专题1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系（高效培优讲义）数学北师大版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学中直线的倾斜角、斜率及其关系核心知识点，从倾斜角定义（含取值范围与分类）切入，衔接斜率定义及无斜率情况，再到两点斜率公式，进而梳理倾斜角与斜率的变化规律，延伸至三点共线判定、已知倾斜角求斜率及范围等，构建递进式学习支架。 该资料亮点在于知识点分层设计，配合即学即练与题型变式，结合思维导图整合知识。通过分类讨论（如无斜率情况）培养数学思维，即学即练助学生用数学眼光观察问题，题型覆盖课中教学与课后查漏补缺，提升应用意识与推理能力。

专题1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系 教学目标 1理解直线倾斜角的定义，牢记倾斜角取值范围，能识别水平、竖直、上升、下降直线的倾斜角； 2.掌握斜率定义，明确时直线无斜率； 3.熟练使用两点斜率公式，能根据两点坐标计算斜率，判断直线是否竖直； 4.理清倾斜角大小与斜率正负、增减变化的对应规律； 5.会利用斜率判定三点共线，解决含参数共线问题； 6.已知倾斜角求斜率、已知斜率范围反求倾斜角范围； 7.结合垂直直线斜率关系，掌握直线旋转后的斜率计算。 教学重难点 重点 1.倾斜角定义与取值范围； 2.两点斜率计算公式； 3.倾斜角与斜率的对应变化规律。 难点 1.倾斜角无斜率的分类讨论； 2.斜率正负分段对应倾斜角（锐角 / 钝角）； 3.由斜率取值范围反向求解倾斜角范围。 知识点 01 直线倾斜角的定义 定义：直线向上方向与x轴正半轴形成的最小正角，记作 特殊规定：直线与x轴平行（水平直线），倾斜角； 取值范围：； 分类： 水平直线：； 上升直线：； 竖直直线：； 下降直线：（钝角）。 【即学即练】 直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【详解】由题意，直线为垂直于轴的直线， 根据直线倾斜角的定义，可判断其倾斜角为. 知识点 02 斜率的定义 当时，直线斜率； 当时，无意义，直线不存在斜率； 斜率符号与倾斜角关系： ，直线递增； ，无斜率； ，直线递减。 知识点 03 两点斜率公式 设直线过两点，： 若，斜率； 若，两点横坐标相等，直线竖直，无斜率； 公式特点：分子、分母顺序同步调换，斜率不变，即。 【即学即练】 在平面直角坐标系中，过，两点的直线的斜率为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】. 知识点 04 倾斜角变化与斜率增减规律 增大，k从0单调递增至； 增大，k从单调递增至0； |k|越大，直线图像越陡峭。 【即学即练】 过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】利用斜率与倾斜角的关系可求解. 【详解】当时，直线的斜率不存在，此时； 当时，直线的斜率，即，解得； 当时，直线的斜率，即，解得； 综上可得实数的取值范围是. 知识点 05 三点共线的斜率判定 三点A,B,C共线的充要条件： 若三条连线斜率均存在：； 若直线竖直无斜率：A、B、C三点横坐标全部相等。 【即学即练】 下列三点在同一直线上的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】对于ABD：利用斜率来判断三点是否共线；对于C：根据三点结合直线分析判断. 【详解】对于选项A：因为，且， 所以三点不在同一直线上，故A错误； 对于选项B：因为，且， 所以三点不在同一直线上，故B错误； 对于选项C：显然三点在同一直线上，故C正确； 对于选项D：因为，且， 所以三点不在同一直线上，故D错误； 故选：C. 知识点 06 由斜率求倾斜角 k>0：倾斜角（锐角）； k<0：倾斜角（钝角）； k=0：。 【即学即练】 直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的方程可得其斜率，利用倾斜角与斜率间的关系即可求解. 【详解】依题意，设直线的倾斜角为，由直线可得直线的斜率为； 又，所以，即直线的倾斜角为； 故选：C. 题型 01 已知倾斜角（特殊角）直接求斜率 【典例1】 已知直线的倾斜角为，则该直线的斜率为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】由斜率与倾斜角的关系式可得答案. 【详解】由斜率计算公式得： 直线的斜率 . 故选：A 【变式1】 已知直线的倾斜角为，则该直线的斜率为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】由斜率与倾斜角的关系式可得答案. 【详解】由斜率计算公式得： 直线的斜率 . 故选：A 【变式2】 若直线的倾斜角等于，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线的斜率与倾斜角的关系可得出的等式，解之即可. 【详解】由题意可知，直线的斜率为，故. 故选：A. 题型 02 给出两点坐标，计算直线斜率 【典例1】 已知直线经过， 两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算直线AB的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系，结合倾斜角的取值范围求出倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，其中 . 根据过两点的直线斜率公式，得 ， 由 ，结合 ，可得. 【变式1】 若直线经过两点，，则此直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求直线斜率，再利用斜率和倾斜角的关系求出. 【详解】因为直线经过两点，，、则直线斜率， 设直线的倾斜角为，即， 因为，所以. 故选：B. 【变式2】 已知直线经过两点，则直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求倾斜角. 【详解】由题意可知直线的斜率，设直线的倾斜角为，则， 又，所以. 故选：A 【变式3】 若经过两点，的直线的倾斜角为锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由斜率计算公式，列出不等式求解即可. 【详解】因为直线的倾斜角为锐角， 所以斜率，所以. 即的取值范围是. 题型 03 根据斜率正负，判断倾斜角类型 【典例1】 直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的方程可得其斜率，利用倾斜角与斜率间的关系即可求解. 【详解】依题意，设直线的倾斜角为，由直线可得直线的斜率为； 又，所以，即直线的倾斜角为； 故选：C. 【变式1】 下列直线中，倾斜角最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线方程求解直线的斜率，结合斜率与倾斜角之间的关系判断即可； 【详解】对于A，由，可知斜率，则倾斜角为钝角； 对于B，由，可知斜率，则倾斜角为锐角； 对于C，由，可知倾斜角； 对于D，由，可知倾斜角．所以倾斜角最大的直线为． 故选：A． 题型 04 已知倾斜角范围，求斜率取值范围（难点） 【典例1】 若直线的斜率为，倾斜角为，而，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】由直线倾斜角的范围再结合正切函数的单调性即可求出的取值范围. 【详解】当时，，所以； 当时，，即； 所以的取值范围是. 【变式1】 已知点，直线的倾斜角，那么的取值范围是__________． 【答案】 【分析】先根据倾斜角的取值范围确定直线斜率的取值范围，再利用表示斜率，解不等式即可． 【详解】因为直线的倾斜角，可得直线的斜率， 又因为，可得直线的斜率，解得， 即的范围为， 故答案为：． 【变式2】 已知点，若过点的直线与线段相交，则直线斜率的取值范围是_________ ． 【答案】 【详解】点，点，可得，， 如下图示，所以. 题型 05 三点共线，利用斜率求参数 【典例1】 已知，，三点共线，则________. 【答案】 【分析】利用三点共线有，结合斜率的两点式列方程求参数值. 【详解】由题意，则，即. 故答案为： 题型 06 已知直线斜率，求垂线的斜率 【典例1】 经过点和的直线与斜率为的直线互相垂直，则的值是______. 【答案】2 【分析】依题意得，直线的斜率为，由两点间的斜率公式即可求解． 【详解】直线与斜率为的直线互相垂直，则直线的斜率为， 则，得. 故答案为：2 【变式1】 已知点，直线与轴相交于点，则中，边上的高所在直线的方程是______. 【答案】 【分析】利用斜率公式结合给定条件求出目标直线的斜率和定点，写出方程即可. 【详解】直线与轴交点的斜率， 所以边上的高的斜率， 所以所在直线方程为. 故答案为： 【变式2】 已知的三个顶点是，，，则边上的高所在直线的方程为________. 【答案】 【分析】根据与直线垂直可求得斜率，又过点，根据直线的点斜式方程即可求解. 【详解】因为，，所以, 则边上的高所在直线的斜率为， 又该直线过点， 所以所求直线方程为， 即， 故答案为：. 题型 07 多条直线图像比较陡峭程度 【典例1】 图中的直线，，的斜率分别是，，，则有（   ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线，，的倾斜角分别为，，．可得，利用正切函数的单调性即可得出斜率大小关系． 【详解】设直线，，的倾斜角分别为，，． 则，所以 可得．即． 故选：． 【变式1】 如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据直线斜率与倾斜角定义，依图象分别判断各选项即可. 【详解】根据直线斜率与倾斜角定义，关系分别判断各选项. 由图像可知， 则， 故选：AD 【变式2】 如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据斜率和倾斜角的关系确定正确答案. 【详解】由图象可知， 所以，， 函数在上单调递增，所以， 综上所述，. 故选：AD 【变式3】 已知直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】由斜率与倾斜角的关系逐项判断即可得. 【详解】对A：若，则，因，故，故A正确； 对B：当时，有，故B错误； 对C：若，则，因，故，故C正确； 对D：若，，则，故D正确. 故选：ACD. 【变式4】 如图，若直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据直线斜率与倾斜角定义，关系分别判断各选项． 【详解】由图像可知， 则， 故选：AD． 题型 08 直线的方向向量问题 【典例1】 已知经过两点的直线的方向向量为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】应用两点得出直线斜率，再根据方向向量得出斜率，最后列式求参数. 【详解】经过两点的直线斜率为， 又因为直线的方向向量为，则直线斜率为， 所以，即. 故选：C. 【变式1】 若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的斜率，利用直线斜率与倾斜角的关系可得出结果. 【详解】因为直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，， 所以， 故该直线的倾斜角为. 故选：C. 【变式2】 若倾斜角为的直线的方向向量为，则（   ） A． B． C．-5 D．5 【答案】A 【分析】由方向向量求倾斜角正切值，再用两角和公式计算即可. 【详解】因为倾斜角为的直线的方向向量为， 所以 所以. 故选：A. 【变式3】 已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为（   ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【分析】根据直线方向向量和直线斜率之间的关系，求出结果即可. 【详解】当直线的一个方向向量为，则直线的斜率. 故选：B. 题型 09 斜率几何意义综合动点问题 【典例1】 已知、，点在线段上，则的取值范围为________. 【答案】 【分析】根据直线与倾斜角的关系，再结合数形结合可得. 【详解】由直线的斜率公式可得：；.    将看成线段上一点与定点连线的斜率， 结合图形，要使直线经过点，且与线段有交点， 的斜率需满足或. 故答案为： 【变式1】 已知点，，经过点作直线，若直线与线段没有公共点，则直线的斜率的取值范围是__________. 【答案】 【分析】数形结合并根据斜率计算公式即可得到答案． 【详解】作出示意图如图所示： 由题意知直线的斜率分别为，． 因为直线与线段没有公共点，所以或， 所以直线的斜率的取值范围是. 故答案为：． 【变式2】 已知点，，过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围为______. 【答案】 【分析】画出图形，算出的斜率，结合题意以及斜率的几何意义即可求解. 【详解】解：如图所示： 由点，，， 可得直线的斜率为，直线的斜率为， 由直线与线段相交，可得的范围是； 故答案为：. 1．已知直线的方程为，则该直线的斜率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】由题知，所以直线的斜率为． 2．已知直线的斜率为，则其倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线的斜率与倾斜角的关系计算即可得. 【详解】设直线的倾斜角为，则，故. 3．若直线的倾斜角为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】由题意可知，直线的斜率为，所以. 故选：D. 4．已知直线的倾斜角比直线的倾斜角大，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线方程求出直线斜率为，由此确定直线倾斜角，结合已知条件求得直线倾斜角为，由此即可求得直线的斜率. 【详解】由得的倾斜角为， 所以的倾斜角为，即的斜率为. 故选：A 5．若一条直线的斜率等于，则该直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据斜率和倾斜角的关系得到方程，求出答案. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 又，故. 故选：C 6．已知直线，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线方程可得斜率，进而可得倾斜角. 【详解】因为直线的斜率， 设直线的倾斜角为，， 则，所以. 故选：D. 7．经过两点，的直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式求出直线的斜率即可. 【详解】直线过点，，则直线的斜率， 所以直线的倾斜角是. 故选：A 8．下列直线中，倾斜角为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据倾斜角的定义求解. 【详解】的倾斜角为. 故选：C. 9．过点，的直线的斜率为1，那么m的值为（    ） A．1或4 B．4 C．1或3 D．1 【答案】D 【详解】因为直线过点，，且斜率为1， 所以，解得． 10．若过点的直线的斜率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由点，可得直线的斜率为， 因为直线的斜率为，所以，解得. 11．若经过，两点的直线的斜率是2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，整理得，解得. 12．若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方向向量求出斜率，根据倾斜角与斜率的关系，即可得答案. 【详解】根据题意：方向向量为的直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，，则， 解得倾斜角为． 故选：D. 13．经过两点，的直线的斜率为_________，倾斜角为_________. 【答案】 【详解】设此直线的倾斜角为，则. 因为，所以. 14．已知在平面内的点，，直线的倾斜角为，则______. 【答案】8 【分析】根据倾斜角可得斜率，结合斜率公式运算求解即可. 【详解】因为直线的倾斜角为，则直线的斜率， 且点，，则，解得. 故答案为：8. 15．过点，两点的直线与直线平行，则的值为______. 【答案】2 【分析】利用两直线平行时斜率相等即可求解. 【详解】因为直线的斜率为2，所以，所以. 故答案为：2. 16．已知直线经过、两点，直线的倾斜角为，若与平行，则____ 【答案】6 【分析】首先表示出直线的斜率，直线的斜率，依题意，从而得到方程，解得即可. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 因为直线经过、两点，所以直线的斜率， 又与平行，，即，解得． 故答案为： 1．直线经过、两点，且倾斜角是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由直线的倾斜角为，所以 直线的斜率； 又直线经过、两点，可得，且， 整理得， 解得，经检验符合题意. 2．若直线的倾斜角等于，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线的斜率与倾斜角的关系可得出的等式，解之即可. 【详解】由题意可知，直线的斜率为，故. 故选：A. 3．已知，，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，以及直线与线段相交，即可求解． 【详解】由题意，，， 则，， 因为直线与线段相交， 则直线的斜率的取值范围是． 故答案为： 4．已知为直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为__________. 【答案】/ 【分析】根据方向向量计算出直线的斜率，再由可求倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为， 因为为直线的一个方向向量，所以， 所以，所以， 故答案为：. 5．已知直线的一个方向向量的坐标为，则直线的斜率为________. 【答案】-5 【分析】根据直线的方向向量与斜率的关系求解即可. 【详解】因为直线的一个方向向量的坐标为，所以直线的斜率为. 故答案为：. 6．直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程可得直线的斜率，再根据斜率的定义结合正切函数的性质运算求解. 【详解】因为直线，即的斜率， 又因为，且，所以. 故选：A. 7．若直线的方向向量，，则倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方向向量得出斜率，再根据斜率的范围得出倾斜角的范围. 【详解】直线的方向向量， 所以斜率为，， 则， 则倾斜角的取值范围是. 故选：C. 8．已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据直线绕原点旋转且线段有公共点，再结合数形结合可得斜率的范围. 【详解】因为直线恒过点，且. 由图可知，直线与线段有公共点，所以，即. 故答案为：. 9．已知，，若点在线段上，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据的形式，可转化为线段AB上点与连线的斜率，结合图形即可求解. 【详解】的几何意义是点与点连线的斜率， 又点在线段上，由图知， 因为，，所以， 因为点P是线段AB上的动点，所以， 故答案为： 10．已知点，直线与线段有公共点，则a的取值范围是____________． 【答案】 【分析】易知直线l过定点，结合的斜率得出不等式，求得的范围即可. 【详解】由，得． 令得则直线l过定点， 故． 显然直线的斜率一定存在，设直线l的斜率为k，如下图所示：    则，即， 解得． 因此a的取值范围是. 故答案为： 11．已知直线经过点，且与以，为端点的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为___________． 【答案】 【分析】作出图形，根据直线上两点分别求出直线的斜率，进而求得两直线的倾斜角，结合图形，即得答案. 【详解】    如图，先求出直线的斜率分别为：， 则可得直线的倾斜角分别为， 由图知，要使直线与线段没有公共点，需使直线的倾斜角满足， 即直线的倾斜角的取值范围为. 故答案为：. 12．已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为______，其斜率的取值范围为______． 【答案】 【分析】解法一：根据题意，求出，，结合图形求出直线斜率的范围，进而可求出倾斜角的范围. 解法二：设直线的斜率为，则直线的方程为，点，在直线的两侧或其中一点在直线上，所以，即可求出直线斜率的范围，进而可求出倾斜角的范围. 【详解】解法一：由题意，，． 设直线，的倾斜角分别为α，β，则，． 如图所示，过点作轴的垂线，与线段交点于， 当直线由变化到的位置时，直线的倾斜角由增到，其斜率的范围为；当直线由变化到的位置时，直线的倾斜角由增到，其斜率的范围为． 故直线倾斜角的取值范围为，其斜率的取值范围为． 故答案为：； ． 解法二：设直线的斜率为，则直线的方程为，即． 由题意，点，在直线的两侧或其中一点在直线上， 所以，即，解得或． 故直线的斜率的取值范围为， 所以其倾斜角的取值范围为． 故答案为：； ． 13．已知点，若直线与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围是____________． 【答案】 【分析】先判断直线过定点，再根据直线与线段相交，求出直线斜率的取值范围，最后根据正切函数的性质，求出倾斜角的取值范围即可. 【详解】直线过定点， 则，， 如图，要使直线与线段相交， 则直线l的斜率应满足， 所以直线l的倾斜角的取值范围是. 故答案为:. 14．已知，直线与线段AB有公共点，则直线的斜率取值范围为________ 【答案】 【分析】根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围 【详解】由直线的方程可得， 所以直线l过定点 如图所示， ， 过点P且与x轴垂直的直线PC与线段AB相交，但此时直线l的斜率不存在， 当直线l从直线PA转到与y轴平行的直线PC位置时（转动时以点P为定点）， 直线l的斜率从1开始趋向于正无穷，即； 当直线l再由直线PC转到直线PB位置时（转动时以点P为定点），直线l的斜率从负无穷开始趋向于，并在PB位置时达到，即， 所以直线l的斜率k的取值范围为， 故答案为： 15．已知在平面直角坐标系中，点．若直线与线段相交，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】考虑直线的斜率不存在和存在两种情况，斜率不存在时易得符合题意，斜率存在时计算出直线的斜率和直线的斜率，结合图象易得直线斜率的取值范围，最终得到结果. 【详解】可化为， 由得，则直线过定点． ①当时，直线与线段相交，满足题意． ②当时，直线的斜率， 因为直线的斜率，直线的斜率， 所以或，解得或． 综上可得的取值范围为． 故答案为：. 16．若，，若直线与线段AB有公共点，则实参数m的取值范围为______． 【答案】 【分析】确定线段端点与直线的位置关系，先代入端点计算，再解不等式即可. 【详解】将 代入直线方程： ， 将 代入直线方程： ， 因为直线 与线段 有公共点， 所以，所以解集为 ， 即实数 的取值范围为 ， 故答案为：. 2 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系 教学目标 1理解直线倾斜角的定义，牢记倾斜角取值范围，能识别水平、竖直、上升、下降直线的倾斜角； 2.掌握斜率定义，明确时直线无斜率； 3.熟练使用两点斜率公式，能根据两点坐标计算斜率，判断直线是否竖直； 4.理清倾斜角大小与斜率正负、增减变化的对应规律； 5.会利用斜率判定三点共线，解决含参数共线问题； 6.已知倾斜角求斜率、已知斜率范围反求倾斜角范围； 7.结合垂直直线斜率关系，掌握直线旋转后的斜率计算。 教学重难点 重点 1.倾斜角定义与取值范围； 2.两点斜率计算公式； 3.倾斜角与斜率的对应变化规律。 难点 1.倾斜角无斜率的分类讨论； 2.斜率正负分段对应倾斜角（锐角 / 钝角）； 3.由斜率取值范围反向求解倾斜角范围。 知识点 01 直线倾斜角的定义 定义：直线向上方向与x轴正半轴形成的最小正角，记作 特殊规定：直线与x轴平行（水平直线），倾斜角 取值范围： 分类： 水平直线： 上升直线 竖直直线： 下降直线： 【即学即练】 直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D．0 知识点 02 斜率的定义 当时，直线斜率； 当时，无意义，直线不存在斜率； 斜率符号与倾斜角关系： ，直线递增； ，无斜率； ，直线递减。 知识点 03 两点斜率公式 设直线过两点，： 若，斜率； 若，两点横坐标相等，直线竖直，无斜率； 公式特点：分子、分母顺序同步调换，斜率不变，即。 【即学即练】 在平面直角坐标系中，过，两点的直线的斜率为（    ） A． B．1 C． D．2 知识点 04 倾斜角变化与斜率增减规律 增大，k从0单调递增至； 增大，k从单调递增至0； |k|越大，直线图像越陡峭。 【即学即练】 过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 知识点 05 三点共线的斜率判定 三点A,B,C共线的充要条件： 若三条连线斜率均存在： 若直线竖直无斜率：A、B、C三点横坐标全部相等。 【即学即练】 下列三点在同一直线上的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 知识点 06 由斜率求倾斜角 k>0：倾斜角 ； k<0：倾斜角 ； k=0：。 【即学即练】 直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 题型 01 已知倾斜角（特殊角）直接求斜率 【典例1】 已知直线的倾斜角为，则该直线的斜率为（   ） A． B．1 C． D． 【变式1】 已知直线的倾斜角为，则该直线的斜率为（   ） A． B．1 C． D． 【变式2】 若直线的倾斜角等于，则实数（   ） A． B． C． D． 题型 02 给出两点坐标，计算直线斜率 【典例1】 已知直线经过， 两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式1】 若直线经过两点，，则此直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【变式2】 已知直线经过两点，则直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D． 【变式3】 若经过两点，的直线的倾斜角为锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型 03 根据斜率正负，判断倾斜角类型 【典例1】 直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式1】 下列直线中，倾斜角最大的是（    ） A． B． C． D． 题型 04 已知倾斜角范围，求斜率取值范围（难点） 【典例1】 若直线的斜率为，倾斜角为，而，则的取值范围是__________． 【变式1】 已知点，直线的倾斜角，那么的取值范围是__________． 【变式2】 已知点，若过点的直线与线段相交，则直线斜率的取值范围是_________ ． 题型 05 三点共线，利用斜率求参数 【典例1】 已知，，三点共线，则________. 题型 06 已知直线斜率，求垂线的斜率 【典例1】 经过点和的直线与斜率为的直线互相垂直，则的值是______. 【变式1】 已知点，直线与轴相交于点，则中，边上的高所在直线的方程是______. 【变式2】 已知的三个顶点是，，，则边上的高所在直线的方程为________. 题型 07 多条直线图像比较陡峭程度 【典例1】 图中的直线，，的斜率分别是，，，则有（   ）      A． B． C． D． 【变式1】 如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】 如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】 已知直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式4】 如图，若直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则（    ） A． B． C． D． 题型 08 直线的方向向量问题 【典例1】 已知经过两点的直线的方向向量为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【变式1】 若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式2】 若倾斜角为的直线的方向向量为，则（   ） A． B． C．-5 D．5 【变式3】 已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为（   ） A． B．2 C．4 D． 题型 09 斜率几何意义综合动点问题 【典例1】 已知、，点在线段上，则的取值范围为________. 【变式1】 已知点，，经过点作直线，若直线与线段没有公共点，则直线的斜率的取值范围是__________. 【变式2】 已知点，，过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围为______. 1．已知直线的方程为，则该直线的斜率为（    ） A． B． C．2 D． 2．已知直线的斜率为，则其倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．若直线的倾斜角为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知直线的倾斜角比直线的倾斜角大，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 5．若一条直线的斜率等于，则该直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 6．已知直线，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 7．经过两点，的直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 8．下列直线中，倾斜角为的是（    ） A． B． C． D． 9．过点，的直线的斜率为1，那么m的值为（    ） A．1或4 B．4 C．1或3 D．1 10．若过点的直线的斜率为，则（   ） A． B． C． D． 11．若经过，两点的直线的斜率是2，则（    ） A． B． C． D． 12．若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 13．经过两点，的直线的斜率为_________，倾斜角为_________. 14．已知在平面内的点，，直线的倾斜角为，则______. 15．过点，两点的直线与直线平行，则的值为______. 16．已知直线经过、两点，直线的倾斜角为，若与平行，则____ 1．直线经过、两点，且倾斜角是，则（    ） A． B． C． D． 2．若直线的倾斜角等于，则实数（   ） A． B． C． D． 3．已知，，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是______. 4．已知为直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为__________. 5．已知直线的一个方向向量的坐标为，则直线的斜率为________. 6．直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．若直线的方向向量，，则倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是______. 9．已知，，若点在线段上，则的取值范围是______. 10．已知点，直线与线段有公共点，则a的取值范围是____________． 11．已知直线经过点，且与以，为端点的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为___________． 12．已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为______，其斜率的取值范围为______． 13．已知点，若直线与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围是____________． 14．已知，直线与线段AB有公共点，则直线的斜率取值范围为________ 15．已知在平面直角坐标系中，点．若直线与线段相交，则的取值范围为______． 16．若，，若直线与线段AB有公共点，则实参数m的取值范围为______． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $