1.1-1.2 椭圆及标准方程和椭圆的简单几何性质 讲义-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

1.1 椭圆及其标准方程BS 1.2椭圆简单几何性质BS 目录 考点一 椭圆的定义及其应用 2 考点二 椭圆的标准方程 12 考点三 椭圆性质及其应用 25 考点四 点与椭圆的位置关系 41 考点五 离心率 45 考点一 椭圆的定义及其应用 知识点： （1）平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． （2）定义集合表示P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2； ③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在． 【例1】已知､是定点，.若动点满足，则动点的轨迹是( ) A． 直线 B．线段 C．圆 D．椭圆 【答案】B 【解析】对于在平面内，若动点到、两点的距离之和等于6，而6正好等于两定点、的距离，则动点的轨迹是以，为端点的线段．故选：B． 【例2】已知是椭圆的两个焦点，点、在上，若，则的最大值为（    ） A．9 B．20 C．25 D．30 【答案】C 【详解】根据椭圆定义可得：， 因为，所以， 即，当且仅当时等号成立， 所以，则的最大值为25， 故选：C. 典例： 1．（多选）设定点、，动点满足，则点的轨迹是（    ） A．圆 B．线段 C．椭圆 D．不存在 【答案】BC 【详解】、，， ，，当且仅当，即时等号成立， 当时，即，此时点的轨迹是线段， 当时，即，此时点的轨迹是椭圆. 故选：BC. 2．平面内动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，点到两个定点，的距离之和等于常数， 根据椭圆的定义可知，点的轨迹为以，为焦点的椭圆，且，， 所以，故所求的轨迹方程为. 故选：D 3．动圆M与圆外切，与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设动圆的圆心为：M（x，y），半径为R， 动圆与圆M1：（x+1）2+y2=1外切，与圆M2：（x﹣1）2+y2=25内切， ∴|MM1|+|MM2|=1+R+5﹣R=6， ∵|MM1|+|MM2|＞|M1M2|， 因此该动圆是以原点为中心，焦点在x轴上的椭圆，2a=6，c=1 解得a=3， 根据a、b、c的关系求得b2=8， ∴椭圆的方程为：．故选B． 4．已知点，C，D是与x轴的交点，P为动点，以为直径的圆与相内切，则面积的最大值为（   ） A．8 B．10 C．12 D．15 【答案】D 【分析】根据已知结合椭圆的定义确定点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，进而求面积的最大值. 【详解】如图，设以为直径的圆心为E，半径为r， 因为与相内切，则． 设，连接，则， ，又， 所以，， 所以，点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆， 由，得，又，所以． 显然P为椭圆短轴端点即或时的面积最大，为． 故选：D 5．设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点.    (1)写出点的轨迹方程； 【答案】(1) 【详解】（1）圆的标准方程为，故半径 因为，，故， 所以，故， 因此， 由题设得，，， 由椭圆定义可得点的轨迹方程为：．    6．如图在圆内有一点．为圆上一点，的垂直平分线与的连线交于点，则点的轨迹方程_______． 【答案】 【详解】由圆，可得圆心坐标，且， 由题意知点在线段上，从而有， 由点在的垂直平分线上，则，所以， 由椭圆的定义，可得点的轨迹是以为焦点的椭圆，且， 即，又由，则，所以椭圆的方程为， 故答案为 7．已知点M到定点的距离和它到直线的距离的比是常数． 求点M的轨迹C的方程； 【答案】（1）； 【详解】设由题意得，为轨迹C的方程； 8．已知两点，直线和直线相交于点,且它们的斜率之积是 (1)求动点的轨迹方程; 【答案】（1） 【详解】（1）设，则， ，整理得： 又与不重合     点的轨迹方程为： 9．已知分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆E上一动点，G点是三角形的重心，则点G的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分别为椭圆的左、右焦点， 设，G点是三角形的重心 则，得， 又是椭圆E上一动点，，即， 又G点是三角形的重心， 所以点G的轨迹方程为 故选：B 变式训练： 1.下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上) ①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝的点P的轨迹为椭圆； ②已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段； ③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆． 【答案】　② 【解析】　①<2，故点P的轨迹不存在；②因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2；③到定点F1(－3，0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴)． 2.如果动点满足，则点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 【答案】D 【详解】方程表示动点到定点的距离与它到定点的距离之和为3， 即， 所以点M的轨迹是线段． 故选：D 3、设是椭圆上的点．若是椭圆的两个焦点，则等于( ) A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【解析】因为椭圆的方程为，所以，由椭圆的的定义知， 故选D． 4.已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一点，若，则 【答案】4 【详解】由椭圆的方程，可知， 又是椭圆上的一点，由椭圆的定义知，， 又，则. 故答案为：4. 5.若椭圆上一点到其焦点的距离为6，则到另一焦点的距离为( ) A．4 B．194 C．94 D．14 【答案】D 【解析】依题意，且.故选：D 6若椭圆上一点Ｐ到左焦点的距离为５，则其到右焦点的距离为( ) A．５ B．３ C．２ D．１ 【答案】D 【解析】由题意a=3,P点到右焦点的距离为2a-5=1。 7.已知点分别是椭圆的左、右焦点,点在此椭圆上,则的周长等于( ) A．20 B．16 C．18 D．14 【答案】C 【解析】根据椭圆方程可知，根据椭圆的定义可知，的周长为，故选C. 8.已知E、F分别为椭圆的左、右焦点，倾斜角为的直线l过点E，且与椭圆交于A，B两点，则的周长为 A．10 B．12 C．16 D．20 【答案】D 【解析】椭圆，可得， 三角形的周长，， 所以：周长， 由椭圆的第一定义，，所以，周长．故选：D． 9.已知点在椭圆上，，是该椭圆的两个焦点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知，，，即，，则， 因为（当且仅当时，等号成立）， 所以， 所以 （当且仅当时，等号成立）． 故选：D. 10.已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的射线分别与椭圆和圆相交于点，过点作，垂足为为坐标原点，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【详解】由椭圆，可得，则， 又由圆可化为，可得圆心，半径，则， 根据椭圆的定义，可得，则， 因为，可得为的中点， 又因为为的中点，可得. 故选：C. 11.（多选）已知椭圆的左､右焦点分别为，为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为8 B．存在点，使得 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】BCD 【详解】 由可得,焦点坐标分别为. 对A项, 的周长为，故A错误; 对B项,设存在点,根据两点间距离公式和椭圆的定义得, 即,解得或,故B正确; 对C项, 设点,,则, 所以,, 则,又因为,所以, 所以的取值范围为,故C正确; 对D项, 由C知, ,则,因为, 所以,则,同理可得,所以, 当时,取得最大值, 当或时, 的值,但且,所以的取值范围为,故D正确. 故选:BCD. 考点二 椭圆的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 【例1】分别求适合下列条件的方程： (1)焦点在轴上，长轴长为，焦距为的椭圆标准方程； (2)与椭圆具有相同的离心率且过点的椭圆的标准方程。 (3)已知椭圆的两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，则此椭圆的标准方程 (4)求经过点和点的椭圆标准方程。 【答案】(1)；(2)或(3)（4） 【解析】(1)由已知条件可得，可得，， 因此，所求椭圆的标准方程为； (2)易知椭圆的离心率． 当所求椭圆的焦点在x轴上时，可设椭圆的方程为， 把点代入方程，得． 又，解得，，所以所求椭圆的方程为． 当所求椭圆的焦点在y轴上时，同理可设椭圆的方程为， 把点代入方程，得． 又，解得，，所以此椭圆的标准方程是或. (3)因设椭圆的标准方程为，因为点在椭圆上， 所以，所以椭圆的标准方程为． （4）设椭圆的标准方程为，代入求解即可。 典例： 1．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别为和，且椭圆经过点； (2)焦点在y轴上，且经过两个点和； (3)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点． (4)经过点，两点； (5)与椭圆＋＝1有相同的焦点且经过点. (6)焦点坐标为，过点； (7)经过两点． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 【详解】（1）由题意知，椭圆的焦点在x轴上，可设它的标准方程为， 易知，所以， 又，所以，故所求椭圆的标准方程为； （2）∵椭圆的焦点在y轴上，∴可设它的标准方程为， ∵椭圆经过点和，∴，解之得，故所求椭圆的标准方程为； （3）根据题意可知，又焦点在y轴上，故可设它的标准方程为，且焦点坐标为， ∵椭圆经过点，∴由椭圆的定义可得， 即， ∴，故椭圆的标准方程为. （4）由题意得P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上， 所以，所以椭圆的标准方程为. （5）设椭圆的两个焦点为F1，F2，且焦点在x轴上 因为，所以，，故设椭圆方程为 由题意得，解得或 (舍去)， 所以椭圆的标准方程为. （6）设椭圆的长半轴为，短半轴为， 因为焦点的坐标为，所以另一个焦点为，且， 又椭圆过点，所以， 所以，故，所以椭圆的标准方程为； （7）设椭圆方程为， 因为椭圆经过两点，所以，解得， 所以椭圆的标准方程为. 变式训练： 1．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)； (2)c∶a＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26. (3)已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点和 (4)焦点的坐标分别是，，并且经过点； (5)经过两点，. 【答案】(1) (2)或(3) (4) (5) 【解析】(1)由焦距是4，可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由椭圆的定义知， ，所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.又焦点在y轴上， 所以椭圆的标准方程为. (2)由题意知，2a＝26，即a＝13，又因为c∶a＝5∶13，所以c＝5，所以b2＝a2－c2＝132－52＝144， 因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为或. (3)设椭圆的方程为． 将A，B两点坐标代入方程，得，解得，故所求椭圆的方程为． （4）设椭圆的焦距为，长轴长为，短轴长为， 则，且焦点在轴上， ， 所以， 所以椭圆方程为； （5）设椭圆的方程为， 则，解得， 所以椭圆方程为. 2.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10； (2)焦点在y轴上，且经过两个点和； (3)经过和点． 【答案】(1)1 (2) (3)． 【详解】（1）由题意，椭圆焦点在轴上，且， 则， ∴椭圆方程为1； （2）根据题意，所求椭圆的焦点在y轴上，且经过两个点和， 则，则椭圆的标准方程为； （3）根据题意，要求椭圆经过（，）和点（，1）两点， 设其方程为， 则有，解可得， 则所求椭圆的方程为． 3.已知椭圆的焦点为，．过点的直线与交于，两点．若的周长为8，则椭圆的标准方程为( )． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据椭圆的定义知的周长为，∴，又，，∴， ∴椭圆的标准方程为． 4.已知椭圆的短轴长为，焦距为，则椭圆的上顶点到右焦点的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的性质求出，即可得解. 【详解】依题意，所以，则， 则椭圆的上顶点到右焦点的距离为. 故选：B 5.过点且与有相同焦点的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由知，焦点为，，即，. 设所求椭圆方程为，则，解得， 故所求椭圆方程为. 故选：A. 6.已知椭圆的焦点在轴上，若椭圆的焦距为，则的值为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【详解】椭圆即，焦点在轴上， 所以，，所以， 又椭圆的焦距为，所以，解得. 故选：A 7、过点且与有相同焦点的椭圆的方程是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】椭圆，∴焦点坐标为：( ，0)，(-，0)，c=， ∵椭圆的焦点与椭圆有相同焦点，设椭圆的方程为：=1， ∴椭圆的半焦距c=，即a2-b2=5，结合，解得：a2=15，b2=10 ∴椭圆的标准方程为 ，故选A． 8.中心在原点，焦点在轴上，焦距为8，且过点(3，0)的椭圆方程为( ). A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】因为焦距为8，所以，即 又因为椭圆的焦点在轴上，且过点(3，0)，所以 ，所以椭圆的方程为. 故选：B 9.在平面直角坐标系中，椭圆C的中心为原点，焦点、在x轴上，离心率为，过的直线l交C于A、B两点，且的周长为16，那么C的方程为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，的周长为16，即, 根据椭圆的性质，有，即；椭圆的离心率为，即，则，故，则，则椭圆的方程为，故选：D． 10.已知椭圆的离心率为，且椭圆的长轴长与焦距之和为6，则椭圆的标准方程为　　 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意椭圆：的离心率为得， 椭圆的长轴长与焦距之和为6，， 解得，，则，所以椭圆的标准方程为：，故选D 11.已知椭圆过点和点，则此椭圆的方程是（ ） A． B．或 C． D．以上均不正确 【答案】A 【解析】设经过两点P和点Q的椭圆标准方程为mx2+ny2=1(m＞0，n＞0，m≠n)， 代入A、B得， ，解得 ，∴所求椭圆方程为+x2=1．故选A． 12.已知椭圆的中心在原点且过点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，求该椭圆的方程 ． 【答案】或 【详解】若焦点在轴上，设，则由题意， 解得，∴． 若焦点在轴上，设，则由题意， 解得，∴． 故答案为：或. 13.已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且满足,延长线交椭圆于另一点，，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为点在椭圆上，延长线交椭圆于另一点，且， 所以，，则，由于， 所以，即，解得， 所以，则， 则，， 所以椭圆方程为， 故选：C 14.已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】A 【详解】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A 15.平面内，已知两点，及动点.给出下列结论： ①满足的点的轨迹为线段； ②若直线，的斜率之积是，则点的轨迹方程为； ③若点到定点的距离与它到定直线的距离之比为，则点的轨迹为椭圆. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②③ 【详解】对于①：，则点的轨迹为线段； 对于②： 设，因为， 即，所以点的轨迹方程为； 对于③：设，则， ，整理得， 即点的轨迹为椭圆. 故答案为：①②③ 16.已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，且，则该椭圆的方程是 ． 【答案】 【详解】设点, 又因为,,， 所以， 所以， 所以，根据椭圆定义可得, 所以椭圆的方程是. 故答案为：. 17.已知点为圆上任意一点，点，线段的中垂线交于点，求动点的轨迹方程．    【答案】 【详解】由题意，线段的中垂线交于点， 所以, 即， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设点的轨迹方程， 所以，则， 所以动点的轨迹方程为． 18.已知椭圆C：的离心率为，、分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为 ． 【答案】 【详解】因为离心率，解得，， 分别为C的左右顶点，则， B为上顶点，所以. 所以，因为 所以，将代入，解得， 故椭圆的方程为. 故答案为：. 19.已知椭圆的焦点分别是，点分别为椭圆的长轴端点，点B为椭圆的短轴端点，且． (1)求椭圆的方程； (2)求点B与两点，的连线的斜率的乘积； (3)设点P在这个椭圆上，且，求的长． 【答案】(1)； (2)；(3)． 【详解】（1）因为椭圆的焦点分别是，所以 又因为，，联立可得，， 所以椭圆的方程为； （2）由分别为椭圆的长轴端点，所以不妨设，， 由点B为椭圆的短轴端点，所以或， 当时，，， 所以， 当时，，， 所以， 所以点B与两点的连线的斜率的乘积为； （3）因为点P在这个椭圆上，所以，由小问（1）知， 所以，又，联立可得. 考点三 椭圆性质及其应用 知识点一、椭圆的几何性质 性 质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 对称轴 长轴2a，短轴2b，焦距2c 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 离心率 e＝，且e∈(0,1) 知识点二、椭圆的常用结论 （1）过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为，过焦点最长弦为长轴． （2）过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b. 【例1】（1）焦点在轴上的椭圆的离心率为，则实数的值为( ) A．1 B． C．2 D．3 (2)如果表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是( ) A． B． C． D． (3)若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．且 【答案】（1）D (2)A (3)D 【解析】（1）焦点在轴上的椭圆的离心率为，则 故答案为：D. (2)转化为椭圆的标准方程，得，因为表示焦点在轴上的椭圆，所以，解得.所以实数的取值范围是.选A. （3）方程表示椭圆， ，得，得且． 故选：D． 【例2】（1）已知的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在上，则的周长是(　　) A． B． C． D． （2）已知是椭圆上一点， 为椭圆的两焦点，且，则面积为( ) A． B． C． D． 【答案】(1)C（2）A 【解析】(1)的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在上，由椭圆的定义可得：的周长是．故选：C． (2)由椭圆的标准方程可得：a＝5，b＝3，∴c＝4， 设|PF1|＝t1，|PF2|＝t2，所以根据椭圆的定义可得：t1+t2＝10①， 在△F1PF2中，∠F1PF2＝60°， 所以根据余弦定理可得：|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cos60°＝|F1F2|2＝(2c)2＝64， 整理可得：t12+t22﹣t1t2＝64，②把①两边平方得t12+t22+2t1•t2＝100，③ 所以③﹣②得t1t2＝12， ∴∠F1PF2＝3．故选A． 典例： 1．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由椭圆方程可知. 故选:D 2．如图，椭圆的右顶点为，上顶点为，从椭圆上一点P向轴作垂线，垂足恰为左焦点，若，则椭圆的标准方程为___________. 【答案】 【详解】依题意，令椭圆半焦距为c，， 当时，，解得，即，则， 由，得，即，解得，， 因此，解得，则， 所以椭圆C的标准方程为. 故答案为： 3．设是椭圆的长轴，若把线段等分，过每个分点作的垂线，交椭圆的上半部分于、、…、，为椭圆的左焦点，则的值是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据椭圆的对称性知： . 故选：. 7．如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点P第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点P第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①；②；③；④.其中正确式子的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】B 【分析】由，可判定①不正确；由，可判定②正确；由，得到，结合椭圆的性质，求得，进而可判定③正确，④不正确. 【详解】由图象可知，所以，所以①不正确； 因为，所以，所以②正确； 由，可得，可得， 整理得，即， 因为，所以，所以③正确，④不正确. 故选：B. 8．某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆，测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）与太阳中心的距离为，远日点（距离太阳最远的点）与太阳中心的距离为，并且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则（    ） A．轨道的焦距为 B．轨道的离心率为 C．轨道的短轴长为 D．当越大时，轨道越圆 【答案】BCD 【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，根据题意得到；故， 对于A：焦距，故选项A错误； 对于B：因为离心率，故选项B正确； 对于C：短轴长，故选项C正确； 对于D：离心率， 当越大时，椭圆的离心率越小，即椭圆越圆，故D正确； 故选：BCD 变式训练： 1．如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( ) A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】椭圆的焦点在轴上，，解得或，故选D. 2．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为方程表示椭圆，故：，且； 又该椭圆的焦点在轴上，故只需，解得.故选：D. 3、方程表示椭圆，则实数的取值范围( ) A． B． C． D．且 【答案】D 方程表示椭圆，若焦点在x轴上，；若焦点在y轴上，. 综上：实数的取值范围是且故选：D 4.若方程表示焦点在x轴的椭圆，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】命题等价于，解得. 故选：C. 5.若曲线表示椭圆，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为曲线表示椭圆，即表示椭圆 则应满足即． 故选：D． 6.若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为椭圆的焦点在x轴上可得 , 所以. 故答案为：. 7.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将椭圆方程变形为，因为焦点在轴上，所以，解得． 故选：B. 8.椭圆与椭圆的关系为（    ） A．有相同的长轴长与短轴长 B．有相同的焦距 C．有相同的焦点 D．有相同的离心率 【答案】B 【详解】对于椭圆，则，且焦点在x轴上， 所以长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，焦点为，离心率为， 对于椭圆，因为，则， 可得，且焦点在y轴上， 所以长轴长为，短轴长为，焦距为8，焦点为，离心率为， 所以A、C、D错误，B正确. 故选：B. 9． “”是“方程表示椭圆”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为方程表示椭圆的充要条件是，即且，故“”是“方程表示椭圆”的必要而不充分条件.故选：B. 10.方程x2＋ky2＝2表示焦点在x轴上的椭圆的一个充分但不必要条件是 ( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】方程x2＋ky2＝2可变形为：，表示焦点在x轴上的椭圆，则有：， 解得.易知当时，，当时未必有，所以是的充分但不必要条件.故选B. 11． “”是“方程表示的曲线为椭圆”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若方程表示椭圆，则，解得：或 或是的真子集，所以“”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件.故选：B 12.已知椭圆的两个焦点为上有一点，则的周长为（    ） A． B．20 C． D．16 【答案】B 【详解】解：因为，，所以， 故的周长为． 故选：B． 13．已知P是椭圆上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是______． 【答案】 【解析】∵|PF1|＋|PF2|＝4，，又∵∠F1PF2＝60°， 由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60° 12＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－|PF1|·|PF2|，∴， ∴. 14.设椭圆C：(a>0，b>0)的左､右焦点分别为，，离心率为.P是C上一点，且⊥.若的面积为4，则a=( ) A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【解析】，，由椭圆定义，， 由⊥得， 的面积为4，则，即， ，即,解得，即，故选：C. 15.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，的最小值为1，且的周长为34，则椭圆C的标准方程为 ． 【答案】 【详解】令椭圆的半焦距为，由的最小值为1，得， 由的周长为34，得，解得，，由，得， 所以椭圆C的标准方程为. 故答案为： 16.点P是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，且的内切圆半径为1，当点P在第一象限时，P点的纵坐标为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 所以， 所以， 设的内切圆半径为， 因为 所以，得. 故选：B 17.（1）已知点P在椭圆上，与分别为左、右焦点.若，则的面积为 . （2）若F为椭圆C：的右焦点，A、B为椭圆C上两个动点，则的周长的最大值为 . 【答案】 20 【详解】（1）由椭圆可知，， 所以，即，， 由余弦定理得， 解得， 所以. （2）设椭圆的左焦点为， 由椭圆C：可得，， 则的周长为， 由，可得， 当且仅当三点共线时等号成立，即的周长的最大值为20. 故答案为：； 18.已知为坐标原点，为椭圆上任意一点，延长至，使，记点的轨迹为曲线，则曲线的方程为 ；若过点的直线交曲线于两点，则面积的最大值为 . 【答案】 . 【详解】    设，因为，则， 将点代入椭圆方程可得， 即曲线的方程为； 连接，由可知，所以， 设， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 代入曲线的方程可得， 则， 所以 ， 将直线的方程为代入曲线的方程可得， 因为与曲线有公共点，所以， 化简可得，令，则， 所以； 当直线的斜率不存在时，设直线的方程为， 代入曲线的方程可得， 所以， 令，则，则； 综上所述，面积的最大值为， 则面积的最大值为. 故答案为：； 19.已知椭圆C：，，过P点斜率为k的直线与椭圆C交于另一点为Q． (1)若的面积为，求k的值； (2)若直线与椭圆C交于M，N两点，且，求的值． 【答案】(1)或； (2) 【详解】（1） 易知直线PQ的方程为，不妨设， 联立，消去y并整理得， 由韦达定理得，所以， 又点O到直线的距离， 则 解得或； （2） 不妨设， 联立，消去y并整理得， 此时，解得， 由韦达定理得， 不妨设线段MN的中点为D， 此时，所以， 因为，所以，即， 解得，满足，故． 20.已知椭圆的上顶点为，右焦点为，原点到直线的距离为的面积为1. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与交于两点，过点作轴于点，过点作轴于点与交于点. ①求证：点在定直线上， ②求的面积的最大值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②. 【详解】（1）由题知，因为的面积为1，所以. 又直线的方程，即， 因为点到直线的距离为，所以， 解得，所以陏圆的方程为. （2）①由题意，当直线斜率为0时，不符合题意； 当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立，得， 易知. 设，则， 因为轴，轴，所以， 所以直线     (1)， 直线            (2)， 联立(1)(2)解得， 所以点在定直线上 ②因为与直线平行， 所以 因为所以 ， 令所以 当且仅当是等号成立所以的面积的最大值为. 21.已知椭圆的一个顶点为，左、右焦点为，，其中O为坐标原点，过右焦点的直线交椭圆于P，Q两点，的周长为. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点C满足，点B在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以C为圆心的圆相切于点M，且M为线段的中点，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1） 由题意得，， 解得， 所以椭圆的标准方程为. （2） 由（1）知，又，所以， 由题意，点B在椭圆上（异于椭圆的项点），所以直线斜率存在且不为0， 设，直线和椭圆方程联立得，得， 当时，则， 因为直线与以为圆心的圆相切于点，即为中点， 则，， ，， 因为，所以，得， 因为，所以得. 所以直线或. 考点四 点与椭圆的位置关系 【例1】已知点P(k,1)，椭圆＋＝1，点P在椭圆外，则实数k的取值范围为____________． 【答案】　∪ 【解析】　依题意得，＋>1，解得k<－或k>. 【例2】 （1） 分别是椭圆的左、右焦点，点是上任意一点，若，则的最小值为___________. 【答案】4 （2）是椭圆的左焦点，若，则的最小值为______。 【答案】 （3）已知椭圆：的右焦点为F，P为椭圆上任意一点，点A的坐标为，则的最大值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【详解】如图，    设椭圆C的左焦点为，由由椭圆定义可得，， 所以.故选：B. 典例： 1．若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由点在椭圆的内部， 可得：，且， 解得：或， 所以实数的取值范围为， 故选：B 2．已知是椭圆的左焦点，点在上，在上，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可得， 可得圆的圆心坐标为，半径，由椭圆，可得， 设椭圆的右焦点为，根据椭圆的定义可得， 所以，又由, 如图所示，当点四点共线时，即时，取得最小值， 最小值为， 所以.故选：A. 3．已知是椭圆的左焦点，点为该椭圆上一动点，若在椭圆内部，则的最大值为_____；的最小值为_______． 【答案】 8 【详解】椭圆中，，，则， 设右焦点为，则，离心率， 则，所以， 所以，当且仅当在的延长线与椭圆的交点时取等号；    又椭圆左准线方程为， 设到左准线的距离为，则，所以， 所以， 当且仅当在过点作左准线的垂线与椭圆的交点时取等号..    故答案为：； 变式训练： 1．点与椭圆的位置关系为（       ） A．在椭圆上 B．在椭圆内 C．在椭圆外 D．不能确定 【答案】B 【详解】，可知点在椭圆内． 2．已知椭圆C:，点，则点A与椭圆C的位置关系是（       ）． A．点A在椭圆C上 B．点A在椭圆C内 C．点A在椭圆C外 D．无法判断 【答案】B 【详解】当时，代入椭圆得到 ， 故点在椭圆内 3．点在椭圆的外部，则a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为点在椭圆的外部， 所以,解得,故选：B. 4.已知点(1,2)在椭圆＋＝1(n>m>0)上，则m＋n的最小值为________． 【答案】9 【解析】依题意得，＋＝1，而m＋n＝(m＋n)＝1＋＋＋4＝5＋＋ ≥5＋2＝9，当且仅当n＝2m时等号成立，故m＋n的最小值为9. 5．已知函数，且）的图象恒过定点，若点在椭圆上，则的最小值为（       ） A．12 B．10 C．8 D．9 【答案】D 【详解】由于函数，且）向右平移两个单位得：，且），即为函数，且），所以定点，由于点在椭圆，所以，且 所以，当且仅当，即时取等号.故选：D 6．设，分别为椭圆：的左、右焦点，为内一点，为上任意一点.现有四个结论： ①的焦距为2；②的长轴长可能为；③的最大值为； ④若的最小值为3，则.其中所有正确结论的编号是__________. 【答案】①③④ 【详解】对于选项①：因为,所以椭圆的焦距为2，故选项①正确； 对于选项②：若椭圆的长轴长为，则，所以椭圆的方程为， 则，从而点在的外部，这与在内矛盾，所以选项②不正确. 对于选项③：因为，为上任意一点，由椭圆的几何性质可知，的最大值为，故选项③正确； 对于选项④：由椭圆定义可知，， 因为，所以， 所以，此时，故选项④正确； 故答案为：①③④ 7．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为__________． 【答案】 【详解】∵点为椭圆的左焦点，∴，设椭圆的右焦点， ∵点为椭圆上任意一点，点的坐标为，∴，又∵，∴，即的最大值为，此时、、共线． 故答案为． 考点五 离心率 【例1】(1)已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为 。 (2)过椭圆的右焦点作椭圆长轴的垂线交椭圆于两点，为椭圆的左焦点，若为正三角形，则椭圆的离心率为___________。 【答案】(1)(2) 【解析】(1)根据题意，可知，因为，所以，即， 所以椭圆的离心率为. (2)根据题意，如图所示， 可得为正三角形，可得在中，有， 点在椭圆上，由椭圆的定义可得， 则该椭圆的离心率 【例2】.已知椭圆C： （）的左、右焦点分别为，，P为C上一点，满足，以C的短轴为直径作圆O，截直线的弦长为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，取弦的中点D，连接，则，即，因为， 所以，因为O为的中点，所以D是的中点，所以， 因为，所以OD垂直平分弦，因为，， 所以，所以， 由椭圆定义可得，， 所以，解得，， 所以离心率为， 故选：A． 典例： 1．已知、是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不妨设椭圆的焦点在轴上，点、分别为椭圆的左、右焦点， 如下图所示，设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为、、， 在中，，且， 则，， 由椭圆的定义可得，即， 所以，该椭圆的离心率为. 故选：D. 2．已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线交椭圆于A、B两点，若，则该椭圆的离心率为________． 【答案】/ 【详解】 如图，设，因为，所以． 由椭圆定义可知，， 由，可得，所以． 在中，由，可得， 即得，故得．故答案为：. 3．已知是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，若，则该椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据对称性不妨设在第二象限，在第一象限， 联立，可解得， ，，又， ，， 又，， ， ， ， ， ，又， 该椭圆的离心率．故选：C． 4．（2018 新课标二卷）已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c, 由斜率为得，， 由正弦定理得, 所以， 故选：D. 5．（2021甲卷）已知是椭圆C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，由椭圆的定义可得， 所以，， 因为,由余弦定理可得 所以， 整理可得，所以，即. 故选：C. 变式训练： 1．椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆的离心率为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设椭圆的短轴长为，长轴长为，焦距为， 则，即；或， 若，① ∵， ∴，② 由①②得：，， ∴椭圆的离心率； 若，③ ∵， ∴，④ 由③④得：，，不符合题意，舍去， 故椭圆的离心率为. 故选：C. 2．设椭圆的一个焦点为，离心率为，则此椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为椭圆的一个焦点为，所以焦点在轴上， 又离心率为，所以，解得，所以椭圆的方程为， 故选：A. 3．若焦点在轴上的椭圆 的离心率为，则( ) A．31 B．28 C．25 D．23 【答案】D 【解析】焦点在x轴上，所以 所以离心率 ，所以 解方程得所以选D 4．设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，⊥， ∠=，则C的离心率为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝ m， 故离心率e＝选D. 5．若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】若椭圆的焦点在轴，则离心率，得，此时焦距， 若椭圆的焦点在轴，则离心率，得，此时焦距， 所以该椭圆的焦距为或. 故选：D 6．若椭圆与椭圆（）的离心率相同，则实数b的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若椭圆与椭圆（）的离心率相同， 则，解得满足题意. 故选：A. 7．在平面直角坐标系中，已知△ABC顶点和，顶点在椭圆上，则 ( ) A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】 可得：， 又 故椭圆的左右焦点分别为：， 和是椭圆的左右焦点 由顶点B在椭圆，根据椭圆的定义可得： 根据正弦定理：，“角化边”，故选：A. 8．已知椭圆的右顶点为，左焦点为，若以为直径的圆过短轴的一个顶点，则椭圆的离心率为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设椭圆的焦距为，则，， 因为圆以为直径，所以半径，圆心到原点的距离为， 因为以为直径的圆过短轴的一个顶点，则化简得，，，则，，解得或(舍去)，故选：B. 9.已知点是以为焦点的椭圆上一点，若，则椭圆的离心率( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵点P是以F1，F2为焦点的椭圆+=1(a＞b＞0)上一点，PF1⊥PF2，tan∠PF2F1=2， ∴=2，设|PF2|=x，则|PF1|=2x，由椭圆定义知x+2x=2a，∴x=，∴|PF2|=，则|PF1|==，由勾股定理知|PF2|2+|PF1|2=|F1F2|2，∴解得c=a，∴e==． 10．（多选）已知椭圆的离心率为，焦点为，则（    ） A．的短轴长为4 B．上存在点，使得 C．上存在点，使得 D．与曲线重合 【答案】BCD 【详解】对于A，由题知，解得，所以， 所以的短轴长为，A错误； 对于BC，由上可知，， 设，则， 又，即， 所以， 因为，所以，得， 所以存在点使得，，所以BC正确；    对于D，由的几何意义可知： 动点到定点的距离之和等于， 表示以为焦点，的椭圆，故D正确. 故选：BCD 11.已知椭圆，焦点，，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，设该直线的倾斜角为θ，则 ，椭圆的离心率是 ． 【答案】 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 如图所示：设切点为B， 则，且， 可得， 则，，即， 又因为，，可得， 则， 且，可得，所以． 故答案为：；. 12．已知椭圆C：的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则椭圆C的离心率为 ． 【答案】 【详解】以线段为直径的圆的圆心为原点，半径，该圆与直线相切， 则圆心到直线的距离， 整理可得， 所以． 故答案为： 43 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 椭圆及其标准方程BS 1.2椭圆简单几何性质BS 目录 考点一 椭圆的定义及其应用 2 考点二 椭圆的标准方程 5 考点三 椭圆性质及其应用 12 考点四 点与椭圆的位置关系 18 考点五 离心率 20 考点一 椭圆的定义及其应用 知识点： （1）平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． （2）定义集合表示P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2； ③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在． 【例1】已知､是定点，.若动点满足，则动点的轨迹是( ) A． 直线 B．线段 C．圆 D．椭圆 【例2】已知是椭圆的两个焦点，点、在上，若，则的最大值为（    ） A．9 B．20 C．25 D．30 典例： 1．（多选）设定点、，动点满足，则点的轨迹是（    ） A．圆 B．线段 C．椭圆 D．不存在 2．平面内动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．动圆M与圆外切，与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程是 A． B． C． D． 4．已知点，C，D是与x轴的交点，P为动点，以为直径的圆与相内切，则面积的最大值为（   ） A．8 B．10 C．12 D．15 5．设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点.   (1)写出点的轨迹方程； 6．如图在圆内有一点．为圆上一点，的垂直平分线与的连线交于点，则点的轨迹方程_______． 7．已知点M到定点的距离和它到直线的距离的比是常数． 求点M的轨迹C的方程； 8．已知两点，直线和直线相交于点,且它们的斜率之积是 (1)求动点的轨迹方程; 9．已知分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆E上一动点，G点是三角形的重心，则点G的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 变式训练： 1.下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上) ①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝的点P的轨迹为椭圆； ②已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段； ③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆． 2.如果动点满足，则点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 3、设是椭圆上的点．若是椭圆的两个焦点，则等于( ) A．4 B．5 C．8 D．10 4.已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一点，若，则 5.若椭圆上一点到其焦点的距离为6，则到另一焦点的距离为( ) A．4 B．194 C．94 D．14 6若椭圆上一点Ｐ到左焦点的距离为５，则其到右焦点的距离为( ) A．５ B．３ C．２ D．１ 7.已知点分别是椭圆的左、右焦点,点在此椭圆上,则的周长等于( ) A．20 B．16 C．18 D．14 8.已知E、F分别为椭圆的左、右焦点，倾斜角为的直线l过点E，且与椭圆交于A，B两点，则的周长为 A．10 B．12 C．16 D．20 9.已知点在椭圆上，，是该椭圆的两个焦点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 10.已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的射线分别与椭圆和圆相交于点，过点作，垂足为为坐标原点，则（    ） A． B． C．2 D． 11.（多选）已知椭圆的左､右焦点分别为，为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为8 B．存在点，使得 C．的取值范围为 D．的取值范围为 考点二 椭圆的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 【例1】分别求适合下列条件的方程： (1)焦点在轴上，长轴长为，焦距为的椭圆标准方程； (2)与椭圆具有相同的离心率且过点的椭圆的标准方程。 (3)已知椭圆的两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，则此椭圆的标准方程 (4)求经过点和点的椭圆标准方程。 典例： 1．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别为和，且椭圆经过点； (2)焦点在y轴上，且经过两个点和； (3)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点． (4)经过点，两点； (5)与椭圆＋＝1有相同的焦点且经过点. (6)焦点坐标为，过点； (7)经过两点． 变式训练： 1．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)； (2)c∶a＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26. (3)已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点和 (4)焦点的坐标分别是，，并且经过点； (5)经过两点，. 2.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10； (2)焦点在y轴上，且经过两个点和； (3)经过和点． 3.已知椭圆的焦点为，．过点的直线与交于，两点．若的周长为8，则椭圆的标准方程为( )． A． B． C． D． 4.已知椭圆的短轴长为，焦距为，则椭圆的上顶点到右焦点的距离为（     ） A． B． C． D． 5.过点且与有相同焦点的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 6.已知椭圆的焦点在轴上，若椭圆的焦距为，则的值为（    ） A． B． C．3 D．4 7、过点且与有相同焦点的椭圆的方程是( ) A． B． C． D． 8.中心在原点，焦点在轴上，焦距为8，且过点(3，0)的椭圆方程为( ). A． B． C．或 D．或 9.在平面直角坐标系中，椭圆C的中心为原点，焦点、在x轴上，离心率为，过的直线l交C于A、B两点，且的周长为16，那么C的方程为( ) A． B． C． D． 10.已知椭圆的离心率为，且椭圆的长轴长与焦距之和为6，则椭圆的标准方程为　　 A． B． C． D． 11.已知椭圆过点和点，则此椭圆的方程是（ ） A． B．或 C． D．以上均不正确 12.已知椭圆的中心在原点且过点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，求该椭圆的方程 ． 13.已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且满足,延长线交椭圆于另一点，，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 14.已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 15.平面内，已知两点，及动点.给出下列结论： ①满足的点的轨迹为线段； ②若直线，的斜率之积是，则点的轨迹方程为； ③若点到定点的距离与它到定直线的距离之比为，则点的轨迹为椭圆. 其中所有正确结论的序号是 . 16.已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，且，则该椭圆的方程是 ． 17.已知点为圆上任意一点，点，线段的中垂线交于点，求动点的轨迹方程．    18.已知椭圆C：的离心率为，、分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为 ． 19.已知椭圆的焦点分别是，点分别为椭圆的长轴端点，点B为椭圆的短轴端点，且． (1)求椭圆的方程； (2)求点B与两点，的连线的斜率的乘积； (3)设点P在这个椭圆上，且，求的长． 考点三 椭圆性质及其应用 知识点一、椭圆的几何性质 性 质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 对称轴 长轴2a，短轴2b，焦距2c 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 离心率 e＝，且e∈(0,1) 知识点二、椭圆的常用结论 （1）过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为，过焦点最长弦为长轴． （2）过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b. 【例1】（1）焦点在轴上的椭圆的离心率为，则实数的值为( ) A．1 B． C．2 D．3 (2)如果表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是( ) A． B． C． D． (3)若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．且 【例2】（1）已知的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在上，则的周长是(　　) A． B． C． D． （2）已知是椭圆上一点， 为椭圆的两焦点，且，则面积为( ) A． B． C． D． 典例： 1．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 2．如图，椭圆的右顶点为，上顶点为，从椭圆上一点P向轴作垂线，垂足恰为左焦点，若，则椭圆的标准方程为___________. 3．设是椭圆的长轴，若把线段等分，过每个分点作的垂线，交椭圆的上半部分于、、…、，为椭圆的左焦点，则的值是 A． B． C． D． 4．如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点P第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点P第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①；②；③；④.其中正确式子的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 5．（多选）某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆，测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）与太阳中心的距离为，远日点（距离太阳最远的点）与太阳中心的距离为，并且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则（    ） A．轨道的焦距为 B．轨道的离心率为 C．轨道的短轴长为 D．当越大时，轨道越圆 变式训练： 1．如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( ) A． B． C．或 D．或 2．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 3、方程表示椭圆，则实数的取值范围( ) A． B． C． D．且 4.若方程表示焦点在x轴的椭圆，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.若曲线表示椭圆，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6.若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为 . 7.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8.椭圆与椭圆的关系为（    ） A．有相同的长轴长与短轴长 B．有相同的焦距 C．有相同的焦点 D．有相同的离心率 9． “”是“方程表示椭圆”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10.方程x2＋ky2＝2表示焦点在x轴上的椭圆的一个充分但不必要条件是 ( ) A． B． C． D． 11． “”是“方程表示的曲线为椭圆”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 12.已知椭圆的两个焦点为上有一点，则的周长为（    ） A． B．20 C． D．16 13．已知P是椭圆上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是______． 14.设椭圆C：(a>0，b>0)的左､右焦点分别为，，离心率为.P是C上一点，且⊥.若的面积为4，则a=( ) A．1 B．2 C．4 D．8 15.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，的最小值为1，且的周长为34，则椭圆C的标准方程为 ． 16.点P是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，且的内切圆半径为1，当点P在第一象限时，P点的纵坐标为（    ） A．2 B． C． D． 17.（1）已知点P在椭圆上，与分别为左、右焦点.若，则的面积为 . （2）若F为椭圆C：的右焦点，A、B为椭圆C上两个动点，则的周长的最大值为 . 18.已知为坐标原点，为椭圆上任意一点，延长至，使，记点的轨迹为曲线，则曲线的方程为 ；若过点的直线交曲线于两点，则面积的最大值为 . 19.已知椭圆C：，，过P点斜率为k的直线与椭圆C交于另一点为Q． (1)若的面积为，求k的值； (2)若直线与椭圆C交于M，N两点，且，求的值． 20.已知椭圆的上顶点为，右焦点为，原点到直线的距离为的面积为1. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与交于两点，过点作轴于点，过点作轴于点与交于点. ①求证：点在定直线上， ②求的面积的最大值. 21.已知椭圆的一个顶点为，左、右焦点为，，其中O为坐标原点，过右焦点的直线交椭圆于P，Q两点，的周长为. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点C满足，点B在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以C为圆心的圆相切于点M，且M为线段的中点，求直线的方程. 考点四 点与椭圆的位置关系 【例1】已知点P(k,1)，椭圆＋＝1，点P在椭圆外，则实数k的取值范围为____________． 【例2】 （1） 分别是椭圆的左、右焦点，点是上任意一点，若，则的最小值为___________. （2）是椭圆的左焦点，若，则的最小值为______。 （3）已知椭圆：的右焦点为F，P为椭圆上任意一点，点A的坐标为，则的最大值为（    ） A． B．5 C． D． 典例： 1．若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．已知是椭圆的左焦点，点在上，在上，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 3．已知是椭圆的左焦点，点为该椭圆上一动点，若在椭圆内部，则的最大值为_____；的最小值为_______． 变式训练： 1．点与椭圆的位置关系为（       ） A．在椭圆上 B．在椭圆内 C．在椭圆外 D．不能确定 2．已知椭圆C:，点，则点A与椭圆C的位置关系是（       ）． A．点A在椭圆C上 B．点A在椭圆C内 C．点A在椭圆C外 D．无法判断 3．点在椭圆的外部，则a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 4.已知点(1,2)在椭圆＋＝1(n>m>0)上，则m＋n的最小值为________． 5．已知函数，且）的图象恒过定点，若点在椭圆上，则的最小值为（       ） A．12 B．10 C．8 D．9 6．设，分别为椭圆：的左、右焦点，为内一点，为上任意一点.现有四个结论： ①的焦距为2；②的长轴长可能为；③的最大值为； ④若的最小值为3，则.其中所有正确结论的编号是__________. 7．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为__________． 考点五 离心率 【例1】(1)已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为 。 (2)过椭圆的右焦点作椭圆长轴的垂线交椭圆于两点，为椭圆的左焦点，若为正三角形，则椭圆的离心率为___________。 【例2】.已知椭圆C： （）的左、右焦点分别为，，P为C上一点，满足，以C的短轴为直径作圆O，截直线的弦长为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 典例： 1．已知、是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线交椭圆于A、B两点，若，则该椭圆的离心率为________． 3．已知是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，若，则该椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 4．（2018 新课标二卷）已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为 A． B． C． D． 5．（2021甲卷）已知是椭圆C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（     ） A． B． C． D． 变式训练： 1．椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆的离心率为( ) A． B． C． D． 2．设椭圆的一个焦点为，离心率为，则此椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．若焦点在轴上的椭圆 的离心率为，则( ) A．31 B．28 C．25 D．23 4．设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，⊥， ∠=，则C的离心率为( ) A． B． C． D． 5．若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为（    ） A． B． C．或 D．或 6．若椭圆与椭圆（）的离心率相同，则实数b的值为（    ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，已知△ABC顶点和，顶点在椭圆上，则 ( ) A． B． C．2 D． 8．已知椭圆的右顶点为，左焦点为，若以为直径的圆过短轴的一个顶点，则椭圆的离心率为( ) A． B． C． D． 9.已知点是以为焦点的椭圆上一点，若，则椭圆的离心率( ) A． B． C． D． 10．（多选）已知椭圆的离心率为，焦点为，则（    ） A．的短轴长为4 B．上存在点，使得 C．上存在点，使得 D．与曲线重合 11.已知椭圆，焦点，，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，设该直线的倾斜角为θ，则 ，椭圆的离心率是 ． 12．已知椭圆C：的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则椭圆C的离心率为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $