法正确的是（    ） A．函数的图象过原点 B．函数是偶函数 C．函数的值域为 D．函数在是单调减函数 3、已知，若幂函数的图像关于原点对称，且在上是减函数；则取值的集合是_________． 4．设，若幂函数的图像关于轴对称，且在区间上是增函数，则实数_______ ． 5．已知.若幂函数为奇函数，且在上单调递增，则_______ . 6．已知幂函数在区间上是严格增函数，且的图象关于y轴对称，求m的值． 7、已知幂函数是偶函数，且在上为增函数，试求实数的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4 函数奇偶性及幂函数BS 目录 考法一 奇偶性的判断 3 考法二 利用奇偶性求值、求参数 11 考法三 利用奇偶性求解析式 18 考法四 单调性与奇偶性的综合运用 25 考法五 幂函数判断及简单应用 36 考法六 幂函数图像与性质 41 考法七 幂函数的奇偶性 46 知识点 函数奇偶性的概念 奇偶性 偶函数 奇函数 条件 设函数f(x)的定义域为，如果∀x∈I，都有－x∈I 结论 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) 图象特点 关于y轴对称 关于原点对称 注意：判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： 1.定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； 2.判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(-x)＝0(奇函数)或f(x)-f(-x)＝0(偶函数)是否成立． 3.若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： ①f(x)为奇函数⇔f(-x)＝-f(x)⇔f(-x)＋f(x)＝0⇔＝-1. ②f(x)为偶函数⇔f(-x)＝f(x)⇔f(-x)-f(x)＝0⇔＝1. 考法一 奇偶性的判断 【例1-1】指出下列函数的奇偶性． （1）；（2）；（3）；（4） 解：（1）奇函数；（2）偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）非奇非偶函数 思考：由上题，可以得出什么结论呢？ （有奇偶性的函数定义域关于原点对称！） 【例1-2】判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝2x＋；　　　　　　(2)f(x)＝2－|x|； (3)f(x)＝＋； (4)f(x)＝. 【答案】(1)奇函数；(2)偶函数；(3)既是奇函数又是偶函数；(4)非奇非偶函数. 【解析】(1)函数的定义域为，由， 所以函数为奇函数 (2)函数的定义域为由所以函数为偶函数 (3)由，所以函数的定义域为 又，所以函数既是奇函数又是偶函数 (4)由，所以函数的定义域为 因为定义域不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数. 【例1-3】已知函数是定义在上的奇函数，则下列函数中为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用函数奇偶性的定义判断可得结论. 【详解】因为的定义域为，又因为，所以是偶函数；故A是偶函数； 令，则，所以是偶函数，故B是偶函数； 令，则，所以是偶函数，故C是偶函数； 令，则，所以是奇函数，故D是奇函数．故选：ABC. 典例： 1、判断下列函数的奇偶性 （1） ； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）。 解：（1）非奇非偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数；（5）奇函数；（6）奇函数。 2．如果函数和的定义域相同,且为偶函数,为奇函数,判断下列函数的奇偶性,并说明理由: (1); (2). 【答案】(1)奇函数.见解析(2)非奇非偶函数.见解析 【详解】解:(1)因为函数的定义域相同,是偶函数,为奇函数, 所以定义域关于原点对称, 所以, 因此是奇函数. (2)因为函数定义域相同,是偶函数,为奇函数, 所以的定义域关于原点对称,所以, 所以且,所以函数为非奇非偶函数. 3．设函数,则（    ） A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减 【答案】A 【详解】因为函数定义域为，其关于原点对称，而， 所以函数为奇函数． 又因为函数在上单调递增，在上单调递增， 而在上单调递减，在上单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递增． 故选：A． 【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题． 变式训练： 1.判断下列函数的奇偶性: (1);(2);(3);(4). 【答案】(1)既不是奇函数也不是偶函数.(2)奇函数.(3)既不是奇函数也不是偶函数.(4)偶函数. 【解析】(1)函数的定义域为{且},定义域不关于原点对称, ∴该函数既不是奇函数也不是偶函数. (2) 的定义域是. 当时,显然,. ,是奇函数. (3)的定义域为R. ,,. 不是偶函数.又,不是奇函数. 既不是奇函数也不是偶函数. (4) 的定义域为R. , 是偶函数. 2．判断下列函数的奇偶性： (1)．(2)．(3)． 【答案】(1)既不是奇函数也不是偶函数；(2)既是奇函数又是偶函数；(3)偶函数；(4)奇函数. 【解析】(1)由得，∴函数的定义域为， 不关于原点对称．故既不是奇函数也不是偶函数． (2)由得，即． ∴函数的定义域是，关于原点对称． 又，∴既是奇函数又是偶函数． (3)函数的定义域为，关于原点对称． 又∵， ∴是偶函数． 3．（多选） 下列函数是奇函数的是（    ） A．，（） B． C． D． 【答案】CD 【详解】对于A，由得不到，即函数不是奇函数，故A错误； 对于B，因的图象关于轴对称，故是偶函数，不是奇函数，即B错误； 对于C，函数的定义域关于原点对称，且，函数是奇函数，故C正确； 对于D，函数的定义域为R，关于原点对称，且，即函数是奇函数，故D正确. 故选：CD. 4、判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)偶函数 (2)既是奇函数又是偶函数 (3)非奇非偶函数 (4)奇函数． 【分析】先求函数的定义域，如果对称，则利用奇偶性的定义判断即可；若不对称，则是非奇非偶函数. 【详解】（1）函数的定义域为R，关于原点对称， 又， ∴为偶函数． （2）函数的定义域为，关于原点对称，且， 又，， ∴既是奇函数又是偶函数． （3）函数的定义域为，不关于原点对称， ∴是非奇非偶函数． （4）函数的定义域为， ∵，都有， 且， ∴是奇函数． 5、已知函数． (1)试证明函数是偶函数； (2)画出的大致图象． 【答案】(1)证明见解析； (2)作图见解析. 【分析】（1）利用偶函数的定义推理即得. （2）借助二次函数图象及偶函数性质作出的大致图象. 【详解】（1）函数的定义域为，且， 所以函数为偶函数． （2）当时，，且当时，或， 因此当时，函数是对称轴为，顶点坐标为， 且与轴交于点的抛物线在轴及右侧部分，如图， 再作出上述图象关于轴对称的图形即得的大致图象. 6、函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】先判断函数的奇偶性，再结合函数情况，即可得答案. 【详解】令函数，其定义域为R，满足 即为奇函数，故排除A，C 当时，，当时，，， 可知D中图象符合题意， 故选：D 7．（多选） 若函数为定义在上的奇函数，且，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．的图象关于轴对称 D．为偶函数 【答案】ABD 【分析】根据奇函数的性质判断A、B、C；令，，可得，即可判断D. 【详解】因为函数为定义在上的奇函数，则且函数图象关于原点对称，故C错误； 令可得，所以，故A正确； 又，则，故B正确； 令，， 则，所以为偶函数， 即为偶函数，故D正确. 故选：ABD 8．（多选） 设函数，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．是增函数 C． D．若，则 【答案】AD 【分析】对于A，根据函数奇偶性的定义分析判断，对于B，根据增函数的定义分析判断，对于C，根据题意求出的解析式，再求值判断，对于D，由解方程求解. 【详解】对于A，当时，， 当时，， 当时，，也满足， 所以是奇函数，所以A正确， 对于B，因为当时，是常函数，不是增函数，所以B错误， 对于C，由题意得， 所以，所以C错误， 对于D，因为，所以由，得，所以D正确. 故选：AD 9．已知函数． (1)判断并证明的奇偶性； (2)证明在上是增函数； (3)求在上的最大值及最小值． 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2)证明见解析； (3)最大值、最小值分别为. 【分析】（1）直接利用函数的奇偶性定义判断并证明. （2）利用单调性定义进行判断证明：取值、作差、定号、得结论. （3）利用（2）的结论，求出函数在区间上的最值． 【详解】（1）函数的定义域为，是奇函数， 对任意的，， 所以函数为奇函数. （2）对区间上的任意两个数，且， 则， 由，则，，， 从而，即， 所以函数在区间上为增函数. （3）由（2）知，函数在上单调递增，，， 所以函数在上的最大值、最小值分别为. 考法二 利用奇偶性求值、求参数 【例1】已知函数是定义城为的奇函数，当时，，则的值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数是定义城为的奇函数， ，故选：D 【例2】(1)函数y＝f(x)在区间[2a－3，a]上具有奇偶性，则a＝________. (2)若函数f(x)＝ax2+(2a2﹣a﹣1)x+1为偶函数，则实数a的值为 。 (3)若函数f(x)=(a∈R)是奇函数，则a的值为(　　) A．1 B．0 C．－1 D．±1 （4）若函数，若，则 【答案】(1)1 (2)1或 (3)B （4）10 【解析】(1)由题意知，区间[2a－3，a]关于原点对称，∴2a－3＝－a，∴a＝1. (2)：∵函数f(x)＝ax2+(2a2﹣a﹣1)x+1为偶函数，∴f(﹣x)＝f(x)， 即f(﹣x)＝ax2﹣(2a2﹣a﹣1)x+1＝ax2+(2a2﹣a﹣1)x+1， 即﹣(2a2﹣a﹣1)＝2a2﹣a﹣1，∴2a2﹣a﹣1＝0，解得a＝1或a， (3)由题意，函数是定义域R上的奇函数， 根据奇函数的性质，可得，代入可得，解得，故选B. （4）依题意得，，则。 典例： 1、设函数为奇函数，则 2．若函数在上是奇函数，则的解析式为______． 【答案】 【详解】在上是奇函数，，，． 又，，即，． 【点睛】本题考查根据奇函数的性质求解参数，若能取到，则，由或可快速求解其它参数 *3．已知函数，对任意，都有恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数是奇函数及函数单调性，化简不等式计算，应用函数最值求解. 【详解】因为函数，定义域为R， 函数，所以函数是奇函数； 对任意，都有恒成立， 则， 所以， 化简得 所以或， 所以或 令，单调递减，单调递增， 当时，； 当时，，当时，； 所以， 对任意， 所以. 故选：C. 变式训练： 1、已知定义在R上的偶函数满足当时，则_______． 【答案】1 【分析】先由偶函数，推出，再根据分段函数的不同区间依次求得，. 【详解】因是在R上的偶函数，则， 故. 故答案为：1. 2、设函数是定义在R上的奇函数，当时，，则时函数值为________． 【答案】/ 【分析】根据条件，利用奇函数的性质，即可求出结果. 【详解】因为函数是定义在R上的奇函数，所以， 又当时，，得到，所以， 故答案为：. 3、已知函数是定义域为的奇函数，若，则 【答案】 【分析】根据函数奇偶性定义解出函数值； 【详解】函数是定义域为的奇函数，则， 若，则， 故答案为：. 4、已知函数是奇函数，且，则_________. 【答案】/ 【分析】根据求出，再根据求出即可求出. 【详解】的定义域为，而为奇函数， 故，而，故，故， 所以，此时，故为奇函数， 故， 故答案为： 5．如果定义在区间上的函数为奇函数，则 ___． 【答案】8 【解析】因为为奇函数由奇函数的性质可知，奇函数的定义域关于原点中心对称 即解得 6．已知函数为偶函数，则的值为__________. 【答案】 【解析】因为函数为偶函数, 故,故恒成立.故.故,则.故答案为： 7．判断函数f(x)＝x＋ (a为常数)的奇偶性，并证明你的结论． 【答案】为奇函数，证明见解析. 【解析】为奇函数，证明如下：的定义域为{x|x≠0}． 对于任意x≠0，，∴为奇函数． 8．已知，，则（    ） A．3 B．1 C．-1 D．-5 【答案】B 【详解】设，定义域为， 则，故为奇函数， 又，则，所以. 故选：B 9、设，若，则 ______． 【答案】3 【分析】类比函数奇偶性思想方法解题即可 【详解】，则； . 故答案为：3. 10、若函数，，则________ 【答案】 【分析】令，再利用函数的奇偶性即可求解. 【详解】因为， 令，则， 所以，所以为奇函数， 所以，即，解得， 故答案为： 11．已知是奇函数，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【详解】由题设，则， 而满足题设.所以. 故选：C 12．已知函数是定义在上的奇函数，则 ． 【答案】/ 【详解】由题意可知，即. 又是奇函数，故，即， ∴对任意都成立，则，∴.所以， 故答案为： 13．已知是奇函数，且其定义域为，则的值为 . 【答案】 【详解】因为该函数是奇函数，所以， 此时，显然为奇函数，故答案为： 14．设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________. 【答案】 【解析】因为函数f(x)＝为奇函数，经检验符合题意.故答案为. 15．若定义域为的函数是偶函数，则______，______. 【答案】2 0 【解析】偶函数的定义域为，则，解得，所以， 满足的对称轴关于轴对称，所以对称轴，解得. 故答案为：2；0 16、已知函数，则等于（    ） A．5 B．0 C．10 D．14 【答案】C 【分析】令，，则，判断的奇偶性，利用函数的奇偶性计算可得. 【详解】令，，则， 又， 所以为奇函数，则，即， 所以. 故选：C 17、已知函数为偶函数，则 ． 【答案】 【分析】由进行求解． 【详解】因为函数为偶函数，所以， 即， 即， 两边平方，化简可得． 要使上式恒成立，则，即． 故答案为： 18、设是定义在上的偶函数，则的值是 ； ． 【答案】 【分析】根据条件，利用偶函数的性质，即可求解. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以，即，得到， 又，得到，所以， 得到，， 故答案为：． 19、已知实数，而函数，是偶函数．求实数a、b的值． 【答案】， 【分析】根据偶函数的定义和性质分析求解. 【详解】因为函数，是偶函数，则，解得， 且，可得，则， 所以，. 考法三 利用奇偶性求解析式 【例1】(1)已知是上的奇函数，且当时，，则当时， 。 (2)已知函数在R上为偶函数，且当时，，则当时，的解析式是______． 【答案】(1)(2)f(x)＝x2+2x 【解析】由题意，设，则，则， 因为函数为上的奇函数，则，得， 即当时，. (2)当x＜0时，﹣x＞0，∴f(﹣x)＝x2+2x，又f(x)是偶函数，∴当x＜0时，f(x)＝f(﹣x)＝x2+2x．故答案为：f(x)＝x2+2x． 例2、定义在R上的函数是偶函数，是奇函数，且． (1)求函数与的解析式； (2)求函数在区间上的最小值． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）由已知得，再结合是偶函数，是奇函数，可得，再与原等式联立可求出与的解析式； （2）由（1）得，然后分和两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）根据题意，由，① 得， 又由是偶函数，是奇函数， 则有，② 联立①②可得：，． （2）根据题意，， 当时，在区间上递减， 则其最小值为， 当时，在区间上递减，上递增， 则其最小值为． 综上，当时，在区间上的最小值为， 当时，在区间上的最小值为． 典例： 1、已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（ ） 解：选B。 变式训练： 1．已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.则f(x)在R上的表达式为________． 【答案】 【解析】因为是奇函数，且定义域为，故当时，； 则当时，.故答案为：. 2．奇函数在上的解析式是，则函数在上的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，则，求出，再根据函数为奇函数即可得解. 【详解】令，则，由已知可得， 因为为奇函数，所以， 所以当时，． 故选：B． 3．已知函数为上的偶函数，当时，，则时， ． 【答案】 【分析】根据题意，当时，，由函数的解析式求出的表达式，结合奇偶性分析可得答案． 【详解】解：根据题意，当时，， 则， 又由函数为上的偶函数，则． 则时，． 故答案为：． 4．已知奇函数的定义域为，当时，．求函数的解析式 【答案】 【分析】设，可得出，求出的表达式，利用奇函数的性质可得出函数在时的解析式． 【详解】奇函数的定义域为，． 当时，， 又当时，， ， ． 故. 5．已知偶函数在时的解析式为，则时，的解式为_______. 【答案】 【解析】当时，，则. 函数为偶函数，此时.故答案为：. 6．函数在上为奇函数，且当时，，则当时，________． 【答案】 【解析】令，则，∴， 又函数在上为奇函数，则， 即，得， 故当时，． 7．已知是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，______． 【答案】 【解析】根据题意，设，则，有， 又由为偶函数，则，即，故答案为：． 8．已知定义在R上的奇函数,当时, ,那么当时, 的解析式为( ). A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设,则, ∵∴.故选：D 9．已知函数是定义在上的奇函数，且当时， ． (1)求出当时，的解析式； (2)如图，请补出函数的完整图象，根据图象直接写出函数的单调增区间； (3)结合函数图象，求当时，函数的值域． 【答案】(1)；(2)图象见解析，单调增区间为；(3). 【详解】（1）依题意，设，有，则， 因为为上的奇函数，因此， 所以当时，的解析式． （2）由已知及（1）得函数的图象如下：     观察图象，得函数的单调增区间为：. （3）当时，由（1），（2）知，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，有最小值，， 当时，有最大值， 所以当时，函数的值域为. 10．已知是定义在上的奇函数,且. (1)求的解析式；(2)判断在上的单调性,并用定义加以证明. 【答案】(1) (2) 在上单调递增.见解析 【解析】(1)∵为奇函数,∴,∴. 由,得, ∴. (2)在上单调递增. 证明如下: 设,则 ∵,∴,,∴, ∴,∴在上单调递增. 11． 是奇函数，是偶函数，且，求，的解析式． 【答案】， 【分析】根据奇函数和偶函数的定义，通过解方程组进行求解即可. 【详解】∵是奇函数，是偶函数， ∴，， 又，① 用代替上式中的，得， 即．② 联立①②得，． 12、已知函数为偶函数，为奇函数，且.求及的表达式. 【答案】， 【分析】根据奇偶函数性质得到方程组，解出即可. 【详解】因为函数为偶函数，为奇函数， 且①， 所以， 即②， ①②联立可得， 考法四 单调性与奇偶性的综合运用 【例1】若函数的定义域为，且为增函数，，则的取值范围又是什么？ 【答案】 【解析】由于函数的定义域为，且为增函数，由，可得，解得.因此，实数的取值范围是. 【例2.1】定义在上的奇函数，已知在上单调递减，若，求 的取值范围。 解：依题意得，在上单调递减， ∵ ∴，即 ∴，得 【例2.2】定义在上的偶函数，已知在上单调递减，若，求 的取值范围。 解：略 例3、定义在上的奇函数满足，当时，，当时，. 不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由奇函数的定义可得，根据已知条件确定函数在不同区间的符号，通过不等式性质解不等式可得所求解集. 【详解】由奇函数的定义可得， 当时，则，， 当时，则，， 由或， 根据分析可得解集为. 故选：C 例4、已知函数是定义在上的偶函数，又，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，先求出的值，由二次函数的性质分析的单调性，进而分析的对称性和单调性，由此分析可得答案. 【详解】根据题意，数是定义在上的偶函数， 则有，解可得， 则函数是开口向下的二次函数，在区间上为减函数， 又，函数的对称轴为，且在上为减函数， 则有， 即. 故选：D. 典例： 1．定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数奇函数，且在上单调递增，则函数在上单调递增， 且，， 当时，；当时，， 由当时，，当时，， 则不等式的解集为. 故选：D. 2．已知函数是定义在上的偶函数，对任意，且，有，若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知是定义在上的偶函数，则， 又对任意，且，都有， 所以函数在上单调递增，则函数在上单调递减，又，所以， 根据函数的单调性可知：等价为或， 即或，解得或，即不等式的解集为. 故选：. 3．已知定义在上的函数在上单调递减，且为偶函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵函数为偶函数，∴，即， ∴函数的图象关于直线对称， 又∵函数定义域为，在区间上单调递减， ∴函数在区间上单调递增， ∴由得，，解得. 故选：D. 变式训练： 1．设奇函数的定义域为，当时，函数的图象如图所示，则使函数值的的取值集合为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数是奇函数，所以在上的图象关于坐标原点对称， 由在上的图象，知它在上的图象，如图所示，使函数值的的取值集合为.   故选：D 2．已知函数f(x)的图象关于y轴对称，且f(x)在(－∞，0]上单调递减，则满足的实数x的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意是偶函数，且在上单调递增， ∴不等式可变为，∴，解得．故选：B． 3．已知函数为偶函数，当时，，则的解集是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，． 由得或， 解得或，即．所以不等式的解集为. 故选：A. 4．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B．C． D． 【答案】C 【详解】奇函数在上为增函数， 所以，即，又，则，大致图象如下，      所以当时，.故选：C. 5、已知定义在R上的奇函数，且当时，单调递增，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性转化不等式，再运用单调性化简不等式，即可解得. 【详解】因是定义在R上的奇函数，由可得， 又因时，单调递增，故在R上单调递增， 故得，，解得，. 故选：C. 6．（多选） 定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围有（   ）. A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由题意可得在是减函数，再通过讨论和，可得不等式的解集. 【详解】由题意可得在上单调递减，在上是减函数，且，再讨论和，可得不等式的解集. 由定义在上的奇函数在上单调递减， 可得在上是减函数； 又， 不等式，等价为或， 所以时，即有，解得； 时，即有，解得； 综上可得的解集为. 故选：BC. 7．已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，令， 可知：当时，；当时，； 又因为是奇函数，可知：当时，；当时，； 对于不等式，则或，可得或， 所以不等式的解集为.故选：C. 8．已知定义在上的偶函数在上是减函数，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由于在上是减函数，且为偶函数，所以在上是增函数， 若，则，平方可得，解得， 故答案为： 9、已知函数是定义域为的奇函数，且.若对任意的、且，都有成立，则不等式的解集是__________. 【答案】 【分析】依题意不妨令，即可得，令，，即可得到在上单调递增，再由及奇偶性得到在上的取值情况，从而得到的解集. 【详解】因为对任意的、且，都有成立， 不妨令，则，即， 所以， 令，， 则当且时，， 所以在上单调递增， 又函数是定义域为的奇函数且，则， 所以，所以当时，，当时，， 则当时，，当时，， 又为奇函数，所以当时，，当时，， 所以不等式的解集是. 故答案为： 10、已知函数，若，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】由题意分析可知：是偶函数，且在内单调递增，在内单调递减，进而可得，运算求解即可. 【详解】由题意可知：的定义域为， 若，则，可得； 同理可得：当时，； 且时，； 综上所述：是偶函数． 因为开口向上，且对称轴为， 可知函数在内单调递增，则函数在内单调递减， 则不等式等价于， 即，整理得，解得或， 所以x的取值范围为. 故答案为：. 11、若函数的定义域是，且对任意的，都有成立． (1)试判断的奇偶性； (2)若当时，，求的解析式，并画出函数图象； (3)在条件（2）前提下，解不等式． 【答案】(1)奇函数 (2)，作图见解析 (3)或． 【分析】（1）利用奇偶性的定义求解即可； （2）根据求解即可； （3）利用函数的单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】（1）令可得：，故， 令可得：，故． 又函数的定义域是，故函数为奇函数． （2）令，则，故 ， 又，所以，， 综上可知，． 故函数图像如下：    （3）由（2）可知，函数为上的增函数， 因为． 所以． 所以，解得或． 12、已知函数，且其定义域为． (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递减； (3)解不等式． 【答案】(1)奇函数 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）为奇函数，理由如下： 因为，且函数定义域为，关于原点对称， 所以为奇函数. （2）任取， 所以，， 则， 所以， 故在上单调递减； （3）可转化为， 则，所以，解得， 故的范围为. 13、已知是奇函数，且在区间上单调递增，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数图象在轴左右的单调性一致的特征，即可判断函数值大小. 【详解】∵函数为奇函数，且在区间上单调递增， ∴在R上单调递增， ∴． 故选：B. 14、已知是定义在上的偶函数，对任意的，且，都有，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数单调性的定义和偶函数的性质求解即可. 【详解】因为对任意的，且，都有， 所以由函数单调性的定义可知在上单调递减，所以， 又是偶函数，， 所以， 故选：A 15、若函数是奇函数，且，则 ______ ．（填“>”或“<”） 【答案】> 【分析】运用奇函数的定义和性质解题即可. 【详解】函数是奇函数，且， 则， 又因为，， 则. 故答案为：>. 16、已知函数的图象关于y轴对称，且对于，当，时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，函数为偶函数，且在上单调递减，所以在单调递增， 又恒成立，所以恒成立. 由 恒成立. 由即恒成立，得 ； 由即恒成立，得 . 综上可得，即. 故选：B 17、已知函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则条件即为，利用的性质将条件转化为，推出A正确，最后构造其它选项的反例即可. 【详解】设，则，从而是单调递增的奇函数. 从而条件等价于，即，这又等价于，即，即，故A正确； 条件等价于，取，，此时B，C，D均不成立，故B，C，D错误. 故选：A. 考法五 幂函数判断及简单应用 知识点 幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 【例5-1】在函数，，，中，幂函数的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】因为，所以是幂函数；由于出现系数2，因此不是幂函数； 是两项和的形式，不是幂函数；()，可以看出，常数函数的图象比幂函数的图象多了一个点，所以常数函数不是幂函数.故选：B. 【例5-2】已知幂函数的图象过点，则______. 【答案】1.5 【解析】因为函数是幂函数，所以，又因为幂函数的图象过点，所以，所以所以，故答案为：1.5 典例： 1．已知幂函数的图象过点和，则实数m的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，依题意可得，， .所以，. 故选: D. 2．若幂函数在上单调递增，则（    ） A．3 B．1或3 C．4 D．4或6 【答案】A 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】解：因为幂函数在上单调递增， 所以，解得.故选：A 3．如果幂函数的图象不过原点，则m的值是______. 【答案】1 【分析】幂函数的图象不过原点，可得幂指数小于0，系数为1，进而即可得解． 【详解】解：幂函数的图象不过原点，所以 解得m＝1，符合题意． 故答案为1 【点睛】本题考查幂函数的图象及其性质，考查计算能力，是基础题． 变式训练： 1．下列函数中哪个是幂函数( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】幂函数是，，显然，是幂函数. ，，都不满足幂函数的定义，所以A正确．故选：A． 2、下列函数中幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义直接得出结果. 【详解】A：函数为一次函数，故A不符合题意； B：函数为二次函数，故B不符合题意； C：函数为二次函数，故C不符合题意； D：函数为幂函数，故D符合题意. 故选：D 3、在函数，，，中，幂函数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】函数是幂函数， 函数，都是二次函数，函数是一次函数，它们都不是幂函数， 所以所给函数中幂函数的个数是1. 故选：B 4．下列函数是幂函数的是 ( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】形如的函数称为幂函数，据此只有才符合幂函数的定义，故选择D. 5、若幂函数图像过点，则此函数的解析式是________. 【答案】 【解析】设幂函数的解析式为，由于函数图象过点，故有，解得， 所以该函数的解析式是，故答案为：. 6．已知幂函数的图象过点，则______． 【答案】4 【解析】由题意令，由于图象过点，得， 故答案为：4． 7．若点，均在幂函数的图象上，则实数_____． 【答案】9 【解析】设幂函数为，将代入得，所以， 令，求得. 8．下列函数既是幂函数又是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，由幂函数的定义知是幂函数，由题意可知的定义域为,，所以是奇函数，符合题意；故A正确； 对于B，由幂函数的定义知是幂函数，由题意可知的定义域为,，所以是偶函数，不符合题意；故B错误； 对于C，由幂函数的定义知不是幂函数，不符合题意；故C错误； 对于D，由幂函数的定义知不是幂函数，不符合题意；故D错误； 9．下列函数既是幂函数又是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解:幂函数的图象都经过点，排除A；与不是偶函数，排除B，D. 故选:C 10、（多选）下列函数既是幂函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】对于A，函数在上单调递减但不是幂函数，故选项A错误； 对于B，函数是幂函数，在上单调递增，故选项B错误； 对于C，函数是幂函数且在上单调递减，故选项C正确； 对于D，函数是幂函数且在上单调递减，故选项D正确， 故选：CD. 11、若幂函数的图象过点，则表达式为__________． 【答案】 【分析】根据待定系数法即可求解. 【详解】设幂函数为, 将代入可得，解得，故， 故答案为： 12、幂函数的图像经过点，此幂函数的解析式是_________. 【答案】 【分析】将代入即可求解. 【详解】将代入可得，解得， 故答案为： 13、已知幂函数 为偶函数. (1)求函数的解析式； (2)若，求实数m的值. 【答案】(1)； (2)或. 【详解】（1）由为幂函数，得，得或， 而为偶函数，则， 所以的解析式为. （2）由为偶函数且，得，即或， 所以或. 考法六 幂函数图像与性质 【例1】已知幂函数()在上是减函数，则n的值为( ) A． B．1 C． D．1和 【答案】B 【解析】因为函数是幂函数所以所以或 当时在上是增函数，不合题意. 当时在上是减函数，成立故选：B 【例2】已知幂函数在第一象限内的图象如图所示．若则与曲线，，，对应的的值依次为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由幂函数的图象与性质，在第一象限内，在的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数依次增大，曲线，，，对应的的值依次为： ，故选：C. 【例3】函数恒过一个定点，这个定点坐标是　　; 【答案】 【解析】因为恒过，故恒过故答案为 典例： 1．（多选）现有4个幂函数的部分图象如图所示，则下列选项可能成立的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】AB 【详解】对于幂函数，若函数在上单调递增，则，若函数在上单调递减，则，所以，D选项错误； 当时，若的图象在的上方，则，若的图象在的下方，则， 所以，C选项错误； 因为当时，指数越大，图象越高，所以， 综上，，AB选项正确. 故选：AB 2．函数的图象是（ ） A．       B．   C．   D．   【答案】B 【详解】函数图象上的特殊点（1，1），故排除A，D； 由特殊点（8，2），，可排除C． 故选B． 变式训练： 1．幂函数（是常数）的图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知当时，，此时函数值与取何值无关， 故幂函数（是常数）的图象一定经过点， 故选：B 2．当时，函数的图象恒过定点A，则点A的坐标为 ． 【答案】 【详解】由于对任意的，恒经过点，所以函数的图象恒过定点, 故答案为： 3．已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是____ 【答案】1 【解析】∵函数是幂函数，∴，解得或， 又∵该函数是偶函数，当时，函数是奇函数，当时，函数是偶函数， 即的值是1，故答案为：1. 4．已知幂函数在上单调递增，则m值为_____. 【答案】2 【解析】由题意可知，解得故答案为： 5．已知幂函数的图象经过点，则函数____，若，则实数的取值范围是____． 【答案】 【解析】设幂函数，由，得到，于是； 若，则，所以，解得． 故答案为； 6．如图所示的曲线是幂函数在第一象限内的图象.已知分别取，l，，2四个值，则与曲线、、、相应的依次为( ) A．2，1，， B．2，，1， C．，1，2， D．，1，2， 【答案】A 【解析】幂函数在区间上，图象“指大图低”，所以从上至下依次为， 对应曲线有.故选：A 7．函数的大致图象是　　 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，，所以函数的定义域为，因为，根据幂函数的性质，可知函数在第一象限为单调递减函数，故选A． 8．若，函数的图象恒过定点，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】因为过定点，将图象向右平移一个单位，向上平移3个单位得：， 所以过定点.故答案为：. 9、下列幂函数中，其图象关于y轴对称且过点、的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由各幂函数的性质判断各项是否符合要求即可． 【详解】A项，函数图象在第一象限，故不关于轴对称，故不符合； B项，函数图象关于原点对称，且过，符合； C项，指数小于0，故其图象不过点，故不符合； D项，函数图象关于原点对称，故不符合； 故选：B 10、已知函数，的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中m，，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】求出定点A的坐标，并求出的关系，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】依题意，，则，因此， 当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值4. 故选：D 考法七 幂函数的奇偶性 例1、函数在上是（   ） A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数 C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数 【答案】A 【详解】因为，令， 因为关于原点对称，所以， 所以是奇函数，又因为，所以在是增函数，故选：A. 典例： 1．已知．若幂函数为奇函数，且在上单调递减，则_______． 【答案】 【详解】由为奇函数，知取． 又在上单调递减，，故． 故答案为： 2．（多选）已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的是（    ） A．为偶函数 B．的值域是 C．若，则 D．是上的增函数 【答案】BCD 【详解】因为函数是幂函数，所以设， 又因为的图像经过点，所以有，即. A：函数的定义域为全体正实数，不关于原点对称，所以函数不是偶函数，因此本命题不正确； B：因为，所以，因此本命题正确； C：因为，所以，因为函数是正实数集上的减函数， 所以可得， ， 因此，而， 即，因此本命题正确； D：， 当时，函数，此时函数单调递增， 由函数单调性的性质可知中：函数是上的增函数，因此本命题正确， 故选：BCD 3．已知是幂函数图像上的任意两点，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】幂函数的定义域为， ，， ∵函数在单调递增，， ∴，即，故A正确； ，， ∵函数在单调递减，，即， ∴，即，故B错误； ∵幂函数在上单调递增，， ∴，，即，∴，故C正确； ， ∵， ∴，即，故D正确. 故选：ACD. 4．已知幂函数的图象经过点，则以下说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】对于选项A：设幂函数， 由题意可得，解得， 所以，故A错误； 对于选项B：， 当且仅当时取等号，故B正确； 对于选项C：例如，满足， 但，故C错误； 对于选项D，：若， 由选项B知，，解得，故D正确. 故选：BD. 变式训练： 1、（多选）关于幂函数，下列结论正确的是（    ） A．的图象经过原点 B．为偶函数 C．的值域为 D．在区间上单调递增 【答案】BC 【分析】由题意，得，利用幂函数的性质判断各选项即可. 【详解】由题意，，所以，即 对于A，的定义域为， 故的图象不经过原点，A错误； 对于B，因为的定义域为， ，故为偶函数，B正确； 对于C，由于，故值域为，C正确； 对于D，由于，故在区间上单调递减，D错误． 故选：BC． 2．（多选）已知幂函数的图象过点，下列说法正确的是（    ） A．函数的图象过原点 B．函数是偶函数 C．函数的值域为 D．函数在是单调减函数 【答案】ABD 【分析】首先求出幂函数解析式，再根据幂函数的性质及奇偶性一一判断即可. 【详解】由幂函数的图象过点， 则，即，即. 则幂函数定义域为， 又，则函数的值域为，故C错误； 当时，，则函数的图象过原点，故A正确； 由，则，所以函数为偶函数，故B正确； 因为函数在上单调递增， 由偶函数的的对称性可得函数在上单调递减，故D正确. 故选：ABD. 3、已知，若幂函数的图像关于原点对称，且在上是减函数；则取值的集合是_________． 【答案】 【分析】由幂函数的性质可知α是奇数，且，则答案可求. 【详解】因为， 幂函数的图像关于原点对称，且在上单调递减， 所以α是奇数，且，所以． 故答案为：. 4．设，若幂函数的图像关于轴对称，且在区间上是增函数，则实数_______ ． 【答案】 【分析】利用幂函数的性质来解答即可. 【详解】， 若幂函数的图像关于轴对称，则， 又幂函数在区间上是严格增函数，则. 故答案为：. 5．已知.若幂函数为奇函数，且在上单调递增，则_______ . 【答案】3 【详解】因为， 所以当幂函数为奇函数时，或； 而幂函数又在上单调递增知，所以， 故答案为： 6．已知幂函数在区间上是严格增函数，且的图象关于y轴对称，求m的值． 【答案】 【详解】由幂函数在区间上是严格增函数， 可得，即， 解得且，即， 当时，可得，此时函数为奇函数，图象关于原点对称，不符合题意； 当时，可得，此时函数为偶函数，图象关于对称，符合题意； 当时，可得，此时函数为奇函数，图象关于原点对称，不符合题意， 综上可得，实数的值为. 7、已知幂函数是偶函数，且在上为增函数，试求实数的值. 【答案】 【详解】由幂函数的定义可知，，即，解得或， 则或. 若，则其定义域为，关于原点对称， 又，所以为奇函数，不符合题意； 若，则其定义域为，关于原点对称， 又，所以为偶函数，且在上单调递增，符合题意， 所以实数的值为. 50 学科网（北京）股份有限公司 $