专题2.2.1 双曲线及其标准方程（高效培优讲义）数学北师大版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学双曲线及其标准方程核心知识点，系统梳理从定义（含条件辨析）到标准方程（焦点位置判断、a,b,c关系）再到几何应用的学习脉络，搭配即学即练与题型训练，构建完整学习支架。 资料含思维导图辅助直观理解，通过定义条件辨析培养抽象能力（数学眼光），推导过程与变式训练发展推理能力（数学思维），标准方程及轨迹问题构建模型观念（数学语言）。课中助力教师系统授课，课后便于学生查漏补缺，高频考点题型强化应用能力。

专题2.2.1双曲线及其标准方程 教学目标 理解双曲线的定义，明确定义中的限制条件，掌握双曲线的焦点、焦距概念。 掌握双曲线两种形式的标准方程，能区分焦点在x轴、y轴上的标准方程。 理解a,b,c三者之间的关系，能进行a,b,c之间的换算。 会依据条件求双曲线标准方程，会判断焦点位置。 教学重难点 1.重点 双曲线的定义； 双曲线的标准方程； a,b,c的关系。 2.难点 双曲线定义中条件辨析，理解2a与两焦点距离大小关系对轨迹的影响； 双曲线标准方程的推导过程； 根据不同条件求双曲线标准方程，区分焦点所在坐标轴。 知识点 1：双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于且大于 0）的点的轨迹叫作双曲线。 两个定点叫作双曲线的焦点；两焦点间距离叫作焦距。 记常数为2a，。 条件辨析（高频易错） ：轨迹为双曲线； ：去掉交点的两条射线； ：无轨迹； 去掉绝对值：，只表示双曲线右支；，只表示双曲线左支。 【即学即练】 已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 知识点 2：双曲线的标准方程 焦点在轴上： 焦点坐标：。 焦点在轴上： 焦点坐标：。 a,b,c关系式：，双曲线中c最大，与椭圆区分。 判断焦点位置：看正项分母，哪个变量的平方项为正，焦点就在哪个坐标轴。 【即学即练】 方程的化简结果为（    ） A． B． C． D． 知识点 3：双曲线定义的几何应用 双曲线上任意一点P满足，常用于求距离； a：实半轴长；b：虚半轴长；c：半焦距。 【即学即练】 已知双曲线的右焦点为F，动点M在双曲线右支上，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 已知曲线C：，下列说法正确的是（   ） A．若，则C是焦点在y轴上的椭圆 B．若，则C是半径为的圆 C．若，则C是双曲线 D．若，则C是两条直线 题型 01双曲线定义辨析（概念题） 【典例1】已知两圆，，动圆与圆外切，且和圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】“曲线C：（）为双曲线”是“”的（     ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】下列双曲线的焦点必在y轴上的是（    ） A． B． C． D． 题型 02由标准方程识别双曲线基本量 【典例1】双曲线的一个焦点坐标为，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式1】已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则实数的值为（    ） A． B． C．3 D．6 【变式2】双曲线的焦距为________． 题型 03：利用定义求距离 【典例1】设点是曲线上一动点，定点，则的最小值为__________. 【变式1】已知点是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（     ） A．12 B．15 C．16 D．18 【变式2】 已知双曲线：的左焦点为F，P为C的右支上一动点，定点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．10 D．14 题型 04：求双曲线标准方程（高频） 【典例1】已知双曲线的焦点为和，虚半轴长为，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程. (1)中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点两点的椭圆； (2)与双曲线有公共焦点且经过点的双曲线； 【变式2】在平面直角坐标系中，已知点，，关于直线的对称点分别是，，. (1)求以，为焦点，且过点P的双曲线的标准方程； (2)求以，为焦点，且过点的椭圆的标准方程. 【变式3】根据下列条件，求对应曲线标准方程： (1)长轴长和短轴长分别为8和6，且焦点在x轴上的椭圆的标准方程. (2)经过两点，的双曲线的标准方程. 题型 05：定义 + 三角形综合 【典例1】已知椭圆与双曲线有公共的焦点，椭圆与双曲线的一个交点为，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】已知双曲线：的左、右焦点分别为为坐标原点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，且点到直线的距离为，则内切圆的半径为（    ）. A． B． C． D． 【变式2】 已知双曲线的左、右焦点分别为，，是右支上一点，，则_____． 【变式3】已知双曲线的左焦点为为双曲线右支上任意一点，点的坐标为（3,1），则的最大值为___________． 题型 06：相关轨迹问题 【典例1】已知平面上的动点与点，满足，则点的轨迹方程为_____. 【变式1】设为定点，动点满足，则动点的轨迹方程为____________. 【变式2】 已知动点与定点的距离与它到定直线的距离的比是常数， (1)求动点的轨迹； (2)过上述轨迹上一点作轨迹的切线与两直线分别交于、两点，证明：三角形的面积是定值． 【变式3】已知圆，点，在圆上任取一点，线段的垂直平分线交直线于点． (1)若，求点的轨迹方程； (2)若，求点的轨迹． 1．已知双曲线C：的左右焦点分别为，P为双曲线上一点且，则＝（   ） A．2 B．10 C．2或10 D．4或8 2．双曲线上一点到它的一个焦点的距离为5，那么点到另一个焦点的距离为（    ） A．1或9 B．9 C．2或6 D．6 3．已知AB是双曲线中过右焦点F的弦，且A、B均在双曲线的右支上，则以AB为直径的圆与右准线l的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．不确定 4．已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，点为右支上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．记点，，，，第三象限内一点P满足与的斜率之积为3，则周长的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 6．已知，为两个不相等非零实数，则方程，与所表示的曲线可能是（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线C：，则（   ） A． B．C的焦点在x轴上 C． D．C的焦点在y轴上 8．已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 9．已知双曲线的一个焦点坐标为，则的值为（   ） A．5 B．-5 C． D． 10．若双曲线的一个焦点坐标为，则m的值为（   ） A． B．5 C． D． 11．设，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则（   ）. A． B． C． D． 12．已知双曲线的左、右焦点分别为、，动点P为双曲线右支上任意一点，点，若周长的最小值为12，则（    ） A． B．3 C． D． 13．已知曲线是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的等轴双曲线，点在上，则的实轴长为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 14．已知，若，则点C的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 三、填空题 1．双曲线的左右焦点分别为，为双曲线上的一点，若，则__________. 2．已知有相同两焦点的椭圆和双曲线，是它们的一个交点，则的形状是__________. 3．已知F是双曲线的左焦点，P是C上的一点，是的中点，O为坐标原点，若，则_____. 4．双曲线的一个焦点为，则______． 5．已知双曲线的左、右焦点分别为，.若C上一点P满足，则______. 6．已知双曲线的焦点分别为，，则________. 1．双曲线的左、右焦点分别为．是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2，是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．已知是一个动点，过点分别作直线，的垂线，垂足分别为，.若的面积为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D．或 3．在平面直角坐标系中，已知定点、，平面内两个动点、满足，，且点在的平分线上，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，，动点和分别位于正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，已知点是一个动点，则（    ） A．若，则点的轨迹为椭圆. B．若，则点的轨迹为双曲线. C．若，则点的轨迹为圆. D．若，则点的轨迹为两条射线. 6．分别为椭圆和双曲线上的点，，则（   ） A． B． C． D． 7．若三点中恰有两点在曲线上，则（   ） A．若C是椭圆，则C的方程有2个 B．若C是双曲线，则C的方程有2个 C．若C是椭圆，则 D．若C是双曲线，则 8．当变化时，指出方程表示的曲线的形状（    ）． A．当时，表示轴 B．当时，方程表示以原点为圆心的单位圆 C．当或时，方程表示双曲线 D．当且时，方程表示椭圆 9．已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，则的面积为______. 10．已知双曲线与椭圆的焦点相同，且离心率之比为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，记点关于轴的对称点为，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标. 11．已知双曲线C：的焦点与椭圆的焦点重合，此双曲线的离心率为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)过点作直线与曲线C相交于P，Q两点，点N能否是线段PQ的中点？若能，求直线PQ的方程；若不能，请说明理由. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2.1双曲线及其标准方程 教学目标 理解双曲线的定义，明确定义中的限制条件，掌握双曲线的焦点、焦距概念。 掌握双曲线两种形式的标准方程，能区分焦点在x轴、y轴上的标准方程。 理解a,b,c三者之间的关系，能进行a,b,c之间的换算。 会依据条件求双曲线标准方程，会判断焦点位置。 教学重难点 1.重点 双曲线的定义； 双曲线的标准方程； a,b,c的关系。 2.难点 双曲线定义中条件辨析，理解2a与两焦点距离大小关系对轨迹的影响； 双曲线标准方程的推导过程； 根据不同条件求双曲线标准方程，区分焦点所在坐标轴。 知识点 1：双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于且大于 0）的点的轨迹叫作双曲线。 两个定点叫作双曲线的焦点；两焦点间距离叫作焦距。 记常数为2a，。 条件辨析（高频易错） ：轨迹为双曲线； ：去掉交点的两条射线； ：无轨迹； 去掉绝对值：，只表示双曲线右支；，只表示双曲线左支。 【即学即练】 已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 【答案】A 【分析】根据圆锥曲线的定义判断即可. 【详解】由题意可知， 因为， 所以点的轨迹是双曲线的一支. 知识点 2：双曲线的标准方程 焦点在轴上： 焦点坐标：。 焦点在轴上： 焦点坐标：。 a,b,c关系式：，双曲线中c最大，与椭圆区分。 判断焦点位置：看正项分母，哪个变量的平方项为正，焦点就在哪个坐标轴。 【即学即练】 方程的化简结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，将条件中的等式转化为，即动点的轨迹为双曲线，然后得到双曲线的，求出，即可写出双曲线方程. 【详解】设，，点， 则，， ∴， 由双曲线的定义可知，动点的轨迹为双曲线，焦点为，， ∴，，，则， ∴动点的轨迹为双曲线方程为：. 故选：B. 知识点 3：双曲线定义的几何应用 双曲线上任意一点P满足，常用于求距离； a：实半轴长；b：虚半轴长；c：半焦距。 【即学即练】 已知双曲线的右焦点为F，动点M在双曲线右支上，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线定义得，再利用三角形两边差小于第三边，当三点共线时取等号即可求解. 【详解】由双曲线得，，所以. 则右焦点，设左焦点为. 点M在双曲线右支上，所以，即. 所以. 因为，当且仅当三点共线时，且在延长线与双曲线右支交点时取等号. 又， 所以的最大值为. 已知曲线C：，下列说法正确的是（   ） A．若，则C是焦点在y轴上的椭圆 B．若，则C是半径为的圆 C．若，则C是双曲线 D．若，则C是两条直线 【答案】C 【分析】根据圆、椭圆、双曲线的定义及标准方程判断即可. 【详解】选项A：由可得，. 因为，所以，所以椭圆焦点在轴上，A错误. 选项B：若，则方程可化为，则圆的半径为，B错误. 选项C：若，则和异号，符合双曲线的标准形式，C正确. 选项D：若，方程可化为，当时，，表示两条平行于轴的直线；当时，此时无实数解；故D错误. 故选：C. 题型 01双曲线定义辨析（概念题） 【典例1】已知两圆，，动圆与圆外切，且和圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过动圆与圆外切，且和圆内切列出关于圆心距的式子，通过变形可得双曲线的方程. 【详解】如图， 设动圆的半径为，则，， 则， 所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，以为实轴长的双曲线的右支. 因为， 所以. 故动圆圆心的轨迹方程为. 故选：C. 【变式1】“曲线C：（）为双曲线”是“”的（     ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】曲线C：（）为双曲线，则，解得或， m可能取的值，无法推出一定成立，故充分性不成立； 若成立，则，，方程表示焦点在x轴上的双曲线， 可推出“曲线C为双曲线”成立，故必要性成立， 综上，“曲线C：（）为双曲线”是“”的必要不充分条件. 【变式2】若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线标准方程的成立条件列不等式，求解得到实数的取值范围. 【详解】已知方程表示双曲线，则， 解得或. 因此实数的取值范围是. 【变式3】下列双曲线的焦点必在y轴上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据焦点在y轴上的双曲线标准方程的特点逐一判断即可. 【详解】A：当时，该双曲线的焦点在y轴上， 当时，该双曲线的焦点在x轴上，所以本选项不符合题意； B：当该选项方程表示双曲线时，则有，或， 由， 由， 综上所述：该选项方程表示双曲线时，则有， 此时有，所以该选项表示的双曲线的焦点必在x轴上，不符合题意； C：因为该选项方程表示双曲线，所以， 因为， 所以该选项方程表示双曲线的焦点必在x轴上，不符合题意； D：当该选项方程表示双曲线时，则有，或， 由， 由， 综上所述：该选项方程表示双曲线时，则有， 此时有，所以该选项表示的双曲线的焦点必在y轴上，符合题意. 题型 02由标准方程识别双曲线基本量 【典例1】双曲线的一个焦点坐标为，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】先化为标准方程，再结合关系求解即可. 【详解】将双曲线化为标准方程得： 所以双曲线的焦点在轴上，且， 因为双曲线的一个焦点坐标为， 所以，即，解得 故选：C 【变式1】已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则实数的值为（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】A 【详解】由题意知，椭圆的标准方程为，可得椭圆的焦点在轴上，且， 所以. 因为双曲线与椭圆有相同的焦点，所以双曲线的焦点在轴上， 所以双曲线方程可化为，且， 所以，解得. 【变式2】双曲线的焦距为________． 【答案】 【详解】由题可得， ，则， 故，因此焦距为.   题型 03：利用定义求距离 【典例1】设点是曲线上一动点，定点，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】通过双曲线的定义得，再利用数形结合即可求解． 【详解】设双曲线的右焦点为， ，如图所示： 由双曲线的定义得，所以， 所以，当且仅当P为线段与双曲线的右支时取等号． 故的最小值为. 故答案为： 【变式1】已知点是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（     ） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【分析】根据双曲线的性质得到焦点的坐标和双曲线上的点到两个焦点的距离之差，结合三角形边的性质从而求解. 【详解】 在双曲线中，，，， 所以双曲线的焦点，，， 因为，， 所以. 【变式2】 已知双曲线：的左焦点为F，P为C的右支上一动点，定点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设双曲线右焦点为，利用双曲线的定义，将的最大值问题转化为的最小值问题，从而借助平面中三角形两边之差小于第三边的几何性质求解即可． 【详解】设双曲线的右焦点为，则，， 而（渐近线斜率）， 故直线与双曲线的右支交于两个不同的点， 而，仅当共线且A在之间时等号成立， 所以， 当共线且A在之间时等号成立． 所以的最大值为， 故选：C 【变式3】已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．10 D．14 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义，将与进行转化，再结合三角形三边关系求出的最小值． 【详解】对于双曲线，根据双曲线的标准方程（），可得，．则． 设双曲线的右焦点为，由双曲线的定义可知，点在双曲线的右支上，则，即； 同理，点在双曲线的右支上，则，即． 所以． 根据三角形三边关系，，当且仅当，，三点共线时，等号成立． 又，则，即． 所以的最小值为10． 故选：C． 题型 04：求双曲线标准方程（高频） 【典例1】已知双曲线的焦点为和，虚半轴长为，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的标准方程和几何性质求解即得. 【详解】因为双曲线的焦点为和，虚半轴长为， 所以设双曲线方程为：，其中， 因为，所以， 所以双曲线方程为：. 【变式1】求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程. (1)中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点两点的椭圆； (2)与双曲线有公共焦点且经过点的双曲线； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，，从而可求出椭圆的标准方程； （2）由题意设双曲线的方程为，则，再将的坐标代入方程，进而即得. 【详解】（1）因为椭圆中心在原点，对称轴为坐标轴，经过点， 所以分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在轴上， 可设方程为， 所以，， 所以椭圆的标准方程为； （2）因为双曲线的焦点为， 可设双曲线的方程为，且， 将点代入曲线方程可得， 解得， 所以双曲线的标准方程为. 【变式2】在平面直角坐标系中，已知点，，关于直线的对称点分别是，，. (1)求以，为焦点，且过点P的双曲线的标准方程； (2)求以，为焦点，且过点的椭圆的标准方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据已知条件可知半焦距及焦点的位置，设出双曲线的方程，由点在双曲线上及的关系可列方程组，从而得解； （2）先求出，，的坐标，从而可知半焦距及焦点的位置，设出椭圆的方程，由点在椭圆上及的关系可列方程组，从而得解. 【详解】（1）因为双曲线的焦点分别为，， 所以焦点在轴上，且半焦距， 可设双曲线的标准方程为， 又双曲线过点，所以，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）因为关于直线对称的点的坐标关系是横纵坐标互换， 所以，，关于直线的对称点分别是，，. 因为椭圆的焦点分别为，， 所以焦点在轴上，且半焦距， 可设椭圆的标准方程为， 又椭圆过点，所以，解得， 所以椭圆的标准方程为. 【变式3】根据下列条件，求对应曲线标准方程： (1)长轴长和短轴长分别为8和6，且焦点在x轴上的椭圆的标准方程. (2)经过两点，的双曲线的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出，再结合焦点在轴上即可求出答案； （2）设双曲线的方程为，利用待定系数法即可求出答案. 【详解】（1）依题意可得，所以， 又焦点在x轴上，所以椭圆方程为. （2）设双曲线方程为 依题意得， 解得，， 所以所求双曲线的标准方程为. 题型 05：定义 + 三角形综合 【典例1】已知椭圆与双曲线有公共的焦点，椭圆与双曲线的一个交点为，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据题意，利用椭圆和双曲线的几何性质，求得，得到，再由椭圆和双曲线的定义，联立方程组求得，结合勾股定理，得到为直角三角形，利用三角形的面积公式，即可求解. 【详解】由题意知，椭圆和双曲线的焦点都在轴上， 则椭圆，可得，则 双曲线，可得，则， 因为椭圆和双曲线有公共的焦点，可得，解得， 所以椭圆且双曲线，则，可得， 不妨设，椭圆与双曲线的一个交点为位于第一象限， 由椭圆的定义，可得， 又由双曲线的定义，可得， 联立方程组，解得， 则满足，可得，所以为直角三角形， 所以的面积为. 【变式1】已知双曲线：的左、右焦点分别为为坐标原点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，且点到直线的距离为，则内切圆的半径为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义和等积法可求内切圆的半径. 【详解】如图所示，过点作，垂足为，过点作 ，垂足为. 依题意可得，且, 因为为线段的中点，故， 设，则，故，故， 由双曲线定义可得， 故的周长为， 故，故. 【变式2】 已知双曲线的左、右焦点分别为，，是右支上一点，，则_____． 【答案】5 【分析】根据双曲线的定义及勾股定理即可求解． 【详解】由题知，， 在中，， 由得，， 所以． 【变式3】已知双曲线的左焦点为为双曲线右支上任意一点，点的坐标为（3,1），则的最大值为___________． 【答案】 【详解】由题意可知双曲线的实半轴长，设右焦点为， 所以， ， 当且仅当、、三点共线且在点和点之间时取等号. 的最大值为 题型 06：相关轨迹问题 【典例1】已知平面上的动点与点，满足，则点的轨迹方程为_____. 【答案】 【分析】根据题意，求得，得到，进而得到点的轨迹方程. 【详解】由点，，可得， 因为，即，可得点三点共线， 且点的轨迹方程为. 故答案为： 【变式1】设为定点，动点满足，则动点的轨迹方程为____________. 【答案】 【分析】由已知条件知，点的运动轨迹是以为焦点的双曲线，从而可求得轨迹的方程. 【详解】， 动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支， 且，.， 双曲线的方程为. 故答案为：. 【变式2】 已知动点与定点的距离与它到定直线的距离的比是常数， (1)求动点的轨迹； (2)过上述轨迹上一点作轨迹的切线与两直线分别交于、两点，证明：三角形的面积是定值． 【答案】(1) (2) 设点M坐标为，设曲线在点M处的切线方程为， 与双曲线方程联立，消去，可得， 整理得， 所以且， 解得，代入，得， 所以切线方程为， 与联立得，与联立得， 故. 【分析】（1）由题意得，化简即可； （2）设点M坐标为，设曲线在点M处的切线方程为，与双曲线方程联立求得切线方程，分别与直线和联立可求得的横坐标，计算可求解. 【详解】（1）根据题意得，则可得， 将上式两边平方，得， 整理得，所以， 所以 （2）略 【变式3】已知圆，点，在圆上任取一点，线段的垂直平分线交直线于点． (1)若，求点的轨迹方程； (2)若，求点的轨迹． 【答案】(1) (2)点的轨迹是以，为焦点，实轴长为4的双曲线 【分析】(1)利用椭圆的定义求解出椭圆的方程即可.(2)结合双曲线的几何特征分为钝角(平角)或锐角(零角)的情况讨论得到点均落在双曲线上，从而得到结论. 【详解】（1）当时，点在圆内，由于点在线段的垂直平分线上，则，可得，由椭圆的定义可知，点在以，为焦点的椭圆上，且，，点的轨迹方程为．    （2）当时，点在圆外． 若为钝角或平角，连接，则，所以点在以，为焦点的双曲线的右支上． 若为锐角或零角，连接，则，所以点在以，为焦点的双曲线的左支上． 综上，点的轨迹是以，为焦点，实轴长为4的双曲线．    1．已知双曲线C：的左右焦点分别为，P为双曲线上一点且，则＝（   ） A．2 B．10 C．2或10 D．4或8 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线C：， 可知，即， 所以由双曲线定义可知， 解得或， 故选：C 2．双曲线上一点到它的一个焦点的距离为5，那么点到另一个焦点的距离为（    ） A．1或9 B．9 C．2或6 D．6 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义和性质可求答案. 【详解】由方程可得， 由定义可得，因为，所以或， 双曲线上的点到同侧焦点的最小距离为， 所以. 故选：B 3．已知AB是双曲线中过右焦点F的弦，且A、B均在双曲线的右支上，则以AB为直径的圆与右准线l的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．不确定 【答案】C 【详解】如图，设A，B到右准线的距离分别是. 由双曲线定义知： . 设弦AB中点为M，它到准线l的距离为MN，则， 从而有. . . 因此以为直径的圆与右准线的位置关系是相交. 4．已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，点为右支上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用双曲线的定义及三角形的性质，即可求解. 【详解】由双曲线，得，，即， 则， 当且仅当三点共线时，即时取等号，所以的最大值为. 5．记点，，，，第三象限内一点P满足与的斜率之积为3，则周长的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据直线斜率之积确定点的轨迹方程，然后结合双曲线的定义计算即可. 【详解】设，由条件得，得， 可知其轨迹为双曲线第三象限的一部分，易知B为该双曲线的右焦点，左焦点为， 由定义与位置知，于是， 当且仅当F，P，D三点共线时等号成立，于是的周长． 6．已知，为两个不相等非零实数，则方程，与所表示的曲线可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把方程化成标准形式，根据选项中图形，结合椭圆、双曲线图形特征判断即可. 【详解】方程变形为， A选项，双曲线交点在轴上，，此时应该经过第一，二，四象限，A不可能； B选项，椭圆焦点在轴上，，此时经过第一，二，三象限，B不可能； C选项，双曲线交点在轴上，，此时应该经过第一，三，四象限，C可能； D选项，椭圆焦点在轴上，故，此时经过第一，二，三象限，D不可能. 7．已知双曲线C：，则（   ） A． B．C的焦点在x轴上 C． D．C的焦点在y轴上 【答案】D 【分析】根据双曲线方程的代数特征求得的取值范围，进而判断出正确答案. 【详解】由方程表示双曲线，可得二次项分母异号， 即， 解得. 因此，，，将方程化为双曲线标准形式， 可得双曲线的焦点在轴上. 对于选项A：与矛盾，故A错误. 对于选项B：双曲线焦点在轴上，故B错误. 对于选项C：的完整取值范围为，仅为其子集，故C错误. 对于选项D：由上述推导，双曲线的焦点在轴上，故D正确. 8．已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】由题意得：，解得或. 9．已知双曲线的一个焦点坐标为，则的值为（   ） A．5 B．-5 C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的标准方程及参数关系计算即可. 【详解】由题意知，双曲线焦点在轴上，且，因此原方程中，即，， 根据得，，所以. 故选：B. 10．若双曲线的一个焦点坐标为，则m的值为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【详解】双曲线的一个焦点坐标为，则，解得. 11．设，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的标准方程进行判断. 【详解】当表示双曲线时，， 当时，可将方程转化为，方程表示焦点在轴上的双曲线， 当时，可将方程转化为，方程表示焦点在轴上的双曲线， 故， 故选：. 12．已知双曲线的左、右焦点分别为、，动点P为双曲线右支上任意一点，点，若周长的最小值为12，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的性质得到三角形周长取到最小值时的动点的情况，再结合勾股定理和双曲线中之间的关系，从而得到的值. 【详解】 的周长为， 当且仅当三点共线时取等号， 因为，所以 ， 在中，，即，解得， 所以. 13．已知曲线是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的等轴双曲线，点在上，则的实轴长为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】D 【分析】通过设等轴双曲线的通用方程，代入已知点求出参数，转化为标准方程后计算实轴长. 【详解】由等轴双曲线的性质，设曲线的方程为， 将点代入方程，得， 可得， 因此，双曲线的标准方程为， 可得，即， 因此，实轴长. 14．已知，若，则点C的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由及双曲线的定义可知点C的轨迹是双曲线的左支， 设其标准方程为， 所以，解得， 所以点C的轨迹方程为． 三、填空题 1．双曲线的左右焦点分别为，为双曲线上的一点，若，则__________. 【答案】9 【分析】由焦半径取值范围确定P点位置，从而由双曲线定义即可求解. 【详解】由双曲线，可知：， 所以当在左支上时，当在右支上时， 因为，所以在左支上，所以. 故答案为：9. 2．已知有相同两焦点的椭圆和双曲线，是它们的一个交点，则的形状是__________. 【答案】直角三角形 【分析】分别利用椭圆和双曲线的定义求出，的表达式，再由焦点相同，结合勾股定理计算即可得答案. 【详解】椭圆与双曲线的焦点都在轴上，不妨设在第一象限，， 由椭圆与双曲线的定义，得，解得， 因此，由椭圆、双曲线有相同焦点，得，， 即，则，即，， 所以是直角三角形. 故答案为：直角三角形 3．已知F是双曲线的左焦点，P是C上的一点，是的中点，O为坐标原点，若，则_____. 【答案】 【详解】，， ，， 设是C的右焦点，则， 因为是的中点，O为的中点，且， 所以由中位线性质得， 如图，当P在C的左支上时， ，，不符合题意. 如图，当P在C的右支上时， ，， 此时符合题意，故. 4．双曲线的一个焦点为，则______． 【答案】 【详解】已知双曲线的一个焦点为，可知，， 所以，解得， 因为，所以. 5．已知双曲线的左、右焦点分别为，.若C上一点P满足，则______. 【答案】7 【分析】根据方程可得，结合双曲线的定义运算求解. 【详解】由题意可知：，，则， 由双曲线定义可得，即， 解得或（舍去）， 且，符合题意， 所以. 6．已知双曲线的焦点分别为，，则________. 【答案】 【分析】根据题意，由双曲线的焦点坐标可得的值，进而根据双曲线的几何性质可得，解方程即可. 【详解】由题知，双曲线的焦点分别为，， 所以双曲线焦点在轴上，，且， 所以，解得. 故答案为： 1．双曲线的左、右焦点分别为．是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2，是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，，结合题设得、，再由正弦边角关系得，最后根据双曲线的定义、参数关系求曲线方程. 【详解】如图， 点必落在第四象限，， 设，，， 由，则， 因为，所以，则， 所以，则， 由正弦定理可得， 由，得，， 由，得， 所以，，，， 由双曲线的定义可得，，， 所以双曲线的方程为. 2．已知是一个动点，过点分别作直线，的垂线，垂足分别为，.若的面积为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】设动点坐标，利用点到直线距离公式表示垂线段长度，结合两直线夹角与三角形面积公式建立方程，化简后得到轨迹方程. 【详解】不妨设， 设动点，直线与的一般式为、， 由点到直线的距离公式，得，. 直线与的夹角为，由， 得与两直线夹角互补，故. 由， 即， 化简得，即. 当时，整理为； 当时，整理为. 因此动点的轨迹方程为或. 3．在平面直角坐标系中，已知定点、，平面内两个动点、满足，，且点在的平分线上，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对点的位置进行分类讨论，当点在轴右侧时，延长交于点，分析可知，且为的中点，再利用双曲线的定义可得结果. 【详解】易知点不在轴上，由知动点在单位圆上， 设点在轴右侧，如图，延长交于点． 因为点在的平分线上，且， 所以为等腰三角形，则，且为的中点，所以， 因此． 同理，当点在轴左侧时，． 故点在以、为焦点的双曲线上， 则该双曲线实轴长为，焦距，虚轴长为， 所以双曲线方程为． 4．在平面直角坐标系中，，动点和分别位于正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过设出交点的坐标，利用、、、的坐标关系以及已知条件来建立等式，从而求出的轨迹方程. 【详解】设，，. 因为，所以. 已知，， 根据直线的截距式方程（为轴上的截距，为轴上的截距）， 可得直线的方程：. 已知，，则直线的方程为. 因为是和的交点，所以的坐标满足和的方程. 对于直线的方程，可得. 对于直线的方程，可得. 所以，或， 又因为，所以，即. 故选：D. 5．在平面直角坐标系中，已知点是一个动点，则（    ） A．若，则点的轨迹为椭圆. B．若，则点的轨迹为双曲线. C．若，则点的轨迹为圆. D．若，则点的轨迹为两条射线. 【答案】ACD 【分析】利用椭圆、双曲线、圆的定义，逐项判断即可． 【详解】对于A，，则点的轨迹为以为焦点的椭圆，A正确； 对于B，，则点的轨迹是以为焦点双曲线的右支，B错误； 对于C，由，得，则点的轨迹是以为直径的圆，C正确； 对于D，，则点的轨迹是以为端点，且不过的两条射线，D正确． 故选：ACD 6．分别为椭圆和双曲线上的点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用椭圆的定义将椭圆上动点到同侧焦点的距离转化为到异侧焦点的距离，结合三角形两边之差小于第三边的性质构造不等关系；同时利用双曲线定义区分左右支，将双曲线上动点到焦点的距离进行转化，并运用三角形两边之和大于第三边的性质推导出最值. 【详解】由椭圆可得：，，左右焦点为、， 由椭圆的定义：对椭圆上任意点，，得， 因此：， 由三角形不等式：， 又，则， 故，故A错误，B正确； 由双曲线可得：，，焦点同样为、， 由双曲线的定义：若在右支：，得， 因此：， 由三角形不等式：，得， 若在左支：，得， 因此， 综上，总有，故C正确，D错误. 7．若三点中恰有两点在曲线上，则（   ） A．若C是椭圆，则C的方程有2个 B．若C是双曲线，则C的方程有2个 C．若C是椭圆，则 D．若C是双曲线，则 【答案】AC 【详解】将三点代入曲线中分别得，，，， 若在曲线上，不在曲线上，则，，， 此时为椭圆； 若在曲线上，不在曲线上，则，，，得， 此时为双曲线； 若在曲线上，不在曲线上，则，，，得， 此时为椭圆； 故AC正确，BD错误. 8．当变化时，指出方程表示的曲线的形状（    ）． A．当时，表示轴 B．当时，方程表示以原点为圆心的单位圆 C．当或时，方程表示双曲线 D．当且时，方程表示椭圆 【答案】BCD 【分析】根据圆，椭圆，双曲线的方程特征，依次分析各选项即可得答案. 【详解】对于A，当时，方程为，即，表示轴，故错误； 对于B，当时，方程为，表示以原点为圆心的单位圆，故正确； 对于C，当时，，故方程为，表示双曲线； 当时，，故方程为，表示双曲线，故正确； 对于D，当且时，方程为， 当时，，方程表示焦点在轴上的椭圆； 当时，，方程表示焦点在轴上的椭圆，故正确. 9．已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，则的面积为______. 【答案】48 【分析】根据所给条件结合双曲线的定义求出.方法一：过点作的垂线交于，求出的高，即可求出三角形的面积；方法二：在中运用余弦定理求得，求得，进而求出三角形的面积；方法三：根据海伦公式求三角形的面积. 【详解】由可得，，， ， ， 方法一：过点作的垂线交于，则， ， 所以的面积为. 方法二：在中，. 因为，所以， 所以. 方法三:根据海伦公式，，其中是三角形的三边长，得 . 10．已知双曲线与椭圆的焦点相同，且离心率之比为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，记点关于轴的对称点为，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)证明：设，则， 联立 消去整理得，所以， 所以， 又直线的斜率，所以直线的方程为， 由对称性易知，若直线过定点，则该定点在轴上， 令，得， 所以直线过定点，且该定点的坐标为. 【分析】（1）根据双曲线和椭圆的焦点相同以及离心率之比为3这两个条件列方程求出的值即可确定双曲线的方程. （2）联立直线和双曲线方程组，结合韦达定理求出直线的方程，进而确定定点坐标. 【详解】（1）由题知，，化简得. 解得， 所以双曲线的方程为. （2）略 11．已知双曲线C：的焦点与椭圆的焦点重合，此双曲线的离心率为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)过点作直线与曲线C相交于P，Q两点，点N能否是线段PQ的中点？若能，求直线PQ的方程；若不能，请说明理由. 【答案】(1)； (2)不能是，理由见解析. 【分析】（1）椭圆标准方程求出椭圆的交点，且双曲线与椭圆焦点重合，得到双曲线的半焦距；根据双曲线的离心率，求得，，进而得到双曲线的标准方程； （2）假设是线段的中点，利用点差法、中点坐标公式，求出直线的斜率，得到直线的方程；再将直线方程与双曲线方程联立，判断是否有两个不同的交点，以此验证假设是否成立. 【详解】（1）由椭圆得，即. 双曲线C：的焦点与椭圆的焦点重合，. 双曲线的离心率为，，解得； 由，即，解得. 双曲线C的标准方程为，即. （2）点不能是线段的中点，理由如下： 设，. 假设是的中点，则，； ，是双曲线上的点，则，两式相减得，即. 设直线的斜率为，则. 直线的方程为，即. 联立，得. ，方程无解，即直线与双曲线无交点. 假设不成立，即点不能是线段的中点. 2 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $