2.2 第2课时 双曲线方程及性质的应用-课后达标检测-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

1．(2024·广西钦州浦北中学期中)若双曲线C的两条渐近线方程是y＝±x，则双曲线C的离心率是(　　) A． B． C．2 D． 解析：选A．由渐近线方程可知a＝b，则＝＝.故选A． 2．(2024·河南济源联考)已知双曲线C：－＝1的一条渐近线斜率为－2，实轴长为4，则C的标准方程为(　　) A．y2－＝1 B．－＝1 C．－x2＝1 D．－＝1 解析：选C．由题意，双曲线C：－＝1的焦点在y轴上，则2a＝4，a＝2，又－＝－2，则b＝1，故C的标准方程为－x2＝1.故选C． 3．(2024·江西景德镇期中)已知双曲线－＝1(a>0)的两条渐近线的夹角为，则a为(　　) A． B．2 C．或2 D．2 解析：选C．双曲线－＝1(a>0)渐近线方程为y＝±x，因为双曲线－＝1(a>0)的两条渐近线的夹角为，所以＝tan 或＝tan ，解得a＝或a＝2.故选C． 4．若等轴双曲线x2－y2＝a2与直线y＝ax(a>0)没有公共点，则实数a的取值范围是(　　) A．a＝1 B．0<a<1 C．a>1 D．a≥1 解析：选D．等轴双曲线x2－y2＝a2的渐近线方程为y＝±x，若直线y＝ax(a>0)与等轴双曲线x2－y2＝a2没有公共点，则a≥1.故选D． 5．(2024·江西九江模拟)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)，过点M(2，0)作E的一条渐近线l的垂线，垂足为P，过点M作x轴的垂线交l于点Q，若△MPQ与△MPO的面积相等(O为坐标原点)，则双曲线E的离心率为(　　) A． B． C． D． 解析：选C． 因为△MPQ与△MPO的面积相等，所以P为OQ的中点，故△OMQ为等腰直角三角形，所以∠MOQ＝45°，所以＝1，所以a2＝b2，即a2＝c2－a2，所以e2＝2，e＝.故选C． 6．(多选)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于P，Q两点．若以PQ为直径的圆恰好经过双曲线的左顶点，则(　　) A．双曲线的渐近线方程为y＝±x B．双曲线的渐近线方程为y＝±x C．双曲线的离心率为 D．双曲线的离心率为2 解析：选BD． 如图所示，设双曲线的左顶点为A．由对称性及以PQ为直径的圆恰好经过双曲线的左顶点，可得△APQ为等腰直角三角形，又因为过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于P，Q两点，可得|PQ|＝，所以a＋c＝，因为b2＝c2－a2，所以c2－ac－2a2＝0，解得c＝2a(负值已舍去)，所以双曲线的离心率为e＝＝2，所以D正确，C错误；由b＝＝ a，可得双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以B正确，A错误．故选BD． 7．(2024·安徽蚌埠联考)写出一个同时满足下列条件①②的双曲线的标准方程__________． ①焦点在x轴上；②渐近线方程为y＝±2x. 解析：双曲线的焦点在x轴上，所以设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由于双曲线的渐近线方程为y＝±2x，所以＝2，b＝2a.所以可取a＝1，b＝2，此时满足条件①②的双曲线的一个标准方程为x2－＝1. 答案：x2－＝1(答案不唯一) 8．(2024·广西北海月考)若双曲线C与双曲线－＝1有相同的渐近线，且经过点(2，)，则双曲线C的标准方程是__________． 解析：由双曲线C与双曲线－＝1有相同的渐近线，可设双曲线C的方程为－＝λ(λ≠0)，又C经过点(2，)，所以λ＝－＝－，整理得双曲线C的标准方程是－＝1. 答案：－＝1 9．(2024·江西南昌期中)已知双曲线C：－y2＝1(m>0)的离心率为，则该双曲线的焦点到渐近线的距离为__________． 解析：因为双曲线C：－y2＝1(m>0)的离心率为，所以有＝，解得m＝4，c＝＝，焦点坐标为(±，0)，该双曲线的渐近线方程为y＝±x，即±x－2y＝0，所以该双曲线焦点到渐近线的距离为＝1. 答案：1 10．设双曲线－＝1(b>a>0)的半焦距为c，直线l过(a，0)，(0，b)两点．已知原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率． 解：直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0，于是有＝c，即4ab＝c2，两边平方得16a2b2＝3c4，所以16a2(c2－a2)＝3c4，即3c4－16a2c2＋16a4＝0，即3e4－16e2＋16＝0，解得e2＝4或e2＝，因为b>a>0，所以>1，e2＝＝1＋>2，故e2＝4，所以e＝2. 11．(2024·江西省临川第二中学检测)曲线＋＝1(m<6)与曲线＋＝1(5<n<9)的(　　) A．焦距相同 B．焦点相同 C．离心率相等 D．渐近线相同 解析：选A．根据题意，曲线＋＝1(m<6)表示焦点在x轴上的椭圆，曲线＋＝1(5<n<9)即－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线，椭圆的焦距为2＝4，双曲线的焦距为2＝4，故A正确；椭圆焦点在x轴上，双曲线焦点在y轴上，故B错误；椭圆的离心率小于1，双曲线离心率大于1，故C错误；椭圆无渐近线，故D错误．故选A． 12.(2024·江西南昌市八一中学月考)如图，已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点P，Q分别在C的两条渐近线上，且P在第一象限，O为坐标原点，若＝，⊥，则双曲线C的离心率为(　　) A．3 B． C． D．2 解析：选D．由双曲线方程知，渐近线方程为y＝±x，因为＝，所以OF∥QP，||＝||，设P(t，t)(t>0)，则Q(－t，t)，所以2t＝c，即t＝，所以P(，)，Q(－，)，又F(c，0)，所以＝(，－)，＝(，)，因为⊥，所以·＝－＝0，所以＝3，所以双曲线C的离心率e＝＝2.故选D． 13．已知圆C的半径为3，它与双曲线－y2＝1的两条渐近线均相切，且与该双曲线的右支相交，则圆C的方程为____________． 解析：由双曲线－y2＝1可知a＝2，b＝1，且焦点在x轴上，所以渐近线方程为y＝±x，即x±2y＝0，由题意可设圆心C(m，0)(m>0)，则＝3，解得m＝3 或m＝－3(舍去)，所以圆C的方程为(x－3)2＋y2＝9. 答案：(x－3)2＋y2＝9 14．外形是双曲面的冷却塔具有众多优点，如自然通风和散热效果好，结构强度和抗变形能力强等，其设计原理涉及物理学、建筑学等学科知识．如图1是某个火力发电厂的一座冷却塔，它的外形可以看成是由一条双曲线的一部分绕着它的虚轴所在直线旋转而成，其轴截面如图2所示．已知下口圆面的直径为80 m，上口圆面的直径为40 m，高为90 m，下口到最小直径圆面的距离为80 m. (1)求最小直径圆面的面积； (2)双曲面也是直纹曲面，即可以看成是由一条直线绕另一条直线旋转而成，该直线叫作双曲面的直母线．过双曲面上的任意一点有且只有两条相交的直母线(如图3)，对于任意一条直母线l，均存在一个轴截面和它平行，此轴截面截双曲面所得的双曲线有两条渐近线，且直母线l与其中一条平行．广州电视塔(如图4)就是根据这一理论设计的，极大地方便了建造、节约了成本(主钢梁在直母线上，钢筋不需要弯曲).若图1中的冷却塔也采用直母线主钢梁，求主钢梁的长度．(精确到0.01 m，参考数据： ≈0.655) 解：(1)由题设－＝1(a>0，b>0，－80≤y≤10)，则有A(40，－80)，B(20，10)在双曲线上，所以解得 因为最小直径圆面是以双曲线的实轴为直径的圆面，此时圆面的面积为πa2＝π. (2)由(1)得－＝1(－80≤y≤10)的一条渐近线方程为y＝x， 如图，由题意知，上下轴截面平行且直母线l与渐近线其中一条平行，所以四边形BCDE是平行四边形，所以所求主钢梁的长度即为|BE|＝|CD|，因为A(40，－80)，B(20，10)，所以C(，10)，D(，－80)，|CD|＝＝150≈98.25.故主钢梁的长度约为98.25 m． 15．(2024·江西宜春期中)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，关于原点对称的两点A，B分别在双曲线的左、右两支上，·＝0，3＝，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为(　　) A． B． C． D． 解析：选B． 由题设F(c，0)，A(m，n)且m<－a，C(x，y)，则B(－m，－n)，且－＝1，①由·＝(c－m，－n)·(－m－c，－n)＝m2－c2＋n2＝0，即m2＋n2＝c2，②由3＝，可得3(c＋m，n)＝(x－c，y)，即即C(4c＋3m，3n)，又点C在双曲线上，则－＝1，③由①得＝－1，代入③并整理得2c2＋3mc＋a2＝0，由①②及a2＋b2＝c2得n2＝－b2＝c2－m2，即m2＝2a2－，所以(2c2＋a2)2＝9m2c2＝18a2c2－9a4，即2c4－7a2c2＋5a4＝(2c2－5a2)(c2－a2)＝0，显然a2≠c2，所以2c2－5a2＝0，则e2＝＝，解得e＝.故选B． 16．记δ＝是点P(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0的“有向距离”． (1)分别求点A(－1，2)与B(2，3)到直线l：2x－y＋1＝0的“有向距离”，由此说明直线l与两点A，B的位置关系； (2)求证：到两条相交定直线bx±ay＝0(a，b不同时为零)的“有向距离”之积等于非零常数的动点的轨迹为双曲线． 解：(1) 由δ1＝＝，δ2＝＝.说明两点A，B分别在直线l的两侧，且点A距离直线l较远． (2)证明：设动点M(x，y)，两条相交的直线方程为bx±ay＝0(a，b不同时为零)，则“有向距离”之积为·＝＝k(k≠0)，即x2－y2＝1，即－＝±1(m，n>0)形式，显然所求动点的轨迹为双曲线．反之，可以证明：双曲线上任意一点到两条渐近线的“有向距离”之积为常数．证明如下：设双曲线方程x2－y2＝1上任意一点为M(x，y)，它到双曲线的两条渐近线bx±ay＝0的有向距离之积为·＝＝＝k. 学科网（北京）股份有限公司 $